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解密10讲：导数在函数中的应用
【考点解密】
1．导数的概念
(1)如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极根，则称y＝f(x)在x＝x 处可导，
0
并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x 处的导数(也称瞬时变化率)，记作f′(x)或 ，
0 0
即f′(x)＝lim＝lim.
0
(2)当x＝x 时，f′(x)是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简
0 0
称导数)，记为f′(x)(或y′)，即f′(x)＝y′＝lim.
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x 处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x，f(x))处的切线的斜率，
0 0 0
相应的切线方程为y－f(x)＝f′(x)(x－x)．
0 0 0
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，α≠0) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝axln a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝log x(a>0且a≠1) f′(x)＝
a
f(x)＝ln x f′(x)＝
4．导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
′＝(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝cf′(x)．5．复合函数的定义及其导数
(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数
y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′＝y′·u′，即y对x的导数等于y对u
x u x
的导数与u对x的导数的乘积．
6．函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
f′(x)>0 f(x)在(a，b)上单调递增
函数y＝f(x)在区
f′(x)<0 f(x)在(a，b)上单调递减
间(a，b)上可导
f′(x)＝0 f(x)在(a，b)上是常数函数
7．利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数
y＝f(x)在定义域内的单调性．
8．函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧
f′(x)<0，右侧f′(x)>0.则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧
f′(x)>0，右侧f′(x)<0.则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
9．函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
【方法技巧】
1．(1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：
①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P处的切线”：在“点P处的切线”，说明点P为切点，点P既在曲线
上，又在切线上；“过点P处的切线”，说明点P不一定是切点，点P一定在切线上，不一定在曲线上．
2．根据函数单调性求参数的一般思路
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，
f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解．
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．
3．函数极值的两类热点问题
(1)求函数f(x)极值的一般解题步骤
①确定函数的定义域．
②求导数f′(x)．
③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根．
④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x 左右两侧值的符号．
0
(2)根据函数极值情况求参数的两个要领
①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
②验证：求解后验证根的合理性．
【核心题型】
题型一：由函数的单调区间求参数
1．（2022·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考三模）已知函数 ， ，若 在 单调递
增，a的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的单调性，则导数在对应区间恒成立，分离参数，构造函数，利用导数求其最值，即可求得参
数的范围.
【详解】因为 在 单调递增，
故 在区间 恒成立，
即 ，令
则 ，故 在 单调递增，
则 ，故 ， 的取值范围为 .
故选：B.
2．（2020·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知 ，若对于 且 都
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 ，化简整理得 ，构造函数 ，依题意
为增函数，求导，令 ，即可求解.
【详解】依题意 ，所以 ，
设 ，则 为增函数，所以 ，化简整理得 .而当 时， 的最大值为1，所以 .
故答案为
【点睛】本题主要考查了根据函数的单调性求参数范围问题，难点在于构造新函数 ，并根据
的单调性进行求解，属中档题.
3．（2019·四川达州·统考一模）若 是 上的减函数，则实数
的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别考虑 ， 时， 的导数，由导数小于等于 恒成立，可得a的范围；再由函数的连续
0
性，可得 ，解不等式可得所求范围．
【详解】解：当 时， 的导数为 ，
由题意可得 ，即 在 恒成立，
可得 ，
由 时，
的导数为 ，
由 ，解得 或 在 恒成立，即有 ，
由 为 上的减函数，
可得 ，即为 ，可得
由 可得a的范围是 ．
故选D．
【点睛】本题考查函数的单调性的定义和应用，考查导数的运用：求单调性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
题型二：由函数在区间上单调性求参数
4．（2022·宁夏吴忠·吴忠中学校考三模）若函数 ，在定义域内任取两个不相等的实数 ，
不等式 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由原不等式恒成立转化为 ，构造函数 ，问题转化为 在 上
单调递增，利用导数求解即可得解.
【详解】根据题意由 在 上恒成立，
不妨设 ，则 可变形为 ，
设 ，则函数 在 上单调递增，
即 在 上恒成立，
所以 ，令 ，因此 ．
故选：B
5．（2022·安徽·南陵中学校联考模拟预测）已知函数 ，若当 时，
，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造函数，由单调性转化为恒成立问题求解【详解】 ，即 ，
令 ，由题意得 在 上单调递增，
即 ，即 在 上恒成立
由基本不等式得 ，当且仅当 即 时等号成立，则
故选：B
6．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）设函数 ，若 为 上的单调函数，则实数
a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出函数的导数，判断其正负，确定导函数由最小值 ，无最大值，由此确定
单调递增，得到 ，求得答案.
【详解】由 得： ，
令 ，
当 时， ， 递减；
当 时， ， 递增，
故 在 时取得最小值 ，无最大值，
由于 为 上的单调函数，只能是递增函数，故 ，
即得 ，
故选：D
题型三：含参数的分类讨论问题
7．（2023·全国·高三专题练习）若 是函数 的极大值点，则实数 的取值范围是
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出 ，分 ， ， ， 分别讨论出函数的单调区间，从而可得其极值情况，
从而得出答案.
【详解】 ，
若 时，当 时， ；当 时， ；
则 在 上单调递减；在 上单调递增.
所以当 时， 取得极小值，与条件不符合,故不满足题意.
当 时，由 可得 或 ；由 可得
所以在 上单调递增；在 上单调递减，在 上单调递增.
所以当 时， 取得极大值，满足条件.
当 时，由 可得 或 ；由 可得
所以在 上单调递增；在 上单调递减，在 上单调递增.
所以当 时， 取得极小值，不满足条件.
当 时， 在 上恒成立，即 在 上单调递增.
此时 无极值.
综上所述： 满足条件
故选：A
8．（2023秋·四川宜宾·高三四川省宜宾市第四中学校校考期末）已知函数 ，若
有四个不同的零点，则a的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】讨论 、 ，应用导数研究单调性，要使 有四个不同的解，即当两个区间均存在两个零点
时，求a的范围即可.
【详解】由题意知： 有四个不同的零点，
∴ ，则 有四个不同的解，
当 时， ，其零点情况如下：
1）当 或 时，有 ；
2）当 或 时， 或 ；
当 时， ，则有如下情况：
1）当 时 ，即 单调递增，不可能出现两个零点，不合题意；
2）当 时，在 上 ， 单调递增，在 上 ， 单调递减，而 有
， 有 ，所以只需 ，得 时， 必有两个零点.
∴综上，有 时， 在 、 上各有两个零点，即共有四个不同的零点.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：应用分类讨论，利用导数研究函数的单调性，求在满足零点个数的情况下参数范围.
9．（2020·全国·高三专题练习）已知不等式ex﹣x﹣1＞m[x﹣ln（x+1）]对一切正数x都成立，则实数m的取值范
围是（ ）
A． B． C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，e]
【答案】C
【分析】设 ，求出函数的导数，通过讨论 的取值范围，结合函数的单调性判断.
【详解】由题意可知，当 时， 恒成立，设 ，
则 ， ，
①当 时， 恒成立， 单调递增，
， 时， ， 单调递增，
又 ， 时， ，符合题意，
② 时， ， 恒成立， 单调递增，
，
（ⅰ）当 ，即 时，与①同理，符合题意；
（ⅱ）当 ，即 时， ，
当 时， ，且 连续，
由零点存在性定理可知，存在 ，使得
时， ， 递减，
又 ， 时， ， 递减，
， 时， ，不合题意，
综上， 的范围是 .
故选：C
【点睛】本题考查函数导数的应用的综合问题，重点考查讨论的思想，转化能力，属于难题.
题型四：根据极值（点）求参数问题
10．（2021秋·四川泸州·高三四川省泸县第二中学校考阶段练习）已知函数 与函数 的
图像上恰有两对关于x轴对称的点，则实数a的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意将函数 与 的图像上恰有两对关于 轴对称的点转化为 有两解，令新的
函数 ，求导，然后判断函数的单调性与极值，则可得 的取值范围.
【详解】因为函数 与 的图像上恰有两对关于 轴对称的点，所以 ，即 有
两解，则 有两解，令 ，则 ，所以当 时， ；当
时， ；所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增；所以 在 处取得极小值，
所以 ，所以 ， 的取值范围为 .
故选：A.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应
用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导
数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的
优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．
11．（2022·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考模拟预测）已知函数 存在极大
值点和极小值点，则实数 可以取的一个值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求得 的导数，可得 有两个不等的正根，等价于 的最小值小于0，分别讨论
、 ，求得 的导数，判断 的单调性和最值，解不等式可得m的取值范围，再结合选项即可得答
案.【详解】解：因为 ， ，
所以 ，
由题意可得 有两个不等的正根，
则 的最小值小于0，
又因为 ， ，
当 时， 单调递增，不合题意；
当 时，由 图象可得， 一定有变号的正零点，
令 的根为 ，解得 ，
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
所以当 时， 取极小值，且为最小值，
所以 ，
化为 ，
由于 在 上单调递增，且 时， ，
所以 的解为 ，
则 ，
只有A选项才满足，
故选：A.
【点睛】方法点睛：对于利用导数求参数范围的题型常采用分离常数法，将问题转化为求分离后的常数与函数的
最值之间的关系.
12．（2022·陕西西安·西安中学校考二模）已知函数 有两个极值点 ，若 ，
则关于 的方程 的不同实根个数为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】先进行求导，利用导数和方程 系数相同，得到 或 ，转化为
和 ， 图像交点问题，
最后利用题目条件画出 的图像即可求解.
【详解】函数 有两个极值点 ，假设 ，则 有两个不等的实
数根， ，方程 的判别式 ，所以方程 有两
解，且 或 ，函数 的图像
和直线 的交点个数即为方程 解的个数，函数 的图像和直线 的交点个数即为方程
解的个数.
在 上单调递增，在 上单调递减，又 ，画出图象如图所示， 的图像
和直线 的交点个数为2个，
的图像和直线 的交点个数为1个， 或 的根共有3个，即方程
的不同实根个数为3.故选：B.
【点睛】本题关键在于发现导数 和方程 系数对应相等，得到方程有两解，
且 或 ，
再转化成图像交点问题，最后数形结合即可求解.
题型五：由导数求函数的最值问题
13．（2022·安徽·巢湖市第一中学校联考模拟预测）已知不等式 对 恒成立，则实数a的最
小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】将不等式 等价为 ，令 ，再利用函数的单调性和参数分
离，结合导数可求最值，即可得解.
【详解】解：由题意得：
不等式 对 恒成立等价于不等式 对 恒成立
设 ， ，则当 时， ，则 在 上单调递减
与题意矛盾
．令 ，则
在 上单调递增
，当 ，即 时， ，则 在 上单调递增
，符合题意；
当 ，即 时，由 ，得存在 ，使 ，当
时， ，即 ，则 在 上单调递减，则 ，不符合题意，因此实数a的最小值为
．
故选：C．
14．（2022秋·湖南郴州·高三校考阶段练习）已知函数 若方程 恰
有3个不同的实根，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将函数分成两段来看，构造新函数通过观察函数在 两侧零点的分布情况来确定参数取值的情况.
【详解】由题，当 时，令 ，
根据一次函数性质可得 ，此时有一个根， ，此时无根；
当 时，令 ，求导
，
令 ，当 时， 在 上单调递增，故无零点，不满足题意；当时， 在 单调递减，在 单调递增，
由题，函数 恰有3个零点，则说明在当 时，有1个零点，在 时有两个零点，故可知 且
，
所以 ，解得 ；
综上可得
故选：B
15．（2021秋·河南驻马店·高三校考阶段练习）已知函数 ，对任意 ，
不等式 恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出函数 在 上的最值， 等价于 ，解出即可．
【详解】因为 ，所以 ，
当 时，对任意的 ， ，恒有 ；
当 时， , 恒有 ，
所以 在 上是单调递增函数，对任意的 ，不等式 恒成立, 只要
，
又 ， ,
所以 ，即 , 解得 ,
所以 的取值范围是 ．故选：B．
题型六：由函数最值求参数问题
16．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数 ，当 时，若 恒成立，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求函数导数后可知导函数为 上的增函数，根据a分类讨论，求 的最小值即可求解.
【详解】 ，
，
当 时， 单调递增，
，
（1）若 时， ，
所以 在 时单调递增， 恒成立，
（2）若 时， ，由 单调递增知，存在 ，使得 ，
故 时， ，当 时， ，
所以 在 时单调递减，
所以 ，即在 上存在 使得 ，
所以 时不满足题意.
综上， ，
故选：A
【点睛】关键点点睛：对a分类讨论，研究导函数的单调性，根据导函数的单调性求最小值，根据最值是否满足
不小1，判断a所取范围，属于中档题.17．（2022·辽宁丹东·统考一模）设 ，若函数 的最小值为 ，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】按 分类讨论，在 时，对 的函数利用导数求最小值，由最小值为 列不等式求
解，注意利用函数的单调性得出结论．
【详解】若 ，当 时， 为增函数，且 ，不符合题意.
若 ，最小值为 .
若 ，当 时， 的最小值为 .
当 时， ，若 ，则 ，若 ，则 ， 在 在，在 上递增，
故 的最小值为 .
由 ，
， ，设 ，它在 上是增函数，且 ，
所以 的解是 ．
可得
综上，常数 的取值范围为 .
故选：B．
18．（2022秋·河南洛阳·高三校联考阶段练习）设函数 ，若 ，且
的最小值为 ，则a的值为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】令 ，可得 ，构造函数利用导数即可求出.
【详解】令 ，由图象可得 ，
因为 ，所以 ，即 ，
则 ，
令 ，
则 ，令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减， ，解得 ，符合，
当 ， 在 单调递减，在 单调递增，
则 ，解得 ，不符合，
综上， .
【点睛】方法点睛：本题考察双变量问题的函数与方程的应用，解决这种题的常见方法是利用换元法将变量转化
为只有1个变量，注意利用数形结合考虑变量的取值范围.
题型七：函数的单调性 极值和最值问题综合19．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)求函数 的最值；
(2)若关于x的不等式 恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)最小值为 ，无最大值.
(2)
【分析】(1)利用导函数讨论函数的单调性即可求最值；(2)分离参变量，构造函数 ，利用导数
结合单调性讨论其最小值即可求解.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
令 解得 ，令 解得 ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，
所以当 时， 有最小值为 ，无最大值.
（2）由 的定义域可得 ，
即 ，
等价于 恒成立，
令 ，所以 ，
令 ，
所以 在 恒成立，
所以 单调递增，，
所以存在唯一 ，使得 ，即 ，
所以当 时， ，即 ， 单调递减，
时， ，即 ， 单调递增，
所以
由 得 ，也即 ，
即 ，由(1)知 在 单调递增，
所以 ， ，
所以 ，
所以 .
【点睛】方法点睛：分离参变量是求参数取值范围常用的方法，本题第二问对不等式等价变形为
,从而 ，构造函数讨论单调性及最值是常用的方法，解决的关键在于
利用零点的存在性定理得 ，再根据（1）得 的单调性，进一步得到 ，
，等量代换求出最小值.20．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）已知函数 ，其中 为常数， 为自然对数的底数.
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 在区间 上的最大值为 ，求 的值.
【答案】(1)函数 增区间为 ，减区间为
(2)
【分析】（1）确定函数定义域，求出函数的导数，根据导数的正负，即可求得函数的单调区间；
（2）求得函数的导数，讨论a的取值范围，确定函数的单调性，确定函数的最值，结合题意，求得a的值.
【详解】（1）函数 的定义域为
当 时， ， ，
令 得， ；令 得， 或 ，结合定义域得 ，
∴函数 增区间为 ，减区间为 ；
（2）
①当 时， ，∴ ，∴函数 在 上是增函数，
∴ ，∴ ，∴ 符合题意；
②当 且 时，令 得 ，
+ 0 -
增函数 极大值 减函数
∴ ，∴ ，∴ 不符合题意，舍去；
③若 ，即 时，在 上 ，∴ 在 上是增函数，故 在 上的最大值为 ，
∴ 不符合题意，舍去，
综合以上可得 .
21．（2023·广东广州·统考二模）已知定义在 上的函数 .
(1)若 ，讨论 的单调性；
(2)若 ，且当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)分类讨论，答案见解析；
(2) .
【分析】（1）求出函数 的导数 ，再分类讨论解 和 作答.
（2）当 时，可得 为任意正数，当 时，变形给定不等式，构造函数并利用单调性建立不等式，分离
参数求解作答.
【详解】（1）函数 ， ，求导得： ，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时，由 得 ，由 得 ，则 在 上递增，在 上递减，
所以当 时，函数 的递增区间是 ；
当 时，函数 的递增区间是 ，递减区间是 .
（2）因为 ，且当 时，不等式 恒成立，
当 时， ， 恒成立，因此 ，
当 时， ，令 ，原不等式等价于 恒成立，
而 ，即函数 在 上单调递增，因此 ，
即 ，令 ， ，
当 时， ，当 时， ，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
，因此 ，
综上得 ，
所以实数 的取值范围是 .
【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最
值是解决问题的关键.
【高考必刷】
一、单选题
22．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）函数 ，则满足不等式 的实数
x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对函数求导，可知函数 在 上单调递增，根据单调性可得 ，进而求出实数x的取
值范围.
【详解】由题意，函数 ，
当 时， ， 在 上单调递增；
而 ， ，由 可得 ，
即 ，易知 ，故选：D.
23．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知函数f（x）为定义在R上的偶函数，当 时，
， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意构造函数 ，通过导数研究函数 的单调性和奇偶性，将不等式等价转化为
，分情况讨论并求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，
构造函数 ，当 时， ，
所以函数 在区间 内单调递增，且 ，
又 是定义在R上的偶函数，所以 是定义在R上的偶函数，
所以 在区间 内单调递减，且 ．
不等式 整理可得： ，
即 ，当 时， ，则 ，解得 ；当 时，
，则 ，
解得 ，又 ，所以 ．
综上，不等式 的解集为 ．
故选：A．
24．（2023·甘肃兰州·校考一模）已知函数 的极值点为 ，函数 的最大值为 ，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对 求定义域，求导，观察出导函数单调递增，结合零点存在性定理得到 ，
对 求定义域，求导，得到其单调性和极值，最值，得到 ，判断出 .
【详解】 的定义域为 ，
在 上单调递增，且 ， ，
所以 ， ．
的定义域为 ，由 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 处取得极大值，也是最大值， ，
即 ．所以 ．
故选：A
25．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）已知函数 存在唯一的极值点，则实数a的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据导数结合已知得出 在 没有变号零点，即 在 没有变号零点，令
，通过导数求出其在 上的最值，即可得出实数a的取值范围.【详解】 ， ，
则 ，
，
，
函数 存在唯一的极值点，且 在 上有一个变号零点 ，
在 没有变号零点，
即 在 没有变号零点，
令 ， ，
则 ，
当 时， ，则函数 单调递增；
当 时， ，则函数 单调递减；
则 ，
则 ，
故实数a的取值范围为 ，
故选：B.
26．（2023·全国·模拟预测）函数 恰有3个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对函数 进行求导，令 ，借助 分析 的单调性，极值和最值情况即
可求解【详解】由 可得 ，
令 ，所以 ，
因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递增，
因为 ，所以当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增，
所以 ，即 ，
要使函数 恰有3个零点，则需 ，解得 ，
当 时， ， ，
所以存在 ，使得 ，
所以当 或 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
因为 ，所以 ，
因为
当 趋向于正无穷时，指数函数 的增长速率远远超过一次函数 ，且趋向于正无穷，则
趋向于正无穷，
所以存在 ，使得综上，当 时，函数 恰有3个零点，
故选：A
【点睛】关键点睛：这道题的关键之处是发现 ，故只需要存在 ， ，
则 即可
27．（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）已知函数 （ ， ）在区间 上总存在零
点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 为函数 在区间 上的零点，得到即 （ ），转化为点 是直线
上的点，
即可得到 的值等于点 到直线 的距离的平方，从而得到关于 的函数关系式：
（ ），结合导数知识，即可求解.
【详解】设 为函数 在区间 上的零点，
因为函数 （ ， ）在区间 上总存在零点，
所以 ，即 ， ，
则点 是直线 上的点，
所以 （ ），设 （ ），
则
设 ， ，
则 ， ，
令 ， ，
则 ，
当 时， ，所以 在 上是增函数，
则 ，即当 时， ，
所以 在 是增函数，则 ，
即 时， ，所以 在 上是增函数，
则 ，
综上： 的最小值为 ，
故选：A.
28．（2022秋·新疆·高三校联考阶段练习）已知函数 对 均满足 ，其
中 是 的导数，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】构造函数 ，求导得到 ，得到其单调区间，再对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】令 ， ，
∴当 时 ，∴ 单调递增，当 时， ，∴ 单调递减.
对于A： ，即 .故A错误；
对于B： ，又 ，
∴ ，故B正确；
对于C： ，又 ，
∴ ，故C错误；
对于D： ，又 ，∴ ，故D错误.
故选:B.
29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，函数 有四个不同的零点，从小到大
依次为 ， ， ， ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】根据导函数判断函数 的单调性，画出函数图像，将 有四个零点转化为 的图像与
有四个不同交点，分析可知 ，由韦达定理可得 ，设 ，
，由导函数分析函数单调性，即可求出范围.
【详解】解： 时， ， ，
在 上单调递减，在 上单调递增， ，
时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增， ，
画出 的图像如下图， 有四个零点即 的图像与 有四个不同交点，
由图可得 ， 是方程 ，即 的两根，
是方程 ，即 的两根，
， ，
则 ，
设 ， ，则 ， 在 上单调递增，
当 时， ，即 .
故选：A.二、多选题
30．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）已知 存在两个极小值点,则 的取值
可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】若 存在两个极小值点,则 至少有三个变号零点,对 进行全分离,
求出 有三个变号零点时的 的取值范围,再根据 的取值范围证明此时有两个极小值点,再根据选项是否在此
范围内,即可得出结果.
【详解】解:由题知 ,
定义域为 ,
所以 ,
若 存在两个极小值点,
则 至少有三个变号零点,
因为 ,所以需 在 上至少有两个不等于1的零点,
即 与 有两个不同的交点,
故 , ,
当 时, , 单调递增,
当 时, , 单调递减,
因为指数函数增长比幂函数增长快,所以当 趋向于正无穷时, 远远大于 ,
故 趋向于正无穷时, 趋向于0,
又因为
由此画出 在 图象如下:
由图象可知: ,
下证:当 时, 有两个极小值点,
不妨记 与 的两个不同交点的横坐标为 ,
可记 ,
则当 时, ,即 , ,
此时 , 单调递减,
当 时, ,即 , ,
此时 , 单调递增,
当 时, ,即 , ,
此时 , 单调递减,
当 时, ,即 , ,此时 , 单调递增,
故 存在两个极值点分别为 符合题意,
故 成立;
因为 ,
故选项A 正确;
取 , ,
所以 ,
因为 ,
,
所以存在 ,使得 ,
所以在 上, , 单调递减,
在 上, , 单调递增,
注意到 ,
所以 ,
即 时, ,即 ,
所以
,
故选项B正确;
取 ,
所以 ,
故 在 上单调递减,
所以 ,即 ,
所以 ,
故选项C正确,
取 ,
所以 ,
故 在 上单调递增,
所以 ,即 ,
所以 ,
故选项D错误.
故选:ACD
【点睛】方法点睛:该题考查函数与导数的综合问题,属于难题,该题应用了放缩来判断数的大小,关于常见的放缩有:
(1) ;
(2) ;
(3) ;(4) ;
(5)根据函数的凹凸性,可得函数在某个区间内与函数割线的大小关系.
31．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知函数 在 处有极值，且极值
为8，则（ ）
A． 有三个零点
B．
C．曲线 在点 处的切线方程为
D．函数 为奇函数
【答案】AC
【分析】由条件根据极值与导数的关系求 ，判断B，利用导数分析函数 的单调性，结合零点存在性定
理判断A，根据导数的几何意义求切线，判断C，根据奇函数的定义判断D.
【详解】由题意得 ，又 ，又 ，解得 (舍
去）或 ，故B项错误；
， ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
又 ， ， ， ，
所以 有三个零点，故A项正确；又 ， ，
则曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，故C项正确；
，故D项错误.
故选：AC.
32．（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】通过多次构造函数，结合函数的性质、选项及 进行求解.
【详解】设 ， ，当 时， ， 为减函数；当 时， ，
为增函数；所以 的最大值为 ，即 .
因为 ，所以 .
设 ， ，所以当 时， 为减函数；
因为 ， ，所以 .
由 可得 ，所以 ，故B正确.
设 ， ，当 时， ， 为减函数；当 时， ， 为
增函数；所以 的最大值为 ，所以 ，即 ..
设 ，易知 为增函数，由 可得 ，故C正确.
因为 为单调递减函数， 在 上是增函数，在 上是减函数，且 的图象
经过 图象的最高点，所以当 时， 的大小无法得出，故A不正确.
令 ，则 ，得 ，易知 在 为增函数，所以 ，
所以 不成立，故D不正确.
故选：BC.
【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的常用方法：
（1）作差比较法：作差，构造函数，结合函数最值进行比较；
（2）作商比较法：作商，构造函数，结合函数最值进行比较；
（3）数形结合法：构造函数，结合函数图象，进行比较；
（4）放缩法：结合常见不等式进行放缩比较大小，比如， 等.
33．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．当m＞0时，函数 的图象在点 处的切线的斜率为
B．当m＝l时，函数 在 上单调递减
C．当m＝l时，函数 的最小值为1
D．若 对 恒成立，则
【答案】ABD
【分析】A. 由m＞0直接求导求解判断；B. 由m＝l，利用导数法求解判断；C. 由m＝l，利用导数法求解判断；
D. 将 对 恒成立，转化为 对 恒成立，利用
的单调性转化为 对 恒成立求解判断.【详解】解： ，
当 时， ，则 ，故A正确；
当m＝l时， ，令 ，则 ，
所以 在 上递增，又 ，即 在 上成立，
所以 在 上递减，故B正确；
当m＝l时， ，令 ，则 ，
所以 在 上递增，又 ， ，
所以存在 ，有 ，即 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 ，故C错误；
若 对 恒成立，
则 对 恒成立，
设 ，则 ，所以 在 上递增，
则 对 恒成立，即 对 恒成立，
设 ，则 ，当 时， ，当 时， ，
所以 ，则 ，解得 ，故D正确.
故选：ABD
34．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，则下列说法正确的是（ ）A． 在 上是增函数
B． ，不等式 恒成立，则正实数 的最小值为
C．若 有两个零点 ，则
D．若 ，且 ，则 的最大值为
【答案】ABD
【分析】A选项中，令 ，利用导数可求得 单调性，根据复合函数单调性的基本原则可知A正确；B
选项中，利用导数可求得 在 上单调递增，由此可将恒成立的不等式化为 ，令
，利用导数可求得 ，由 可知B正确；C选项中，利用导数可求得 的单调
性，由此确定 ，若 ，可等价转化为 ，令 ，利用导数
可求得 单调性，从而得到 ，知 ，可得C错误；D选项中，采用同构法将已知等式化
为 ，从而可确定 ，结合 单调性得到 ，由此化简得到 ，
令 ，利用导数可求得 最大值，知D正确.
【详解】对于A，当 时， ，令 ，则 ， ，
， 当 时， 恒成立， 在 上单调递增；
在 上单调递增，
根据复合函数单调性可知： 在 上为增函数，A正确；
对于B，当 时， ，又 为正实数， ，， 当 时， 恒成立， 在 上单调递增，
则由 得： ，即 ，
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减， ，
，则正实数 的最小值为 ，B正确；
对于C， ， 当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增； ，则 ；
不妨设 ，则必有 ，
若 ，则 ，等价于 ，
又 ，则等价于 ；
令 ，则 ，
， ， ， ，即 ，
在 上单调递增， ，即 ，
，可知 不成立，C错误；
对于D，由 ， 得： ，即
，
由C知： 在 上单调递减，在 上单调递增；
， ，则 ， ，，即 ， ；
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减， ，
即 的最大值为 ，D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：本题C选项考查了导数中的极值点偏移问题；处理极值点偏移中的类似于 （
）的问题的基本步骤如下：
①求导确定 的单调性，得到 的范围；
②构造函数 ，求导后可得 恒正或恒负；
③得到 与 的大小关系后，将 置换为 ；
④根据 与 所处的范围，结合 的单调性，可得到 与 的大小关系，由此证得结论.
三、填空题
35．（2023·全国·模拟预测）已知 ，函数 在 上的最小值为2，则实数 __________.
【答案】1
【分析】利用导数分类为 与 讨论，得出 在 上的最小值，由最小值为2求解a的值
即可得出答案.
【详解】 ，，
当 时，即 时，
则 在 上恒成立，则 在 上单调递增，
在 上的最小值为 ，解得 ，
当 时，即 时，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
在 上的最小值为 ，舍去，
综上所述： ，
故答案为：1.
36．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知 和 是函数 的两个极值点，且
，则 的取值范围是______．
【答案】
【分析】利用导函数和极值点的定义可得 和 是方程 的两个根，所以函数 的图象与直
线 有两个不同的交点，利用导函数作出 的图象，数形结合即可求解.
【详解】由题意可得 ，
故 和 是函数 的两个零点，即是方程 的两个根，
又 ，所以 ，所以 和 是方程 的两个根，
所以函数 的图象与直线 有两个不同的交点，且交点的横坐标分别为 ，由于 ，所以当 或 时 ，当 时， ，
故 在区间 ， 内单调递减，在区间 内单调递增，且当 时， ，
作出 的图象如图所示：
由图可知 ，且 ，
因为 ，取 ，并令 ，则 ，
所以 ，解得 ，此时 ，
故 时 ，即m的取值范围是 ，
故答案为：
37．（2023·湖南湘潭·统考二模）已知 是函数 的一个零点，且 ，则 的最小
值为__________．
【答案】 ## .
【分析】由题意得 ，设直线 ，则点 是直线l上的一点，然后求出原点O到直线l的距离，构造函数 ，利用导数求出其最小值即可.
【详解】由已知可得 ．
不妨设直线 ，则点 是直线l上的一点，
原点O到直线l的距离 ，
则 ，
设 ，
在 上递减，在 递增
可得 ，
所以 的最小值为 ．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查函数与方程的应用，解题的关键是设直线
，则点 是直线l上的一点，然后将问题转化为则 大于等于原点O到直线
l的距离 ，再构造函数 ，求出其最小值即可，考查数学转化思想和计算能力，
属于较难题.
38．（2022·湖南郴州·安仁县第一中学校考模拟预测） 的两个极值点 满足，则 的最小值为________.
【答案】
【分析】由已知函数求导，令 则可得 ，代入极值点后两式作商，可得到 的关系，作商得到的
结果指对互换，便可解出 ，根据题目所求 ，代入后便可构造新的函数，通过求导可求得最小值.
【详解】由函数 ， ， 则 ，因为函数
两个极值点 ，则
①， ②，得 ③，设 ，则 且 ，代入③得 ，
设 ，则 ，
设 ，则
， 在 单调递减， ，从而 ， 在 单调递
减， ， 故 的最小值为 .
故答案为：
【点睛】求函数最值，通常是对所求函数求导，当一阶导数不能确定极值点时，可二阶求导确定导函数的单调性
和零点，可得到原函数的单调区间，进而求得原函数的最值.
四、解答题(共0分)
39．（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知函数 ， ．
(1)讨论 的单调性；(2)对 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)答案见详解
(2)
【分析】（1）由题知 ，进而分 和 两种情况讨论求解即可；
（2）由题知 ， 恒成立，进而令 ， ，再根据
，当且仅当 时等号成立得 ，进而得 即可得答案．
【详解】（1）函数 的定义域为 ， ，
当 时，即 时， 在 上恒成立，则 在 上单调递增，
当 时，即 时，令 得 ，
所以当 时， ，此时 单调递增；
当 时， ，此时 单调递减，
综上，当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增，在 上
单调递减．
（2）因为对 ， 恒成立，即 ， 恒成立，
所以 ， 恒成立，
令 ， ，
因为 ， ，
设 ，则 ，所以当 时， ，此时 单调递减；当 时， ，此时 单调递增，
所以 ，即 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
令 ，则 恒成立，
所以 在 上单调递增，
因为 ， ，
所以方程 在 有解，即 的等号能够取到；
所以 ，
所以要使 ， 恒成立，则 ，即 ，
所以 的取值范围是 ．
【点睛】关键点点睛：小问（2）解题的关键在于借助 ，当且仅当 时等号成立，放缩
，进而得 ．
40．（2023·广东惠州·统考模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若函数 恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)函数 的单调递增区间为 ，单调递区间为
(2)
【分析】（1）利用导数求函数的单调区间；
（2）通过构造函数利用导数找最值的方法解决恒成立问题，求解实数a的取值范围.【详解】（1）函数 的定义域是 ，
当 时， ，
令 得 ，所以函数 在 上单递递增；
令 得 ，所以函数 在 上单调递减．
所以函数 的单调递增区间为 ，单调递区间为 ．
（2） 恒成立，等价于 恒成立，
令 ，
因为 恒成立，所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
所以 恒成立，等价于 恒成立
令 ，问题等价于 恒成立
①若 时， 恒成立，满足题意；
②若 时，则 ，所以 ，不满足题意；
③若 时，因为 ，令 ，得 ，
， ， 单调递减， ， ， 单调递增，
所以 在 处取得最小值 ，
要使得 ，恒成立，只需 ，
解得
综上：【解法二】 恒成立，等价于 ，
令
①若 时， ，所以 在 上单调递增，
，即 ，满足 ，
②若 时，则 ， ，所以 在 上单调递增，
由 ，
函数 在 上单调递增，值域为 ；函数 在 上单调递增，值域
为 ；
所以 ，使得 ，不满足题意．
③若 时，令 ，∴ ，
令 ，则 在 上单调递增，
函数 在 上单调递增，值域为 ；函数 在 上单调递减，值域为 ；
则 ， ； ， ，； ， ，
所以 ， ， ，
， ， 单调递减， ， ， 单调递增，
只需 即可，
∴ ，∴ ，
令 ， ，∴ 在 上单调递增，，∴ 时， ， ， ，
所以 在 上单调递增，∴ ，
即 ，
综上：
【点睛】1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问
题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处
理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形
结合思想的应用.
3..证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想
去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
41．（2023·四川凉山·统考一模）已知函数 ．
(1)求 的最小值；
(2)已知 ，证明： ；
(3)若 恒成立，求 的取值范围．
【答案】(1)0
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用导数判断 的单调性，即可确定其最小值；（2）根据（1）的结论即可 ，再利
用对数运算法则即可证明不等式；（3）将参数 与变量 分开，通过构造函数研究其单调性，求出最值即可得出
的取值范围.
【详解】（1）因 ，
则 ，令 ，得 ，
又 时， ，函数 在 上单调递减；
时 ，，函数 在 上单调递增；
即函数 在 处取最小值，即
所以 的最小值为0．
（2）由（1）小题结论可知 ，当且仅当 时等号成立，
则 时 ，即
所以
所以不等式成立.
（3）由题可知 ， 恒成立
等价于不等式 恒成立，
令 ，则命题等价于 ，
由（1）知， ，即有 ，当且仅当 时等号成立，
所以
当 ，即 时能取等号，所以 ，即
的取值范围为 ．
【点睛】方法点睛：求解参数取值范围问题，常用的方法是将参数与自变量分离，再通过构造函数利用导数得出
函数单调性求出其最值，即可求得参数的取值范围.
42．（2023·广西柳州·统考模拟预测）已知 ，记 的导函数为 ．
(1)讨论 的单调性；(2)若 有三个零点 ，且 ，证明： ．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导得到 ，进而得到 ；令 ，分别在 、 的情况下，结合二次函
数零点的分布可确定 ，即 的正负，由此可得 单调性；
（2）根据零点个数和（1）的结论可知 ，结合 可确定 ；
根据 可将所证不等式转化为 ，根据 可表示出 ，整理得到 ，
构造函数 ，利用导数可求得 单调性，得到 ，从而证得结论.
【详解】（1）由题意知： 定义域为 ， ，
即 ， ；
令 ，则 ；
①当 ，即 时， 恒成立，即 恒成立，
在 上单调递增；
②当 ，即 或 时，令 ，解得： ；
当 时， ， 在 上恒成立，即 恒成立，
在 上单调递增；当 时， ，
当 时， ，即 ；当 时，
，即 ；
在 上单调递增，，在 上单调递减；
综上所述：当 时， 在 上单调递增；当 时， 在
上单调递增，，在 上单调递减.
（2）若 有三个零点，则由（1）知： ，
又 ， ，
， ， ；
， ，
又 ， ；
要证 ，只需证 ，即证 ；
由 得： ，即 ，
即证 ，又 ， 只需证 ；令 ，则 ，
在 上单调递增， ，
即当 时， 恒成立，
， ，则原不等式得证.
【点睛】关键点点睛：本题考查讨论含参数函数单调性、利用导数证明不等式的问题；本题证明不等式的关键是
将多个变量的不等式转化为关于一个变量的不等式的形式，采用构造函数的方式可将问题转化为函数最值的求解
问题，.
43．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知函数 ．
(1)求 在区间 内的极大值；
(2)令函数 ，当 时，证明： 在区间 内有且仅有两个零点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，求解极大值.
（2）由 可构造 ，讨论单调性和极值，证明零点个数的结论.
【详解】（1）解：由题得 ，
当 时， ，当 时， ，
则 在区间 内单调递增，在区间 内单调递减，所以 在区间 内的极大值为 ．
（2）证明： ，
设 ，则 ，
令 ，则 ( )，所以 在区间 内单调递减．
又 ， ，故存在 ，使得 ，
当 时， ，即 ， 在区间 内单调递增；当 时， ，即 ，
在区间 内单调递减．
又 ， ，因为 ，所以 ，
所以 在区间 ， 内各有一个零点，即 在区间 内有且仅有两个零点．
【点睛】方法点睛：1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等
式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极
(最)值问题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形
结合思想的应用.
3..证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想
去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
