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专题12 平面向量
【练基础】
一、单选题
1．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知 是边长为1的正三角形， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】根据题意画出图像，即可得出 ， ，再得出 ，代入计算即可得出答案．
【详解】由 ，可知E为BC中点，所以 ，如图所示：
因为 ，根据上图可知
故选：A
2．（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）已知平面非零向量 满足 ，则 的最小值为
（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【分析】根据向量数量积的定义和关系，把 的两边平方，利用基本不等式进行转化求解即可．
【详解】设非零向量 ， 的夹角为 .，所以 ，
由 两边平方得： ，
，
，
即 ，
即 ，
， ，即当 时， 取得最小值，最小值为8.
故选：C．
3．（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知平面单位向量 ， ， 满足 ，则
（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】根据 可得 ，替换 ，利用数量积的运算即可求解.
【详解】如图，设 ， ，
因为 ，所以平行四边形 为菱形，
则 为正三角形，所以 ，且 反向，所以 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
故选:C.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ， ，若 与 的夹角为 ，则 在 方向上的
投影为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量夹角的坐标表示可构造方程求得 的值，根据投影的定义可直接求得结果.
【详解】 ， ，
当 时， ，解得： ；
若 ， 不合题意， ；
当 时， ，解得： （舍）；
综上所述： ， ，
在 方向上的投影为 .
故选：C.
5．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）如图，在边长为2的等边 中，点E为中线BD的三等分点（靠近点
D），点F为BC的中点，则 （ ）A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算得 ，再利用数量积的计算公式计算即可.
【详解】在边长为2的等边 中, BD为中线，则
故选：A
6．（2022·河南·统考一模）已知抛物线 的焦点为F，动点M在C上，圆M的半径为1，过点F的直
线与圆M相切于点N，则 的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】由题作图，由图可得 ，根据抛物线定义可得 等于点 到准线 的距离，根据
图形可得最小值情况，从而可得 的最小值.
【详解】因为抛物线 ，所以焦点坐标为 ，如下图所示：连接 ，过 作 垂直准线
于 ，则在直角 中， ，
所以 ，
由抛物线的定义得： ，
则由图可得 的最小值即抛物线顶点 到准线 的距离，即 ，
所以 .
故选：D.
7．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 的上、下焦点分别是 ， ，若双曲线C上
存在点P使得 ， ，则其离心率的值是（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【分析】设 ，结合 以及 列方程，化简求得离心率.
【详解】设 ，则 ①，
利用向量加法法则知 ，则
即 ，故 ②，
设 ，
则 ，
③，
由②③得 ，即 ，
又 ，所以 ，即 ，即
所以双曲线离心率的值是3
故选：D
8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在 中，点D是边AB上一点且 ，E是边BC的中点，直线
AE和直线CD交于点F，若BF是 的平分线，则 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【答案】C
【分析】首先根据BF是 的平分线，则存在一个实数 使得 ，
再替换向量 和 ，利用平面向量基本定理的推论，即可求解.
【详解】因为BF是 的平分线，所以存在一个实数 使得 ，（根据角平分线的条件，选
择合适的基底）因为E是边BC的中点，所以 ，又点A，E，F共线，所以 ①．（三点共线的应
用： （ ， 为实数），若A，B，C三点共线，则 ）
因为 ，所以 ，又点C，F，D共线，所以 ②，联立①②，得
，则 ，即 .
故选：C．
二、多选题
9．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知向量 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若 ，则 的值为
C．若 ，则 的值为
D．若 ，则 与 的夹角为锐角
【答案】AC
【分析】根据平面向量的模公式、垂直向量、共线向量的性质，结合平面向量夹角公式进行逐一判断即可.
【详解】因为 ，所以选项A说法正确；
因为 ，所以 ，所以选项B说法不正确；
因为 ，所以 ，所以选项C说法正确；
当 时， ，所以 ，因此选项D说法不正确，
故选：AC
10．（2023·全国·模拟预测）在菱形 中， ， ，点 为线段 的中点， 和 交于点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】以 为坐标原点可建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算依次验证各个选项即可.
【详解】 四边形 为菱形， ，
则以 为坐标原点， 正方向为 轴，可建立如图所示平面直角坐标系，
， ， ， ，
， ， ， ， ，
对于A， ， ，A正确；
对于B， ， ， ，B正确；
对于C， ， ， ，C错误；
对于D， ， ， ，D正确.
故选：ABD.
11．（2022·湖南郴州·安仁县第一中学校考模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．B．非零向量 和 ，满足 且与 同向，则
C．非零向量 满足
D．已知 ， ，且 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是
【答案】AC
【分析】选项A，根据向量的数量积运算律判断；选项B，由向量与向量间不能比较大小判断；选项C，由
平方判断；选项D数量积大于零，且不共线求解判断
【详解】A. 由向量的数量积的运算律知： ，故正确；
B.由向量与向量间不能比较大小知，错误；
C.由 两边平方得： ，则 ，故正确；
D.已知 ， ，且 与 的夹角为锐角，
则 ，且 与 不共线，
则 ，解得 ，故错误；
故选：AC
12．（2022·全国·高三专题练习）已知 是半径为2的圆O的内接三角形，则下列说法正确的是（ ）
A．若角 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则 ， 的夹角为
D．若 ，则 为圆O的一条直径
【答案】BC
【分析】对于A，作OD垂直于AB.垂足为D，则 ，由正弦定理求出AB,利用数量积的几何意义求得
，即可判断；对于B,利用向量的加法运算可推出 ，即可判断；对于C，将平方，结合数量积的定义可求得 ， 的夹角；对于D,根据数量积的运算律可推出
，判断BC为圆的直径，即可判断D.
【详解】对于A，作OD垂直于AB.垂足为D，则 ,
由正弦定理得 ，
故 ,故A错误；
对于B,由 得， ，
即 ,则点O为BC的中点，即BC为圆的直径，故 ，B正确；
对于C，设 ， 的夹角为 ，
由 得， ，即 ，
解得 或 ，
由于 ，故 ，故 ，
则 ， 的夹角为 ，C正确；
对于D,由 得 ，
即 ，则 为圆O的一条直径，D错误，
故选:BC
三、填空题13．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知平面向量 满足 ，则
__________．
【答案】 ##
【分析】根据所给条件平方后可得 ，再求出 ，可知向量 与 夹角相等，
即可求解.
【详解】由 平方可得： ，又 ，
，即 ，
由 知， ，
又 ， ，
且为锐角，
，
，
解得 ，
故答案为：
14．（2023·湖南岳阳·统考一模）已知椭圆E： 的左、右焦点分别为 、 ，圆P：
分别交线段 、 于M、N两点，则 ______.
【答案】 ##1.2【分析】根据椭圆的定义及圆的半径确定 ，再由数量积坐标运算求解.
【详解】由 知圆心 ，半径 ，
又椭圆方程为 ，
所以 在椭圆上，且椭圆的焦点 ， ，
所以 ， ，
因为 ,
所以 ,
又 ，
所以 .
故答案为：
15．（2023·全国·高三专题练习）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的前纸，它是中国古老的传统民间艺术之一.在
2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图
1）.已知正方形 的边长为2，中心为 ，四个半圆的圆心均为正方形 各边的中点（如图2），若 在
的中点，则 ___________.
【答案】8
【分析】可分别构造 与 ，分别求得 的长度以及 、 ，根据数量积的定义以及运算律即可求得；也可取 中点为 ，构造 ，求出 以及 的值.又
，根据数量积的定义即可求得.
【详解】方法一：
图3
如图3，取 中点为 ，连结 ，显然 过 点.
易知， ， ，
则 ， ， .
所以， .
图4
如图4，延长 交 于 ，易知 是 的中点，且 .
则 ， ，
在 中， ， .
所以， .所以， .
故答案为：8.
方法二：
图5
取 中点为 ，连结 ，显然 过 点.
易知， ， ，
如图5，取 中点为 ，显然 ， ， .
在 中， ， .
又 为 中点，则 .
所以， .
故答案为：8.
16．（2021·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）在四边形ABCD中， ， ， ，
，点E在线段CB的延长线上，且 ，则 ______.
【答案】1
【分析】建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解．
【详解】建立如图所示的直角坐标系，因为 ， ， ，
则 ，
又 则 ，
因为 ，所以 ，
所以直线 的斜率为 ，
其方程为 ，
直线 的斜率为 ，
其方程为 ,
由 得 ， ，
所以 ,
由 ， ，
所以 ，
故答案为：1.四、解答题
17．（2022·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）已知向量 ， 满足 ， ， ．
(1)若 ，求实数 的值；
(2)若设 与 的夹角为 ，求 的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量垂直数量积为 ，得出 ，从而确定向量 ， 不共线，可作为一组基底，再根据
共线定理得出实数 的值；
（2）根据两向量的夹角公式的需要，首先求出两向量的数量积，再求出 的模长，最后代入夹角公式即可.
（1）
由 可得： ，
即 ，又由 ， 得 ， ，
代入解得： ，所以 ， 是不共线的向量.
由题可设： ，因为 ， 是不共线的向量，
所以 且 ，解得 ．
（2）
由于 ，
，
由 与 的夹角为 ： ，
由于 ，所以 ．18．（2022·江苏盐城·模拟预测）如图，已知正方形ABCD的边长为2，过中心O的直线l与两边AB，CD分别交
于点M，N．
(1)若Q是BC的中点，求 的取值范围；
(2)若P是平面上一点，且满足 ，求 的最小值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）由向量的加法和数量积运算将 转化为 ，再由 的值和 的范围可求得结
果.
（2）令 可得点T 在BC上，再将 转化为 ，由 、 的范围
可求得结果.
【详解】（1）因为直线l过中心O且与两边AB、CD分别交于点M、N．
所以O为MN的中点，所以 ，
所以 ．
因为Q是BC的中点，所以 ， ，
所以 ，
即的 取值范围为 ；
（2）令 ，则 ，∴ ，即：
∴
∴点T 在BC上，
又因为O为MN的中点，
所以 ，从而 ， ，
因为 ，
所以 ，
即 的最小值为 ．
19．（2022秋·江苏扬州·高三江苏省邗江中学校考阶段练习）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满
足 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先将括号打开整理可得 ，利用同角的三角函数关系化切为弦，结合
正弦的和角公式整理可得 ，根据正弦定理即可证明；
（2）结合余弦定理与数量积的定义可得 ，利用基本不等式即可求解.
【详解】（1）证明：因为 ，
所以 ，所以 ，即 ，
两边同时乘 ，可得 ，
即 。所以 ，
因为 ，所以 ，
由正弦定理可得 ，即 .
（2）因为 ，
所以由余弦定理可得 ，
因为 ， ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
20．（2022·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知函数 ，其中向量
， ．
(1)求 的解析式及对称中心和单调减区间；
(2)不等式 在 上恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1) ，对称中心为 ，单调减区间是
(2)
【分析】(1)利用向量数量积的坐标运算和正余弦的二倍角公式可得 ，再利用正弦函数的性质即可求解；(2)由题意可得： 在 上恒成立，求出 的最值，转化为 ，解之即可.
【详解】（1）
令 ，对称中心
又令 ，
所以单调减区间是
（2） 不等式 在 上恒成立，
，即 在 上恒成立，
，
因为 ，所以 ，
当 ，即 时， 取得最小值，
最小值为 ，
当 ，即 时， 取得最大值，
最大值为 ，
即 ，得 ，
即实数m的取值范围是【提能力】
一、单选题
21．（2023春·河南洛阳·高三孟津县第一高级中学校考开学考试）已知向量 ， 满足 ， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】计算出 、 的值，利用平面向量数量积可计算出 的值.
【详解】 ， ， ， .
，
因此， .
故选：D.
【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计
算能力，属于中等题.
22．（2022·全国·高三专题练习）已知圆 的方程为 ，点 在直线 上，线段 为圆
的直径，则 的最小值为
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】将 转化为 ，利用圆心到直线的距离求得 的取值范围求得 的最小值.
【详解】 .故选B.
【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
23．（2021·全国·高三专题练习）在 中，角 所对的边分别为 ，且点 满足 ，
若 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量知识可得 ，两边平方可得 ，再利用不等式知识可求得结果.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，整理得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 .
所以 的最大值为
故选：A
【点睛】关键点点睛：将向量条件 化为 ，利用向量数量积的运算律运算得到
是解题关键.
24．（2022·浙江·高三专题练习）如图，在△ 中，点M是 上的点且满足 ，N是 上的点且满
足 ， 与 交于P点，设 ，则 （ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据三点共线有 ，使 、 ，由平面向量基本定理列方程组
求参数，即可确定答案.
【详解】 ， ，
由 ，P，M共线，存在 ，使 ①，
由N，P，B共线，存在 ，使得 ②，
由①② ，故 .
故选：B.
25．（2022·全国·高三专题练习）已知 是边长为2的等边三角形， 为平面 内一点，则 的
最小值是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．
【详解】建立如图所示的坐标系，以 中点为坐标原点，
则 ， ， ，
设 ，则 ， ， ，则
当 ， 时，取得最小值 ，
故选： ．
26．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，经过 的直线交椭
圆于 ， ， 的内切圆的圆心为 ，若 ，则该椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对 变形得到 ，进而得到以 ，结合椭圆定义
可求出 ， ， ，由余弦定理求解 关系式，求出离心率.
【详解】因为 ，所以 ，
如图，在 上取一点M，使得 ，连接 ，则 ，
则点I为AM上靠近点M的三等分点，所以 ，
所以 ，设 ，则 ，
由椭圆定义可知： ，即 ，所以 ，
所以 ， ，
故点A与上顶点重合，
在 中，由余弦定理得：
，
在 中， ，
解得： ，
所以椭圆离心率为 .
故选：A
【点睛】对于求解圆锥曲线离心率问题，要结合题目中的条件，直接求出离心率或求出 的齐次方程，解出离
心率，本题的难点在于如何将 进行转化，需要作出辅助线，结合内心的性质得到三角形 三
边关系，求出离心率.
27．（2023·全国·高三专题练习）在△ 中，D为BC的中点， ， ，EF与AD交于G，，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知可得 ，根据 共线可设 ， ，结合已知及平面向
量的基本定理列方程组求参数值.
【详解】由题设， ，又 ， 且 ，
所以 ，即 ，解得 .
故选：B.
28．（2020·全国·高三专题练习）设 中 边上的中线为 ，点 满足 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】作出图形，利用 、 表示 ，然后利用平面向量减法的三角形法则可得出 可得出结
果.
【详解】如下图所示：为 的中点，则 ，
， ，
，
故选：A.
【点睛】本题考查利用基底表示向量，考查了平面向量减法和加法三角形法则的应用，考查计算能力，属于中等
题.
29．（2022秋·福建泉州·高三福建省南安国光中学校考阶段练习）在 中，点 满足 ，过点 的直
线与 ， 所在的直线分别交于点 ， ，若 ， ，则 的最小值为
（ ）
A．3 B． C．1 D．
【答案】A
【分析】由向量加减的几何意义可得 ，结合已知有 ，根据三点共线知 ，
应用基本不等式“1”的代换即可求最值，注意等号成立的条件.
【详解】由题设，如下图示： ，又 ，
，∴ ，由 三点共线，有 ，
∴ ，当且仅当 时等号成立.
故选：A
【点睛】关键点点睛：利用向量线性运算的几何表示，得到 、 、 的线性关系，根据三点共线有
，再结合基本不等式求最值.
30．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平行四边形 中， ， ， 与 交于点 .
设 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 和 三点共线，可得 和 ，利用平面向量线性运算可用
表示出 ，由此可得方程组求得 ，进而得到 的值.
【详解】连接 ， ，三点共线， 可设 ，则 ，
；
三点共线， 可设 ，则 ，
；
，解得： ， ，即 .
故选：B.
【点睛】思路点睛：本题考查平面向量基本定理的应用，基本思路是根据 为两线段交点，利用两次三点共线，
结合平面向量基本定理构造出方程组求得结果.
二、多选题
31．（2022·湖北黄冈·蕲春县第一高级中学校考模拟预测）对于给定的 ，其外心为 ，重心为 ，垂心为 ，
则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．过点 的直线 交 于 ，若 ， ，则
D． 与 共线
【答案】ACD
【分析】根据外心在AB上的射影是AB的中点，利用向量的数量积的定义可以证明A正确；利用向量的数量积的
运算法则可以 即 ，在一般三角形中易知这是不一定正确的，由此可判定B错误；利用三角形中线的定义，线性运算和平面向量基本定理中的推论可以证明C正确；利用向量的数量积运算和向量垂直的
条件可以判定 与 垂直，从而说明D正确.
【详解】
如图，设AB中点为M,则 ,
,故A正确；
等价于 等价于 ,即 ，
对于一般三角形而言， 是外心， 不一定与 垂直，比如直角三角形 中，
若 为直角顶点，则 为斜边 的中点， 与 不垂直.故B错误；
设 的中点为 ,
则 ，
∵E,F,G三点共线， ，即 ,故C正确；,
与 垂直,又 ,∴ 与 共线，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】本题考查平面向量线性运算和数量及运算，向量垂直和共线的判定，平面向量分解的基本定理，属综合
小题，难度较大，关键是熟练使用向量的线性运算和数量积运算，理解三点共线的充分必要条件，进而逐一作出
判定.
32．（2021·全国·高三专题练习）下列说法中错误的为（ ）．
A．已知 ， 且 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是
B．向量 ， 不能作为平面内所有向量的一组基底
C．非零向量 ， ，满足 且 与 同向，则
D．非零向量 和 ，满足 ，则 与 的夹角为30°
【答案】AC
【分析】由向量的数量积，向量的夹角，判断 ；向量的基本定理判断 ；向量的定义判断 ；平面向量的基本
定理与向量的夹角等基本知识判断 ．
【详解】解：对于 ， 与 的夹角为锐角，
，
且 时 与 的夹角为 ，所以 且 ，故 错误；
对于B，向量 ，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B正确；
向量是有方向的量，不能比较大小，故C错误；
对于 ．因为 ，两边平方得， ，则 ， ，
故 ，
而向量的夹角范围为 ， ，
得 与 的夹角为 ，故 项正确．
故错误的选项为AC．
故选：AC．
33．（2023·全国·高三专题练习）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个
是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O
内的定点，且 ，弦AC、BD均过点P，则下列说法正确的是（ ）
A． 为定值 B． 的取值范围是
C．当 时， 为定值 D． 的最大值为12
【答案】AC
【分析】根据题设中的圆幂定理可判断AC的正误，取 的中点为 ，连接 ，利用向量的线性运算可判断B
的正误，根据直径的大小可判断D的正误.
【详解】如图，设直线 与圆 于 ， .
则 ,
故A正确.
取 的中点为 ，连接 ，则
，
而 ，故 的取值范围是 ，故B错误.
当 时，
，故C正确.
因为 ，故 ，故D错误.
故选：AC
34．（2022秋·江苏盐城·高三阜宁县东沟中学校考阶段练习）在平面内有4点ABCD， 的面积是 面
积的2倍，又数列 满足 ，当 时，恒有 ，设 的前n项和为 ，
则（ ）
A． 为等比数列 B． 为递减数列
C． 为等差数列 D．
【答案】BCD
【分析】设 与 交于点 ，由面积比得 ，根据平面向量基本定理得 与 关系，从而得数列
递推关系，然后根据各选项求解数列，判断结论，其中选项D需要用错位相减法求和．
【详解】设 与 交于点 ， ，，
共线，所以存在实数 ，使得 ，
所以 ，
所以 ，所以 ， ，
所以 ， ， ， 不是等比数列，A错；
因为 ，所以 ，即 ，所以 是等差数列，C正确；
又因为 ，则 ，即 ， ，
所以当 时， ，即 ，所以 是递减数列，B
正确；
因为 ，
，
所以两式相减得
，
所以 ，D正确．
故选：BCD．三、填空题
35．（2019秋·广西·高三阶段练习）已知向量 ， ， ， ，若 ，则 的最小值
______.
【答案】
【分析】首先根据向量平行的坐标表示得到 ，再根据“1”的变形，利用基本不等式求最值.
【详解】 ， ，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用“1”的妙用，变形 ，展开后，即可利用基本不
等式求最值.
36．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平面四边形 中， ．
若点 为边 上的动点，则 的最小值为_________．
【答案】【分析】设 ，根据条件找出 ， ，且 与 的夹角为 ， 与
的夹角为 ，从而根据向量的加法法则和减法的定义写出 ，然后表示为关
于 的二次函数，通过求二次函数的最小值即可解决问题.
【详解】延长 交于点 ，因为 ，所以 ， ，
在 中， ， ，所以 ，
在 中， ， ，所以 ，
所以 ，不妨设 ，则 ，且 与 的夹角为 ， 与 的夹角为
，
则
，
所以 时， 取最小值 .
故答案为： .
37．（2019秋·福建·高三福建省泰宁第一中学校考阶段练习）在 中， 是 的中点， 是 的中点，过点 作一直线 分别与边 ， 交于 (不与点 A重合），若 ，其中 ，则
的最小值是_____．
【答案】
【分析】根据题意，画出图形，结合图形，利用 与 共线，求出 与 的表达式再利用基本不等式求出
的最小值即可.
【详解】
中， 为 边的中点， 为 的中点，
且 ，
，
，
同理， ，
又 与 共线，
存在实数 ，使 ，
即 ，
，解得 ，，
当且仅当 时， “=”成立，故答案为 .
【点睛】本题主要考查向量的几何运算及基本不等式的应用，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算
往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是
两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐
标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．
38．（2022·上海·高三专题练习）已知 ，若存在 ，使得 与 夹角为 ，
且 ，则 的最小值为___________.
【答案】
【分析】设 ， 可得 共线，又 ，当 为最
小时 最小，而此时 、 关于y轴对称，结合已知即可求 的最小值.
【详解】由题意， ，
∴令 ， ，故有 共线，
∵ ，故当且仅当 为最小时， 最小，∴有 、 关于y轴对称时， 最小，此时 到AB的距离为 ，
∴ ，即 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：应用向量的线性关系及共线性质，可知 ， 、 、
的终点共线，且 可分析得 、 关于y轴对称时， 最小，进而求最小值即可.
四、解答题
39．（2022·辽宁沈阳·沈阳二十中校考一模）在 中，角 的对边分别是 ， ，
，如图所示，点 在线段 上，满足 .
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的值.【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合诱导公式和二倍角公式可求得 ，进而得到 ；
（2）在 中利用余弦定理可求得 ，从而求得 ，由平面向量数量积的定义可计算求得结果.
【详解】（1）由正弦定理得： ，
， ，
又 ， ， ，
， ， ，
，解得： .
（2） ， ， 为等边三角形，
设 ，则 ，
在 中，由余弦定理得： ，解得：
， ， ，
.
【点睛】关键点点睛：本题第二问考查平面几何中的平面向量数量积的求解问题，解题关键是能够灵活应用余弦
定理求得三角形的边长，进而根据边长求得所求向量夹角的余弦值.
40．（2022·江苏南通·高三江苏省如皋中学校考开学考试）在 中，角 ， ， 所对边分别为 ， ， ，
且 .
（1）求角 ；
（2）若向量 ， ，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）【分析】（1）根据正弦定理进行边化角化简可求出 ，从而得出角 的范围；（2）利用向量的坐标运算
代入化简 ，因为 ，可化简为 ，因为
代入可求出 的范围，从而求出 的取值范围.
【详解】解：（1）由正弦定理可知： 等价于
，即 ，因为 ，
所以有 ，又 ，所以 .
（2） ， ，
，则
因为 ，所以 ，则有 ，所以
则 的取值范围为 .
【点睛】思路点睛：（1）解三角形问题常用正弦定理进行边化角、角化边的运算.（2）当知道其中一角的值时，
另外两角可用和为定值减少变量，进行消元，从而根据一角的范围求三角函数的范围.
41．（2022·全国·高三专题练习）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 为 的面积，
.
（1）求角 的大小；（2）若 ， ，求 周长的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）利用三角形的面积公式及向量的数量积可得角 的正切值，结合 的范围即可得解；
（2）由（1）及已知求出 的取值范围，再由正弦定理及正弦函数的性质求出 的取值范围即得.
【详解】（1）在 中，因 ，则 ，即 ，而 ，得 ，
所以角 的大小为 ；
（2）由 知 ，于是得 为钝角，又 ，则 ，
由正弦定理得 ，则 ， ，
则 ，
而 ，即 ，则 ，
于是得 ， ，
所以 周长的取值范围为 .
42．（2022·辽宁沈阳·东北育才双语学校校考一模）如图，设 中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD
为BC边上的中线，已知 且 ， ．(1)求b边的长度；
(2)求 的面积；
(3)设点E，F分别为边AB，AC上的动点（含端点），线段EF交AD于G，且 的面积为 面积的 ，
求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据正弦定理的“角化边”把已知条件中的等式进行转化，再运用余弦定理得出 和 的关系式，
进而求出 的长度即可；
（2）根据向量的运算性质和两向量的夹角公式求出 ，进而求出 ，再根据三角形面积公式求出
面积即可；
（3）首先设 ， ， （ ），根据三点共线公式得到 ，
再根据面积的倍数关系求出 ，因此求出 的表达式后，可以根据函数值域的求解方法解决取值范围即
可．
（1）
由已知条件可知：
在 中，由正弦定理
得
在 中，由余弦定理
得
，又
（2）
设为BC边上中线
则
①
或
由①，得
（3）
设 ， ， （ ）
，
根据三点共线公式，得
（ ， 为∠BAC）
