文档内容
第 03 讲 平面向量的数量积 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：平面向量数量积的定义
角度1：平面向量数量积的定义及辨析
角度2：平面向量数量积的几何意义
高频考点二：平面向量数量积的运算
角度1：用定义求数量积
角度2：向量模运算
角度3：向量的夹角
角度4：已知模求数量积
角度5：已知模求参数
高频考点三：平面向量的综合应用
高频考点四：极化恒等式
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、平面向量数量积有关概念
1.1向量的夹角已知两个非零向量 和 ，如图所示，作 ， ，则
( )叫做向量 与 的夹角，记作 ．
(2)范围：夹角 的范围是 ．
当 时，两向量 ， 共线且同向；
当 时，两向量 ， 相互垂直，记作 ；
当 时，两向量 ， 共线但反向．
1.2数量积的定义：
已知两个非零向量 与 ，我们把数量 叫做 与 的数量积(或内积)，记作 ，即
，其中θ是 与 的夹角，记作： ．
规定：零向量与任一向量的数量积为零．记作： .
1.3向量的投影
①定义：在平面内任取一点 ，作 .过点 作直线 的垂线，垂足为 ，则 就
是向量 在向量 上的投影向量.
②投影向量计算公式:
当 为锐角（如图（1））时， 与 方向相同， ，所以
；
当 为直角（如图（2））时， ，所以 ；
当 为钝角（如图（3））时， 与 方向相反，所以
，即 .当 时， ，所以 ；
.
当 时， ，所以
综上可知，对于任意的 ，都有 .
2、平面向量数量积的性质及其坐标表示
已知向量 ， 为向量 和 的夹角：
2.1数量积
2.2模：
2.3夹角：
2.4非零向量 的充要条件：
2.5三角不等式： （当且仅当 时等号成立）
3、平面向量数量积的运算
①
②
③
4、极化恒等式
①平行四边形形式：若在平行四边形 中，则
②三角形形式：在 中， 为 的中点，所以
5、常用结论
①
②
③第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
一、判断题
1．（2022·全国·高一专题练习）判断（正确的填“正确”，错误的填“错误”）
（1）两个向量的数量积仍然是向量.( )
（2）若 ，则 或 .( )
（3） ， 共线⇔ · =| || |.( )
（4）若 · = · ，则一定有 = .( )
（5）两个向量的数量积是一个实数，向量的加法､减法､数乘运算的运算结果是向量.( )
【答案】 错误 错误 错误 错误 正确
【详解】
对于（1）：两个向量的数量积是数量，故错误；
对于（2）：若 ，除了 或 之外，还有可能 ，故错误；
对于（3）： ， 共线 · = | || |，故错误；
对于（4）：数量积是一个整体，这里面 不能直接约去，故 与 无固定关系，故错误；
对于（5）：两个向量的数量积是一个实数，向量的加法､减法､数乘运算的运算结果是向量，符合向量的
运算规律，故正确.
2．（2021·全国·高二课前预习）已知两个向量 的夹角为 60°，则 ∠NMP＝60°.( )
【答案】错误
二、单选题
3．（2022·河南安阳·高一阶段练习）已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【详解】
因为 ， ， ，
所以 ，解得 .
故选：C.
4．（2022·全国·模拟预测（文））在边长为2的正三角形 中，则 （ ）
A． B． C．1 D．2【答案】A
解：
故选：A
5．（2022·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一期中）在 中，若 ，则 －定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】C
由向量的数量积的运算公式，可得 ，即 ，
因为 ，所以 为钝角，所以 －定是钝角三角形.
故选：C.
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：平面向量数量积的定义
角度1：平面向量数量积的定义及辨析
例题1．（2022·河北武强中学高一期中）已知向量 ， 满足 ， ，则 （ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
【答案】C
.
故选：C.
例题2．（2022·山西太原·高一期中）给出以下结论，其中正确结论的个数是（ ）
① ② ③ ④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
由数量积的定义知 ，
对于①，若 ，则 或 ， 不一定成立，①错误
对于②， 成立，②正确
对于③， 与 共线， 与 共线，两向量不一定相等，③错误
对于④， ，④正确
故选：B例题3．（2022·江苏·涟水县第一中学高一阶段练习）在锐角 中，关于向量夹角的说法，正确的
是（ ）
A． 与 的夹角是锐角 B． 与 的夹角是锐角
C． 与 的夹角是锐角 D． 与 的夹角是钝角
【答案】C
如下图所示：
对于A选项， 与 的夹角为 ，为钝角，A错；
对于B选项， 与 的夹角为 ，为钝角，B错；
对于CD选项， 与 的夹角等于 ，为锐角，C对D错；
故选：C.
例题4．（2022·宁夏·平罗中学模拟预测（理））已知向量 的夹角为 ，且 ，则
在 方向上的投影为___________.
【答案】
由题意得 ，则 在 方向上的投影为 .
故答案为： .
角度2：平面向量数量积的几何意义
例题1．（2022·江西抚州·高一期中）已知向量 ，则 在 方向上的投影数量为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因为 ，
所以 ，
因此 在 方向上的投影数量为 ，
故选：D
例题2．（2022·全国·高三专题练习（理））在圆 中弦 的长度为8，则 =（ ）A．8 B．16 C．24 D．32
【答案】D
．
故选：D
例题3．（2022·甘肃·高台县第一中学高一阶段练习）已知 ， 与 的夹角为120°，则向量
在 方向上的投影为（ ）
A．4 B．－4 C．2 D．－2
【答案】D
由向量 ，且 与 的夹角为120°，
所以向量 在 方向上的投影为 ,
故选：D.
例题4．（2022·吉林一中高一期中）在 中， ， ， ， 为边上 的动点，
则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
如图，作 于 ，作 于 ，由已知得 ， ，
，
当 在线段 上运动时地， 在线段 上运动， ，所以 ，
故选：A ．
例题5．（2022·江西景德镇·三模（理））窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，它是中国古老的传统
民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所
构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形 的边长为2，中心为 ，四个半圆的圆心均在正方形
各边的中点（如图2，若点 在四个半圆的圆弧上运动，则 的取值范围是
（ ）A． B． C． D．
【答案】D
，即 与 在向量 方向上的投影的积．由图2知， 点在直线
上的射影是 中点，由于 ，圆弧直径是2，半径为1，
所以 向量 方向上的投影的最大值是2，最小值是－2，
因此 的最大值是 ，最小值是 ，因此其取值范围为 ，
故选：D．
题型归类练
1．（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期中）已知 ABC的外接圆圆心为O，且 ， ，
则向量 在向量 上的投影向量为（ ）△
A． B． C． D．
【答案】B
如图示：
因为 ABC的外接圆圆心为O， ， ，
△所以 ,所以△AOC为等边三角形，所以OBAC为菱形，
所以 .
所以向量 在向量 上的投影向量为 .
故选：B
2．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））非零向量 ， ， 满足 ， 与 的夹角为 ， ，
则 在 上的正射影的数量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
非零向量 ， ， 满足 ，则 ，即 ，又 与 的夹角为 ，
，
所以 在 上的正射影的数量 .
故选：D
3．（2022·北京市第十九中学高一期中）如图，已知四边形ABCD为直角梯形， ， ，
AB=1，AD=3， ，设点P为直角梯形ABCD内一点（不包含边界），则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：依题意过点 作 交 的延长线于点 ，则 ，
设 与 的夹角为 ，
因为点 为直角梯形 内一点（不包含边界），所以 在 方向上的投影 ，且，
所以
故选：A
4．（2022·全国·高三专题练习）在 中， ， ， ，与 方向
相同的单位向量为 ，则向量 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
在 中， ， ，
所以D为BC的中点，且|AD|=|BD|，
又 ，
所以 是等边三角形，
因为 方向相同的单位向量为 ，
所以向量 在 上的投影向量为 ，
故选：B
5．（2022·河南河南·三模（理））在 中，“ ”是“ 为钝角三角形” 的
（ ） △ △
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
由 ，即 ，又 ，
所以 ，不能推出 为钝角三角形，充分性不成立；
△为钝角三角形时，若 ，则 ，不能推出
△
，必要性不成立.
所以“ ”是“ 为钝角三角形” 的既不充分也不必要条件.
故选：D △
6．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校高一期中）在圆 中弦 ，则 __________.
【答案】8
过点 作 于点 ，则点 为 的中点， ，
所以 ，
故答案为： .
7．（2022·四川·树德中学高一阶段练习）如图，直径 的半圆，D为圆心，点C在半圆弧上，
，线段 上有动点P，则 的取值范围为_________．
【答案】
过点 作 的垂线，交 于点
可得
当 在 点时， 取最小值4，当 在 点时， 取最大值8
故答案为：高频考点二：平面向量数量积的运算
角度1：用定义求数量积
例题1．（2022·全国·华中师大一附中模拟预测）正六边形 的边长为2，则 =
（ ）
A．-6 B． C． D．6
【答案】A
在 中， ， ，
所以 ，
所以有 ， 与 所成的角为120°，
所以 ，
故选：A．
例题2．（2022·广东·东莞市东方明珠学校高一期中）已知正方形 的边长为2， 为 的中点，
则 （ ）
A． B．0 C． D．2
【答案】D
.
故选：D
例题3．（2022·北京·中关村中学高一期中）已知 ， ，且 ， 的夹角为 ，则
（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
.
故选：A例题4．（2022·安徽·高二阶段练习）已知平面向量 ，单位向量 满足 ，则向量
与 夹角为___________.
【答案】
， ，
由 可知 ，解得 ，
所以 .
故答案为：
例题5．（2022·上海奉贤区致远高级中学高一期中）在 中， ，则
_______
【答案】
因为 ，
所以 .
故答案为： .
角度2：向量模运算
例题1．（2022·山东潍坊·高一期中）已知 ， 是平面内的两个向量， ，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由 ，则 ，
所以 .
故选：D
例题2．（2022·四川绵阳·高一期中）已知向量 与 的夹角为 ，且 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A∵
则 ，即
故选：A．
例题3．（2022·河南安阳·高一阶段练习）已知向量 与 的夹角为 ，且 ，则
（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】C
解:向量 , 夹角为 ,且 ,
∴ ,
即 ,
解得 或 （舍）,
∴ ,
故选：C
例题4．（2022·河南新乡·高一期中）已知向量 ， ，且 与 的夹角为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
， ，
， .
故选：B.
例题5．（2022·河南·模拟预测（理））已知平面向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则
______．
【答案】7
因为平面向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，
所以由 ，
故答案为：例题6．（2022·河南·模拟预测（文））已知向量 ， ，且向量 与 的夹角为 ，则
______．
【答案】
因为 ，所以
又 ， ，所以
所以
所以
故答案为：
角度3：向量的夹角
例题1．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））若向量 ， 满足 ， ， ，则 与
的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：因为 ， ， ，所以 ，
即 ，所以 ，设 与 的夹角为 ，
则 ，因为 ，所以 ；
故选：B
例题2．（2022·山东济南·三模）已知单位向量 、 、 ，满足 ，则向量 和 的夹角为
( )
A． B． C． D．
【答案】A
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ．
故选：A．
例题3．（2022·河北邯郸·二模）若向量 ， 满足 ， ，且 ，则向量 与 夹角
的余弦值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
因为 ，且 ，
所以 ，
因为 ，
所以向量 与 夹角的余弦值为 ，
故选：D
例题4．（2022·河南·扶沟县第二高中高一阶段练习）已知向量 ， 是单位向量，若
，则 与 的夹角为_____.
【答案】 ##
由 ､ 为单位向量， ，
得： ，即 ，由 ，
所以 ， ，所以 =
故答案为：
例题5．（2022·山东烟台·高一期中）若 ， ，且 ，则 与 的夹角大小为
______．
【答案】 ##
因为 ，所以 ，即 ，解得 ，所以，而 ，所以 ．
故答案为： ．
例题6．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））已知向量 ， ，则“ ”
是“ 与 的夹角为锐角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
当 与 的夹角为锐角时， 且 与 不共线，
即 ，∴ 且 ，
∴“ ”是“ 与 的夹角为锐角”的必要不充分条件.
故选：B.
例题7．（2022·辽宁·东北育才学校高一期中）已知向量 ， ，且 与 的夹角为锐角，
则实数 的取值范围是______．
【答案】 且
因向量 ， ，且 与 的夹角为锐角，于是得 ，且 与 不共线，
因此， 且 ，解得 且 ，
所以实数 的取值范围是 且 .
故答案为： 且
例题8．（2022·黑龙江·勃利县高级中学高一期中）已知向量 与向量 所成角为钝角．
则 的取值范围是______．
【答案】 且
解：因为向量 与向量 所成角为钝角，
所以 且两个向量不共线，
即 ，解得 且 .
故答案为： 且 .
例题9．（2022·河北·高一期中）已知向量 ， ，若 ， 的夹角为钝角，则 的取值
范围为______【答案】
解：由题意得 ，且 ，解得 且 ，即 ；
故答案为：
角度4：已知模求数量积
例题1．（2022·吉林长春·模拟预测（文））已知向量 ， 满足 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
，
故选：A
例题2．（2022·全国·模拟预测（文））已知向量 、 满足 ，则 （ ）
A．6 B． C． D．－2
【答案】D
.
故选：D.
例题3．（2022·北京十五中高一期中）若向量 满足 ，则 _____.
【答案】 ##
因为 ，
所以 ，
即 ，所以 .
故答案为： .
例题4．（2022·安徽马鞍山·三模（文））设向量 ， 满足 ， ， ，则
___________.
【答案】解：因为向量 ， 满足 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：0.
例题5．（2022·贵州贵阳·二模（理））已知向量 ， ，则
________．
【答案】 ##-1.5
∵向量 ， ，
∴ ，
∴ .
故答案为： .
角度5：已知模求参数
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，向量 ，若 ，则实数
（ ）
A． B． C．-2 D．2
【答案】D
【详解】
由
可得
，因为 ，所以 .
故选：D
例题2．（2022·广东·高一阶段练习）已知单位向量 满足 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
为单位向量，，
，
则当 时， ，
.
故选：A.
例题3．（2022·湖北鄂州·高二期末）已知向量 ， ，若 ，则实数
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
因为 ，则 ，由已知可得 ，
等式 两边平方可得 ，则 ，
故 与 同向，所以， .
故选：A.
例题4．（2022·安徽·高二阶段练习（文））已知向量 ， 满足 ， ，且 ，
则 的值为______．
【答案】2
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ．
又∵ ，∴ ．
故答案为：2.
题型归类练
1．（2022·北京·潞河中学三模）已知菱形 的边长为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A解： ，
则 .
故选：A.
2．（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））已知向量 ， 为单位向量， ，
则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由 ，两边平方可得：
，
因为向量 ， 为单位向量，
所以 ，即 .
因为 ，所以 ，即 与 的夹角为 .
故选：C
3．（2022·全国·高一单元测试）在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ， ，若
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：∵ ，∴ ，∴ ，
由余弦定理得 ，
当且仅当 时取等号，∵ ，∴ ，即 的最小值为 ，
故选：C．4．（2022·四川省内江市第六中学高一期中（理））如图， 中， ， ，P为CD
上一点，且满足 ，若AC＝3，AB＝4，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
，
三点共线，
，又
故选：C
5．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知非零向量 、 满足 ， ，则向量 与
向量 夹角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A因为 ，所以可设 ， ，则 ， ，
因为 ，所以 ，即 .
则 ，
故选：A.
6．（2022·广东·模拟预测）已知单位向量 ， 满足 ，则向量 ， 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，又 ，
所以向量 ， 的夹角为60°.
故选：B．
7．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））设 为非零向量，且 ，则 ， 的夹
角为___________.
【答案】 ##
由 ，平方得到 ，即 ，所以 ， 夹角为
故答案为： .
8．（2022·广东广州·三模）已知 为单位向量，若 ，则 __________.
【答案】
由 可得 ，则 ，
又 ，则 .
故答案为： .
9．（2022·山东济宁·三模）在边长为 的等边 中，已知 ，点 在线段 上，且
，则 ________.【答案】
因为 ，所以 ，又 ，
即 ，因为点 在线段 上，
所以 ， ， 三点共线，由平面向量三点共线定理得， ，即 ，
所以 ，又 是边长为 的等边三角形，
所以
，故 .
故答案为： .
高频考点三：平面向量的综合应用
例题1．（2022·湖南·高二阶段练习）“赵爽弦图”是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三
角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图，某人仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小的平行四边
形拼成一个大平行四边形，其中 分别是 的中点，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由题意，可得 ，
因为 是平行四边形，所以 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，则 .
故选：C.
例题2．（2022·河南·唐河县第一高级中学高一阶段练习）2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，
围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．
如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一
段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为6，则图
③中 的值为（ ）
A．24 B．6 C． D．
【答案】A
在图③中，以 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
， ，
，即 ，
，由分形知 ，所以 ，
所以 ，
所以 ．
故选：A．
例题4．（2022·江苏·常州市第二中学高一阶段练习）如图，已知平行四边形 的对角线相交于点
，过点 的直线与 所在直线分别交于点 ， ，满足 ，若，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因平行四边形 的对角线相交于点 ，则 ，
而 ，于是得 ，又点M，O，N共线，
因此， ，即 ，又 ，解得 ，
所以 .
故选：B
例题5．（2022·江苏·常州市第二中学高一阶段练习）在梯形 中，
分别为线段 ， 上的动点.
(1)求 ；
(2)若 ，求 ；
(3)若 ，求 的最小值；
【答案】(1) (2) (3)
(1)因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
(2)由（1）知， ，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
(3)因为 ， ，
则
，
因为 ，解得 ，设 ， ，根据对勾函数的单调性可知，
在 单调递增，
所以当 时， 取得最大值： .
题型归类练
1．（2022·浙江·高一阶段练习）已知P是 的外心，且 ，则cosC=（ ）
A．- B．- C． 或- D． 或-
【答案】B
因为P是 的外心，所以 ，
由题知 ，两边平方得
即 ,即 ，
所以 ，则 ，
又由 ，得 ，
因为 ，则C与外心P在AB的异侧，即C在劣弧上，所以C为钝角，即 .
故选：B
2．（2022·河南洛阳·高二阶段练习（文））在△ 中，点D满足 = ，直线 与 交于点 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
设 ,
则 ,
，且 ， 共线，则 ，
所以
所以 ，解得 ，
此时 ，所以 ，故 .
故选：C
3．（2022·山东淄博·高一期中）如图， ，则 _________
【答案】
解：因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
故答案为：
4．（2022·湖南·模拟预测）在三角形ABC中，点D在边BC上，若 ，
，则 ______．
【答案】
由已知 ，得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ， ，
所以 ．
故答案为：
5．（2022·浙江·高一阶段练习）平面内的三个向量 .
(1)若 ，求实数k的值；
(2)若 ，求实数k的值.
【答案】(1) (2) 或
(1)因为 ，所以 .
因为 ，所以 ，
解得： .
(2)因为 ，所以 .
因为 ，则 ，
解得： 或 .
6．（2022·重庆市二0三中学校高一阶段练习）已知平面向量 .
(1)若 ，求 ；(2)若 ，求 与 夹角的余弦值.
【答案】(1)5；(2)
(1)向量 ，由 得： ，解得 ，即 ，
则 ，所以 .
(2)当 时， ， ，则 ，
所以 与 夹角的余弦值是 .
7．（2022·湖北·高一阶段练习）已知平行四边形 中， ， ，AE和BF交于点P.
(1)试用 ， 表示向量 .
(2)若 的面积为 ， 的面积为 ，求 的值.
(3)若 ， ，求 的余弦值.
【答案】(1) (2)5(3)
(1)解：∵点 在 上，∴
又∵ ， ，
∴ ，解得 ，∴ .
(2)解：由（1）可得 ，∴ ，即
∵ ，
∴ ， ，∴ .
(3)解：由 ，所以 ，即 ，所以 ，即 ，
又 ，所以平行四边形 是正方形，如图所示的建系
则 是向量 和 的夹角，不妨设 ， ，
∴ ，∴ 的余弦值是 .
8．（2022·四川省内江市第六中学高一期中（文））如图，设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，
c，AD为BC边上的中线，已知 ，c＝1且 ．
(1)求b边的长；
(2)求△ABC的面积；
(3)设点E，F分别为边AB，AC上的动点，线段EF交AD于G，且△AEF的面积为△ABC面积的一半，求
的最小值．
【答案】(1)4(2) (3)
(1)由条件 ，
由正弦定理得： ，
由余弦定理化简可得：4c＝b，
又c＝1，所以：b＝4．(2)因为D为中点，所以 ，
设 ，则 ，
∵ ，即
∴
故△ABC的面积为 ．
(3)设 ，因为△AEF的面积为△ABC面积的一半，所以xy＝2，
设 ，则 ，
又E，G，F共线，所以设 ，
则 ，
所以： ，解得： ，则 ，
又 ，
，
又xy＝2，所以化简可得： ，
又y≤4，所以 ，
所以 ，即当x＝1时 ．
高频考点四：极化恒等式
例题1．（2021·全国·高一课时练习）阅读一下一段文字： ，
，两式相减得： ，我们把这
个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算.试根据上面的内容解决以下问题：如图，在 中， 是 的中点， ， 是 上的两个三等分点.
（1）若 ， ，求 的值；
（2）若 ， ，求 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【自主解答】解：（1）因为 ，
所以 .
（2）设 ， ，
因为 ，由（1）知 ①
因为 ，
所以根据 ，
又因为 ，所以 ②
由①②解得 ， .
所以
.
例题2．（2022·河北唐山·高三期末） 中， 为 的中点， ， ，则
______．【答案】
【自主解答】解：因为 为 的中点， ，所以 ，
，
所
故答案为：
法二：由极化恒等式
例 题 3 ． （ 2022 届 高 三 开 年 摸 底 联 考 新 高 考 ） 已 知 直 线 ： 与 圆 ：
交于 ， 两点， 为坐标原点，则 的最小值为：（ ）
A. B. C. D.
【自主解答】
如图：圆 的圆心 ，在直线 ： 上，由极化恒等式，
， 而 ， 所 以 ， 是 直 线 ：
上的动点，所以 的最小值，就是点 到直线 的距离 ，所以
.
题型归类练
1．设向量 ， 满足 ， ，则 ＝( )
A．1 B．2 C．3 D．5
答案 A 解析 通法 由条件可得，(a＋b)2＝10，(a－b)2＝6，两式相减得4a·b＝4，所以a·b＝
1．
极化恒等式 a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]＝(10－6)＝1．
2．如图， 中， ， ， ， 点是线段 一动点，若以 为圆
心半径为1的圆与线段 交于 ， 两点，则 的最小值为（ ）A
P
M
Q
B C
【答案】B
【解析】
3．已知 是边长为2的等边三角形， 为平面 内一点，则 的最小值是( )
A．－2 B．－ C．－ D．－1
答案 B 解析 方法一 (解析法) 建立坐标系如图①所示，则A，B，C三点的坐标分别为
A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)．设P点的坐标为(x，y)，
图①
则PA＝(－x，－y)，PB＝(－1－x，－y)，PC＝(1－x，－y)，∴PA·(PB＋PC)＝(－x，－y)·(－
2x，－2y)＝2(x2＋y2－y)＝2≥2×＝－．当且仅当x＝0，y＝时，PA·(PB＋PC)取得最小值，最小值为－．
故选B．
方法二 (几何法) 如图②所示，PB＋PC＝2PD(D为BC的中点)，则PA·(PB＋PC)＝2PA·PD．
图②
要使PA·PD最小，则PA与PD方向相反，即点P在线段AD上，则(2PA·PD) ＝－2|PA||PD|，问题转化为
min
求|PA||PD|的最大值．又当点P在线段AD上时，|PA|＋|PD|＝|AD|＝2×＝，∴|PA||PD|≤2＝2＝，
∴[PA·(PB＋PC)] ＝(2PA·PD) ＝－2×＝－．故选B．
min min
极化恒等式法 设BC的中点为D，AD的中点为M，连接DP，PM，∴PA·(PB＋PC)＝2PD·PA＝2|PM|2－|
AD|2＝2|PM|2－≥－．当且仅当M与P重合时取等号．4．如图放置的边长为 1的正方形 ，顶点 分别在 轴， 轴正半轴（含原点）滑动，则
的最大值为______________.
【解析】如图， 中点 ，
因为
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B如图所示， ,当 时， 与 垂直， ，所以
成立，此时 ，
∴ 不是 的充分条件，
当 时， ，∴ ,∴ 成立，
∴ 是 的必要条件，
综上，“ ”是“ ”的必要不充分条件
故选：B.
2．（2021·全国·高考真题）已知向量 ， ， ， _______．
【答案】
由已知可得 ，
因此， .
故答案为： .
3．（2021·全国·高考真题（文））若向量 满足 ，则 _________.
【答案】
∵
∴
∴ .
故答案为： .
4．（2021·全国·高考真题（理））已知向量 ．若 ，则 ________．
【答案】 .,
，解得 ,
故答案为： .
5．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点， 且交AB于
点E． 且交AC于点F,则 的值为____________； 的最小值为____________．
【答案】 1
设 ， ， 为边长为1的等边三角形， ，
，
， 为边长为 的等边三角形， ，
，
，
，
所以当 时， 的最小值为 .
故答案为：1； .
6．（2021·北京·高考真题）已知向量 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长
为1，则
________； ________.【答案】 0 3
以 交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：
则 ，
， ，
.
故答案为：0；3.
