文档内容
专题 3-1 三角函数求 ω 归类
目录
讲高考................................................................................................................................................................................1
题型全归纳.......................................................................................................................................................................3
【题型一】只有单调性求ω.....................................................................................................................................3
【题型二】对称轴求ω...............................................................................................................................................6
【题型三】对称中心求ω..........................................................................................................................................8
【题型四】极（最）值点“恰有”型求ω.......................................................................................................10
【题型五】极（最）值点“没有”型求ω.......................................................................................................12
【题型七】极（最）值点“至少、至多”型求ω.........................................................................................16
【题型八】最值与恒成立型求ω..........................................................................................................................18
【题型九】对称轴分界综合型求ω（难点）..................................................................................................20
【题型十】多结果分析型求ω..............................................................................................................................24
【题型十一】求ψ型................................................................................................................................................28
专题训练.........................................................................................................................................................................30
讲高考
1．（2022·全国·统考高考真题）设函数 在区间 恰有三个极值点、
两个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 的取值范围得到 的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，
解得即可．
【详解】解：依题意可得 ，因为 ，所以 ，
要使函数在区间 恰有三个极值点、两个零点，又 ， 的图象如下所
示：
则 ，解得 ，即 ．
故选：C．
2．（2022·全国·统考高考真题）将函数 的图像向左平移 个单
位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则 的最小值是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由平移求出曲线 的解析式，再结合对称性得 ，即可求
出 的最小值.
【详解】由题意知：曲线 为 ，又 关于 轴对
称，则 ，
解得 ，又 ，故当 时， 的最小值为 .
故选：C.
3．（全国·高考真题）若将函数 的图像向右平移 个单位长度后，
与函数 的图像重合，则 的最小值为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】函数 的图像向右平移 个单位得
，所以
，所以 得最小值为 ．
4．（天津·高考真题）将函数 （其中 >0）的图像向右平移 个单位长度，
所得图像经过点 ，则 的最小值是
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【详解】试题分析：函数 的图象向右平移 个单位长度，所得函数的
解析式为 ，因为它的图象经过点 ，所以
，即 ，又因为 ，所以 的最小值是 ，故
选D.
考点：1.图象平移变换；2.正弦函数的图象与性质.
5．（2016·全国·高考真题）已知函数 为 的零点，
为 图象的对称轴，且 在 单调，则 的最大值为A．11 B．9
C．7 D．5
【答案】B
【分析】根据已知可得 为正奇数，且 ≤12，结合x 为f（x）的零点，x 为y＝f
ω ω
（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（ ， ）上单调，可得
的最大值．
ω【详解】∵x 为f（x）的零点，x 为y＝f（x）图象的对称轴，
∴ ，即 ，（n N）即 ＝2n+1，（n N）即 为正奇数，
∈ ω ∈ ω
∵f（x）在（ ， ）上单调，则 ，即T ，解得： ≤12，
ω
当 ＝11时， ＝k ，k Z，∵| | ，∴ ，
ω φ π ∈ φ φ
此时f（x）在（ ， ）不单调，不满足题意；
当 ＝9时， ＝k ，k Z，∵| | ，∴ ，
ω φ π ∈ φ φ
此时f（x）在（ ， ）单调，满足题意；故 的最大值为9，故选B．
【点睛】本题将三角函数的单调性与对称性结合在ω一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力
的好题.注意本题求解中用到的两个结论：① 的单调区间
长度是最小正周期的一半;②若 的图像关于直线 对
称,则 或 .
题型全归纳
【题型一】只有单调性求ω
【讲题型】
例题1.已知函数 （ ， ）在 上单
调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正弦和角与差角公式化简函数式，结合正弦函数的单调递增区间求得 的
单调增区间，由在 上单调递增即可确定 的取值范围.
【详解】根据正弦和角与差角公式化简函数式可得，（ ， ）.
根据正弦函数单调递增区间可知 ，（ ）上单调递增，
化简得 ， ；∴函数 的单调增区间为
，（ ）.
∵在 上单调递减，可得 ，解得 ，（ ）.又 ，
当 时，可得 ；当 时，可得 .故选：D.
例题2. ，函数 在 上单调递增，则 的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据诱导公式和二倍角的正弦公式可得 ，再求出 的增区间
， ，，根据 列式可解得结果.
【详解】由题得 ，由 ， ，
得 ， ，所以 的单调递增区间为
， ，
因为函数 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，又 ＞0，所以 .故选：B.
【讲技巧】
函数 的单调性性质：
由 求增区间；由 求
减区间.
【练题型】1.已知函数 ，若 在 上单调递增，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简函数 ，根据 在 上单调递增，
建立不等关系，解出 的取值范围．
【详解】因为 ，由题意得
解得 ，又 ，所以 故选：D
2.设 ，若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是________
【答案】
【分析】
根据正弦函数的单调性，求出函数 的单增区间，由
（ ），可得： ，所以 ，整理即可得解.
【详解】
根据正弦函数的单调性，可得： （ ），
所以： ，解得： ，整理可得： ，当
有解，解得 .故答案为： .
[ π π]
3.已知函数f (x)=2sinωx（ω>0)在区间 − , 上是增函数,且在区间[0,π]上存在唯一
2 3
的x 使得f (x )=2,则ω的取值不可能为（ ）
0 0
1 2 4
A． B． C． D．1
3 3 5
【答案】A
【分析】
[ π π] π ( π) T
由函数f (x)是奇函数，可知f (x)在 − , 上是增函数，从而得到 − − ≤ ，即
2 2 2 2 2ω≤1，又因为函数f (x)在区间[0,π]上存在唯一的x 使得f (x )=2，可得到
0 0
π 1 1
ωx =2kπ+ (k∈Z)，结合ωx ∈[0,πω]，可得到0≤2k+ ≤ω，从而得到 ≤ω≤1，
0 2 0 2 2
即可选出答案。
【详解】
[ π π]
函数f (x)=2sinωx(ω>0)在区间 − , 上是增函数,又因为f (x)=2sinωx是R上奇函
2 3
[ π π] π ( π) T π
数，根据对称性可知函数f (x)在 − , 上是增函数,则 − − ≤ = ，解得ω≤1，
2 2 2 2 2 ω
因为x ∈[0,π]，所以ωx ∈[0,πω]，
0 0
因为函数f (x)在区间[0,π]上存在唯一的x 使得f (x )=2,
0 0
π π
所以f (x )=2sinωx =2，则ωx =2kπ+ (k∈Z)，则0≤2kπ+ ≤πω，解得
0 0 0 2 2
1 1
0≤2k+ ≤ω，只有当k=0时，满足题意，故 ≤ω≤1，所以只有选项A不可能取到。
2 2
【题型二】对称轴求ω
【讲题型】
例题1.已知向量 ，函数 ，且 ，若 的
任何一条对称轴与 轴交点的横坐标都不属于区间 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
, ,由 ，得 ， ,由
对称轴 ,假设对称轴在区间 内，可知
当k=1,2，3时， ，现不属于区间
，所以上面的并集在全集 中做补集，得 ，选B.
例题2.设 为正实数，若存在a、b， ，使得 ，则 的取值
范围是_______
【答案】
【分析】
由 知 ， ， ，故已知条件等价于：
存在整数 ，使得 ①，对 进行分类讨论求出 的取值范围.
【详解】
由 知 ， ，
，故已知条件等价于：存在整数 ，使得
①
当 时，区间 的长度不小于 ，故必存在 满足式①；
当 时，注意到， .故只要考虑如下几种情况：
(1) ，解得 ；
(2) ，解得 .
综上， .故答案为：
【讲技巧】
函数 对称轴的性质：
由 求对称轴.
【练题型】
1.若函数 关于 对称，则常数 的最大负值为________．
【答案】
【分析】
根据函数的对称性，利用 ，建立方程进行求解即可．
【详解】若 关于 对称，则 ，即 ，即
，
则 ，则 ， ，当 时， ，故答案为：
2.已知函数 ， ，若函数 在区间 内单调递增，
且函数 的图象关于直线 对称，则下列命题正确的是
A． B．
C． D．
【解答】解： 函数 ， ，
若函数 在区间 内单调递增， ，且 ，
求得 ．
再根据函数 的图象关于直线 对称， ， ， ．
，故排除 ；
，故排除 ；
，
故 正确；
由于 的最小正周期为 ，故 不是 的周期．故 错
误，
故选： ．3..已知函数 图象的一条对称轴为直线 ，则 的最小值为
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据对称性可得 ，从而可得结果.
【详解】因为 ，所以 ，解得
，又 ，所以当 时， 取得最小值3.故选：B
【题型三】对称中心求ω
【讲题型】
例题1.设函数 的图象关于点 中心对称，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用 为对称中心，列出方程，求出 ， ，求出 的最
小值.
【详解】由题意得： ， ，解得： ， ，所以
， ，
当 时， 取得最小值为 .故选：D
例题2.函数 的一个对称
中心为 ，且 的一条对称轴为 ，当 取得最小值时，
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题得
，所以 ，
两式相减得 . 此时 .所以
，故选C.【讲技巧】
函数 的对称中心性质：
由 求对称中心.
【练题型】
1.已知函数 ，且 ，则
实数 的值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
分析：首先根据题的条件，确定出函数图像的对称中心的坐标和对称轴方程，之后借着对
称中心到对称轴的距离与函数周期的关系，得到 ，再结合 求得
，从而求得结果.
详解：根据题意可知，点 是图像的一个对称点，直线 是图像的一条对称轴，
所以会有 ，从而可以求得 ，所以有
，从而得 ，从而可以求得可以是3，故选B.
2.已知函数 ，点 是曲线 相邻的两个对称中心，点
是 的一个最值点，若 的面积为1，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【解析】利用正弦函数性质及 的面积，可得周期，然后求得 ．
【详解】由题意 ，所以 ，即周期为 ，
所以 ．
故选：D．
3.已知函数 是 上的偶函数，其图象关于点 对
称，且在区间 上是单调函数，则 的值是
A． B． C． 或 D．无法确定
【答案】C
【分析】根据 为偶函数及 可得 ，再由对称中心 可得
，结合函数的单调性可得 的值.
【详解】由 是偶函数，得 ，即 ，
所以 对任意 都成立，且 ，所以得 ．依题设 ，所以解得 ，故 .
因为 的图象关于点 对称， ， .
所以 .
又 在区间 上是单调函数，所以 ，故 .
故 或 .故选：C．
【题型四】极（最）值点“恰有”型求ω
【讲题型】
例题1.已知函数f(x)=2sin(ωx+ )(ω>0)的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，则ω的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据区间[0，1]，求出ωx+ 的范围，由于在区间[0，1]上恰有3个最高点，建立不等关系，
求解即可．
【详解】
函数f（x）＝2sin（ωx+ ）（ω＞0），∵x∈[0，1]上，∴ωx+ ∈[ ，ω+ ]，
图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，
∴ ，解得： ．故选：C．
例题2..已知函数 的图象在区间 上恰有 个纵坐标是最高点，
则 的取值范围为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据区间[0，1]上，求出 的范围，由于在区间[0，1]上恰有1个最高点，建立不等式
关系，求解即可．
【详解】函数 ，∵x∈[0,1]上， ，
图像在区间 上恰有1个最高点， ，解得： .故选：C.
【讲技巧】涉及到对称轴对称中心以及单调性多个同时出现时，
，不要把所有的都写成一个k,因为需
要多个式子，而这些式子的不一定一致， 即它们本身不一定相等.实际上建议换成不同
的字母教合适。
【练题型】
1.已知函数 ， 的图像在区间 上恰有三个最低点，则 的取
值范围为________．
【答案】
【分析】
直接利用正弦型函数的性质的应用和函数的单调递区间的应用求出结果．
解： ， ， ．根据正弦型函数图象的特点知， 轴左
侧有1个或2个最低点．
①若函数图象在 轴左侧仅有1个最低点，则 ，解得 ，
， ，此时在 轴左侧至少有2个最低点． 函数图象在 轴左侧仅有1
个最低点不符合题意；
②若函数图象在 轴左侧有2个最低点，则 ，解得 ，又
，则 ，
故 ， 时， 在 ， 恰有3个最低点．
综上所述， ．故答案为： ．
2.已知函数 ，圆 的方程为 ，若在圆 内部恰
好包含了函数 的三个极值点，则 的取值范围是______.
【答案】
【分析】
易得直线 与圆 交于 ， 两点，其中 ， ，，则问题转化为：求
恰有三个极值点落在区间 内的 的范围. 换元之后数形结合可
求解.
【详解】
依题意可知， 的最值为 ，如图作出直线 ，与圆 交于 ，
两点，由圆 的半径为5易得 ， ，要使圆 内部恰好包含了函数 的三个
极值点，则需 恰有三个极值点落在区间 内，令 ，则
，故只需考虑 在 内恰有三个极值点，设这三个极值点分别为 ， ， ， ，则有
得 又
，因为 .当 时无解；当 时， ；当 时，
；当 时，由于 恒成立，因此无解.
综上可知， .
故答案为： .
3.已知 ，函数 在区间 上恰有
个极值点，则正实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先利用向量数量积和三角恒等变换求出 ，函数在区间
上恰有 个极值点即为三个最值点， 解出， ，
再建立不等式求出 的范围，进而求得 的范围.
【详解】解：
令 ，解得对称轴 ， ，
又函数 在区间 恰有 个极值点，只需
解得 ．故选： ．【题型五】极（最）值点“没有”型求ω
【讲题型】
例题1..已知函数 ，若 在区间 内没
有极值点，则 的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
由题设得 ，根据区间内没有极值点，应用整体代入法列不等式得
或 且 ，即可求 的范围.
【详解】
，
∴ 上 ， 没有极值点，
∴ 或 ，
∴ 或 ，而 且 得： ，
∴ ， 或 .故答案为：
例题2..已知函数 的图象过点 ，且在区间
内不存在最值，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先将点 代入 ，求得 ，由 在区间 内不存在最值，得
是 单调区间的真子集，利用数轴法得到不等式组，解之即可得到 的取值范围.
【详解】因为函数 过点 ，
所以 ，即 ，故 ，
因为 ，所以 ，故 ，
由 得 ，所以 的单调递增区间为
，同理： 的单调递增区间为 ，
因为 在区间 内不存在最值，所以 是 单调区间的真子集，
当 时，有 ，解得 ，即
，
又因为 ， ，显然当 时，不等式成立，且 ；
当 时，有 ，解得 ，即
，
又因为 ， ，显然当 时，不等式成立，且 ；
综上： 或 ，即 故选：D.
【讲技巧】
涉及到三角角函数图像性质的运用，在这里需注意：
两对称轴之间的距离为半个周期；
相邻对称轴心之间的距离为半个周期；
相邻对称轴和对称中心之间的距离为 个周期．
【练题型】
1.已知不等式 的解集为M，且函数 在
上无最值，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先通过解不等式求出 ,再假设在 上有最值，求出 的取值范围即得解.
【详解】解：由题得 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 或 .所以 , .
假设 在 上有最值，则 ，
所以 ，设 所以
所以 或 .
解之得 或 ，
令 得 或 .
所以 在 上无最值，则 的取值范围是 .
故选：A
2.已知 ，函数 在区间 内没有最值，则 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据正弦函数的最值可得，当 ， 时， 取得最值，所以问题转
化为对任意 ，都有 ，而当 时，存在 使得
不成立，所以 ，排除选项 ，当 时，存在 使得
，排除选项 ,可得选项 正确.
【详解】由 ， ，得 ， ，
因为函数 在区间 内没有最值，
所以对任意 ，都有 ，
当 ， 时， ，故选项 不正确；
当 时，存在 使得 ，故选 不正确.
故选：C.
3.已知函数 ，若 在区间 内无最值，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出f（x）的对称轴，根据条件得出区间（ ﹣ ，2 ﹣ ）内不存在整数，再
ω ω根据 ≥ ，可得（ ﹣ ，2 ﹣ ）为（0，1）或（﹣1，0）的子集，从而得出
的范围 π ω ω ω
【详解】 , 若 在区间 内无最值，则在区间 内无对
称轴，令 ＝ ,可得 ＝k ，∴函数对称轴为x＝ ，k Z．令 ＜
π ∈ π
＜2 ，解得 ﹣ ＜k＜2 ﹣ ，
π ω ω
∵函数f（x）在区间（ ，2 ）内无对称轴，∴区间（ ﹣ ，2 ﹣ ）上没有整数，
由f（x）在（ ，2 ）内π无对π称轴可得 ≥ ，0＜ω≤1． ω
π π π ω
∴（ ﹣ ，2 ﹣ ） （﹣1，0）或（ ﹣ ，2 ﹣ ） （0，1），
ω ω ⊆ ω ω ⊆
∴ 或 解得0＜ ≤ 或 ≤ ≤ ．故选B．
ω ω
【题型七】极（最）值点“至少、至多”型求ω
【讲题型】
例题1.函数 在区间 ， 上至少出现10次最大值，则 的最小值是
A． B． C． D．
【解答】解：函数 在区间 ， 上至少出现10次最大值，
，即 ，求得 ，
故 的最小值为 ，
故选： ．
例题2.已知函数 在 上仅有 个最值，且为最大值，则
实数 的值不可能为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】化简 ，根据 在 上仅有 个最值，且为最大值，
得到 ，解得 或 ，
对比选项得到答案.
【详解】 ，因为 在 上仅有 个最值，且为最大值，故 ，
解得 ，故 ，或
故选：C．
【讲技巧】
求待定系数 和 ，常用如下两种方法：
(1)由 即可求出 ；确定 时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的
“零点”横坐标 ，则令 (或 )，即可求出 .
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合
图形解出 和 ，若对 ， 的符号或对 的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符
合要求.
【练题型】
1.已知函数 在 上仅有一个最值，且为最大值，则实数
的值不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正弦函数的图象，可得 ，
，求得 的范围，从而得出结论.
【详解】因为函数 ，在 上仅有一个最值，且为最大值，
， 令 ，求得 ，
对比选项可知，即实数 的值不可能为 ，故选：C.
2.若函数 在区间 内有最值，则 的取值范围为_______．
【答案】
【分析】当函数取得最值时有 ，由此求得 的值，根据 列不等式
组，解不等式组求得 的取值范围（含有 ），对 赋值求得 的具体范围.
【详解】由于函数 取最值时， ， ，即
，又因为在区间 内有最值.所以 时， 有解，所以 ，即 ，由 得 ，当
时， ，当 时，又 ， ，所以 的范围为 .
3.已知 ，函数 在 上存在最值，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据 的最值点为 ，进而根据不等式得到
，由 的取值范围即可求解.
【详解】当 取最值时， ．即 ，由题知
，故 ．
即 ．因为 时， ； 时， ；
显然当 时， ，此时 在 上必有最值点．
综上，所求 ．故选:D．
【题型八】最值与恒成立型求ω
【讲题型】
例题1.已知函数 ，若至少存在两个不相等的实数 ，
使得 ，则实数 的取值范围是________．
【答案】
【分析】当 时，易知必满足题意；当 时，根据 可得 ，
由最大值点的个数可构造不等式组，结合 确定具体范围.
【详解】 至少存在两个不相等的实数 ，使得 ，
当 ，即 时，必存在两个不相等的实数 满足题意；
当 ，即 时， ，， ；
当 时，解集为 ，不合题意；令 ，则 ；令 ，则 ；
综上所述：实数 的取值范围为 .
故答案为： .
例题2.已知定义在 上的函数 （ ）的最大值为 ，则正
实数 的取值个数最多为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】
换元，令 ，讨论 与 的大小关系，由单调性即可
求出函数 的最大值，再根据函数零点的判断方法，即可判断出正实数 的取值个数．
【详解】
令 ，
①当 时，即 ，根据正弦函数的单调性可知， ，解得 ；
②当 时，即 ，根据正弦函数的单调性可知， 在
上单调递增，所以 ．
设 ， ，
，因为 ， 在 上递减，
所以 在 上递减，存在 ，使得 ，因此 在 上递增，
在 上递减，而 ， ， ，由零点存
在性定理可知，存在唯一的 ，使得 ，即说明
只有一个实根，综上可知，正实数 的取值个数最多为2.
故选：C．
【讲技巧】
函数 的图象求解析式.
【练题型】
1.已知定义在 上的函数 的最大值为 ，则正实数的取值个
数最多为 2 ．
【解答】解： 的最大值为 ， ，即 ， ，
，
当 时，则 ，设 ，
在 上单调递增，且 ， ，
由函数零点存在定理可得，存在唯一实数使 ，
当 ，即 ， ，满足题意，综上所述，正实数的取
值个数最多为2个，故答案为2．
2.已知 ，函数 ，若对任意给定的 ，总存在
，使得 ，则 的最小值为
A． B． C．5 D．6
【答案】D
【详解】分析：先化简函数的解析式得 ，再解方程
f(x)=0得到 ，再分析得到 ，再讨论a=0的情况得到w的范围，再
综合即得w的最小值.
详解：当a≠0时， ，
由f(x)=0得 ，
因为
所以 ，
根据三角函数的图像得只要coswx=1满足条件即可，
这时 ，所以
当a=0时， ，令f(x)=0，所以coswx=0，须满足
综合得 故答案为D.
3.已知函数 ，若有且仅有两个不同的实数 ， ，使
得 则实数 的值不可能为A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用辅助角公式化简 ，由 ，可得 ，
根据在 上有且仅有两个最大值，可求解实数 的范围，从而可得结果．
【详解】函数 ；由 ，可得
，
因为有且仅有两个不同的实数 ， ，使得 ．所以在 上有且
仅有两个最大值，因为 ， ，则 ；所以实数
的值不可能为 ，故选D．
【题型九】对称轴分界综合型求ω（难点）
【讲题型】
例题1.已知函数 ，其中 ， ， 为 的零点，且
恒成立， 在区间 上有最小值无最大值，则 的最大值是
_______
【答案】15
【分析】
由题意可得 是y＝f（x）图像的对称轴，而 为f（x）的零点，从而可得 •
，n∈Z，由 在区间 上有最小值无最大值，可得周期T≥（ ）
，从而可求得ω≤16，然后对ω＝15进行检验即可
【详解】
由题意知函数 为y＝f（x）图象的对称轴，
为f（x）的零点，∴ • ，n∈Z，∴ω＝2n+1．
∵f（x）在区间 上有最小值无最大值，
∴周期T≥（ ） ，即 ，∴ω≤16．
∴要求 的最大值，结合选项，先检验ω＝15，
当ω＝15时，由题意可得 15+φ＝kπ，φ ，函数为y＝f（x）＝sin（15x ），
在区间 上，15x ∈[ ， ），此时f（x）在 时取得最小值，
∴ω=15满足题意．则ω的最大值为15.故答案为：15.
例题2.已知函数 ， 为 图象的一个对称中心，
为 图象的一条对称轴，且 在 上单调，则符合条件的 值之和为
________.
【答案】
【分析】
先由对称中心和对称轴求出 的所有值，再结合 在 上单调，确定 的范围，
从而求出 的可能值，逐个验证是否满足条件，即可得出结论.
【详解】由题意可得 ， ，即 ， ，所以
， ，
又因为 在 上单调，所以 ，即 ，令
， ，所以当 时， ，因为 为 图象的一条
对称轴，所以 ， ，即 ， ，又因为 ，所
以 ，此时 ，易知 在 上单调递减，符合条件；
当 时， ，因为 为 图象的一条对称轴，所以 ，
，即 ， ，
又因为 ，所以 ，此时 ，易知 在 单调递增，
符合条件；
当 时， ，因为 为 图象的一条对称轴，所以 ，
，即 ， ，
又因为 ，所以 ，此时 ，易知 在 上单调递
减，符合条件.
综上，符合条件的 值之和为 .故答案为: .
【练题型】
1.已知函数 恒成立，且 在区
间 上单调，则 的最大值为______.
【答案】3
【分析】先根据 ，得到 是函数 的对称轴，进而可以求出 ，进而
得到 为奇数；再根据 在区间 上单调，所以， ，得到
，然后利用 ，又 为奇数，得到 ，最后分别代入验算即可求
得结果
【详解】
由已知得， 是函数 的对称轴，所以， ，得 ，所以，
， ， 为奇数；
又因为 在区间 上单调，所以， ，所以， ，所以，
，又 为奇数，所以， ；
当 时，利用 ，可得 ，故 ， 在 上
不单掉，不符题意；
当 时，利用 ，可得 ，故 ， 在
上不单掉，不符题意；
当 时，利用 ，可得 ，故 ，满足题意；
故 的最大值为3故答案为：3
2.已知函数 ， ，若 ，对任意
恒有 ，在区间 上有且只有一个 使 ，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据 的零点和最值点列方程组，求得 的表达式（用 表示），根据 在
上有且只有一个最大值，求得 的取值范围，求得对应 的取值范围，由 为整
数对 的取值进行验证，由此求得 的最大值.
【详解】
由题意知 ，则 其中 ，
．又 在 上有且只有一个最大值，所以 ，得 ，
即 ，所以 ，又 ，因此 ．
①当 时， ，此时取 可使 成立，当
时， ，所以当 或 时，
都成立，舍去；
②当 时， ，此时取 可使 成立，当
时， ，所以当 或 时， 都成立，
舍去；
③当 时， ，此时取 可使 成立，当
时， ，所以当 时， 成
立；
综上所得 的最大值为 ．故选:C
3.已知函数 ， ， ， 是函数的一个零点，且
是其图象的一条对称轴．若 是 的一个单调区间，则 的最大值为
A．18 B．17 C．15 D．13
【解答】解：由题意，得 ， ．
又 ， ．
是 的一个单调区间， ，即 ．
， ，即 ．
①当 ，即 时， ， ， ， ，， ，此时 在 上不单调， 不符合题意；
②当 ，即 时， ， ， ， ，
， ，此时 在 上不单调， 不符合题意；
③当 ，即 时， ， ， ， ．
， ，此时 在 上单调递增， 符合题意．
故选： ．
【题型十】多结果分析型求ω
【讲题型】
例题1.已知 ，若存在 使得集合 中恰有3个元素，则 的
取值不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用赋值法逐项写出一个周期中的元素，再结合三角函数诱导公式判断是否存在 符合题
意即可.
【详解】
解：对A，当 ， ，函数的周期为
在一个周期内，对 赋值
当 时， ；当 时， ；
当 时， ；当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
令 时，
所以存在 使得 时的 值等于 时的 值， 时的 值等于 时的 值，
时的 值等于 时的 值.
但是当 等于 、 、 、 时，不存在 使得这个 值中的任何两个相等所以当 时，集合 中至少有四个元素，不符合题意，故A错误；
对B，当 ， ，函数的周期为
在一个周期内，对 赋值
当 时， ；当 时， ；
当 时， ；当 时， ；
当 时， ；
令 ，
所以当 时，符合题意，故B正确；
对C，当 ， ，函数的周期为
在一个周期内，对 赋值
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
令 ，则 ， ，
所以当 时，符合题意，故C正确；
对D，当 ， ，函数的周期为
在一个周期内，对 赋值
当 时， ；当 时， ；
当 时， ；
令 ， ， ，
所以当 时，符合题意，故D正确.故选：A.
例题2.函数 ，已知 为 图象的一个对称中心，
直线 为 图象的一条对称轴，且 在 上单调递减．记满足条件的
所有 的值的和为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由一条对称轴和一个对称中心可以得到 或
，由 在 上单调递减可以得到 ，算出
的大致范围，验证即可.
【详解】由题意知： 或 ∴ 或
∴ 或 ∵ 在 上单调递减，∴
∴
①当 时，取 知
此时 ，当 时，
满足 在 上单调递减，∴ 符合
取 时， ，此时 ，当 时， 满
足 在 上单调递减，∴ 符合
当 时， ，舍去，当 时， 也舍去
②当 时，取 知 此时 ，当 时，
，此时 在 上单调递增，舍去
当 时， ，舍去，当 时， 也舍去综上： 或2， .故选：A.
【讲技巧】
本题一共有三个变量： ， ， .属于多变量题目，对于该题，要先确定一个变量，再
对第二个变量赋值，然后再对第三个变量赋值，以此分类讨论即可.
【练题型】
1.已知点 ，若三个点中有且仅有两个点在函数 的
图象上，则正数 的最小值为__________.
【答案】4
【分析】
由条件利用正弦函数的图象特征，进行分类讨论，求得每种情况下正数 的最小值，再进
行比较从而得出结论．
【详解】
① 若只有 两点在函数 的图象上，
则有 ， ， ，
则 ，即 ，求得 无
解．
②若只有点 在函数 的图象上，
则有 ， ， ，故有
，
即 ，求得 的最小值为4．
③若只有点 在函数 的图象上，
则有 ， ， ，故有，
即 ，求得 的最小正值为10，
综上可得， 的最小正值为4，故答案为：4．
2.已知函数 ，曲线 与直线 相交，若存在相邻两个
交点间的距离为 ，则 的所有可能值为__________．
【答案】2或10
【分析】
令 ，解得 或 ，
根据存在相邻两个交点间的距离为 ，得到 或 ，即可求解，
得到答案.
【详解】
由题意，函数 ，曲线 与直线 相交，
令 ，即 ，
解得 或 ，
由题意存在相邻两个交点间的距离为 ，结合正弦函数的图象与性质，
可得 ，令 ，可得 ，解得 .
或 ，令 ，可得 ，解得 .
故答案为： 或 .
3.已知函数 满足 ， ，且 在区间 上
单调，则满足条件的 个数为
A．7 B．8 C．9 D．10
【解答】解：设函数的最小正周期为 ， 由于函数 满足
， ，
故 ，解得 ，所以 ，由于函数 在区
间 上单调，
故 ，故 ， ，即 ，解得 ，由于 ，
所以 取0，1，2，3，4，5，6，7，8．故 的取值为9个；故选： ．【题型十一】求ψ型
【讲题型】
例题1.把函数 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象.
若函数 在 上的值域是 ，则 ______.
【答案】
【解析】根据平移关系求出 ，结合函数图象求解.
【详解】由题知 ，
作出函数大致图象
函数 在 上先增后减，且 ，
若函数 在 上的值域是 ，
必 ，结合图象：则 ， .故答案为：
【练题型】
1.已知函数 ， ，若 的值域为 ，则 的
取值范围是__________.
【答案】
【解析】设 ，将原函数转化为二次函数的最值问题求解即可.
【详解】设 ，则 ，
则 .当 时，则 ，得 或 ， ；
当 时，则 ，得 或 ， ；
又 ，若 的值域为 ，
则 的取值范围是 .
故答案为： .
2..函数 在区间 上的最大值为 ，则 的值是_____________.
【答案】
【分析】利用同角三角函数平方关系，易将函数化为二次型的函数，结合余弦函数的性质，
及函数 在 上的最大值为1，易求出 的值．
【详解】 函数
又 函数 在 上的最大值为1， ≤0，又 ,
且 在 上单调递增，所以 即 ．故答案为：
一、单选题
1．将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图
象，若 在 上单调递减，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题得， ， 在 上单调递减，得
即可解决.
【详解】由题知，
将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到函数
的图象，
因为 ，
所以 ，因为 在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，
所以 的最大值为1.
故选：D
2．已知函数 图象的一条对称轴为直线 ，则 的最小值
为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据对称性可得 ，从而可得结果.
【详解】因为 ，所以 ，解得
，又 ，所以当 时， 取得最小值3.
故选：B
3．设函数 的图象关于点 中心对称，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用 为对称中心，列出方程，求出 ， ，求出 的最
小值.
【详解】由题意得： ， ，
解得： ， ，
所以 ， ，
当 时， 取得最小值为 .
故选：D
4．设函数 ，已知 在 上有且仅有3个极值点，
则 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化简得 ， 在 上有且仅有3个极值点，得
即可解决.
【详解】由题知，，
因为 ，
所以 ，
因为 在 上有且仅有3个极值点，
所以 ，解得 ，
所以 的取值范围是 ，
故选：A
5．记函数 的最小正周期为 ，若 ，且
为 的一条对称轴，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件列方程，求得 的表达式，进而求得 的最小值.
【详解】由于 ，所以 ，
由于 ，所以 ，则 ，
由于 为 的一条对称轴，
所以 ，
由于 ，所以 的最小值为 .
故选：A
6．已知函数 在区间 上有且仅有4条对称轴，给出下列四个
结论：
① 在区间 上有且仅有3个不同的零点；
② 的最小正周期可能是 ；
③ 的取值范围是 ；
④ 在区间 上单调递增．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．②③④
【答案】B
【分析】令 ，则 ，由函数 在区间 上有且仅有4条对称轴，即 有4个整数 符合，可求出 判断③，再利用三
角函数的性质可依次判断①②④.
【详解】由函数 ，
令 ，则
函数 在区间 上有且仅有4条对称轴，即 有4个整数 符合，
由 ，得 ，则 ，
即 ， ，故③正确；
对于①， ， ，
当 时， 在区间 上有且仅有3个不同的零点；
当 时， 在区间 上有且仅有4个不同的零点；故①错误；
对于②，周期 ，由 ，则 ， ，
又 ，所以 的最小正周期可能是 ，故②正确；
对于④， ， ，又 ，
又 ，所以 在区间 上不一定单调递增，故④错误．
故正确结论的序号是：②③
故选：B
7．函数 ，已知 为 图象的一个对称中心，直线
为 图象的一条对称轴，且 在 上单调递减．记满足条件的所有
的值的和为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由一条对称轴和一个对称中心可以得到 或
，由 在 上单调递减可以得到 ，算出
的大致范围，验证即可.
【详解】由题意知： 或
∴ 或∴ 或
∵ 在 上单调递减，∴
∴
①当 时，取 知
此时 ，当 时，
满足 在 上单调递减，∴ 符合
取 时， ，此时 ，当 时， 满
足 在 上单调递减，∴ 符合
当 时， ，舍去，当 时， 也舍去
②当 时，取 知
此时 ，当 时，
，此时 在 上单调递增，舍去
当 时， ，舍去，当 时， 也舍去
综上： 或2， .
故选：A.
【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，难度较大，易错点在于已知一条对称轴和一个
对称中心要分两种情况分析.
8．已知函数 在区间 上是增函数，且
在区间 上恰好取得一次最大值，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先化简函数 的解析式，再依据题意列出关于 的不等式组，即可求得 的取值范围.
【详解】
由 ，可得
由 在区间 上恰好取得一次最大值，可得 ，解之得
又 在区间 上是增函数，则 ，解之得
综上， 的取值范围是
故选：B
二、多选题
9．已知函数 图象的一条对称轴方程为 ，与其相邻
对称中心的距离为 ，则（ ）
A． 的最小正周期为 B． 的最小正周期为
C． D．
【答案】AC
【分析】根据三角函数图象性质可得函数解析式进而可得周期.
【详解】因为 图象相邻的对称中心与对称轴的距离为 ，所以最小正周期 ，故
A正确，B不正确；
因为 ，且 ，所以 ，故C正确，D不正确，
故选：AC.
10．设函数 ，已知 在 ， 有且仅有5个零点．下述四个结
论：
A． 在 上有且仅有3个极大值点；
B． 在 上有且仅有2个极小值点；
C． 在 上单调递增；
D． 的取值范围是 ， ．
其中所有正确结论是（ ）
A．A B．B C．C D．D
【答案】ACD【分析】由函数的零点个数和正弦函数的图象可判断 , 的正误，由 ，
可判断 的正误,再由正弦函数的单调性可判断 的正误.
【详解】∵ ， ，∴ ， ，
又∵ 在 ， 有且仅有5个零点，∴ ，解得 ，
则 的取值范围是 ， ，故 正确；
由 在 ， 上的图像，可得 在 上有且有3个极大值点，
在 上有2个或3个极小值点，故 正确， 错误；
当 时， ，
∵ ，∴ ，即
∴ 在 上单调递增，故 正确.
故选： ．
11．设函数 向左平移 个单位长度得到函数 ，已知 在
上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（ ）
A． 的图象关于直线 对称
B．在 上，方程 的根有3个，方程 的根有2个
C． 在 上单调递增
D． 的取值范围是
【答案】CD
【分析】根据函数的零点的个数，求出参数 的范围，再判断函数的单调性、对称性和方
程根的个数.
【详解】由题意， ，
由题意， 不一定是函数的对称轴，所以A错误；
当 时，得 ，故 ；
，所以D正确.
因为 ，则 的根分别可由 或 或
求出，共有3个根；
当 时， 的根分别可由 或 求出，共2
个根；当 时， 的根分别可由 或 或
求出，共3个根；所以B错误；
当 时，得 ，
由 ，得 ，所以 ，此时 在 上单调递
增，所以C正确.
故选：CD.
【点睛】本题重点考查三角函数 的图象与性质，难度较大，做题时注
意利用整体法判断：即通过将 作为整体，借助 的图象和性质来进行判断.
12．已知函数 在区间 上单调，且满足
有下列结论正确的有( )
A．
B．若 ，则函数 的最小正周期为 ；
C．关于x的方程 在区间 上最多有4个不相等的实数解
D．若函数 在区间 上恰有5个零点，则 的取值范围为
【答案】ABD
【分析】A： 在 上单调， ， ，故
；
B：求出区间 右端点 关于 的对称点 ，由题可知 在
上单调，据此可求出f(x)周期的范围，从而求出ω的范围.再根据
知 是f(x)的对称轴，根据对称轴和对称中心距离为周期的 倍即可求出
ω，从而求出其周期；
C：根据ω的范围求出周期的范围，根据正弦型函数一个完整周期只有一个最高点即可求
解；
D：由 知， 是函数 在区间 ， 上的第1个零点，而 在区间
上恰有5个零点，则 ，据此即可求ω的范围.
【详解】A，∵ ，∴ 在 上单调，又 ，，∴ ，故A正确；
B，区间 右端点 关于 的对称点为 ，∵ ，f(x)在
上单调，∴根据正弦函数图像特征可知 在 上单调，∴
为 的最小正周期 ，即 3，又 ，∴ .若
，则 的图象关于直线 对称，结合 ，得
，即 ，故k＝0， ，故
B正确.
C，由 ，得 ，∴ 在区间 上最多有3个完整的周期，而 在
1个完整周期内只有1个解，故关于 的方程 在区间 上最多有3个不相等的
实数解，故C错误.
D，由 知， 是函数 在区间 ， 上的第1个零点，而 在区间
上恰有5个零点，则 ，结合 ，得 ，又
，∴ 的取值范围为 ，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．若函数 ，且 ，在区间 上单调递减，且函数值
从1减少到 ，则 __________.
【答案】
【分析】根据题意求得 ，即可解决.
【详解】由题知， ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：
14．已知 在 上是严格减函数，则 的取值范围是
__________．
【答案】
【分析】由题意利用正弦函数的单调性可得，列不等式组求 的取值范围.
【详解】因为 ，所以 ，
由题意得 ，
所以 ，可得 ．
由 ，当 ，解得 .
所以 的取值范围是 .
故答案为：
15．设 是正实数，若函数 在 上至少存在两个极大值点，则 的取值范
围是______.
【答案】
【分析】考虑 在 上无极大值点和有且只有一个极大值点的取值范围，取
其补集后可得所求的取值范围.
【详解】令 ，解得 ， .
若 在 上无极大值点，
则存在实数 ，使得 ，
整理得到 ，解得 ，因为 且存在，故 ， 或 ，
故 或 .
若 在 上有且只有一个极大值点，
则存在实数 ，
使得 ，
或 ，
解得 ①或者 ②，
对于①，因为 且存在，故 且 ，
故整数 满足 ，
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，
故
对于②，同理可得
综上， 在 上无极大值点和有且只有一个极大值点时，
.
故函数 在 上至少存在两个极大值点， .
故答案为： .
16．已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤ ），x=- 为f（x）的零点，x= 为
y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（ ， ）上单调，则ω的最大值为______．
【答案】
【分析】先根据 是 的零点， 是 图像的对称轴可转化为周期的关
系，从而求得 的取值范围，又根据所求值为最大值，所以从大到小对 赋值验证找到适
合的最大值即可．
【详解】由题意可得 ，即 ，解得 ，
又因为 在 上单调，
所以 ，即 ，
因为要求 的最大值，令 ，因为 是 的对称轴，
所以 ，
又 ，解得 ，
所以此时 ，
在 上单调递减，即 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 在 不单调，
同理，令 ， ，
在 上单调递减，因为 ，
所以 在 单调递减，满足题意，所以 的最大值为5.
