文档内容
专题 11 平面向量小题全归类
目 录
01 平面向量基本定理及其应用............................................................................................................2
02 平面向量共线的充要条件及其应用.................................................................................................4
03 平面向量的数量积...........................................................................................................................6
04 平面向量的模与夹角.......................................................................................................................9
05 等和线问题....................................................................................................................................12
06 极化恒等式....................................................................................................................................15
07 矩形大法........................................................................................................................................17
08 平面向量范围与最值问题..............................................................................................................19
09 等差线、等商线问题.....................................................................................................................26
10 奔驰定理与向量四心.....................................................................................................................33
11 阿波罗尼斯圆问题.........................................................................................................................37
12 平行四边形大法.............................................................................................................................4113 向量对角线定理.............................................................................................................................43
01 平面向量基本定理及其应用
1．（2023·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考期中）已知 ， 是两个不共线的向量， ，
， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ， 是两个不共线的向量，设 ，
则 ，
即 ，解得 ，
所以 .
故选：C
2．（2023·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图
所示的直角三角形来构造无理数. 已知 与 交于点 ，若
，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立如图所示的坐标系，
由题意得 ，
则 ， .
因为 ，故 ，
因为 ，所以 （负值舍去），
所以 ，
故 .又 ，则 ，
因为 ，所以 ，
解得 ，所以 ，故选：A.
3．（2023·广东肇庆·统考模拟预测）如图，在平行四边形 中， ， ， 与
交于点 .设 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】连接 ， ，
三点共线， 可设 ，则 ，
；
三点共线， 可设 ，则 ，
；
，解得： ， ，即 .
故选：B.02 平面向量共线的充要条件及其应用
4．（2023·四川成都·高一成都七中校考阶段练习）如图，在 中，点 满足 ，过点 的直
线分别交直线 于不同的两点 .设 则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 .
又因为 三点共线，所以 .所以 .
所以
所以当 时, 有最小值为 .
故选:A.
5．（2023·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）△ABC中，D为AB上一点且满足 ，若P为
线段CD上一点，且满足 （ ， 为正实数），则 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】因为P为线段CD上一点，则 ，且 ，又因为 ，可得 ，即 ，
所以 ，
可得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为4.
故选：B.
6．（2023·浙江宁波·高二校联考期末）在 中，点O满足 ，过点O的直线分别交射线AB，
AC于点M，N，且 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【解析】由题可知， ，
因为 ， ，所以 ， ，
又 ，所以 ，
所以 ，
因为 三点共线，所以 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
所以 的最小值为 .
故选：A
03 平面向量的数量积
7．（多选题）（2021•新高考Ⅰ）已知 为坐标原点，点 ， ， ，
， ，则
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】法一、 ， ， ， ， ，
， ，
， ， ，
， ，则 ， ，则 ，故 正确；
，
，
，故 错误；
，
，
，故 正确；
，
，
，故 错误．
故选： ．
法二、如图建立平面直角坐标系，
，作出单位圆 ，并作出角 ， ， ，
使角 的始边与 重合，终边交圆 于点 ，角 的始边为 ，终边交圆 于 ，
角 的始边为 ，交圆 于 ，于是 ， ， ， ，
由向量的模与数量积可知， 、 正确； 、 错误．
故选： ．
8．（2023·安徽安庆·高三安庆市第十中学校考阶段练习）已知在 中， ， ， ，
，P在CD上， ，则 .
【答案】4
【解析】因为 ， 三点共线，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
则 ，
，
所以
.
故答案为： .
9．（2023·上海静安·高三校考阶段练习）已知向量 ，且 的夹角为 ， ，则在 方向上的投影向量等于 ．
【答案】
【解析】 ， ，
由已知 ，解得 （负值舍去），
∴ 在 方向上的投影为 ， 在 方向上的投影向量为 ．
故答案为：
10．（2023·上海闵行·高三校考期中）平面上有一组互不相等的单位向量 ， ，…， ，若存在单
位向量 满足 ，则称 是向量组 ， ，…， 的平衡向量．
已知 ，向量 是向量组 ， ， 的平衡向量，当 取得最大值时，
的值为 ．
【答案】
【解析】当 时， 取得最大值，
又 ，如图所示，
，设 ， ，
则 ，
所以 ，即 ，解得 ，
故 ， 或 ，
，
或 ，
故答案为：
04 平面向量的模与夹角
11．（2023•北京）已知向量 ， 满足 ， ，则
A． B． C．0 D．1
【答案】
【解析】 ， ，
， ，
．
故选： ．
12．（2023•甲卷）向量 ， ，且 ，则 ，
A． B． C． D．
【答案】【解析】因为向量 ， ，且 ，所以 ，
所以 ，
即 ， ，
解得 ， ，
所以 ，
又 ， ，
所以 ，
，
所以 ， ．
故选： ．
13．（2023·广东广州·高三广州市从化区从化中学校考阶段练习）已知正三角形 的边长为 ，设
， ．则 与 的夹角= ．
【答案】 /
【解析】由题意知， ，且 ，则 ,
则 ， ，
所以 ，
设 与 的夹角为 ，则 ，因为 ，所以 与 的夹角为 .
故答案为： .
14．（2023·全国·模拟预测）已知向量 ，若实数 满足 ，则 与 的
夹角为 ．
【答案】 /
【解析】因为向量 ，所以 ，
又 ，所以 ，
故 与 的夹角为 ．
故答案为： ．
15．（2023·四川广安·高三校考阶段练习）已知向量 ， ，且 在 方向上的投影数量为
，则向量 与 的夹角为 ．
【答案】
【解析】∵ 在 方向上的投影数量为 ，∴ ，
∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，∴向量 与 的夹角为 ，
故答案为： .05 等和线问题
16．（2023·湖北·高一校联考期中）给定两个长度为1的平面向量 和 ，它们的夹角为 ，点 在
以 为圆心的圆弧 上运动，若 ，其中 ，则 的最大值为（ ）
A． B．5 C． D．6
【答案】A
【解析】如图所示，建立直角坐标系．
．
，设 （ ）．
则 ，其中 ．
∴ ，当且仅当 时取等号．
故选A．
17．（2023·全国·高三专题练习）给定两个长度为1的平面向量 和 ，它们的夹角为90°，如图所示，
点C在以O为圆心的圆弧 上运动，若 ，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是（ ）A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】由题得 ＝ ＝x2＋y2＋2xy ＝x2＋y2，
∴x2＋y2＝1，则2xy≤x2＋y2＝1.
又(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy≤2，当且仅当 时等号成立，
故x＋y的最大值为 .
故选：B
18．（2023·上海黄浦·高二格致中学校考期中）在 中， ， ， . 为 所在
平面内的动点，且 ，若 ，则给出下面四个结论：
① 的最小值为 ； ② 的最小值为 ；
③ 的最大值为 ； ④ 的最大值为10.
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】如图，以 为原点， 所在的直线分别为 轴，建立平面直角坐标系，
则 ，因为 ，所以设 ，
则
所以 ，
则 ，即
所以 ，其中 ，
所以 ，
所以①③错误；
，
其中 ，
所以②正确，④错误；
故选：A19．（2023·吉林·统考一模）在直角三角形 中， ， 的重心、外心、垂心、内心分别为 ，
， ， ，若 （其中 ），当 取最大值时， （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】直角三角形 中， ， 为 中点， 的重心为 ，如图所示，
，
则 ， ；
直角三角形 中， ， 的外心为 ，则 为 中点，如图所示，
，则 ， ；
直角三角形 中， ， 的垂心为 ，则 与 点重合， ，
则 ， ；
直角三角形 中， ， 的内心为 ，则点 是三角形内角平分线交点，
直角三角形 中，角 的对边分别为 ，设内切圆半径为 ，
则 ，得 ，，
， .
最大，所以当 取最大值时， .
故选：B.
06 极化恒等式
20．（2023·山东师范大学附中模拟预测）边长为 的正方形内有一内切圆， 是内切圆的一条弦，点
为正方形四条边上的动点，当弦 的长度最大时， 的取值范围是_________．
【答案】
【解析】如下图所示：
设正方形 的内切圆为圆 ，当弦 的长度最大时， 为圆 的一条直径，
，
当 为正方形 的某边的中点时， ，
当 与正方形 的顶点重合时， ，即 ，
因此， ．
故答案为： ．
21．（2023·湖北省仙桃中学模拟预测）如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6 的可移动的线段，， ， ，则 的取值范围为 ________________ ．
【答案】
【解析】在 上取一点 ，使得 ，取 的中点 ，连接 ， ，
如图所示：
则 ， ， ，
，即 ．
，
当 时， 取得最小值，此时 ，
所以 ．
当 与 重合时， ， ，
则 ，
当 与 重合时， ， ，
则 ，
所以 ，即 的取值范围为 ．故答案为：
22．（2023·陕西榆林·三模）四边形 为菱形， ， ， 是菱形 所在平面的任
意一点，则 的最小值为________．
【答案】
【解析】由题设， ，取 的中点 ，连接 ， ， ，
则 ， ，
所以 ．
故答案为：
07 矩形大法
23．设向量 ， ， 满足 ， ， ，则 的最小值是
（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】建立坐标系，以向量 ， 的角平分线所在的直线为 轴，使得 ， 的坐标分别为 ，
，设 的坐标为 ，因为 ，
所以 ，化简得 ，
表示以 为圆心， 为半径的圆，
则 的最小值表示圆上的点到原点的距离的最小值，
因为圆到原点的距离为 ，所以圆上的点到原点的距离的最小值为 ，
故选：B
24．（2023·河北石家庄·高三阶段练习）已知向量 ， ， 满足 ， ，若
，则 的最大值是 ．
【答案】 ．
【解析】分析题意可知，设 ， ，则 ， ，设 ，
∴ ，又∵ ，∴ ，
而 ，即点 在以 为圆心， 为半径的圆上，
∴ ，故填： ．25．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 、 满足 且 ，则 的最
大值为 .
【答案】
【解析】求出向量 、 的夹角为 ，设 ， ， ，根据
可求得点 的轨迹方程，由 的几何意义结合圆的几何性质可求得 的最大值.设
向量 、 的夹角为 ， ， ，
， ，
设 ， ， ，
则 ， ，
由 可得 ，
整理得 ，即 ，其中点 ， ，
所以，点 在圆 上，
，则 ，
则 的几何意义为点 到定点 的距离，如下图所示：由圆的几何性质可得 .
故答案为： .
08 平面向量范围与最值问题
26．（2022•上海）在 中， ， ，点 为边 的中点，点 在边 上，则
的最小值为 ．
【答案】 ．
【解析】建立平面直角坐标系如下，
则 ， ， ，
直线 的方程为 ，即 ，
点 在直线上，设 ，
， ，
，
的最小值为 ．
故答案为： ．27．（2023•上海）已知 、 、 为空间中三组单位向量，且 、 ， 与 夹
角为 ，点 为空间任意一点，且 ，满足 ，则 最大值
为 ．
【答案】
【解析】设 ， ， ，
，不妨设 ， ， ，则 ，
因为 ，
所以 ，可得 ， ，
所以 ，解得 ，
故 ．
故答案为： ．
28．（多选题）（2023·安徽·高三安徽省宿松中学校联考开学考试）已知 ， ，
，A，B两点不重合，则（ ）
A． 的最大值为2
B． 的最大值为2
C．若 ， 最大值为D．若 ， 最大值为4
【答案】AD
【解析】A选项，由已知A，B为单位圆上任意两点， ， ，A正确；
B选项，设D为 的中点，则 ，
由于A，B两点不重合，所以 ，则 ，故B错误；
C选项，当P，A，B共线时， ，故C错误；
D选项，当P，A，B共线时，若 坐标分别为 与 或 与 时，
两点重合，此时 ，
若 坐标不同时为 与 时，此时 ⊥ ，则 ，
故 ，故D正确.
故选：AD29．（多选题）（2023·福建南平·高一武夷山一中校考期中）圆幂定理是平面几何中的一个定理，是相交
弦定理、割线定理、切割线定理的统一，（其中相交弦定理:圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长
的积相等，例如，如果交点为 的两条相交直线与圆 相交于 与 ，则 ），如下图，
已知圆 的半径为3，点 是圆 内的定点，且 ，弦 、 均过点 ，则下列说法正确的是
（ ）
A． · B． · 的取值范围是
C．当AC⊥BD时， · 为定值 D．AC⊥BD时， · 的最大值为28
【答案】CD
【解析】如图，设直线 与圆 于 ， ．
则 ，故A错误；
取 的中点为 ，连接 ，因为 为 中点，所以 ，即 ， ，
则 ，
而 ，故 的取值范围是 ，故B错误；
当 时，
，故C正确；
当 时，圆 半径 ，取 中点为 ， 中点为 ，
则 ，又 ，所以四边形 为矩形，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，不等式等号成立，所以 · 的最大值为28，故D正确．
故选：CD．
30．（2023·四川攀枝花·统考模拟预测）在平面四边形 中， ，则
的最大值为（ ）
A． B．
C．12 D．15
【答案】C
【解析】如图，以 为原点， 分别为 轴建立平面直角坐标系，因为 ，所以 ，
即 ，设 ，
由 可知，点 的轨迹为 外接圆的一段劣弧 ，
且 ，即外接圆半径 ，
设 外接圆的方程为 ，
代入点 可得， ，
解得 或 （舍去），
即点 的轨迹方程为 ，
所以 ，即 ，
又 ，当 时， ，
此时点 在劣弧上，满足题意，故 的最大值为12.
故选：C
31．（2023·北京西城·高三北师大实验中学校考阶段练习）平面直角坐标系 中，定点A的坐标为
，其中 .若当点 在圆 上运动时， 的最大值为0，则（ ）A． 的最小值为
B． 的最小值为
C． 的最小值为
D． 的最小值为
【答案】C
【解析】设 ， ，
则 ，
可得 ，
对任意 ，可知当 时， 的最大值为 ，
可得 ，且 ，所以 ，
且当 时， 的最小值为 .
故选：C.
32．（2023·江西·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系 中， ， ， ，动点P满
足 ，则 的最大值是（ ）
A．6 B． C．5 D．
【答案】A
【解析】由 ，得动点P的轨迹是以 为圆心，以1为半径的圆，其方程为 ，设
，则 ，表示圆C上的点P到点 的距离，所以.
故选：A.
33．（2023·四川宜宾·四川省宜宾市南溪第一中学校校考模拟预测）设向量 、 、 满足 ， ，
， ，则 的最大值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】向量 、 、 满足 ， ， ，
不妨设 ， ， ，则 ，
因为 ，整理可得 ，
的几何意义是圆上的点 到原点 的距离，
而原点 也在圆 上，
所以， 的最大值为圆 的直径长，故 .
故选：A.
09 等差线、等商线问题
34．（2023·全国·高三专题练习）给定两个长度为1的平面向量 和 ，它们的夹角为120°，点C在以
O为圆心的圆弧 上运动，若 ，其中x、 .则 的最大值为 ； 的取值
范围是 .【答案】 2
【解析】如图所示，以O为坐标原点， 所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
则 ， ，
设 .
由于 ， ， .
根据 ，得到 从而
故 ，当 时， .
，又 ，
，即 .
故答案为：2，
35．（2023·山西·高一统考期末）已知在 中，点 满足 ，点 在线段 (不含端点 ，
)上移动，若 ，则 .
【答案】3【解析】如图，由题意得存在实数 ，使得 .
又 ，
所以 ，
又∵ ，且 不共线，
故由平面向量的分解的唯一性得
所以 .
故答案为：3.
36．（2023·高一单元测试）如图，在 中， ， ， ，若延长CB到点D，使
，当点E在线段AB上移动时，设 ，当 取最大值时， 的值是 .
【答案】 /
【解析】 ，
，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ， ，设 ，由于 在 上，所以 ，
又 ，
即 ，化简得 ，
由 得 ，所以 ，
（ ），所以 ，
所以 时 ， ， ．
故答案为： ．
37．（2023·山东潍坊·高三开学考试）在 中，点D满足 ，当点E在射线AD（不含点A）
上移动时，若 ，则 的最小值为 ．
【答案】 /
【解析】由 ，得 ，即 ，
因为点E在射线AD（不含点A）上移动，所以 ，
又因为 ，所以 ，
则 （当且仅当 ，即 时取等号），
所以 的最小值为 .
故答案为： ．38．（2023·重庆万州·高一万州外国语学校天子湖校区校考期中）如图，在 中， ，点 在
线段 上移动（不含端点），若 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题可知， ，设 ，
则 ，
所以 ，
而 ，
可得： ，
所以 ，
设 ，
由双钩函数性质可知， 在 上单调递减，
则 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为： .
39．（多选题）（2023·辽宁·高一东港市第二中学校联考阶段练习）已知 中，是边 的中点，动点 满足 ，则（ ）
A． 的值可以等于2
B． 的值可以等于2
C． 的值可以等于
D． 的值可以等于3
【答案】AD
【解析】因为 ，所以 ， ，
，则 在以 为直径的圆上，如图 也是该圆上的点．
分别以 为 轴建立平面直角坐标系，则圆 方程是 ，
， ，
，即 ，
所以 ，
．
可设 ， ，
所以 ，
时， ，A正确；
同理 ，B错误；
，
易知 ，所以 ，C错；，
易知 ，所以 ， ， ，D正确；
故选：AD．
40．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）在 中，点 满足 ，当 点在线段
（不包含端点）上移动时，若 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，
△ABC中， ，
∴ （ ） ，
又点E在线段AD（不含端点）上移动，
设 k ，0＜k＜1，
∴ ，
又 ，∴ ，
∴ ．
∵ 在（0，1）上单调递减，
∴ 的取值范围为（ ，+∞），
λ
故选C．
41．（2023·浙江·浙江省江山中学校联考模拟预测）在 中，E，F分别为 的中点，点D是线
段 （不含端点）内的任意一点， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为点D是线段 （不含端点）内的任意一点，
所以可设 ，
因为E，F分别为 的中点，
所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ， ， ， ，
所以A，B，D错误，C正确，故选：C.
42．（2023·河南·校联考模拟预测）在 中， 是 边上的点，满足 ， 在线段 上
（不含端点），且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．8
【答案】B
【解析】因为 是 边上的点，满足 ，则 ，
所以， ，
因为 在线段 上（不含端点），则存在实数 ，使得 ，
所以， ，
又因为 ，且 、 不共线，则 ，故 ，
因为 ，则 ， ，
所以
，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
故 的最小值为 .故选：B.
10 奔驰定理与向量四心
43．（多选题）（2023·河北保定·高三校联考阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，
因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已
知 是 内一点， ， ， 的面积分别为 ， ， ，则
．设 是 内一点， 的三个内角分别为 ， ， ， ，
， 的面积分别为 ， ， ，若 ，则以下命题正确的有（ ）
A．
B． 有可能是 的重心
C．若 为 的外心，则
D．若 为 的内心，则 为直角三角形
【答案】AD
【解析】对于A，由奔驰定理可得， ，
因为 ， ， 不共线，所以 ，故A正确；
对于B，若 是 的重心， ，
因为 ，所以 ，即 共线，故B错误．
对于C，当 为 的外心时， ，所以 ，
即 ，故C错误．
对于D，当 为 的内心时， （ 为内切圆半径），
所以 ，所以 ，故D正确.
故选：AD.
44．（多选题）（2023·湖北武汉·高一校联考阶段练习）已知 ， 在 所在的平面内，且满足
， ，则下列结论正确的是（ ）
A． 为 的外心
B． 为 的垂心
C． 为 的内心
D． 为 的重心
【答案】BD
【解析】由题意 ，
所以 ，
即 ＝0，所以 ，
同理可得： ， ，
所以M为 的垂心；A错误,B正确；
因为 所以 ，
所以 ，
设AB的中点D，则 ，
所以 ，
所以C，N，D三点共线，即N为 的中线CD上的点，且 ，
所以N为 的重心,C错误,D正确.
故选:BD.45．（多选题）（2023·山西大同·高三统考阶段练习）设 为 的外心， ， ， 的
角平分线 交 于点 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】在 中，有正弦定理可得 ，可得 ，
在 中，有正弦定理可得 ，可得 ，
因为 ， ， 为 的角平分线，
可知 ，
则 ，
可得 ，
所以 ，即 ，
可得 ，
故A正确，B错误；
分别取 的中点 ，连接 ，可知 ，
因为 为 的外心，则 ，
，
所以 ，
故C正确；D错误.
故选：AC.46．（多选题）（2023·高一课时练习）已知 所在平面内有三点O，N，P，则下列说法正确的是
（ ）
A．若 ，则点O是 的外心
B．若 ，则点N是 的重心
C．若 ，则点P是 的垂心
D．若 ，且 ，则 为直角三角形
【答案】ABC
【解析】对于A，因为 ，所以点O到 的三个顶点的距离相等，所以O为 的外
心，故A正确；
对于B，如图所示，D为BC的中点，由 ，得 ，所以 ，所以N
是 的重心，故B正确；
对于C，由 ，得 ，即 ，所以 ，即 .同理，
，所以点P是 的垂心，故C正确；对于D，由 ，得角A的平分线垂直于BC，所以 ，
由 ，得 ，所以 ，所以 为等边三角形，故D错误．
故选：ABC．
47．（多选题）（2023·吉林·高一吉林一中校考期中）对于给定的 ，其外心为O，重心为G，垂心为
H，内心为Q，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若A、P、Q三点共线，则存在实数 使
【答案】BCD
【解析】对于A：给定的 ，其外心为 ，所以 ，故A
不正确；
对于B：因为 为给定的 的垂心，故 ，
即 ,
解得： ,故B正确；
对于C：因为重心为G，则有 ， ，所以
，故C正确；
对于D：由于点 在 的平分线上， 为单位向量，所以 与 的平分线对应向量共线，所以存在实数 使 ，故D正确．
故选：BCD．
11 阿波罗尼斯圆问题
48．（2023·湖南衡阳·校联考一模）阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两
定点距离之比为常数 的点的轨迹是圆，后人将此圆称为阿氏圆.若平面内两定点 、 间的距
离为4，动点 满足 ，则动点 的轨迹所围成的图形的面积为 ； 最大值是
.
【答案】
【解析】以经过 ， 的直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴，建立直角坐标系，如图，
则 ， ，设 ， ，∴ ，
得： ，点 的轨迹为圆（如图），
其面积为 .
，如图当 位于点 时， 最大， 最大值为 ，故 最大值是 .
故答案为： ； .
49．（2023·浙江·校联考三模）已知向量 ， ， 满足 ， ， ， ，则
的最小值是 .
【答案】
【解析】 可设 ， ,
因此 对应点C在以 为圆心，2为半径的圆上
设 ，则
因此 对应点D在直线上 ，
到直线 的距离为
而 表示 ，
所以 的最小值是
故答案为：
50．（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知向量 ， ， ，若 且 ，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】 ，
，
，
故可设
则 ，
，
,
,
,
即点C的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，
，
，
即求圆M上动点到点 的距离的平方的最小值减1即可，
设圆心M到 的距离为 ，则 ，
则 的最小值为
，
故答案为：
51．（多选题）（2023·江苏徐州·高二统考期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点
的距离之比为定值 的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系
中， ，点 满足 ．设点 的轨迹为 ，则（ ）
A．轨迹 的方程为
B．在 轴上存在异于 的两点 ，使得
C．当 三点不共线时，射线 是 的角平分线
D．在轨迹 上存在点 ，使得
【答案】BCD
【解析】对于A，设 ，则 ，整理得 ，即 ，
A错误；
对于B，假设在 轴上存在异于 ， 的两点 ， ，使得 ，
设 ， ，则 ，
整理得 ，而点 的轨迹方程为 ，于是 ，解得 或 （舍去），B正确；
对于C，如图所示，
当 三点不共线时， ，即 ，
于是 ，显然 ，因此 ，
射线 是 的角平分线，C正确；
对于D，假设在C上存在点M，使得 ，设 ，则 ， ，
则 ，整理得 ，又 ，
联立解得 或 ，D正确.
故选：BCD
12 平行四边形大法
52．（2023·浙江·模拟预测）已知 为单位向量，平面向量 ， 满足 ， 的取值范围是
____.
【答案】
【解析】建系，不妨设 ， ， ，则 ，再利用柯西不等式将所求转化为 ，利用换元法求出最大值，最小值显然为 共线方向时取得.不妨设
， ， ，由已知，得 ， ，
，令
，则 ，又显然当 ， 向量反
向时， 最小，即 ， ，此时 ，综上， 的取值范围是 .
故答案为： .
53．（2023·福建·高三福建师大附中校考阶段练习）设圆 ，圆 的半径分别为1，2，且两圆外切于点 ，
点 ， 分别是圆 ，圆 上的两动点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】连接 分别与两圆交于 ，又两圆外切于点 ，
三点共线，连 ，延长 交圆 与 ，连 ，
分别为圆 ，圆 的直径，
，
又 ， ，设 为 中点，连 ，
先固定 ，根据向量数量积的定义，
当 在 同向投影最大值时 为与 平行的圆切线的切点，
记为图中的 点，此时 在 投影
，
当且仅当 ，等号成立，
同理当 在 投影最小（在 反向上）时，
为与 平行的圆切线的切点，
记为图中的 点，此时 在 投影 ，
，
当且仅当 时，等号成立，
，
所以 的数量积取值范围是 .
故选：C.
13 向量对角线定理54．（2023·天津河东·统考一模）在平面四边形ABCD中,点E、F分别是边AD、BC的中点，且AB=1，
EF= ,CD= ，若 =15，则 的值为
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】B
【解析】 ，即 ，
，即 ，
故 ，即: ，
故： ，所以 ，即： ，
分别延长 和 ，交于 点，则： ，
故： ，
即： ，
而：
故：
，
故选：B.55．（2023·浙江杭州·高三统考期末）在四边形 中，点 分别是边 的中点，设
， .若 ， ， ，则
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
又点 分别是边 的中点，所以 ，
两式相加得 ，两边同时平方得 ，所以
则 ，代入得 即 ，
故选
56．（2023·浙江温州·瑞安中学校考模拟预测）在四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点，设
， ，若 ， ， ，则xy的最小值为 ．【答案】
【解析】如图所示：设 ， ，
，
两式相加得： ①．
， ， ，把①平方可得
， ．
又
，
②．
又
，
③．
根据②③可得， ，
即 ，
即 ，
即 ，
所以 ，所以 ， 时，
故答案为： ．57．（2023·浙江·高一开学考试）在 中， ， ， ，若点 满足 ，则
.
【答案】 .
【解析】如下图所示，则可知 ，
∴ ，故填： .
考点：平面向量数量积及其运算.
