文档内容
专题 2-2 点对称+轴对称+周期+单调性
目录
专题2-2 点对称+轴对称+周期+单调性.................................................................................................1
.....................................................................................1
题型一：利用奇偶性+单调性解不等式.................................................................................................1
2、解不等式常涉及到奇偶性，注意配图解不等式..............................................................................3
题型二：构造奇偶函数求函数值............................................................................................................5
题型三：奇偶性+周期性.........................................................................................................................8
题型四：对称性+奇偶性.......................................................................................................................12
题型五：对称性+周期性+奇偶性（知二推三）.................................................................................18
题型六：三角函数中的对称性，周期性，奇偶性与单调性问题......................................................24
................................................................33
题型一：利用奇偶性+单调性解不等式
【典型例题】
例题1．（2022·河南·新密市第二高级中学高一阶段练习）定义在实数 上的奇函数
在区间 上单调递减，且 ，则不等式 的解集为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据题意， 为奇函数且 ，则 ，
因为 在 上单调递减，
所以 在 上满足 ，在 上满足 ,
又因为 为奇函数，所以 在 上满足 ，在 上满足 ，
所以 的解集为 的解集为 ；
或 ，
解得： 或 ，
故不等式的解集为 ；
故选：D．
例题2．（2022·广东·深圳市燕川中学高一期中）偶函数 的定义域为 ，且对于任
意 ，均有 成立，若 ，则实数 的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：偶函数 的定义域为 ，且对于任意 均有
成立，
所以 在 单调递减，则 在 单调递增，
因为 ，所以 ，所以 ，
化简得 ，解得 或 ，即 .
故选：B.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 为偶函数，且当 时，
，则不等式 的解集为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【详解】当 时， ，所以 ，因为 ，所以 ，
即 ，所以函数 在 上单调递增，又因为函数 为 上的偶函
数，所以函数 在 上单调递减．则不等式 ，
即 等价于 ，解得 或 ．
故选：D．
【提分秘籍】
1、对于任意 ，均有 成立，注意功能用
来判断函数的单调性（有具体函数时，直接求导可求单调性）；
2、解不等式常涉及到奇偶性，注意配图解不等式
3、涉及到偶函数时：如果口朝上：谁离对称轴（ ）远，谁的函
数值就大；如果口朝下：谁离对称轴（ ）远，谁的函数值就小。
【变式演练】
1．（2022·江西江西·高三阶段练习（文））设a为实数，定义在R上的偶函数 满足：
在 上为增函数，则使得 成立的a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为 为定义在 上的偶函数，在 上为增函数，
由 可得 ，
∴ ，解得： 或所以实数a的取值范围为
故选：A
2．（多选）（2022·江苏·句容碧桂园学校高一期中）已知定义在 上函数 的图象是
连续不断的，且满足以下条件：① ， ；② ，当
时，都有 ；③ ．则下列选项成立的是（ ）
A． B．若 ，则
C．若 ，则 D． ， ，使得
【答案】ACD
【详解】由条件①得 是偶函数，条件②得 在 上单调递增，
所以 ，故A对，
若 ，则 ，得 ，故B错，
若 ，则 或 ，因为 ，所以 或 ，故
C正确，
因为定义在 上函数 的图象是连续不断的，且在 上单调递增，所以
，所以对 ，只需 即可，故D正确.
故选：ACD.
3．（2022·广东·广州市第五中学高一阶段练习）已知偶函数 在 上单调递减，
若 ，则满足 的x的取值范围是___________.
【答案】【详解】由 ，得 或 ，
因为 是偶函数， ，所以 ， ，
又因为 在 上单调递减，所以由 得 ，解得
，
同理：由 可得 或 ，
所以由 可解得 ，由 可解得 ，
故 或 ，即 .
故答案为：
题型二：构造奇偶函数求函数值
【典型例题】
例题1．（2022·陕西·无高一期中）已知函数 在区间 上的
最大值与最小值分别为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设 ，
， 为奇函数，
当 时， ，
.
故选：D.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在 ， 上
的最大值和最小值分别为 、 ，则 （ ）A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【详解】解：设 ， ，
因为 ，
所以函数 为奇函数，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
故选：A．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 ，则
（ ）
A． B．2 C．5 D．7
【答案】C
【详解】设 ，
则 ，即函数 是奇函数，
，则 ，而
所以 .
故选：C
【提分秘籍】
对于 本身不具有奇偶性，通过构造（通常将尾巴常数变为0），
构造奇函数，利用奇函数的对称性，求函数值.
【变式演练】1．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知函数 ，若 ，
则 （ ）
A． B．2 C．5 D．7
【答案】C
【详解】设 ，
则 ，
故 ，即 ，
所以 .
故 ，
因为 ，所以 .
故选：C
2．（2022·河南省淮阳中学高三阶段练习（文））已知函数
，则 在 上的最大值与最小值之和为______．
【答案】
【详解】由题意，得 ，
把 的图象向上平移3个单位长度，可得函数 的图象．
当 时， ，即 为奇函
数，
则在 上 的最大值与最小值之和为0，故 在 上的最大值与最小值之和为 ．
故答案为： ．
3．（2022·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习（文））已知函数
，若 ，则 ______．
【答案】
【详解】令 ，
， ，
为 上的奇函数；
， ，即 ，
解得： .
故答案为： .
题型三：奇偶性+周期性
【典型例题】
例题1．（2021·湖北·高一阶段练习）已知函数 是定义在R上的奇函数，且满足
，当 时， ，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 是周期为4的函数，所以 ，
因为 是奇函数，所以
故选：D
例题2．（2022·河南河南·一模（文））函数 是定义在 上的偶函数，且
， 则 （ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【详解】由题得
所以 .
所以函数 的周期为8.
所以 .
故选：C
例题3．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数 是定义在 上的偶函数，
，若对任意 ，都有 ，对任意 且 ，都有
，则 ____________．
【答案】2
【详解】因函数 是R上的偶函数，且任意 ，都有 ，
则当 时， ，即 ，有 ，
则 是以6为周期的周期函数， ，
又函数 是R上的偶函数，且任意 且 ，都有 ，
则对 ，函数 是以4为周期的周期函数，
，所以 .故答案为：2
【提分秘籍】
函数周期性的常用结论与技巧
设函数 ， .
①若 ，则函数的周期 ；
②若 ，则函数的周期 ；
③若 ，则函数的周期 ；
④若 ，则函数的周期 ；
⑤ ，则函数的周期
【变式演练】
1．（2022·湖南省桃源县第一中学高三阶段练习）函数 是定义在 上的奇函数，满
足 ，当 时，有 ，求 的值（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】A
【详解】由题意，函数 是 上的奇函数，所以 ，所以 ，又
，所以 ，所以 ，因
此函数 为周期函数，周期 ，
所以 ，
故选：A.
2．（2022·河南·新密市第一高级中学高一阶段练习）已知函数 对于任意 都有
， ，且 在区间 上是单调递增的，则 ， ，
的大小关系是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 的周期为2，
因为 ，所以 为偶函数，
所以 ， ，
因为 在区间 上是单调递增的，
所以 ，
所以 ，
故选：D
3．（2022·四川·邻水县九龙中学高三阶段练习（理））已知偶函数 的定义域为R，满
足 ，且当 ，则 _______________
【答案】
【详解】因为函数 的定义域为R，且为偶函数，故 ，
则由 得： ，
即 ，
故 ，
故答案为：题型四：对称性+奇偶性
【典型例题】
例题1．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（文））已知函数 的定义域为
，且 为奇函数，当 时， ，则 的所有根
之和等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：当 时， ，
∴ 对称轴为 ，
为奇函数，
，
，
关于 中心对称，
设 为 图像上任意一点，
则 在 上，
，
即 ，
对称轴为 ．
作出图像如下：由图像知 有4个根，
不妨设 ，
由二次函数的对称性知
，
，
∴ 所有根的和为 ．
故选：A．
例题2．（2022·陕西·永寿县中学高一期中）已知函数 是偶函数，当
时， 恒成立，设 ， ， ，则 ，
， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：因为当 时， 恒成立，所以函数 在区间 上单调递增，
由于函数 是偶函数，故函数 图象关于y轴对称，
所以函数 图象关于直线 对称，
所以 ， ，
由 ，函数 在区间 上单调递增，
所以 ．
故选：B.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）设函数 ，则满足
的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：假设 ，
所以 ，所以 ，
所以 为奇函数，
而 是 向右平移1个单位长度，向上平移3个单
位长度，所以 的对称中心为 ，所以 ，
由 求导得
因为 ，当且仅当 即 ，取等号，
所以 所以 在R上单调递增，因为 得
所以 ，解得 ，
故选：B
【提分秘籍】
函数对称性（异号对称）
（1）轴对称：若函数 关于直线 对称，则
① ；
② ；
③
（2）点对称：若函数 关于直线 对称，则
①
②
③
（2）点对称：若函数 关于直线 对称，则
①
②
③
【变式演练】
1．（2022·江西·临川一中高三期中（文））已知定义在R上的奇函数 满足
，且在区间 上是减函数，令 ，则
的大小关系为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为 是定义在R上的奇函数且满足 ，
，所以 的图象关于直线 对称，
在 上是减函数，则在 上是增函数，
又 是奇函数，所以 在 上是增函数，
所以 在 上是增函数， 在 上是减函数，
结合奇函数得 ，所以 ，
， ， ，
所以 ，即 ，
故选：C．
2．（2022·福建省厦门第六中学高三阶段练习）设函数 的定义域为 ， 为偶函
数， 为奇函数，当 时， .若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 为偶函数，则 的图像关于 轴对称，
所以 关于 对称，则 ，
因为 为奇函数，则 的图像关于原点对称，且 ，
所以 关于 对称，则 ，
因为当 时， ，所以 ， ，
因为 ，所以 ，
故 ，
从而当 时， ，
故 .
故选：A.
3．（2022·全国·高一课时练习）已知 是R上的奇函数，且 ，当 ，
，且 时， ，则当 时，不等式 的解集为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由题意， 在 上单调递增，又 是R上的奇函数，
，且 在 上单调递增，
∴
当 时， ，当 时， ．
∴
，
∵
的图象关于直线x＝1对称，
∴
，且 在 上单调递减，
∴
在 上单调递减，且 ．
∴
当 时，不等式 的解集为 .
∴故选：B
题型五：对称性+周期性+奇偶性（知二推三）
【典型例题】
例题1．（2022·北京市第十七中学高一期中）已知 是定义域为 的奇函数，满足
，若 ，则
）
A．0 B．1 C．2 D．2021
【答案】B
【详解】解：因为f（x）是定义域为（-∞，+∞）的奇函数，
所以 ，
又 ，
所以 ，
则 ，
即 ，
所以 ，
则f（x）是以 为周期的周期函数，
因为 ，
所以 ，
则 ，
所以 ，
，故选：B
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为 的函数 存在导函数 ，
且满足 ，则曲线 在点 处的切线方
程可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 的定义域为 ，由 可知， 是偶函数，
由 可知， 周期为4，
因为 ，故 关于 轴对称，
又因为 ，所以 也是 的对称轴，
因为 在 上存在导函数 ，
所以 是 的极值点，
即 ，曲线 在点 处的切线斜率为0，
故切线方程可能为 .
故选：B.
例题3．（多选）（2022·全国·高一课时练习）已知定义在 上的偶函数满足
，且当 时， 是减函数，则下列四个命题中正确的是
（ ）
A．
B．直线 为函数 图象的一条对称轴
C．函数 在区间 上存在2个零点
D．若 在区间 上的根为 ，则【答案】ABD
【详解】令 ，得 ，则 ，又函数 是偶函数，故
，故A正确；
根据A可得 ，所以 ，又 ，所以
，故直线 是函数 图象的一条对称轴，故B正确；
由 的周期为4， ，且当 时， 是减函数，可得函数 在区间
上存在3个零点，故C不正确；易得函数 的图象关于直线 对称，故
，即 ，故D正确．
故选：ABD.
【提分秘籍】
（1）例1中：奇偶性+对称性 周期性
已知 是奇函数，则 ；又 ，则 关于
对称 ，综合考虑
（2）例2中：奇偶性+周期性 对称性
由 和 可知 关于 对称
【变式演练】
1．（2022·浙江·高一期中）己知 是定义在 上的偶函数，且函数 的图像关于
原点对称，若 ，则 的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】C
【详解】解：因为 是定义在 上的偶函数，所以 ，
由函数 的图像关于原点对称，即函数 为奇函数，
所以 ，所以 ，所以 ，即 ，所以 ，
所以 是以 为周期的周期函数，
又 ，所以 ，又 ，所以 ，所以
，
所以 .
故选：C
2．（2022·江西·临川一中高三阶段练习（理））已知 是定义域为 的奇函数，
满足 ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 为定义在 上的奇函数， ，
， ，
， 是周期为 的周期函数，
， ；
又 ， ；
又 ， ，
.
故选：B.
3．（2022·贵州·凯里一中高二期中）已知函数 是 上的偶函数，且 的图象关于
点 对称，当 时， ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．2【答案】C
【详解】因为 是 上的偶函数，所以 ，
又 的图象关于点 对称，则 ，
所以 ，则 ，得 ，
即 ，所以 是周期函数，且周期 ，
由 时， ，则 ， ， ，
，
则 ，
则 .
故选：C
4．（多选）（2022·山东·潍坊七中高三阶段练习）设函数 的定义域为 ，且满足
， ，当 时， ，则下列说法正
确的是（ ）
A． 是偶函数 B． 为奇函数
C．函数 有 个不同的零点 D．
【答案】ABC
【详解】 ， ，且 关于直线 对称；
又 ， ，且 关于 中心对称；
， ，
则 是周期为 的周期函数；
对于A，令 ，则 ，为偶函数，A正确；
对于B，令 ，则
，
为奇函数，B正确；
对于C，作出 和 的图象如下图所示，
当 时， ，又 ，
由图象可知： 与 共有 个不同的交点，
则 有 个不同的零点，C正确；
对于D， ，
，D错误.
故选：ABC.
5．（2023·浙江温州·模拟预测）定义在R上的函数 满足 ，
，若 ，则 __________，
__________．
【答案】
【详解】解：因为 ，所以 ，所以 ，则 ，
所以 是以 为周期的周期函数，
所以 ，又 ，所以 ，
又 ，所以 ，
即 且 ，
由 ，所以 ， ， ，
所以
.
故答案为： ；
题型六：三角函数中的对称性，周期性，奇偶性与单调性问题
【典型例题】
例题1．（2022·河南·濮阳南乐一高高三阶段练习（文））已知点 是函数
图象的一个对称中心，其中 为常数且 ，则以下结论正确的
是（ ）
A．函数 的最小正周期为
B．将函数 的图象向右平移 个单位所得的图象关于 轴对称
C．函数 在 上的最小值为
D．若 ，则【答案】B
【详解】由题意知： ，
∴ ， ，
即： ， ，∴ ， 符合题意，
∴ ，
周期 ，所以A错误；
将 的图象向右平移 个单位所得的函数设为 ，
则： ，
∵ ， ∴ 为偶函数，
∴ 的图象关于 轴对称，所以B正确；
由 ，得： ；当 时，
即， 时， 有最小值，为 ，所以C错误；
设 ， ， ，设 ，
∴当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
即： 时， 单调递减，有 ，则 ；
在 时， 单调递增，有 ，则 ，所以D错误.
故选：B.
例题2．（2022·山西·高二学业考试）将函数 的图象向左平移 个单位，
得到函数 的图象，那么下列说法正确的是（ ）
A．函数 的最小正周期为 B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 为奇函数 D．函数 的图象关于直线 对称
【答案】C
【详解】由题意得： ；
对于A， 的最小正周期 ，A错误；
对于B，当 时， ， 不是 的对称中心，B错误；
对于C， ， 为奇函数，C正确；
对于D，当 时， ， 不是 的对称轴，D错误.
故选：C.
例题3．（多选）（2022·全国·高三专题练习）下列关于函数 的说法正
确的是（ ）
A．在区间 上单调递增 B．最小正周期是
C．图象关于点 成中心对称 D．图象关于直线 对称
【答案】AC【详解】由 得 ，
当 ，单调增区间为 ，所以选项A正确；
因为 ，所以函数的最小正周期是 ，所以选项B错误；
由 得 ，当 时，函数的对称中心为 ，
所以函数的图象关于点 成中心对称，选项C正确；
函数 没有对称轴，所以选项D错误.
故选：AC.
【提分秘籍】
1、三角函数的对称性，周期性，奇偶性，单调性，考查时可能单独
考，也可能以多选的形式综合在一个题目中考查.
2、三角函数的奇偶性
(1) 函 数 是 奇 函 数 ⇔ ( ) ， 是 偶 函 数 ⇔
( )；
(2)函数 是奇函数⇔ ( )，是偶函数⇔
( )；
(3)函数 是奇函数⇔ ( )．
3、三角函数的对称性
(1)函数 的图象的对称轴由 ( )解
得，对称中心的横坐标由 ( )解得；(2)函数 的图象的对称轴由 ( )解得，对
称中心的横坐标由 ( )解得；
(3)函数 的图象的对称中心由 )解得．
【变式演练】
1．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知函数 的图
象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为 ，将 的图象向右平移 个单位长
度得到函数 的图象.若函数 的图象在区间 上是增函数，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由函数 的图象的一条对称轴与其相邻的一个对
称中心的距离为 ，则函数 的周期 ，则 ，则
，
由将 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象，可得
，
由 ， ，函数 的图象在区间 上是增函数，
故 ，解得 ，
由 ，当 时， ，故选：B.
2．（多选）（2022·河南·新密市第一高级中学高一阶段练习）已知函数 的定义域
为 ，函数 的图象关于点 对称，函数 的图象关于直线 对称，
下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【详解】函数 的定义域为 ，由函数 的图象关于点 对称，得
的图象关于点 对称，
则有 ，取 得 ，B正确；
由函数 的图象关于直线 对称，得 ，则有 ，
函数 的图象关于直线 对称，
因此 ，有 ，C正确；
于是得 ，即 ，有 ，取 得
，D正确；
函数 的图象关于点 对称，且关于直线 对称，而 ，A不正
确.
故选：BCD
3．（多选）（2022·福建·厦门外国语学校高三期中）将函数 图像上所
有的点向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小正周期为πB． 图像的一个对称中心为
C． 的单调递增区间为
D． 的图像与函数 的图像重合
【答案】ABD
【详解】由题 .
对于A选项， ，故A正确.
对于B选项，令 ，解得 ，其中 .
得 图像的对称中心为 ，其中 .当 时，得 图像的一个对称中
心为 ，故B正确.
对于选项C，令 ，其中 .
解得 ，其中 ，得 的单调递增区间为 ，其中
，故C错误.
对于D选项，由 ， 有
，故D正确.
故选：ABD
4．（多选）（2022·广东广雅中学高三阶段练习）设 ，则下列说法正确的有（ ）
A． 的最小正周期为 B． 在 上单调递增
C． 的图象关于 轴对称 D． 的图象关于 对称
【答案】AB
【详解】对于A，由周期公式，则 ，故A正确；
对于B，当 时， ，由函数 在 上单调递增，
则 在 上单调递增，故B正确；
对于C，由 ，则 ，由函数 的对称轴公式 ，故C错
误；
对于D，函数 的对称中心纵坐标为1，故D错误
故选：AB
5．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（文））将函数
( )的图象向左平移 个单位长度,得到曲线
.若 关于 轴对称,则 的最小值是______．
【答案】 ##0.5
【详解】设曲线 所对应的函数为 ,则
,
的图像关于 轴对称,
, ,
解得: ,
,
的最小值是 .
故答案为: .
6．（2022·北京海淀·高三期中）若函数 和
的图象的对称中心完全重合，则 __________；
__________．
【答案】 2 －1或1
【详解】由 ，与 的对称中心完全重合，
所以两函数的最小正周期相同，故 ，则 ，令 且 ，故 且 ，则对称中心为 且 ，
所以 ，故 且 ，则
， ，
令 ，此时 ，所以 ，故 ；
令 ，此时 ，所以 ，故 ；
由余弦函数的周期性、对称性知： .
故答案为：2，－1或1
一、单选题
1．（辽宁省辽阳市2022-2023学年高一上学期期中数学试题）已知定义在R上的奇函数
在 上单调递减，且 ，则满足 的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】定义在R上的奇函数 在 上单调递减，故函数在 上单调递减，
且 ，故 ，
函数在 和 上满足 ，在 和 上满足 .
，当 时， ，即 ；当 时， ，即 .
综上所述： .
故选：A
2．（2022·广东·深圳科学高中高一期中）己知函数 图象关于点 成中心对称
图形的充要条件是函数 为奇函数，则函数 图象的对称中心是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：设函数 的对称中心为 ，
则函数 为奇函数，
由 ，
得 ，
整理得 ，
所以 ，解得 ，
所以函数 图象的对称中心是 .
故选：D.
3．（2022·福建·厦门外国语学校高一期中）已知函数 为奇函数，且在区间 上
是增函数，若 ，则 的解集是（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【详解】解：因为函数 为奇函数，且在区间 上是增函数，又 ，
所以 ，
则当 时， ，
当 时， ，
不等式 ，
等价于 或 ，
解得 或 ，
所以 的解集是 .
故选：C.
4．（2022·贵州·高一期中）已知 是定义域为 的奇函数，且 为偶函数，
，则 （ ）
A． B． C．0 D．3
【答案】B
【详解】因为 是定义域为 的奇函数，所以 ，
因为 为偶函数即 关于 轴对称，
所以 的图象关于直线 对称，
所以 ，故 ，
故选：B
5．（2022·福建泉州·高三期中）已知定义在 上的奇函数 满足 ，当
时， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 为奇函数
所以 ，
又 ，
∴ ，
将 替换为 得： ，即 ，
故 ，
所以 的周期 ，
因为 ，所以 ，
则 ，
则
故选：B．
6．（2022·福建·高三阶段练习）已知函数 在 上单调递增，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】当 时， ，
在 上单调递增， ，解得： ，即 ，
， ，
则由 得： ，解得： .
故选：C.
7．（2022·江苏泰州·高三期中）已知函数 （ ， ），直线
和点 分别是 图象相邻的对称轴和对称中心，则下列说法正确的是
（ ）
A．函数 为奇函数
B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 在区间 上为单调函数
D．函数 在区间 上有12个零点
【答案】D
【详解】由题设， ，故 ，所以 ，故 且 ，
所以 ， ，又 ，故 ，
综上， ，
为偶函数，A错误；
，图象不关于 对称，B错误；
在 上， ，根据正弦函数的性质 在该区间上不单调，C错误；
在 上 ， 在区间内有6个周期长度，每个周期有2个零点，所以
该区间内有12个零点，D正确.
故选：D
8．（2022·四川·成都七中模拟预测（文））已知定义在 上的奇函数 满足
， 且当 时， ， 则下列结论正确个数为
（ ）
① 的一个周期为2 ②
③ ④ 图象关于直线 对称
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【详解】因为当 时， ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以2不是 的周期，①错，因为 ，所以函数 图象不关于直线 对称，
④错，
因为 ，所以 ，即 ，
因为函数 的定义域为 ，且 为奇函数，所以 ，所以
，所以 ，②对，
因为 ，所以 ，又 ，所以 ，
因为 在 上的单调递增，又 ，所以 ，
因为 在 上单调递增，又 ，所以 ，所以 ，
因为当 时， ，函数 在 上单调递增，所以
，又 ，所以
，③错，
所以正确的命题只有②，
故选：A.
二、多选题
9．（2022·黑龙江·密山市第四中学高三阶段练习）已知函数 ，下列说法
正确的是（ ）
A．最小正周期为 B．图象关于点 对称
C．图象关于直线 对称 D．在区间 的值域为
【答案】CD【详解】因为 ，所以最小正周期为 ，故A选项错误；
令 ，解得： ，令 ，
所以图象不关于点 对称，故选项B错误；
令 ，解得： ，所以图象关于直线 对称，故选
项C正确；
当 时， ，所以 ，故选项D正确，
故选：CD.
10．（2022·黑龙江齐齐哈尔·高三期中）已知 ，则下列说法错误的是
（ ）
A．函数 的最小正周期为
B．函数 为奇函数
C．函数 在 上的值域为
D．函数 在区间 上的零点个数为8
【答案】ABC
【详解】
，
对A选项，其最小正周期 ，故A错误，对B选项，令 ， ，故其不是奇
函数，故B错误，
对C选项， ，则 ，
故 ，故C错误，
对D选项， ，显然其在 零点为
，共8个零点，故D正确.
故选：ABC.
11．（2022·四川·成都七中高一期中）已知函数 定义域为 ，且 ，
， ，则（ ）
A． 的图象关于直线x＝2对称 B．
C． 的图象关于点 中心对称 D． 为偶函数
【答案】BCD
【详解】对于A，假设 的图象关于直线 对称，则 ，
因为 ，故 ，即2为函数的一个周期，
则 ，由 ， 可得 ，矛盾，
故 的图象不关于直线 对称，A错误；
对于B, 函数 定义域为 ，且 ，则 ，
由 得 ，则 ，
，故 ，故B正确；对于C，由B的分析可知， ，即 ，
所以 ，
即 ，故 的图象关于点 中心对称，C正确；
对于D，由 可得 ，
由 得 ，
故 ，即 为偶函数，D正确.
故选：BCD.
12．（2022·辽宁·东北育才学校高三阶段练习）已知定义R上的函数 满足
，又 的图象关于点 对称，且 ，则（ ）
A．函数 的周期为12 B．
C． 关于点 对称 D． 关于点 对称
【答案】ABD
【详解】由 ，令 ，得 ，
所以 ， 关于直线 对称.
由于 的图象关于点 对称，所以 的图象关于 对称，所以 是奇
函数.
所以 ，
所以 的周期为 ，A选项正确.
，B选项正确.
结合上述分析可知， 关于点 （ ）对称，所以 关于点 （ ）对称，
所以 关于点 （ ）对称，
所以 关于点 （ ）对称，
令 ，得 关于点 对称，D选项正确，C选项错误.
故选：ABD
三、填空题
13．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知 是定义在R上的奇函数，且函数图象关
于直线 对称，对 ， ，则以下结论：① 为奇函数；②
为偶函数；③ ；④在区间 上， 为增函数．其中正确的序号
是______．
【答案】①②
【详解】对于①，因为 是定义在R上的奇函数，且函数图象关于直线 对称，所
以 ，因为 ，所以 为奇函数，所
以 为奇函数，所以①正确，
对于②，因为 的图象关于直线 对称，所以 ，所以 为
偶函数，所以②正确，
对于③，因为 是定义在R上的奇函数，所以 ，由 ，
得 ，所以③错误，
对于④，对于函数 满足条件，而此函数在 上不是增函数，所以④错
误，
故答案为：①②.
14．（2022·四川省南部中学高三阶段练习（理））已知 是定义在 上的奇函数，为偶函数，且当 时， ，则 __________.
【答案】
【详解】解：因为 是定义在 上的奇函数，故可得 ，
又 为偶函数，所以有： ，
所以，有 ，即
所以 ，故 以8为周期，
故 .
因为当 时， ，所以 .
故答案为： .
15．（2022·贵州遵义·高一期末）对 ，函数 满足 ，
.当 时， .设 ， ， ，
则 ， ， 的大小关系为____________.
【答案】 ##
【详解】解：对 ，函数 满足 ，则 关于直线 对称，
所以 ①；
函数 满足 ，则 关于点 对称，所以 ②；
由①②得： ，则 是周期函数，周期为
所以
又 时， ，即 在 上单调递减所以 ，即 .
故答案为： 或 .
16．（2022·北京·101中学高三阶段练习）已知函数 为奇函数，且
，当 时， ，给出下列四个结论：
① 图像关于 对称
② 图像关于直线 对称
③
④ 在区间 单调递减
其中所有正确结论的序号是_______
【答案】①②④
【详解】解：函数 为奇函数得：
所以 图像关于 对称；
因为 ，
所以 ，
所以根据周期性得 图像关于 对称，①正确，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，即 图像关于直线 对称，②正确；
所以 ，所以③不正确；
因为当 时， ，为单调递增函数，
因为 图像关于直线 对称， 在 上单调递减，
所以由周期性得 在区间 单调性与 上的单调性相同，所以 在区间 单调递减，④正确.
所以，正确题目的顺序号为①②④
故答案为：①②④
