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专题 03 平面向量小题全归类
【命题规律】
平面向量的数量积、模、夹角是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现．常常以
平面图形为载体，考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同平面几何、三角函数、解析几何、不等
式等知识相结合，以工具的形式出现．近几年高考主要考查平面向量的坐标运算、模的最值、夹角等问题，
与三角函数、解析几何密切相连，难度为中等．
【核心考点目录】
核心考点一：平面向量基本定理及其应用
核心考点二：平面向量共线的充要条件及其应用
核心考点三：平面向量的数量积
核心考点四：平面向量的模与夹角
核心考点五：等和线问题
核心考点六：极化恒等式
核心考点七：矩形大法
核心考点八：平面向量范围与最值问题
【真题回归】
1．（2022·全国·高考真题）已知向量 ，若 ，则
（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】C
【解析】 , ,即 ,解得 ,
故选：C
2．（2022·全国·高考真题）在 中，点D在边AB上， ．记 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为点D在边AB上， ，所以 ，即 ，
所以 ．
故选：B．
3．（2022·北京·高考真题）在 中， ．P为 所在平面内的动点，且
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则 ， ， ，
因为 ，所以 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
设 ， ，
所以 ， ，
所以
，其中 ， ，
因为 ，所以 ，即 ；
故选：D
4．（2022·天津·高考真题）在 中， ，D是AC中点， ，试用 表示 为
___________，若 ，则 的最大值为____________
【答案】
【解析】方法一：， ，
，当且仅当 时取等号，而
，所以 ．
故答案为： ； ．
方法二：如图所示，建立坐标系：
， ，
，所以点 的轨迹是以 为圆心，以 为半径
的圆，当且仅当 与 相切时， 最大，此时 ．
故答案为： ； ．
【方法技巧与总结】
1、平面向量的应用考向主要是平面几何问题，往往涉及角和距离，转化成平面向量的夹角、模的问
题，总的思路有：
（1）坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行
相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．
（2）基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．
2、平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：
①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面
图形的特征直接进行判断；
②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、
方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．
【核心考点】
核心考点一：平面向量基本定理及其应用
【规律方法】
1、应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或
数乘运算．
2、用基底表示某个向量的基本方法：（1）观察各向量的位置；（2）寻找相应的三角形或多边形；
（3）运用法则找关系；（4）化简结果．
【典型例题】
例1．（2022·全国·模拟预测）如图，在 中，点D是边AB上一点且 ，E是边BC的中点，
直线AE和直线CD交于点F，若BF是 的平分线，则 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【答案】C
【解析】因为BF是 的平分线，所以存在一个实数 使得 ，（根据角平分线的
条件，选择合适的基底）
因为E是边BC的中点，所以 ，又点A，E，F共线，所以 ①．（三点共
线的应用： （ ， 为实数），若A，B，C三点共线，则 ）因为 ，所以 ，又点C，F，D共线，所以 ②，联立①②，得
，则 ，即 .
故选：C．
例2．（2022·全国·模拟预测）如图，在平行四边形 中，点 在线段 上，且 （ ），
若 （ ， ）且 ，则 （ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【解析】方法1：在平行四边形 中，因为 ，所以 ，
所以 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ， ，（平面向量基本定理的应用）
又∵ ，
∴ ，解得 ，
故选：B.
方法2：如图，以A为坐标原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，则 ，设 ， ，
∵ 则 ，
又∵ ，设 ，则
即：
∴ ， ， ，
又∵ ，
∴
∴
∴
由②得 ，将其代入①得 ，
故选：B.
例3．（2022·北京·牛栏山一中高三期中）在平行四边形 中， 是边 的中点， 与 交于点 ．
若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 .
设 ，
则 ,
又 ，且 三点共线，则 共线，
即 ，使得 ，即 ，又 不共线，则有 ，解得 ，
所以， .
故选：D.
例4．（2022·广东广州·高三期中）如图，在平行四边形 中， 分别为 上的点，且
，连接 交于 点，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设
则
显然
得
显然
因为
所以有
即根据向量的性质可知
解得
故选：C
例5．（2022·安徽省舒城中学模拟预测（文））已知平面向量 ， 满足 ， ，
点D满足 ，E为 的外心，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ， ，
， ，
以O为原点，OA，垂直于OA所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则 ， ， ，设
又 ，知 ，解得 ，
又E为 的外心， ，
， 为等边三角形， ，
∴ ，∴ ．
故选：A例6．（多选题）（2022·湖北·华中师大一附中高三期中）如图， 中， ， ，
与 交于点 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】为了判断下面的有关结论，先引入三点共线向量形式的充要条件，
设 三点共线，O为线外一点，则 ，
即 与 前系数和为1，
证： 三点共线，
，
，
．
，
故A错；
三点共线，
，
三点共线，
，
，解得 ，
，
∴ F为BE的中点，
，故B对；
，
，
，故C对；
取AB中点G，BC中点H，如下图，
则 三点共线，
，故D对．
故选：BCD．
例7．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）在 中， ， ， 与 交于点 ，
若 ，则 的值为__________.
【答案】
【解析】由已知可得， ， .
因为， 三点共线，设 ， .
，则 .，
又 ，
因为 三点共线，则存在 ，使得 ，即
，
因为， 不共线，所以有 ，解得 ，
所以， ，即 ， ， .
故答案为： .
例8．（2022·全国·高三专题练习）根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边
上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和．现在对直角三角形 按上述操作
作图后，得如图所示的图形，若 ，则 ____________．
【答案】
【解析】如图，以A为原点，分别以 为 轴建立平面直角坐标系，
设正方形 的边长为 ，则正方形 的边长为 ，正方形 边长为可知 ， ， ，
则 ， ，即
又 ，
即 ，即 ，化简得
故答案为：
核心考点二：平面向量共线的充要条件及其应用
【规律方法】
1、平面向量共线定理：已知 ，若 ，则 三点共线；反之亦然．
2、两平面向量共线的充要条件有两种形式：（1）若向量 ， ，则 的充要条
件是 ；（2）若 ，则 ．
【典型例题】
例9．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知点 是 的中线 的中点，过点 的直线交边 于
点 ，交边 于点 ．若 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 是 中点， ，
， ， ，又 三点共线， ，
（当且仅当 时取等号），
的最小值为 .
故选：B.
例10．（2022·安徽·合肥一中高三阶段练习）已知向量 ， ，且 ，则
__________.
【答案】
【解析】由题设 ， ，又 ，
所以 ，解得 .
故答案为：
例11．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，且 与 的夹角为锐角，则实数 的取
值范围为______．
【答案】
【解析】因为 ， ，所以 ，
因为 与 的夹角为锐角，所以 ，且 与 不共线，
所以 且 ，
解得 且 ，所以 的取值范围为 ，
故答案为：
例12．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）在 中， ， ， 与 交于点 ，
若 ，则 的值为__________.
【答案】
【解析】由已知可得， ， .
因为， 三点共线，设 ， .，则 .
，
又 ，
因为 三点共线，则存在 ，使得 ，即
，
因为， 不共线，所以有 ，解得 ，
所以， ，即 ， ， .
故答案为： .
例13．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）在 中， ， 分别是边 ， 上的点，且
， ，点 是线段 上异于端点的一点，且满足 ，则
_________．
【答案】8
【解析】因为 ， ，
所以 ， ，即 ， ，
因为 ，所以 ，
即 ，即 ，
因为 ， ， 三点共线，故 ，解得 ．
故答案为：
例14．（2022·辽宁沈阳·高三阶段练习）如图，点G为 的重心，过点G的直线分别交直线AB，AC
点D，E两点， ， ，则m＋n＝______．
【答案】1
【解析】延长 交 于 ，因为点G为△ABC的重心，
则 ，
所以
因为 ， ，
所以 ，
因为 三点共线，
所以 .
故答案为：1
核心考点三：平面向量的数量积
【规律方法】1、向量的数量积：设两个非零向量 的夹角为 ，则 叫做 与 的数量积，记作 ．
2、数量积的几何意义：数量积 等于 的长度 与 在 的方向上的投影 的乘积．
3、设向量 ， ，则 ，由此得到：
（1）若 ，则 或 ．
（2）设 ，则A，B两点间的距离
（3）设两个非零向量 ，且 ， ，则
（4）若 都是非零向量， 是 与 的夹角，则
【典型例题】
例15．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期中）已知A，B，C，D在同一平面上，其中
，若点B，C，D均在面积为 的圆上，则 （ ）
A．36 B． C．18 D．
【答案】B
【解析】依题意可知：圆的半径为 ，设圆心为 ，
因为 ，所以 为圆的直径，
因为 ，则 为等边三角形，所以 所成的角为 ，
则 所成的角为 ，
所以 ，
故选：B.
例16．（2022·山东淄博·高三期中）在 中，内角 所对的边分别为 ，且 ，点
为外心，则 （ ）
A． B． C．10 D．20
【答案】C
【解析】记 的中点为 ，连结 ，如图，
因为点 为 的外心， 为 的中点，所以 ，则 ，
所以
.
故选：C.例17．（2022·江苏·南京市天印高级中学高三期中）已知菱形 的边长为2， ， 是菱
形 内一点， 若 ，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【解析】在菱形 ， ，则 为等边三角形，
因为 ，
所以 ，
设点 为 的中点，
则 ，所以 ，
所以 三点共线，所以 为 的中线，
同理可得点 的中线过点 ，
所以点 为 的重心，
故 ，
在等边 中， 为 的中点，则 ，
所以 .
故选：D.
例18．（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（文））在 中， ， ， 为线段 的中点，
， 为线段 垂直平分线 上任一异于 的点，则 （ ）
A． B．4 C．7 D．
【答案】C
【解析】因为在 中， 为线段 的中点，所以 ，即 ，
因为 ， ， ，
所以 ，即 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
所以， ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 为直角三角形，
所以
因为 为线段 垂直平分线 上任一异于 的点，
所以 ， ， ，
所以
故选：C
例19．（2022·江苏南通·高三期中）已知 的外接圆的圆心为 ，半径为1， ，
在 上的投影向量为 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】 ，则 为 中点， 又是外接圆圆心，
则 为直角三角形， 为 在 上的投影向量，
，∴ ，
∴ ，∴
， ，的外接圆半径为1，∴ ，∴ ，
∴ ，
故选：B.
核心考点四：平面向量的模与夹角
【规律方法】
(1)向量的夹角要求向量“共起点”，其范围为 ．
(2)求非零向量 的夹角一般利用公式 先求出夹角的余弦值，然后
求夹角．也可以构造三角形，将所求夹角转化为三角形的内角求解，更为直观形象．
【典型例题】
例20．（2022·湖北·武汉市武钢三中高三阶段练习）设 ， ，若对 ， ，则
与 的夹角等于（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】D
【解析】 ，设
，
即 ，
即 对 恒成立，
即 对 恒成立，
，解得 ，
即 ，又 ，与 的夹角等于150°，
故选：D.
例21．（2022·江苏连云港·高三期中）已知向量 ， 满足 ， ，且对任意实数 ，不等式
恒成立，设 与 的夹角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 要想不等
式 恒成立，
只需 ，而 ，
所以 ，即 ，
则有 ，
则有 ，
所以 ，
故选：D
例22．（2022·甘肃·兰州五十一中高三期中（理））已知向量 与 的夹角是 ，且 ，则向量
与 的夹角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由向量的平方等于模长的平方可得 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
即向量 与 的夹角为 ，
故选：D.例23．（2022·浙江绍兴·一模）已知向量 ， 满足 ， ， ，则
（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】D
【解析】因为 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，即 ，解得 或 （舍）
所以，
故选：D
例24．（2022·全国·高三专题练习）已知向量 ， 满足 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
所以 ，则 ，
所以 ，
即 ．
故选：C．
例25．（2022·山西·晋城一中教育集团南岭爱物学校高三阶段练习）已知 为等边三角形， 为 的
中点， ，则 （ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【解析】由题意知 为等边三角形， 为 的中点，故 ，
设 ，则 ，
所以 ，故选：C.
核心考点五：等和线问题
【规律方法】
等和线
平面内一组基底 及任一向量 ， ，若点 在直线 上或者在平行
于 的直线上，则 （定值），反之也成立，我们把直线 以及与直线 平行的直线称为等和
线．
①当等和线恰为直线 时， ；
②当等和线在 点和直线 之间时， ；
③当直线 在点 和等和线之间时， ；
④当等和线过 点时， ；
⑤若两等和线关于 点对称，则定值 互为相反数；
B
1
B
P
Q l
O
A A
1
【典型例题】
例26．（2022·全国·高三专题练习）在矩形 中， ， ， ， 分别是 ， 上
的动点，且满足 ，设 ，则 的最小值为（ ）
A．48 B．49 C．50 D．51
【答案】B
【解析】如图，建立平面直角坐标系，
则 ， ， ， ，
设 ， ，因为 ，所以 ， ， ．
因为 ，所以 ， ，
所以 ．
当且仅当 ，即 ， 时取等号．
故选： B．
例27．（2022·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆 ， 为圆 上任一点，
若 ，则 的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【解析】
作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，
设 ，则 ，
∵BC//EF，∴设 ，则
∴ ，
∴∴
故选：A．
例28．（2022·全国·高一期末）在 中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若
（ ， ），则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，设 ， ，
当 时， ，所以 ，
所以 ，从而有 ；
当 时，因为 （ ， ），
所以 ，即 ，
因为 、 、 三点共线，所以 ，即 ．
综上， 的取值范围是 ．
故选：C．
例29．（2022·江苏·高二）如图，已知点 在由射线 、线段 ，线段 的延长线所围成的平面
区域内（包括边界），且 与 平行，若 ，当 时， 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】∵ ， ，
由向量加法的平行四边形法则， 为平行四边形的对角线，
该四边形应是以 与 的反向延长线为两邻边，
当 时，要使 点落在指定区域内，即 点应落在 上，
，
∴ 的取值范围为 ．
故选：D．
核心考点六：极化恒等式
【规律方法】
极化恒等式
（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
证明：不妨设 ，则 ，
①
②
①②两式相加得：
（2）极化恒等式：上面两式相减，得： ————极化恒等式
①平行四边形模式：
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”
平方差的 ．
②三角形模式： （M为BD的中点）
A
B M C
【典型例题】
例30．（2022·山东师范大学附中模拟预测）边长为 的正方形内有一内切圆， 是内切圆的一条弦，
点 为正方形四条边上的动点，当弦 的长度最大时， 的取值范围是_________．
【答案】
【解析】如下图所示：
设正方形 的内切圆为圆 ，当弦 的长度最大时， 为圆 的一条直径，
，
当 为正方形 的某边的中点时， ，
当 与正方形 的顶点重合时， ，即 ，
因此， ．
故答案为： ．
例31．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6 的可移动的线段， ， ， ，则 的取值范围为 ________________ ．
【答案】
【解析】在 上取一点 ，使得 ，取 的中点 ，连接 ， ，
如图所示：
则 ， ， ，
，即 ．
，
当 时， 取得最小值，此时 ，
所以 ．
当 与 重合时， ， ，
则 ，
当 与 重合时， ， ，
则 ，
所以 ，即 的取值范围为 ．
故答案为：
例32．（2022·全国·高一）设三角形ABC，P 是边AB上的一定点，满足PB= AB，且对于边AB上
0 0
任一点P，恒有 ，则三角形ABC形状为___________．【答案】等腰三角形
【解析】取BC的中点D，连接PD，PD，如图所示：
0
，同理 ，
，
，设O为AB的中点，
即三角形ABC为以C为顶角的等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
例33．（2022·全国·高三专题练习）已知直线 与圆 相切于点
，设直线 与 轴的交点为 ，点 为圆 上的动点，则 的最大值为______．
【答案】
【解析】圆 的圆心的为 ，因为直线 与圆 相切于点 则
所以 得 ，所以 ， ，
所以直线方程为 ，圆的方程为 ，所以 ， ，
的中点 ，
则
因为 ，
所以
故 ，所以 的最大值为故答案为：
核心考点七：矩形大法
【规律方法】
矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点，
证明： ．
【典型例题】
例34．（贵州省贵阳市第一中学2022届高三上学期高考适应性月考卷（三）数学（文）试题）已知
平面向量 ， ， ，满足 ，且 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，
因为 ，所以
不妨设 ， ， ， ， ，
，
则 ， ，
因为 ，所以 ，
化简为： ，
所以 对应的点 是以 为圆心，半径为 的圆，
所以 的最小值为 ，
故选：B．例35．（北京市人大附中朝阳学校2021-2022学年度高一下学期期末模拟数学试题（1））设向量 ，
， 满足 ， ， ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】建立坐标系，以向量 ， 的角平分线所在的直线为 轴，使得 ， 的坐标分别为 ，
，设 的坐标为 ，
因为 ，
所以 ，化简得 ，
表示以 为圆心， 为半径的圆，
则 的最小值表示圆上的点到原点的距离的最小值，
因为圆到原点的距离为 ，所以圆上的点到原点的距离的最小值为 ，
故选：B
例36．（四川省资阳市2021-2022学年高三第一次诊断考试数学（理）试题）已知 为单位向量，向量 满足： ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】可设 ， ，
则 ，
即 ，则 ， ，
，
当 时， 取得最大值为6，
即 的最大值为6．
故选：C
核心考点八：平面向量范围与最值问题
【规律方法】
平面向量范围与最值问题常用方法：
（1）定义法
第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系
第二步：运用基木不等式求其最值问题
第三步：得出结论
（2）坐标法
第一步 ： 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标
第二步： 将平面向量的运算坐标化
第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解
（3）基底法
第一步：利用其底转化向量
第二步：根据向量运算律化简目标
第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论
（4）几何意义法
第一步： 先确定向量所表达的点的轨迹
第二步： 根据直线与曲线位置关系列式
第三步：解得结果
【典型例题】
例37．（2022·全国·高三专题练习）已知在 中， ， ，动点 位于线段 上，
当 取得最小值时，向量 与 的夹角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为在 中， ， ，所以 ，所以
，当且仅当 时取等号，因此在 中，
所以向量 与 的夹角的余弦值为 ，
故选：C.
例38．（2022·全国·高三阶段练习）已知平面向量 ， ， ， ，满足 ， ， ，若
，则 的取值范围是________．
【答案】
【解析】由已知 ， ， ，设
不妨设 ， ，
可得
又因为 ，故
所以 ，即
所以 ，易知， 终点在以 为圆心， 为半径的圆上.
终点在以 为圆心， 为半径的圆上.
的取值范围为 与 终点距离的取值范围
故故答案为：
例39．（2022·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习）已知等边△ABC的内接于圆 ，点P是圆O
上一点，则 的最大值是______．
【答案】2
【解析】
设BC的中点为E，连接AE，向量 的夹角为 ，
因为等边△ABC内接于圆 ，所以点O在AE上，且PO＝AO＝2OE＝1，
所以
，
所以当 ，即点P为AE的延长线与圆的交点时， 取最大值2，
故答案为：2．
例40．（2022·四川资阳·一模（理））已知平面向量 ， ， 满足 ，且 ，
则 的最大值为______．
【答案】
【解析】由题意， ，又 ，
故 ，
故 ，
由向量模长的三角不等式， ，
即 ，
解得： ，则 的最大值为 .故答案为：
例41．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）如图，在直角梯形 中， ，
是线段 上的动点，则 的最小值为__________.
【答案】6
【解析】如图，以 点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设 a），
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以当 ，即 时， 的最小值为6.
故答案为：6
【新题速递】
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测）如图，在矩形ABCD中， ，E为边AB上的任意一点（包含端
点），O为AC的中点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】法一：设 ，
因为O为AC的中点，所以 ，
所以 ．又 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ；
法二：以A为坐标原点， ， 的方向分别为x，y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，
则 ， ， ，设 ，
所以 ， ，所以 ．
因为 ，所以 ，
即 .
故选：A．
2．（2022·江苏南京·模拟预测）已知 为坐标原点，抛物线 ： .过点 （ ）的直线 与
交于 ， 两点，且 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，则 ，
因为 所以 ，即 ，
解得： ，因为 ，所以 ；
当直线 的斜率 存在时，则 ，设直线 的方程为 ， ，由 消去
，得 ，所以 ，因为 ，所以 ，
即 ，
解得： ，又因为 ，所以 ，
综上可知：实数 的取值范围为 ，
故选： .
3．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知平面向量 ， 满足 ， ， ，则
在 上的投影为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】B
【解析】 ， ，
解得 ，
所以 在 上的投影为 ，
故选：B
4．（2022·广西贵港·高三阶段练习（理））已知 ，点P满足 ，动点M，N满足
， ，则 的最小值是（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】A
【解析】由题意知不妨设点P的轨迹为以 为焦点的双曲线的左支，
设双曲线的标准方程为 ，
则 ，
，
∴ 点P的轨迹方程是 ，
，
∴ 为M、N的中点，
，，
，
∴ 的最小值为3，当点P在双曲线的左顶点时取等号．
故选：A．
5．（2022·贵州·高三阶段练习（理））如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三
个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角 的斜边 ，直角边 ， ．若 ， ，E
为半圆 弧的中点，F为半圆 弧上的任一点，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【解析】如图，以 为 轴建立平面直角坐标系，则 ， ，
， ， ，
半圆弧 的方程为 ，
设 （ ），
，
，
，则 ， 时 取得最小值是 ，
所以 取得最大值 ．
故选：B.
6．（2022·全国·高三阶段练习（理））如图所示，已知圆O的半径为5， ，圆O上有一点B满足
，点C为圆O上任意一点，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意可得 , ，则
设 ，其中 ，则
所以 ，且
所以
故选:A.
7．（2022·山西吕梁·高三阶段练习）如图，在 中，O为线段BC上一点，且 ，G为线段
AO的中点，过点G的直线分别交直线AB，AC于D，E两点， ， ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】因为 ，
所以 ，即 ，
又因为G为线段AO的中点，
所以 ，
因为 ， ，所以 ，
因为D、G、E三点共线，
所以 ，即 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时取等号．
故选：C.
8．（2022·重庆八中高三阶段练习）如图所示，平行四边形 的对角线相交于点 ，若
，则 等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】因为平行四边形 的对角线相交于点 ，所以
.
因为 ，所以 .
所以 .
故选：C
二、多选题
9．（2022·全国·模拟预测）已知平面向量 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 在 方向上的投影向量为
C．与 垂直的单位向量的坐标为 D．若向量 与向量 共线，则【答案】AD
【解析】由题意知 ， ， ，则
，A正确；
在 方向上的投影向量为 ，B错误；
设与 垂直的单位向量的坐标 ，则有 ，
解得 或 ，所以与 垂直的单位向量的坐标为 或 ，C错误；
显然 与 不共线.
因为 ， ，
向量 与向量 共线，
根据共线向量的坐标表示可得， ，
整理可得 ，解得 ，D正确.
故选：AD.
10．（2022·福建·泉州五中高三期中）已知扇形AOB的半径为1， ，点C在弧AB上运动，
，下列说法正确的有（ ）
A．当C位于A点时， 的值最小 B．当C位于B点时， 的值最大
C． 的取值范围为 D． 的取值范围
【答案】ACD
【解析】以 为原点，以 为 轴，建立如图所示的直角坐标系，
设 ，则 ，其中 ， ， ．
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ．
所以当 时， 取得最大值 ，此时点 为 的中点，
当 或 时， 取得最小值 ，此时点 为 或 点，故A正确，B错误，
而 ， ，
所以 ，
．
因为 ，所以 ,故 ，因此 ，
所以 的取值范围为 ，故C正确，
， ， ，
因为 ，所以 ,故 ，
， ，所以D正确．
故选：ACD
11．（2022·福建三明·高三期中）已知向量 ，则下列命题正确的是
（ ）
A． 的最大值为
B．存在 ，使得
C．若 ，则
D．若 在 上的投影向量为 ，则向量 与 的夹角为
【答案】ABD【解析】对于A， ，其中 ，
所以当 ， 最大值为 ，A正确.
对于B，因为 ，所以当 ，且 时， ，
即 使得 ， 时，符合题意，所以B正确.
对于C，若 ，则 ，此时 ，C错误.
对于D， 在 上的投影向量为 ，
所以 ，所以 和 的夹角为 ，D正确.
故选：ABD.
12．（2022·湖北·华中师大一附中高三期中）如图， 中， ， ， 与 交于
点 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】为了判断下面的有关结论，先引入三点共线向量形式的充要条件，
设 三点共线，O为线外一点，则 ，
即 与 前系数和为1，
证： 三点共线，
，
，
．，
故A错；
三点共线，
，
三点共线，
，
，
解得 ，
，
∴ F为BE的中点，
，故B对；
，
，
，故C对；
取AB中点G，BC中点H，如下图，
则 三点共线，
，故D对．故选：BCD．
三、填空题
13．（2022·全国·模拟预测）在梯形ABCD中， ，E是BC的中点，若 ， ，且
，则 ___________．
【答案】9
【解析】过点E作 ，交AD于点F，易得F是AD的中点，如下图
则 ，
．
故答案为：9．
14．（2022·全国·模拟预测）如图，已知A，B，C为圆 上的三点， ， ， ， 分
别在OA，OB上运动，且 ，点 在劣弧 上，则 的最小值为___________.
【答案】8
【解析】因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
以OA，OB所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则 ， ，令 ，则 ， ，设 ，故 ， ，则
，故当 ，
即 时， 取得最小值，且 8，即 的最小值为8.
故答案为：8
15．（2022·北京·海淀教师进修学校附属实验学校高三阶段练习）若 ，且 的
最大值为 ，则 __________.
【答案】3
【解析】因为 ，故 ，故当
同向时 取得最大值 .又 ，故 ，即 ，故
.
故答案为：3
16．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期中）在平行四边形ABCD中，点E满足 ，连接
AE并延长交BC的延长线于点F， ，若数列 是等差数列，其前n项和为 ，则
______．
【答案】2359
【解析】 AE延长交BC的延长线于点F， ， ，
，故答案为：2359
17．（2022·浙江·三门县观澜中学模拟预测）已知 为单位向量， 满足 ，
当 与 的夹角最大时， _________．
【答案】
【解析】不妨取 ，设 ，故 ，故 ；
设 ，则 ，
即 ，故 ， ，
设 与 的夹角为 ，则 ，不妨取 ，
则 ，
当 ，即 时等号成立，此时夹角最大，
.
故答案为：
18．（2022·广东佛山·高三阶段练习）已知 为 的外接圆圆心，若 ， ，
设向量 在向量 上的投影向量为 ，则 _________.
【答案】
【解析】如下图所示：因为 ，则 ，则 ，
即 ，故 为 的中点，故 ，
所以， ，则 为等边三角形，则 ，
所以， 在 方向上的投影向量为 ，
因此， .
故答案为： .
19．（2022·重庆八中高三阶段练习）已知对任意平面向量 ，把 绕其起点沿逆时针方向旋转
得到向量 ，叫做把点 绕点 沿逆时针方向旋转 得到点 .已知平面内
点 ，点 ，把点 绕点 沿逆时针 后得到点 ，向量 为向量 在向量 上的投
影向量，则 __________.
【答案】
【解析】因为 ， ，
所以 ，
，
所以P点坐标为 ，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
20．（2022·广东·深圳实验学校光明部高三期中）中国文化博大精深，“八卦”用深邃的哲理解释自然、社会现象．如图（1）是八卦模型图，将共简化成图（2）的正八边形 ，若 ，则
______________．
【答案】
【解析】在 中，设 ， ，
则 ，所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 ， ，
所以
故答案为：
