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解密11讲：导数在不等式.恒等式和零点问题综合应用
【考点解密】
考点一：利用导数研究零点问题：
（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极
值点和单调区间从而确定其大致图象；
（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过
构造函数g（x）的方法，把问题转化为研究构造的函数g（x）的零点问题；
（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：
考点二：利用导数证明不等式的基本步骤：
(1)作差或变形．
(2)构造新的函数h(x)．
(3)利用导数研究h(x)的单调性或最值．
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问
题．
【方法技巧】
方法点睛：与 和 相关的常见同构模型：
（1） ，构造函数 （或 ，构造函数 ）；
（2） ，构造函数 （或 ，构造函数 ）；
（3） ，构造函数 （或 ，构造函
数 ）.
方法点睛:该题考查函数与导数的综合应用,属于难题,主要应用的方法有不等式放缩,关于常见的放缩有:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) .【核心题型】
题型一：导数在不等式恒成立问题
1．（2023·全国·郑州中学校考模拟预测）已知函数 ，对于 ， 恒成立，
则满足题意的 的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南·统考一模）已知 ，若不等式 恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，对于任意的 、 ，当
时，总有 成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型二：利用导数研究能成立问题
4．（2023·广西柳州·二模）设函数 （ ，e为自然对数的底数），若存在 使
成立，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·河南驻马店·河南省驻马店高级中学校考模拟预测）已知e是自然对数的底数．若 ，使
，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．6．（2022·江西新余·统考二模）若存在两个正数 ，使得不等式 成立，其中 ，
为自然对数的底数，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型三：利用导数研究函数零点问题
7．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数 ， ，，则函数 的零点个
数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2022·内蒙古呼伦贝尔·校考模拟预测）已知 ，若函数 有三个零点，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 与函数 的图象恰有3个交点，则实数k的
取值范围是（）
A． B．
C． D．
题型四：利用导数研究函数的根问题
10．（2022·四川南充·统考一模）已知函数 有两个极值点 ，若 ，则关于x的方程 的不同实根个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．（2023秋·河南安阳·高三校考期末）已知 是函数 的图象与函数 的图象交点
的横坐标，则 （ ）
A． B． C． D．2
12．（2022·吉林长春·统考模拟预测）已知函数 ，若函数 与 的图象恰
有6个不同的公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型五：利用导数研究函数的图像和性质问题
13．（2022·广东汕头·统考三模）已知函数 ，若关于x的方程 有四个不同的
实根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2022·天津·统考一模）已知函数 ， ，若函数 恰有6
个零点，则实数a的取值范围是（ ）A． B． C． D．
15．（2023秋·天津北辰·高三校考期末）已知函数 ，若函数 与
的图象恰有5个不同公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型六：利用导数研究双变量问题
16．（2022·福建福州·福建省福州格致中学校考模拟预测）已知 ，
若 ，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
17．（2022·安徽六安·安徽省舒城中学校考一模）已知函数 ．若对任意的 ，都存
在唯一的 ，使得 成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．18．（2020·全国·模拟预测）已知函数 ， ，实数 ， 满足 ．若
， ，使得 成立，则 的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
题型七：利用导数解决实际问题
19．（2022春·山西太原·高三太原五中校考阶段练习）如图，某款酒杯的容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面为
面积是 的正三角形.若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则酒杯可放置
圆柱形冰块的最大体积为（ ）
A． B． C． D．
20．（2022·全国·模拟预测）如图所示，在正方体 中， ，点 ， ， 分别在棱 ， ，
上（不包含端点），且平面 平面 ，点 在线段 上，且 ，则三棱锥 的体积的
最大值是（ ）A． B．2 C． D．6
21．（2022·河南开封·统考二模）如图，将一块直径为 的半球形石材切割成一个正四棱柱，则正四棱柱的体积
取最大值时，切割掉的废弃石材的体积为（ ）
A． B． C． D．
题型八：导数的综合问题
22．（2023·浙江·统考一模）设函数 , ．
(1)当 时,证明: ;
(2)若 ,求a的取值范围．
23．（2023·广东广州·统考二模）已知定义在 上的函数 .
(1)若 ，讨论 的单调性；(2)若 ，且当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
24．（2023·四川凉山·统考一模）已知函数 ．
(1) 是 的导函数，求 的最小值；
(2)已知 ，证明： ；
(3)若 恒成立，求 的取值范围．
【高考必刷】
一、单选题
25．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）设命题p：“ ”是“ ”成立的必要不充分条件.命题q：
若不等式 恒成立，则 ．下列命题是真命题的（ ）
A． B．
C． D．
26．（2023·全国·高三专题练习）若函数 恰有两个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
27．（2023·广西柳州·统考模拟预测）设函数 （ ， 为自然对数的底数），若曲线
上存在点 使 成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．28．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， 若函数 ，则函数 的零点
个数为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
29．（2022·河北衡水·衡水市第二中学校考一模）某正六棱锥外接球的表面积为 ，且外接球的球心在正六棱锥
内部或底面上，底面正六边形边长 ，则其体积的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
30．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知函数 ，关于 的方程 恰有两个
不等实根 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
31．（2023·全国·高三专题练习）定义：设函数 在 上的导函数为 ，若 在 上也存在
导函数，则称函数 在 上存在二阶导函数，简记为 .若在区间 上 ，则称函数
在区间 上为“凹函数”.已知 在区间 上为“凹函
数”，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．二、多选题
32．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知函数 在 处有极值，且极值
为8，则（ ）
A． 有三个零点
B．
C．曲线 在点 处的切线方程为
D．函数 为奇函数
33．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ， ，下列正确的是（ ）
A．若函数 有且只有1个零点 ，则
B．若函数 有两个零点，则
C．若函数 有且只有1个零点 ，则 ，
D．若 有两个零点，则
34．（2023·全国·模拟预测）设函数 ，若 恒成立，则满足条件的正整
数 可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
35．（2023·湖南永州·统考二模）已知 ， ， ， ，则有（ ）
A． B．
C． D．三、填空题
36．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考模拟预测）关于x的不等式 在 上恒成立，则a
的取值范围是______．
37．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）已知函数 的导函数 满足： ，且 ，当
时， 恒成立，则实数 的取值范围是________________.
38．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若关于 的方程 有3个不同
的实数根，则 的取值范围为______．
39．（2023·四川攀枝花·统考二模）已知函数 ，若存在非零实数 ，使得
成立，则实数k的取值范围是_________．
四、解答题
40．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 和 有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横
坐标成等差数列．41．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥ x3+1，求a的取值范围.
42．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，函数 ，其中e=2.71828…为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数 在 上有唯一零点；
（Ⅱ）记x 为函数 在 上的零点，证明：
0
（ⅰ） ；
（ⅱ） ．
