文档内容
专题 2-3 导数压轴小题归类
目录
讲高考................................................................................................................................................................................1
题型全归纳.......................................................................................................................................................................2
【题型一】公切线求参................................................................................................................................................2
【题型二】“过点”切线条数..................................................................................................................................3
【题型三】切线法解题................................................................................................................................................3
【题型四】恒成立“同构型”求参........................................................................................................................4
【题型五】恒成立“虚根”型求参........................................................................................................................5
【题型六】恒成立“整数解”求参........................................................................................................................5
【题型七】换元求参型................................................................................................................................................6
【题型八】选择主元求参型......................................................................................................................................7
【题型九】多参放缩型................................................................................................................................................7
【题型十】多参韦达定理型......................................................................................................................................8
【题型十一】构造函数求参......................................................................................................................................8
【题型十二】极值点偏移型......................................................................................................................................9
专题训练.........................................................................................................................................................................10
讲高考
1．（2022·全国·统考高考真题）当 时，函数 取得最大值 ，则
（ ）
A． B． C． D．1
2．（2021·全国·统考高考真题）若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2019·天津·高考真题）已知 ，设函数 若关于 的不
等式 在 上恒成立，则 的取值范围为
A． B． C． D．
4．（·四川·高考真题）设直线l，l 分别是函数f(x)= 图象上点P，P 处的
1 2 1 2
切线，l 与l 垂直相交于点P，且l，l 分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值
1 2 1 2
范围是
A．(0,1) B．(0,2) C．(0,+∞) D．(1,+∞)
5．（2021·全国·统考高考真题）设 ，若 为函数 的极大值
点，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·统考高考真题）已知 和 分别是函数 （ 且
）的极小值点和极大值点．若 ，则a的取值范围是____________．7．（2021·全国·统考高考真题）已知函数 ，函数 的图象在点
和点 的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则
取值范围是_______．
题型全归纳
【题型一】公切线求参
【讲题型】
例题1.若两曲线y=x2-1与y=alnx-1存在公切线，则正实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例题2.已知直线 与曲线 和 分别相切于点 ， .有以下
命题：（1） ( 为原点)；（2） ；（3）当 时，
.则真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【讲技巧】
(1)以曲线上的点(x，f(x))为切点的切线方程的求解步骤：
0 0
①求出函数f(x)的导数f′(x)；
②求切线的斜率f′(x)；
0
③写出切线方程y－f(x)＝f′(x)(x－x)，并化简．
0 0 0
(2)如果已知点(x，y)不在曲线上，则设出切点(x，y)，解方程组 得切
1 1 0 0
点(x，y)，进而确定切线方程．
0 0
【练题型】
1.．若函数 的图象与函数 的图象有公切线 ，且直线 与直
线 互相垂直，则实数 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
2.直线 与曲线 相切，且与圆 相切，则 （ ）
A． B． C．3 D．3.．若函数 与 的图象存在公共切线，则实数a的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
【题型二】“过点”切线条数
【讲题型】
例题1.若过点 可作曲线 三条切线，则（ ）
A． B． C． D．
例题2.已知函数 ，若过点 存在2条直线与曲线 相切，请写出满
足条件的一个t值：______．
【讲技巧】
导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一
定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公
共点．
【练题型】
1.已知函数 ，过点 作 的切线，切线恰有三条，则a的取值范围是
________．
2.已知函数 ，过点 作曲线 的切线，则可作切线的最
多条数是______．
3.已知函数 .过点 作曲线 两条切线，两切
线与曲线 另外的公共点分别为B、C，则 外接圆的方程为___________.
②当切点为(2，-3)时，切线为 ，即 ，
【题型三】切线法解题
【讲题型】
例题1.已知过原点的直线与函数 的图像有两个公共点，则该直线斜率的取
值范围（ ）
A． B．C． D．
例题2.已知函数 ，若 有且只有两个整数解，则k的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
【讲技巧】
涉及到交点或者零点的小题题型，函数图像通过求导，大多数属于凸凹型函数，则可以
用切线分隔（分界）思维来求解。切线，多涉及到“过点”型切线，
【练题型】
1.已知函数 ， .若 的图象与 轴有且仅有两个交点，则
实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2..已知 ， ，直线 与曲线 相切，则 的最小值为
___________.
3.．对任意的 ，若关于 的不等式 恒成立，则 的最小
值为__________.
【题型四】恒成立“同构型”求参
【讲题型】
例题1.若关于 的不等式 对于任意 恒成立.则实数 的取值范围是
___________.
例题2.已知当 时，不等式 恒成立，则正实数a的最小值为
___________.
【讲技巧】
同构法针对与不等式或者等式中同时出现指数函数与对数函数时，要将两边变形得到结
构相同，再构造函数进行求解.
【练题型】
1.若关于 的不等式 对于任意的 恒成立，则实数 的取值范围是
___________.
2.已知对任意给定的 ，存在 使 成立，则实数 的取值范围为：
__________．3.若对任意 ，恒有 ，则实数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【题型五】恒成立“虚根”型求参
【讲题型】
例题1.已知当 时，关于 的方程 有唯一实数解，则 值所在
的范围是
A． B． C． D．
例题2.设函数 （其中 为自然对数的底数），则函数 的零点个数
为（ ）
A． B． C． D．
【讲技巧】
在研究函数时用导数求极值研究极值时，无法正常求出极值点，可设出极值点构造等式
或者方程作分析，进行合适的等量代换或者合适的换元消元消参，考查了分析推理能
力，运算能力，综合应用能力，难度很大.
【练题型】
1.已知 ，且 时， 恒成立，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2.当 时，不等式 有解，则实数m的范围为（ ）
A． B． C． D．
3.已知函数 在 上是减函数，则a的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【题型六】恒成立“整数解”求参
【讲题型】
例题1.设函数 ,其中 ，若存在唯一整数 ，使得 ，
则 的取值范围是
A． B． C． D．
例题2.已知函数 ，关于 的不等式 有且只有三个整数解，则
实数 的取值范围是
A． B． C． D．【讲技巧】
不等式的恒成立求参数问题， 不等式恒成立问题常见方法：
①分离参数 恒成立( 即可)或 恒成立（ 即可）；
②数形结合( 图像在 上方即可)；
③讨论最值 或 恒成立.
涉及到不等式整数解的问题时，要充分利用导数研究函数单调性，结合单调性考查整数
解相邻整数点函数值的符号问题，列不等式求解，考查运算能力与分析问题的能力
【练题型】
1.若关于 的不等式 的解集为 ，且 中只有一个整数，则实
数 的取值范围是
A． B．
C． D．
2..已知函数 的导函数为 ，且对任意的实数 都有 ( 是自然对
数的底数)，且 ，若关于 的不等式 的解集中恰有两个整数，则实数
的取值范围是_________．
3.在关于 的不等式 （其中 为自然对数的底
数）的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【题型七】换元求参型
【讲题型】
例题1.设 ， ，若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的最
小值是（ ）
A． B． C． D．
例题2.若函数f(x)＝ ax2－ex＋1在x＝x 和x＝x 两处取到极值，且 ，则实数a的取
1 2
值范围是________.
【练题型】
1.已知函数 ， ，若 ， ，且 ，则 的最大
值为______．2.设正实数x，则 的值域为_____．
【题型八】选择主元求参型
【讲题型】
例题1.已知实数 、 、 满足 ， 下列命题中：① ；②
；③ ；④ 的最小值是 ，所有真命题为__________．
例题2..若a，b为实数，且 ， ，则 的取值范围是___________.
【讲技巧】
根据等式结构构造新函数求判断，并将参数转化为函数的零点或者最值，充分利用导数
研究函数的单调性，考查函数方程等思想，
【练题型】
1.已知 ， ， ，且 ，则 的最小值为___________．
2.．若a，b为实数，且 ， ，则 的取值范围是___________.
【题型九】多参放缩型
【讲题型】
例题1.已知 ，若 恒成立，则 的取值范围是
_________.
例题2.已知 ，若存在实数 使不等式 成立，则m的最大
值为_______．
【练题型】
1.已知函数 ，满足 恒成立的最大整数 为__________．
2.已知不等式 恒成立，则 的最小值为______.
3.已知不等式x−3lnx＋1≥mlnx＋n（m，n∈R，且m≠−3）对任意实数x恒成立，则 的
最大值为
A、−2ln2 B、−ln2 C、1−ln2 D、2−ln2【题型十】多参韦达定理型
【讲题型】
例题1.已知函数 在区间 上有零点，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
例题2.已知 在 上恰有两个极值点 ， ，且 ，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【讲技巧】
求导过程中，涉及到极值点等求解计算，会有对应的一元二次方程，根无法直接求（或
者计算量大），可以借助韦达定理进行消参换元，或者整体构造韦达定理形式代换。
【练题型】
1.设函数 的两个极值点分别为 ，若
恒成立，则实数 的取值范围是_______．
2.已知函数 （其中 ， ），当 时 恒
成立，则 的取值范围为___________.
【题型十一】构造函数求参
【讲题型】
例题1.已知定义域为 的函数 的导函数为 ，且 ，若
，则函数 的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例题2.已知奇函数 的导函数为 ，且 在 上恒有
成立，则下列不等式成立的（ ）
A． B．C． D．
【讲技巧】
1.构造函数法求解函数解析式，利用导数研究函数增减性，常用以下方法：
（1）利用含导数方程还原原表达式需要结合导数四则运算特征，如本题中同乘 移项
后就得到除法对应导数公式；
（2）利用导数研究函数增减性,如遇导数不能判断正负的情况下，往往需要再次求导，
通过二阶导数判断一阶导数的正负，再通过一阶导数的正负判断原函数的增减.
2.几种导数的常见构造：
对于 ，构造
若遇到 ，构造
对于 ，构造
对于 ，构造
对于 或 ，构造
对于 ，构造
对于 ，构造
【练题型】
1.已知函数 的导函数为 ，任意 均有 ，且 ，若函数
在 上有两个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.）若定义域 的函数 满足 且 ，若 恒
成立，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3.设奇函数 的定义域为 ，且 的图象是连续不间断， ，有
，若 ，则 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【题型十二】极值点偏移型
【讲题型】
例题1..已知 ，若 ，且 ，则 与2的关系为
A． B． C． D．大小不确定
例题2.已知方程 有两个不同的实数根 ， （ ），则下列不等式不成立的
是A． B． C． D．
【练题型】
1.已知函数 有两个零点 、 ， ，则下面说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．有极小值点 ，且
2.已知 ，若 ，且 ，则 与2的关系为
A． B． C． D．大小不确定
3.已知方程 有两个不同的实数根 ， （ ），则下列不等式不成立的是
（ ）
A． B． C． D．
练
一、单选题
1．已知函数 有两个极值点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．若实数 ， 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．[0，1]
4．已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
5．函数 在 上不单调，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．6．函数 与函数 的图像至少有两个公共点，关于 的不等式
有解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数 有且仅有一个极值点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 ，若对任意 恒成立，则实数m的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知当 时，不等式 恒成立，则正实数 的值可以为（ ）
A．1 B． C．e D．
10．若函数 有且仅有两个零点 ， ，则下列说法正确
的是（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
11．函数 和 有相同的最大值 ，直线 与两曲线 和
恰好有三个交点，从左到右三个交点横坐标依次为 ，则下列说法正确的是
（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 有两个零点 ，且 ，则下列选项正确的有（ ）
A． B． 在 上单调递减
C． D．若 ，则
三、填空题13．正实数 ， 满足 ， ，则 的值为____________．
14．若关于x的不等式 恒成立，则a的取值范围是_____.
15．已知函数 在 上有两个不同的零点，则实数 的取值范围为
______.
16．已知函数 ， ，若 ， ，且 ，则 的
最大值为______．
结束
