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解密12讲：平面向量
【考点解密】
考的一．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0 的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于 1 个单位 的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
考点二．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
交换律：
a＋b＝b＋a；
加法 求两个向量和的运算
结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
求a与b的相反向量
减法 a－b＝a＋(－b)
－b的和的运算
|λa|＝|λ||a|，
λ(μa)＝(λμ)a；
求实数λ与向量a的 当λ>0时，λa与a的方向相同；
数乘 (λ＋μ)a＝λa＋μa；
积的运算 当λ<0时，λa与a的方向相反；
λ(a＋b)＝λa＋λb
当λ＝0时，λa＝0
考点三.向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使得b＝λa.
考点四．平面向量基本定理
如果e，e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ，λ，
1 2 1 2
使a＝λe＋λe.
1 1 2 2
其中，不共线的向量e，e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
1 2
考点五．平面向量的坐标表示
(1)向量及向量的模的坐标表示
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2则AB＝(x－x，y－y)，|AB|＝.
2 1 2 1
(2)平面向量的坐标运算
设a＝(x，y)，b＝(x，y)，
1 1 2 2
则a＋b＝(x＋x，y＋y)，
1 2 1 2
a－b＝(x－x，y－y)，
1 2 1 2
λa＝(λx ，λy )．
1 1
考点六．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x，y)，b＝(x，y)，其中b≠0.a，b共线⇔xy－xy＝0.
1 1 2 2 1 2 2 1
考点七.向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则 ∠ AOB 就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π].
考点八.平面向量的数量积
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量
定义
积，记作a·b
|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影
投影
|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积
考点九.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
考点十.平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x，y)，b＝(x，y)，a与b的夹角为θ.
1 1 2 2
结论 符号表示 坐标表示
模 |a|＝ |a|＝
夹角 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b的充要条件 a·b＝0 xx ＋ yy ＝ 0
1 2 1 2
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |xx＋yy|≤
1 2 1 2【方法技巧】
求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体
应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
【核心题型】
题型一：平面向量的基础知识
1．（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）下列说法中正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．平行向量不一定是共线向量
C．对于任意向量 ，必有
D．若 满足 且 与 同向，则
2．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量 ， 是单位向量，且 ，向量 满足 ，则 的
最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·河南·校联考一模）下列关于平面向量的说法正确的是（ ）
A．若 共线，则点A，B，C，D必在同一直线上
B．若 且 ，则
C．若G为 的外心，则
D．若O为 的垂心，则
题型二：平面向量的线性运算4．（2023·湖南永州·统考二模）设 为 所在平面内一点， ，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023秋·广西河池·高三统考期末）如图，在△ABC中，M为线段BC的中点，G为线段AM上一点且
，过点G的直线分别交直线AB、AC于P、Q两点， ， ，则
的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．4
6．（2022·河南·校联考模拟预测）如图，在 中， ， ，直线AM交BN于点Q，
，则（ ）
A． B． C． D．
题型三：平面向量的共线定理
7．（2023·全国·高三专题练习） 的外心 满足 ， ，则 的面积为（ ）A． B． C． D．2
8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在 中，M，N分别是线段 ， 上的点，且 ，
，D，E是线段 上的两个动点，且 ，则 的的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．2
9．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 与圆 ： 相交于不同两点 ， ，点 为线段 的中点，
若平面上一动点 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型四：平面向量的基本定理
10．（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）在平行四边形 中， ､ 分别在边 ､ 上， ，
与 相交于点 ，记 ，则 （ ）
A． B．
C． D．11．（2022秋·甘肃武威·高三统考阶段练习）如图，在 中， 是 的中点，若
，则 （ ）
A． B．1 C． D．
12．（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图，在平行四边形 中，E是 的中点，
， 与 相交于O．若 ， ，则 的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
题型五：平面向量的坐标运算
13．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知点 和数列 满足
，若 分别为数列 的前 项和，
则 （ ）
A． B． C． D．0
14．（2023·全国·高三专题练习）如图，在平行四边形 中，点 在线段 上，且 （ ），若
（ ， ）且 ，则 （ ）A． B．3 C． D．4
15．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量 ， 满足 ， ，点D满足 ，
E为 的外心，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
题型六：平面向量的数量积问题
16．（2023·四川成都·统考一模）已知平面向量 、 、 满足 ， ， ，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
17．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知 ABC中， ， ， ，在线段
△
BD上取点E，使得 ，则 （ ）
A． B． C． D．
18．（2023·四川绵阳·统考二模）如图，在边长为2的等边 中，点 为中线 的三等分点（靠近点 ），
点 为 的中点，则 （ ）A． B． C． D．
题型七：平面向量的几何应用
19．（2022·福建厦门·厦门市湖滨中学校考模拟预测）已知A，B是圆 上的动点， ，P是圆
上的动点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
20．（2022·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）在平面内，定点 满足 ，
，动点P，M满足 ， ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
21．（2022·全国·高三专题练习） 中， ， ， ，PQ为 内切圆的一条直径，M为
边上的动点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型八：平面向量的综合问题
22．（2022·河北石家庄·高三校联考阶段练习）已知向量 ， 函数
．
(1)求函数 的值域;
(2)函数 在 上有 10 个零点， 求 的取值范围．
23．（2023·高三课时练习）已知点G为 的重心．
(1)求 ；(2)过G作直线与AB、AC两条边分别交于点M、N，设 ， ，求 的值．
24．（2022·江苏盐城·模拟预测）如图，已知正方形ABCD的边长为2，过中心O的直线l与两边AB，CD分别交
于点M，N．
(1)若Q是BC的中点，求 的取值范围；
(2)若P是平面上一点，且满足 ，求 的最小值．
【高考必刷】
一：单选题
25．（2023·四川·石室中学校联考模拟预测）已知向量 ， ，则 （ ）
A．7 B． C． D．
26．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考模拟预测）若非零向量 ， 满足 ， ，则 与 的夹
角 为（ ）
A． B． C． D．
27．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知 的外接圆圆心为O，且 ， ，
则 （ ）A．0 B． C．1 D．
28．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）如图,在平行四边形 中, , 是边
的中点, 是 上靠近 的三等分点,若 ,则 （ ）
A．4 B． C． D．8
29．（2023春·江苏镇江·高三校考开学考试）已知平面向量 满足 ，且 ，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
30．（2023·四川攀枝花·攀枝花七中校考模拟预测）在 中， ，点D在线段 上，点E在线段 上，
且满足 ， ， 交 于点F，则 （ ）
A． B． C． D．
31．（2022·四川眉山·统考一模）已知椭圆 的左焦点为 ，离心率为 ，直线
与C交于点M，N，且 ， ．当 取最小值时，椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
32．（2022·吉林·东北师大附中校考模拟预测）在 中， 为 上一点， ， 为线段 上任一点，若 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C．6 D．8
二、多选题
33．（2022秋·安徽合肥·高三统考期末）在 中，已知 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
34．（2023·福建·统考一模）平面向量 满足 ，对任意的实数t， 恒成立，则（ ）
A． 与 的夹角为 B． 为定值
C． 的最小值为 D． 在 上的投影向量为
35．（2023春·广东揭阳·高三校考开学考试）已知O为坐标原点，点 ， ，
，则（ ）
A． B．
C． D．36．（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）在 中， ， ， ， 且
，则（ ）
A．
B．
C．
D． ， ， ，使得
三、填空题
37．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知向量 满足 ，请
写出一个符合题意的向量 的坐标______.
38．（2023·全国·高三专题练习）在 中， ，点Q满足 ，则 的最大
值为___________.
39．（2023·陕西商洛·校考三模）已知平面向量 ， ， ，其中 为单位向量，若 ，则
的取值范围是__________.
40．（2023·全国·模拟预测）已知 ， ， 是平面向量，满足 ， ， ，则向
量 在向量 上的投影的数量的最小值是______.
41．（2023·陕西渭南·统考一模）将函数 和直线 的所有交点从左到右依次记为 ， ，
…， ，若 ，则 ____________.四、解答题
42．（2023·全国·高三专题练习） 中， ， ， ， .
(1)若 ， ，求 的长度；
(2)若 为角平分线，且 ，求 的面积.
43．（2023·全国·高三专题练习）已知圆的内接四边形ABCD中， ，BC=2， ．
(1)求四边形ABCD的面积；
(2)设边AB，CD的中点分别为E，F，求 的值．
44．（2022秋·广东广州·高三广州市第一一三中学校考阶段练习）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，
b，c，点O是 的外心， ．
(1)求角A；
(2)若 外接圆的周长为 ，求 周长的取值范围，
