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解密11讲：导数在不等式.恒等式和零点问题综合应用
【考点解密】
考点一：利用导数研究零点问题：
（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极
值点和单调区间从而确定其大致图象；
（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过
构造函数g（x）的方法，把问题转化为研究构造的函数g（x）的零点问题；
（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：
①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究，
考点二：利用导数证明不等式的基本步骤：
(1)作差或变形．
(2)构造新的函数h(x)．
(3)利用导数研究h(x)的单调性或最值．
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问
题．
【方法技巧】
方法点睛：与 和 相关的常见同构模型：
（1） ，构造函数 （或 ，构造函数 ）；
（2） ，构造函数 （或 ，构造函数 ）；
（3） ，构造函数 （或 ，构造函
数 ）.
方法点睛:该题考查函数与导数的综合应用,属于难题,主要应用的方法有不等式放缩,关于常见的放缩有:
(1) ;
(2) ;
(3) ;(4) .
【核心题型】
题型一：导数在不等式恒成立问题
1．（2023·全国·郑州中学校考模拟预测）已知函数 ，对于 ， 恒成立，
则满足题意的 的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将 在 时恒成立转化为 对于 恒成立，设 ，
且 ，即满足 成立即可求满足题意的 的取值．
【详解】解：函数 ，对于 ， 恒成立，
即 ，对于 恒成立，
可变化为： 对于 恒成立，
设 ，则函数 在 上单调递增，函数的值域为 ，
则不等式 转化为 在 上恒成立，
设 ，则 ，
①当 时，则 恒成立，所以 在 上单调递增，
又 ，则 ，使得 ，不满足 恒成立；
②当 时，令 ，得 ，所以 时， ， 单调递减， 时，
， 单调递增，所以 ，则
设 ，则 ，得 ，
所以 时， ， 单调递增， 时， ， 单调递减，
所以 ，又 ，
所以 ，即 .
所以综上所述， 的取值集合为 ．
故选：D．
2．（2022·河南·统考一模）已知 ，若不等式 恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】当 时，不等式 显然成立，当 时，转化为 恒成立，利用函数
的单调性，转化为 在 上恒成立，构造函数 ，利用导数求出其最
大值，可求出 的取值范围.
【详解】由 有意义，知 ，
因为 ，所以当 时， ， ，不等式 显然成立，
当 时，不等式 恒成立，等价于 恒成立，
等价于 恒成立，
设 ，因为 ，
所以 在 上单调递增，
因为 ， ，所以 ，
所以 恒成立，等价于 ，又 在 上单调递增，所以不等式 等价于 在 上恒成立，等价于 在
上恒成立，等价于 在 上恒成立，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
所以 在 上恒成立等价于 .
综上所述： 的取值范围为 .
故选：B
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，对于任意的 、 ，当
时，总有 成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，可知函数 为 上的增函数，即对任意的 ， ，
利用导数求出函数 在 上的最小值，即可得出实数 的取值范围.
【详解】不妨设 ，由 可得出 ，即 ，
令 ，其中 ，
则 ，所以，函数 在 上为增函数，
则 ，则 ，
令 ，其中 ， ，
令 ，其中 ，所以， ，
所以，函数 在 上单调递增，
因为 ， ，
所以，存在 ，使得 ，则 ，
令 ，其中 ，则 ，故函数 在 上为增函数，
因为 ， ，所以， ，
由 可得 ，所以， ，可得 ，
且当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，
所以， ，
所以， .故选：A.
题型二：利用导数研究能成立问题
4．（2023·广西柳州·二模）设函数 （ ，e为自然对数的底数），若存在 使
成立，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由 可将其中的 换为自变量 ，两边同时平方化简，再将参数 分离开，构造新函数，求得新函
数的最值即可得到a的取值范围.
【详解】
存在 ，使 成立，即存在 ，使 成立，
即 ，
存在 ，使 与 有交点，
对 求导得 ，再求导得 ，
令 ，解得 ，
当 时 ，当 时 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
= =，即 在 上恒大于0，
在 上单调递增，
要使 与 有交点，则 .
故选：C.
5．（2022·河南驻马店·河南省驻马店高级中学校考模拟预测）已知e是自然对数的底数．若 ，使
，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意分类讨论，当 时显然成立，当 时，由原不等式同构函数，利用函数单调性可得
，分离参数后利用导数求最大值即可得解.
【详解】当 时， ，显然 成立，符合题意；
当 时，由 ， ，可得 ，
即 ， ，
令 ， ， 在 上单增，
又 ，故 ，即 ，即 ， ，即 使
成立，令 ，则 ，
当 时， 单增，当 时， 单减，故 ，故 ；
综上： .
故选：A.题型三：利用导数研究函数零点问题
6．（2022·江西新余·统考二模）若存在两个正数 ，使得不等式 成立，其中 ，
为自然对数的底数，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题知存在两个正数 ， ，令 ，则 ，进而转化为存在 ，使得
成立，再研究函数 的最小值进而得答案.
【详解】解：因为存在两个正数 ，使得 ，
所以，不等式两边同 得：存在两个正数 ， ，
故设 ，则 ，
则原问题等价于，存在 ，使得 ，
因为 ，所以，存在 ，使得 成立，
设 ， ， 恒成立，
所以 为增函数，
因为 ，
故当 时, ，当 时, ，
即当 时,函数 取得极小值也是最小值为： ，
即 ，
存在 ，使得 成立，则 ，解得所以，实数 的取值范围是 .
故选：C
7．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数 ， ，，则函数 的零点个
数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】先求 时，函数 的零点，再根据 为偶函数，可得 时，函数 还有一个零点 ，
由此可得答案.
【详解】当 时， ，所以 不是函数 的零点，
因为 ，所以 ，所以 为偶函数，
当 时， ， ， ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 时取得最大值 ，
所以当 时， 有唯一零点 ，
又函数 为偶函数，其图象关于 轴对称，所以 在 时，还有一个零点 ，
综上所述：函数 的零点个数为 .
故选：A
8．（2022·内蒙古呼伦贝尔·校考模拟预测）已知 ，若函数 有三个零点，则
的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先利用导数求出函数的单调区间和极值，再画出函数图象，结合函数图象求解即可.
【详解】由题意，得 ，
当 ， 时， ， 单调递增，
当 ， 时， ， 单调递减，
易知当 时， 有极大值，极大值 ；
当 时， 有极大值，极大值 ，
，画出函数 的大致图象与直线 如图所示，则由图像可得，
当 或 时， 的图象与直线 有三个交点，
所以实数 的取值范围为 .
故选：A
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 与函数 的图象恰有3个交点，则实数k的
取值范围是（）
A． B．
C． D．【答案】B
【分析】把题意转化为关于x的方程 有3个根.进行分类讨论：分别研究 和
的根的情况，求出k的取值范围.
【详解】因为函数 与函数 的图象恰有3个交点，所以 有3个根.
经验证：x=1为其中一个根.
当 时， 可化为 ，及
i. 或 时，方程有且仅有一个根x=-1；
ii. 且 时，方程 有两个根， 或x=-1.
当 时， 可化为 .
令 ，（x>0）.则 .
当 时，有 ，所以 在 上单减.
因为 ，所以 有且只有1个根x=1.所以需要 有两个根 或x=-1，
才有3个根，此时 且 .
当 时， 有且仅有一个根x=-1，所以只需 在 有2个根.此时 .
在 上， ， 单减；在 上， ， 单增.
且当 时， ；当 时， ；
所以只需 ，即 ，亦即 .
记 .
则 ，所以当 时， ，所以 在 上单调递减，所以当 时，， 在 上单调递增.所以 ，即 （当且仅当x=1时取等号）.
所以要使 成立，只需 ，解得： .所以 且 .
综上所述：实数k的取值范围是 .
故选：B
题型四：利用导数研究函数的根问题
10．（2022·四川南充·统考一模）已知函数 有两个极值点 ，若 ，则关
于x的方程 的不同实根个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】对函数进行求导，将函数的两个极值点 ，转化为 的两个根，即可推出关于 的方程
的两个根为 或 ，若 ，由导函数图像，判断函数的单调性，并
画出函数图像，由图像即可求出方程 不同的实根.
【详解】解： ，
由题意知 是函数的两个极值点，即 是方程 的两根，
从而关于 的方程 有两个根， 或 ，
若 ，所以根据题意画图，由图可看出 有两个不等实根， 只有一个不等实根，
综上方程 的不同实根个数为3个.
故选：B.
11．（2023秋·河南安阳·高三校考期末）已知 是函数 的图象与函数 的图象交点
的横坐标，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据题意整理可得 ，构建新函数 ，则转化为
，求导，利用导数判断 的单调性，结合单调性分析可得 ，运算整理即可.
【详解】由题意可知实数 满足 ，整理得 ，
设 ，则 ，可得： ，
∵ 在 上恒成立，则 在 上单调递减，
∴ ，则 ，即 ，
故 .
故选：A.
12．（2022·吉林长春·统考模拟预测）已知函数 ，若函数 与 的图象恰
有6个不同的公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】首先利用导数分析 的图象与性质，然后由 有 个根，结合二次函数根的分布来求
得 的取值范围.
【详解】依题意 ，
当 时， ，
所以，在区间 递减；在区间 递增.
所以 ，当 时， ；当 时， ； .
当 时， ，
，
所以 在区间 递增；在区间 递减，
所以 ， .
由此画出 的大致图象如下图所示，
由图可知，若直线 与 的图象有 个交点，则 .
由于函数 与 的图象恰有6个不同的公共点，
即 ， 有 个不同的根，
由于 ，所以 ，解得 .
故选：A
题型五：利用导数研究函数的图像和性质问题
13．（2022·广东汕头·统考三模）已知函数 ，若关于x的方程 有四个不同的
实根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】把方程 有四个不同的实根，转化为函数 和 的图象有四个交点，作出两个函数的图象，结合图象，即可求解.
【详解】当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
所以当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
又当 时， ，
所以根据周期为1可得 时 的图象，故 的图象如图所示：
将方程 ，转化为方程 有四个不同的实根，
令 ，其图象恒过 ，
因为 与 的图象有四个不同的交点，所以 或 ，
又由 ， ， ， ， ，
故 ， ， ， ，
所以 或 ，即 或 ，
故选：C.
【点睛】方法点拨：把方程 有四个不同的实根，转化为函数 和 的图象有四个交点，结合图象，列出相应的不等关系式是解答的关键.
14．（2022·天津·统考一模）已知函数 ， ，若函数 恰有6
个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别画出 、 的图象，采用换元法令 ，考虑 中 的取值可使 有6个解时
对应的 的取值范围
【详解】令 ，作出 ， 图象如下：
当 时， ，
与 的图象只有一个交点； 与 的图象有三个交点
故当 时，函数 有四个零点，故A错误
当 时， ，
与 的图象只有一个交点； 与 的图象有两个交点
故当 时，函数 有三个零点，故C错误
当 时， ，与 的图象只有一个交点； 与 的图象有三个交点
故当 时，函数 有四个零点，故B错误
当 时， ，
与 的图象有三个交点； 与 的图象有三个交点
故当 时，函数 有六个零点，故D正确
故选：D
15．（2023秋·天津北辰·高三校考期末）已知函数 ，若函数 与
的图象恰有5个不同公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用导数分段画出函数 的大致图象，将函数
与 的图象恰有5个不同公共点的问题转化为方程 有5
个不同的根的问题，然后采用换元法将问题变为讨论 在给定区间上有解的问题.
【详解】当 时， ， ，
当 时， ，当 时， ，
故 时， ；当 时， ，
当 时， 有极大值 ，当 时， ，
作出 的大致图象如图：
函数 与 的图象恰有5个不同公共点，
即方程 有5个不同的根，
令 ，根据其图象，讨论 有解情况如下：
令 ,
(1当 在 和 上各有一个解时，
即 ，解得 ，
（2）当 在 和 上各有一个解时，
，解得 ，
（3）当 有一个根为6时，解得 ，此时另一个根为 ，不合题意；（4）当 有一个根为1时，解得 ，此时另一个根也为1，不合题意，
综上可知： ，
故选：A
题型六：利用导数研究双变量问题
16．（2022·福建福州·福建省福州格致中学校考模拟预测）已知 ，
若 ，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用同构构造 ，得到 ，结合 的单调性，得到
，构造 ，求出其最大值，得到a的取值范围.
【详解】由题意得： ，又因为 ，所以 ，
，即 ，
所以 ，
设 ，
则 ，
，所以 单调递增，
所以 ，
因为 ，所以 ，
令 ， ，
则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 处取得极大值，也是最大值，
，
故 .
故选：A
17．（2022·安徽六安·安徽省舒城中学校考一模）已知函数 ．若对任意的 ，都存
在唯一的 ，使得 成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用导数可求得 的单调性及在 ， 上的取值情况，再根据题意可得 或 ，由
此建立关于 的不等式组，解出即可．
【详解】 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
且 ，
又对任意的 ， ，都存在唯一的 ， ，使得 成立，
或 ，又 ， ，故 ，
，解得 ．
故选：C
18．（2020·全国·模拟预测）已知函数 ， ，实数 ， 满足 ．若
， ，使得 成立，则 的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
【答案】A
【分析】首先化简函数 ，和 ， ，并判断函数的单调性，由条件
转化为子集关系，从而确定 值.
【详解】 ，
， ，
当 时，解得： ，当 时，解得： ，
所以 在 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ，当 时取得最小值，
，函数在 单调递增，
， ，所以， ，
令 ，解得： 或 ，
由条件可知 的值域是 值域的子集，
所以 的最大值是 ， 的最小值是 ，故 的最大值是 .
故选：A
题型七：利用导数解决实际问题
19．（2022春·山西太原·高三太原五中校考阶段练习）如图，某款酒杯的容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面为
面积是 的正三角形.若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则酒杯可放置
圆柱形冰块的最大体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据轴截面求出圆锥底面圆的半径，设出圆柱形冰块的底面半径 ，用含 的式子表达出圆柱形冰块的
高，从而得到圆柱形冰块的体积关于x的表达式，用导函数求解最大值.
【详解】设圆锥底面圆的半径为 ，圆柱形冰块的底面圆半径为 ，高为 ，由题意可得，
，解得: ， ，
设圆柱形冰块的体积为 ，则 .
设 ，则 ，当 时， ；
当 时， ，故 在 取得极大值，也是最大值，所以 ，故酒杯可
放置圆柱形冰块的最大体积为 .
故选：C20．（2022·全国·模拟预测）如图所示，在正方体 中， ，点 ， ， 分别在棱 ， ，
上（不包含端点），且平面 平面 ，点 在线段 上，且 ，则三棱锥 的体积的
最大值是（ ）
A． B．2 C． D．6
【答案】B
【分析】正方体中，先证明PG⊥平面EFG，说明PG为三棱锥的高，再求得底面三角形EFG的面积，即可求得三
棱锥体积的表达式，利用求导即可求得其最大值.
【详解】因为正方体 ，连接 ，则 ,
又 ,故 平面 平面 ,
故 ,同理 平面 ,
所以 平面 ,因为平面EFG//平面 ，所以 平面EFG，且 为正三角形，
，得PG⊥平面EFG．
设 ，则 ， ，
又 ,故 即 ，所以PG＝ ，
所以 ，（ ），
，当 时， ，V随着x的增大而增大，
当 时， ，V随着x的增大而减小，所以当 时，V取最大值, ,
故选:B
21．（2022·河南开封·统考二模）如图，将一块直径为 的半球形石材切割成一个正四棱柱，则正四棱柱的体积
取最大值时，切割掉的废弃石材的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用正四棱柱底面正方形外接圆半径、高与半球的半径构成直角三角形可得到正四棱柱底面边长和高的
关系，由此得到正四棱柱体积 ，利用导数可求得 ，结合半球体积可求得结果.
【详解】设正四棱柱的底面正方形边长为 ，高为 ，
则底面正方形的外接圆半径 ， ， ，
正四棱柱体积 ，，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减， ，
又半球的体积为 ，
切割掉的废弃石材的体积为 .
故选：A.
22．（2023·浙江·统考一模）设函数 , ．
(1)当 时,证明: ;
(2)若 ,求a的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)先将 表示出,对其进行放缩为 ,构造新函数 ,求导求其单调性最
值,即可证明;
(2)构造 ,先考虑特殊情况 ,可求出 ,再考虑 的情况,对其进
行放缩为 ,构造 ,取 ,可得 ,故 存在小于零的函数值,
故不符合题意舍,可得 ,取 时,可证明不等式成立,只需证 成立即可,构造 ,求导求
单调性可证明 ,先考虑 的情况,对 进行放缩为 ,构造
,求导求单调性即可证明 在 时的范围,即可证明成立,再考虑 时,对进行放缩为 ,构造 ,求导求单调性求最值即可得
,取 为 ,即可得 成立,综上即可得a的取值范围.
【详解】（1）解:由题知 ,
故 ,
记 ,所以 ,
所以 时, , 单调递增,
上, , 单调递减,所以 ,即 ,
故 ,得证;
（2）由题,不妨记 ,
因为 ,故 ;
当 时, ,
令 ,取 ,
因为 ,所以
故 , ,
故 有小于零的函数值,
因为 ,所以存在 使得 ,故不符合题意舍,
下证 符合题意:
①若 , ;②若 ,令 ,所以 ,
当 时, ,所以 单调递增,
当 时, ,所以 单调递减,
故 ,即 ,
将 替换 代入上不等式可有: ,
当 时,
,
记 ,
,故 单调递增,
则 时, ,又有 ,
故 成立,
当 时,因为 ,
所以 ,
记 ,所以 ,
所以 在 单调递增,则 ,
因为 , ,所以 ,故 ,
即 ,
综上所述: .
.题型八：导数的综合问题
22．（2023·浙江·统考一模）设函数 , ．
(1)当 时,证明: ;
(2)若 ,求a的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)先将 表示出,对其进行放缩为 ,构造新函数 ,求导求其单调性最
值,即可证明;
(2)构造 ,先考虑特殊情况 ,可求出 ,再考虑 的情况,对其进
行放缩为 ,构造 ,取 ,可得 ,故 存在小于零的函数值,
故不符合题意舍,可得 ,取 时,可证明不等式成立,只需证 成立即可,构造 ,求导求
单调性可证明 ,先考虑 的情况,对 进行放缩为 ,构造
,求导求单调性即可证明 在 时的范围,即可证明成立,再考虑 时,对
进行放缩为 ,构造 ,求导求单调性求最值即可得,取 为 ,即可得 成立,综上即可得a的取值范围.
【详解】（1）解:由题知 ,
故 ,
记 ,所以 ,
所以 时, , 单调递增,
上, , 单调递减,所以 ,即 ,
故 ,得证;
（2）由题,不妨记 ,
因为 ,故 ;
当 时, ,
令 ,取 ,
因为 ,所以
故 , ,
故 有小于零的函数值,
因为 ,所以存在 使得 ,故不符合题意舍,
下证 符合题意:
①若 , ;
②若 ,令 ,所以 ,
当 时, ,所以 单调递增,当 时, ,所以 单调递减,
故 ,即 ,
将 替换 代入上不等式可有: ,
当 时,
,
记 ,
,故 单调递增,
则 时, ,又有 ,
故 成立,
当 时,因为 ,
所以 ,
记 ,所以 ,
所以 在 单调递增,则 ,
因为 , ,所以 ,故 ,
即 ,
综上所述: .
23．（2023·广东广州·统考二模）已知定义在 上的函数 .
(1)若 ，讨论 的单调性；(2)若 ，且当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)分类讨论，答案见解析；
(2) .
【分析】（1）求出函数 的导数 ，再分类讨论解 和 作答.
（2）当 时，可得 为任意正数，当 时，变形给定不等式，构造函数并利用单调性建立不等式，分离
参数求解作答.
【详解】（1）函数 ， ，求导得： ，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时，由 得 ，由 得 ，则 在 上递增，在 上递减，
所以当 时，函数 的递增区间是 ；
当 时，函数 的递增区间是 ，递减区间是 .
（2）因为 ，且当 时，不等式 恒成立，
当 时， ， 恒成立，因此 ，
当 时， ，
令 ，原不等式等价于 恒成立，
而 ，即函数 在 上单调递增，因此 ，
即 ，令 ， ，
当 时， ，当 时， ，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
，因此 ，综上得 ，
所以实数 的取值范围是 .
【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最
值是解决问题的关键.
24．（2023·四川凉山·统考一模）已知函数 ．
(1) 是 的导函数，求 的最小值；
(2)已知 ，证明： ；
(3)若 恒成立，求 的取值范围．
【答案】(1)0
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）求出 的表达式，求导，通过讨论 的单调性，即可求出 的最小值；
（2）通过（1）中 的取值范围得出 ，即可证明不等式；
（3）分离参数，构造函数 ，通过（1）中的结论 ，可得出 的取值范围，即
可求得 的取值范围.
【详解】（1）由题意，在 中，
所以， ，
在 中， ，
，
令 ，解得 ，又 时， ， 时， ，
∴ ，即 的最小值为0．
（2）在 中， ，
可知 ，当且仅当 时等号成立，
∴ 时， ，即 ，
∴ .
∴不等式成立．
（3）由题意及（1）（2）得， .
当 时， 恒成立，
∴不等式 恒成立，
令 ，
则命题等价于 ，
∵ ，∴ .
∴ ，当 ，即 时能取等号，
∴ ，即 .
∴ 的取值范围为 ．
【高考必刷】
25．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）设命题p：“ ”是“ ”成立的必要不充分条件.命题q：若不等式 恒成立，则 ．下列命题是真命题的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分别判断出命题p、q的真假，进而对四个选项一一判断.
【详解】 ，解得： .
因为 ，所以“ ”是“ ”成立的必要不充分条件.故p为真命题；
若不等式 恒成立，所以 .
记 ，只需 .
求导得： ，令 ，解得： ，列表得：
1
+ 0 -
单增 极大值 单减
所以 .
所以 .故q为真命题.
对于A： 为假命题.故A错误；
对于B： 为真命题.故B正确；
对于C： 为假命题.故C错误；
对于D： 为假命题.故D错误；
故选：B
26．（2023·全国·高三专题练习）若函数 恰有两个零点，则实数 的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】令 ，即可得到 ，令 ，则 与 有两个交点，利用导数说明函数的
单调性，求出函数的最小值，即可得到 ，从而求出参数的取值范围.
【详解】解：令 ，即 ，所以 ，
即方程 有两个不相等实数根，
令 ，则 与 有两个交点，
因为 ，则当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
当 时 ，则 ，当 时 ，则 ，
所以 ，解得 ，即 .
故选：A
27．（2023·广西柳州·统考模拟预测）设函数 （ ， 为自然对数的底数），若曲线
上存在点 使 成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意，存在 ，使 成立，即存在 ，使 成立，即可得到 与有交点，利用导数分析 的单调性，进而求解.
【详解】
由题意， 存在 ，使 成立，
即存在 ，使 成立，
所以 ，即 ，
所以
所以存在 ，使 与 有交点，
对 ， ，求导得 ，
设 ，则 ，
令 ，即 ；令 ，即 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以 在 上单调递增，
又 ，
，
要使 与 有交点，则 ，
所以 的取值范围是 .
故选：A.
28．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， 若函数 ，则函数 的零点
个数为（ ）A．1 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】本题首先通过函数奇偶性求出 ，再利用导数研究其在 上的零点个数即可.
【详解】当 时， ，
当 时， ，
，
，且定义域为 ，关于原点对称，故 为奇函数，
所以我们求出 时零点个数即可，
， ，令 ，解得 ，
故 在 上单调递增，在 单调递减，
且 ，而 ，故 在 有1零点，
，故 在 上有1零点，图像大致如图所示：
故 在 上有2个零点，又因为其为奇函数，则其在 上也有2个零点，且 ，故 共5个
零点，
故选：D.29．（2022·河北衡水·衡水市第二中学校考一模）某正六棱锥外接球的表面积为 ，且外接球的球心在正六棱锥
内部或底面上，底面正六边形边长 ，则其体积的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据正六棱锥和球的几何性质，结合球的表面积公式、棱锥的体积公式、导数的性质进行求解即可.
【详解】如图所示：
设该正六棱锥的高 ，侧棱长为 ，设该正六棱锥外接球的半径为 ，
因为正六棱锥外接球的表面积为 ，所以有 ，
因为外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，
所以 ，
设 ，
在正六边形 ，因为正六边形边长为 ，所以 ，
在 中，由余弦定理可知 ，
在直角三角形 中， ，所以有 ，
由勾股定理可知 ，因为 ，所以 ，因此有 ，
而 ，所以 ，
该正六棱锥的体积 ，
，
当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
所以 ，因为 ， ，
所以 ，因此该正六棱锥的体积的取值范围是 ，
故选：B
【点睛】关键点睛：利用导数的性质求值域是解题的关键.
30．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知函数 ，关于 的方程 恰有两个
不等实根 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出函数 的图像，数形结合可得出实数a的取值范围，将 用a表示，可得 表示为以a
为自变量的函数，利用导数可求函数的单调性，进而求出最大值.
【详解】解：作出函数 的图像如下图所示：由图像可知，当 时，直线 与函数 的图像有两个交点 ， ，
，则 ，可得 ，
，
构造函数 ， ，
则 ，
当 ， ，此时函数 单调递增，
当 ， ，此时函数 单调递减，
，
故选：B.
31．（2023·全国·高三专题练习）定义：设函数 在 上的导函数为 ，若 在 上也存在
导函数，则称函数 在 上存在二阶导函数，简记为 .若在区间 上 ，则称函数
在区间 上为“凹函数”.已知 在区间 上为“凹函
数”，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】根据“凹函数”的定义得到 ，即 在 上恒成立，构造函数
推得 ，再构造函数 推得 ，从而得到 ，由此得解.
【详解】因为 ，所以 ， ，
则 ， ，
因为 在区间 上为“凹函数”，所以 ，
即 在 上恒成立，则 在 上恒成立，
当 ，即 时，因为 ， ，所以 ，
故 显然成立，
当 ，即 时，令 ，则 在 上恒成立，
又因为 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，则 在 上恒成立，
令 ，则 ，
又 ，当 时， ；当 时， ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，则 ，
所以 ，
综上： ，即 .
故选：D.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．二、多选题
32．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知函数 在 处有极值，且极值
为8，则（ ）
A． 有三个零点
B．
C．曲线 在点 处的切线方程为
D．函数 为奇函数
【答案】AC
【分析】由条件根据极值与导数的关系求 ，判断B，利用导数分析函数 的单调性，结合零点存在性定
理判断A，根据导数的几何意义求切线，判断C，根据奇函数的定义判断D.
【详解】由题意得 ，又 ，又 ，解得 (舍
去）或 ，故B项错误；
， ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
又 ， ， ， ，
所以 有三个零点，故A项正确；又 ， ，
则曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，故C项正确；
，故D项错误.
故选：AC.
33．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ， ，下列正确的是（ ）
A．若函数 有且只有1个零点 ，则
B．若函数 有两个零点，则
C．若函数 有且只有1个零点 ，则 ，
D．若 有两个零点，则
【答案】AD
【分析】根据函数零点的性质，结合常变量分离法，导数的性质逐一判断即可.
【详解】由 ，
当 时，
令 ，
当 时， ，函数 单调递增，
当 时，函数 单调递减，故 ，
函数 的图象如下图所示：当 时，直线 与函数 的图象没有交点，所以函数 没有零点，
当 时，直线 与函数 的图象只有一个交点，所以函数 只有一个零点，而 ，所以选项A
正确，选项C不正确；
当 时，直线 与函数 的图象只有二个交点，所以函数 只有二个零点，因此选项B不正确，选项
D正确，
故选：AD
34．（2023·全国·模拟预测）设函数 ，若 恒成立，则满足条件的正整
数 可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】ABC
【分析】根据题意可得 ，利用导数结合分类讨论解决恒成立问题.
【详解】若 恒成立，则 恒成立，
构建 ，则 ，
∵ ，故 ，则有：
当 ，即 时，则 当 时恒成立，
故 在 上单调递增，则 ，
即 符合题意，故满足条件的正整数 为1或2；
当 ，即 时，令 ，则 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，则 ，
构建 ，则 当 时恒成立，
故 在 上单调递减，则 ，
∵ ，故满足 的整数 ；
综上所述：符合条件的整数 为1或2或3，A、B、C正确，D错误.
故选：ABC.
35．（2023·湖南永州·统考二模）已知 ， ， ， ，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】令 ， ，求导可求得 的单调性，利用极值点偏移的求解方法可求
得AB正误；由 ，可确定 ，结合 单调性可得CD正误.
【详解】令 ， ，
， 当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，且 ；
若 ，则 ，
令 ，
则
，
当 时， ，
，
在 上恒成立， 在 上单调递减， ，即 ，又 ， ，
， ，
， ， 在 上单调递增，
，即 ，A错误；
， 当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，且 ；
由 得： ；
设 ， ，
则 ；
当 时， ， ，
在 上单调递减， ，即 ，
又 ， ，又 ， ，
， ， 在 上单调递增，
，即 ，B正确；
， ， ，，又 ， ， 在 上单调递减，
，则 ，C正确；
，又 ， ， 在 上单调递增，
，则 ，D正确.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：本题考查了导数中的极值点偏移问题，处理极值点偏移问题中的类似于 （
）的问题的基本步骤如下：
①求导确定 的单调性，得到 的范围；
②构造函数 ，求导后可得 恒正或恒负；
③得到 与 的大小关系后，将 置换为 ；
④根据 与 所处的范围，结合 的单调性，可得到 与 的大小关系，由此证得结论.
三、填空题
36．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考模拟预测）关于x的不等式 在 上恒成立，则a
的取值范围是______．
【答案】
【分析】不等式转化为 ，构造函数 ，判断函数单调递增得
到 ，转化为 ，构造函数 ，根据函数的单调区间计算最
小值即得到答案.【详解】 ，即 ，
设 ， 恒成立，故 单调递增.
原不等式转化为 ，即 ，即 在 上恒成立.
设 ， ，
当 时， ，函数单调递增；
当 时， ，函数单调递减；
故 ，即 ，解得 .
故答案为： .
【点睛】将不等式 化为 ,这种方法就是同构法，同构即
结构形式相同，对于一个不等式，对其移项后通过各种手段将其变形，使其左右两边呈现结构形式完全一样的状
态，接着就可以构造函数，结合函数单调性等来对式子进行处理了．
37．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）已知函数 的导函数 满足： ，且 ，当
时， 恒成立，则实数 的取值范围是________________.
【答案】
【分析】注意到 ，所以可设 ，进而得到 ，参变分离得
，所以
【详解】设 ，则 ，故 ，
则 ，又因为 ，即 ，所以 ， ，又因为恒成立，
即 ，因为 ，
参变分离得 在 上恒成立，
其中 ，
理由如下：构造 ，则 ，令 得： ，当 得： ，当 得：
，故 在 处取得极小值，也是最小值， ，从而得证.
故 ，故 ，实数a的取值范围为
故答案为：
【点睛】①含参不等式经常考虑参变分离的方法；
②熟悉常用结论： ， ；
③观察函数的形式，渗透同构的思想.
38．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若关于 的方程 有3个不同
的实数根，则 的取值范围为______．
【答案】
【分析】将方程 有3个不同的实数根，转化为 必有一正一负两个根，利用数形
结合及二次函数的性质结合条件即得.
【详解】当 ， ，则 ，
令 ，得 ，当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递减，在 上递增， ，
作出函数 的大致图象，
设 ，则 有两个不同的实数根 ，由 可知， 与 异号，
不妨设 ，要使方程 有3个不同的实数根，
则 或 ，
①当 时， ，得 ；
②当 时，设 ，则 ，得 ，
综上， 的取值范围为 ．
故答案为： ．
【点睛】已知函数有零点求参数常用的方法和思路：
直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；
数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.
39．（2023·四川攀枝花·统考二模）已知函数 ，若存在非零实数 ，使得
成立，则实数k的取值范围是_________．
【答案】【分析】不妨设 ，化简 可得 ，令 ，求出 的值域即可求k
的取值范围.
【详解】因为 ，且
不妨设 ，则 ，即 ，
从而可得 ，由已知方程 有正数解，
令 ，则函数 的图象与函数 的图象有交点，
因为 ，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
所以 ，则 上值域为 ， 上值域为 ，
所以实数 的取值范围是 .
故答案为：
四、解答题(共0分)
40．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 和 有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横
坐标成等差数列．
【答案】(1)(2)见解析
【分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨论.
（2）根据（1）可得当 时， 的解的个数、 的解的个数均为2，构建新函数
，利用导数可得该函数只有一个零点且可得 的大小关系，根据存在直线 与曲线
、 有三个不同的交点可得 的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.
【详解】（1） 的定义域为 ，而 ，
若 ，则 ，此时 无最小值，故 .
的定义域为 ，而 .
当 时， ，故 在 上为减函数，
当 时， ，故 在 上为增函数，
故 .
当 时， ，故 在 上为减函数，
当 时， ，故 在 上为增函数，
故 .
因为 和 有相同的最小值，
故 ，整理得到 ，其中 ，
设 ，则 ，故 为 上的减函数，而 ，
故 的唯一解为 ，故 的解为 .
综上， .
（2）[方法一]：
由（1）可得 和 的最小值为 .
当 时，考虑 的解的个数、 的解的个数.
设 ， ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
所以 ，
而 ， ，
设 ，其中 ，则 ，
故 在 上为增函数，故 ，
故 ，故 有两个不同的零点，即 的解的个数为2.
设 ， ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
所以 ，
而 ， ，
有两个不同的零点即 的解的个数为2.当 ，由（1）讨论可得 、 仅有一个解，
当 时，由（1）讨论可得 、 均无根，
故若存在直线 与曲线 、 有三个不同的交点，
则 .
设 ，其中 ，故 ，
设 ， ，则 ，
故 在 上为增函数，故 即 ，
所以 ，所以 在 上为增函数，
而 ， ，
故 上有且只有一个零点 ， 且：
当 时， 即 即 ，
当 时， 即 即 ，
因此若存在直线 与曲线 、 有三个不同的交点，
故 ，
此时 有两个不同的根 ，
此时 有两个不同的根 ，
故 ， ， ，
所以 即 即 ，
故 为方程 的解，同理 也为方程 的解
又 可化为 即 即 ，故 为方程 的解，同理 也为方程 的解，
所以 ，而 ，
故 即 .
[方法二]：
由 知， ， ，
且 在 上单调递减，在 上单调递增；
在 上单调递减，在 上单调递增，且
① 时，此时 ，显然 与两条曲线 和
共有0个交点，不符合题意；
② 时，此时 ，
故 与两条曲线 和 共有2个交点，交点的横坐标分别为0和1；
③ 时，首先，证明 与曲线 有2个交点，
即证明 有2个零点， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
又因为 ， ， ，
令 ，则 ，
所以 在 上存在且只存在1个零点，设为 ，在 上存在且只存在1个零点，设为
其次，证明 与曲线和 有2个交点，
即证明 有2个零点， ，
所以 上单调递减，在 上单调递增，
又因为 ， ， ，令 ，则 ，
所以 在 上存在且只存在1个零点，设为 ，在 上存在且只存在1个零点，设为
再次，证明存在b，使得
因为 ，所以 ，
若 ，则 ，即 ，
所以只需证明 在 上有解即可，
即 在 上有零点，
因为 ， ，
所以 在 上存在零点，取一零点为 ，令 即可，
此时取
则此时存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，
最后证明 ，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，
因为
所以 ，
又因为 在 上单调递减， ， 即 ，所以 ，
同理，因为 ，
又因为 在 上单调递增， 即 ， ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
即直线 与两条曲线 和 从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，而不
同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.
41．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥ x3+1，求a的取值范围.
【答案】（1）当 时， 单调递减，当 时， 单调递增.（2）
【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.
(2)方法一：首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确
定实数a的取值范围.
【详解】(1)当 时， ， ，
由于 ，故 单调递增，注意到 ，故：
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增.
(2) [方法一]【最优解】：分离参数
由 得， ，其中 ，
①.当x=0时，不等式为： ，显然成立，符合题意；②.当 时，分离参数a得， ，
记 ， ，
令 ，
则 ， ，
故 单调递增， ，
故函数 单调递增， ，
由 可得： 恒成立，
故当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
因此， ,
综上可得，实数a的取值范围是 .
[方法二]：特值探路
当 时， 恒成立 ．
只需证当 时， 恒成立．
当 时， ．
只需证明 ⑤式成立．
⑤式 ，令 ，
则 ，
所以当 时， 单调递减；
当 单调递增；
当 单调递减．
从而 ，即 ，⑤式成立．
所以当 时， 恒成立．
综上 ．
[方法三]：指数集中
当 时， 恒成立 ，
记 ，
，
①.当 即 时， ，则当 时， ， 单调递增，又 ，所以当
时， ，不合题意；
②.若 即 时，则当 时， ， 单调递减，当 时，
， 单调递增，又 ，
所以若满足 ，只需 ，即 ，所以当 时， 成
立；③当 即 时， ，又由②可知 时， 成立，
所以 时， 恒成立，
所以 时，满足题意.
综上， .
【整体点评】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，本题主要
考查利用导数解决恒成立问题，常用方法技巧有：
方法一，分离参数，优势在于分离后的函数是具体函数，容易研究；
方法二，特值探路属于小题方法，可以快速缩小范围甚至得到结果，但是解答题需要证明，具有风险性；
方法三，利用指数集中，可以在求导后省去研究指数函数，有利于进行分类讨论，具有一定的技巧性！
42．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，函数 ，其中e=2.71828…为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数 在 上有唯一零点；
（Ⅱ）记x 为函数 在 上的零点，证明：
0
（ⅰ） ；
（ⅱ） ．
【答案】（I）证明见解析，（II）（i）证明见解析，（ii）证明见解析.
【分析】（I）方法一：先利用导数研究函数单调性，再结合零点存在定理证明结论；
（II）（i）先根据零点化简不等式，转化求两个不等式恒成立，构造差函数，利用导数求其单调性，根据单调性
确定最值，即可证得不等式；
（ii）方法一：先根据零点条件转化： ，再根据 放缩，转化为证明不等式
，最后构造差函数，利用导数进行证明.
【详解】（I）[方法一]：单调性+零点存在定理法
在 上单调递增，
，所以由零点存在定理得 在 上有唯一零点．
[方法二]【最优解】：分离常数法
函数 在 内有唯一零点等价于方程 在 内有唯一实根，又等价于直线 与
只有1个交点．
记 ，由于 在 内恒成立，所以 在 内单调递增，故
．
因此，当 时，直线 与 只有1个交点．
（II）（i） ，
，
令
一方面： ，
在 单调递增， ，
，
另一方面： ，
所以当 时， 成立，
因此只需证明当 时， ，
因为
当 时， ，当 时， ，
所以 ，
在 单调递减， ， ，综上， .
（ii）[方法一]：分析+构造函数法
，
， ，
，因为 ，所以
，
，
只需证明 ，
即只需证明 ，
令 ，
则 ，
，即 成立，
因此 .
[方法二]【最优解】：放缩转化法
．
设 ，则由 得
．
从而只要证 ．
上式左边 ．使用不等式 可得
