文档内容
第一篇 热点、难点突破篇
专题 11 平面向量综合问题（讲）
真题体验 感悟高考
1．（2020·全国·统考高考真题）已知向量 ， 满足 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】计算出 、 的值，利用平面向量数量积可计算出 的值.
【详解】 ， ， ， .
，
因此， .
故选：D.
2．【多选题】（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线 焦点F的直线与
C交于A，B两点，其中A在第一象限，点 ，若 ，则（ ）
A．直线 的斜率为 B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】由 及抛物线方程求得 ，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线 的方
程，联立抛物线求得 ，即可求出 判断B选项；由抛物线的定义求出 即可判断C选项；由 ， 求得 ， 为钝角即可判断D选项.
【详解】对于A，易得 ，由 可得点 在 的垂直平分线上，则 点横坐标为 ，
代入抛物线可得 ，则 ，则直线 的斜率为 ，A正确；
对于B，由斜率为 可得直线 的方程为 ，联立抛物线方程得 ，
设 ，则 ，则 ，代入抛物线得 ，解得 ，则
，
则 ，B错误；
对于C，由抛物线定义知： ，C正确；
对于D， ，则 为钝角，
又 ，则 为钝角，
又 ，则 ，D正确.
故选：ACD.3.（2022·天津·统考高考真题）在 中， ，D是AC中点， ，试用 表示 为
___________，若 ，则 的最大值为____________
【答案】
【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出 ，以 为基底，表示出 ，由
可得 ，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出．
法二：以点 为原点建立平面直角坐标系，设 ，由 可得点 的轨迹为以
为圆心，以 为半径的圆，方程为 ，即可根据几何性质可知，当且仅当 与 相
切时， 最大，即求出．
【详解】方法一：
， ，，当且仅当 时取等号，而
，所以 ．
故答案为： ； ．
方法二：如图所示，建立坐标系：
， ，
，所以点 的轨迹是以 为圆心，以 为半径的圆，
当且仅当 与 相切时， 最大，此时 ．
故答案为： ； ．
总结规律 预测考向
（一）规律与预测
1.平面向量是高考的热点，命题突出向量的基本运算与工具性，在解答题中常与三角函数、直线和圆锥曲线的
位置关系问题相结合，主要以条件的形式出现，涉及向量共线、数量积等.
2.常以选择题、填空题形式考查平面向量的基本运算，中低等难度；平面向量在解答题中一般为中等难度．
（二）本专题考向展示考点突破 典例分析
考向一 平面向量的线性运算
【核心知识】
1． 单位向量：长度等于1个单位的向量．
2． 平行四边形法则
3． 三角形法则
4． 向量的数乘运算及其几何意义
（1）定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|；
②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.
（2）运算律：设λ，μ是两个实数，则：
a ＝a (＋)a＝ a＋ a (a＋b)＝a＋b
① ；② ；③ .
【典例分析】
典例1.（2022·全国·统考高考真题）在 中，点D在边AB上， ．记 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D在边AB上， ，所以 ，即 ，
所以 ．
故选：B．
典例2.（2022春·安徽·高三校联考阶段练习）如图， 是以 为直径的半圆圆周上的两个三等分点， 为线段 的中点， 为线段 上靠近 的一个四等分点，设 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】取 的中点 ，连接 ，根据平面向量的线性运算计算即可.
【详解】如图，取 的中点 ，连接 ，
因为 是以 为直径的半圆圆周上的两个三等分点，
所以 ， ，所以 ，所以四边形 是平行四边形，所以 ，
又 为 上靠近 的一个四等分点，
所以
.
故选：C.
典例3.（2022春·安徽·高三石室中学校联考阶段练习）在三角形ABC中，已知D，E分别为CA，CB上的点，
且 ， ，AE与BD交于O点，若 ，则mn的值为___________.
【答案】
【分析】因 三点共线，则 .又 三点共线，则 .结合 ， 可得答案.
【详解】因 三点共线，则
.又 ，则 ，
得 .
又因 三点共线，则
.又 ，则 ，
得 .
故 ，得 .则 .
故答案为：
【规律方法】
1．平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”．对平面向量减法应抓住
“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果．
2．在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同类
项的运算，在计算时可以进行类比．
3.利用平面向量的线性运算求参数的一般思路
(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．
(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．
(3)比较、观察可知所求．考向二 平面向量数量积
【核心知识】
一、平面向量的数量积
1．已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是
a与b的夹角．
规定0·a＝0.
当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.
2．a·b的几何意义：
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
二、数量积的运算律
1．交换律：a·b＝b·a.
2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
3．对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．
三、向量数量积的性质
1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a.
2．a⊥b a·b＝0.
|a|= aa
3．a·a＝|a|2， .
ab
|a||b|
4．cos θ＝ .(θ为a与b的夹角)
5．|a·b|≤|a||b|.
四、坐标运算
1．若a＝(x，y)，则|a|＝＝.
2．若A(x，y)，B(x，y)，则 .
1 1 2 2
3．若a＝(x，y)，b＝(x，y)，θ为a与b的夹角，
1 1 2 2
则cos θ＝＝.
【典例分析】
典例4.（2022·全国·统考高考真题）已知向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】解：∵ ，又∵
∴9 ，
∴
故选：C.
典例5.（2022春·江苏苏州·高三统考阶段练习）在 中， ， 为线段 的
中点， 为线段 上靠近点 的三等分点，两条直线 与 相交于点 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题知 ， ，进而得 ，故 ，
再计算数量积即可得答案.
【详解】解：由题知， ，
∴ ，解得
∴
∴ ，故选：A.
典例6.（2021·全国·统考高考真题）已知 为坐标原点，点 ， ，
， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】A、B写出 ， 、 ， 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐
标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】A： ， ，所以 ，
，故 ，正确；
B： ， ，所以
，同理
，故 不一定相等，错误；
C：由题意得： ，
，正确；
D：由题意得： ，
，故一般来说 故错误；
故选：AC
【规律方法】1.计算向量数量积的三种常用方法
(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a与b的夹
角)．
(2)基向量法（利用数量积的几何意义）：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为
基向量的数量积，进而求解．
(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．
2.特别提醒：两个向量的夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量的夹角可能
是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还要求不能反向共线．
考向三 向量共线定理的应用
【核心知识】
1.平面向量共线定理的三个应用
2.结论：
(1)若OA＝λOB＋μOC(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
(2) 直线的向量式参数方程：A，P，B三点共线⇔ (O为平面内任一点，t∈R)．
【典例分析】
典例7.（2022春·河南·高三信阳高中校联考期末）如图，在平行四边形 中， ， ，点
为 与 的交点，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】根据题意可得 ， ，由 ， ， 三点共线知，存在 ，满足
.由 ， ， 三点共线知，存在 ，满足
.得 即可解决.
【详解】由 ， ，知 ， 分别为 ， 的中点.
如图，设 与 的交点为 ，易得 ，
所以 ，
所以 .
因为点 是 的中点，
所以 .
由 ， ， 三点共线知，
存在 ，满足 .
由 ， ， 三点共线知，
存在 ，满足 .
所以 .
又因为 ， 为不共线的非零向量，
所以 ，解得 ，所以 .
故选： .
典例8.（2022春·北京西城·高三北京师大附中校考阶段练习）如图，已知向量 满足： ，
且 .若 则 ___________.
【答案】
【分析】设 ，计算 ， ， ，根据向量的运算法则得
到答案.
【详解】设 ， ，
， ，故 ， ，
， ，
，
，
故 ，整理得到 .
故答案为：
典例9. （2022·上海浦东新·统考一模）如图，在 中，点D、E是线段BC上两个动点，且，，则 的最小值为______.
【答案】8
【分析】以向量 为基底，表示向量 ,结合平面向量基本定理可得 ，再利用基本不等式求
的最小值.
【详解】设 ， ，则 ， ， ，
，所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ， ，所以 ，
即 ，同理可得 ，若 则， ，因为 ， ，所以 ，
所以 ，即 ，此时 三点重合，与已知矛盾，所以 ，同理
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号；所以 的最小值为8．
故答案为：8．
【规律方法】
共线向量定理应用时的注意点
(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且
有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．
(3)使用条件“两条线段的交点”时，可转化成两次向量共线，进而确定交点位置．
考向四 平面向量的最值、范围问题
【核心知识】
1.正弦函数、余弦函数的值域
2.均值不等式
【典例分析】
典例10.（2022春·山东·高三校联考阶段练习）若点 是 所在平面上一点，且 是直
线 上一点， ，则 的最小值是（ ）．
A．2 B．1
C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的运算确定G的位置，可得B、H、D三点共线，利用三点共线得 ，再由不等式求
最值即可.
【详解】设 ， ，
因为 ，所以 ， ，
所以点G是 的重心，设点D是AC的中点，则 ，B、G、D共线，如图，
又 ．
因为B、H、D三点共线，所以 ，
所以 ，当且仅当 ，即 ， 时取等号，即 的最小值是
.
故选：C．
典例11.（2022·北京·统考高考真题）在 中， ．P为 所在平面内的动点，
且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意建立平面直角坐标系，设 ，表示出 ， ，根据数量积的坐标表示、辅助角
公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则 ， ， ，因为 ，所以 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
设 ， ，
所以 ， ，
所以
，其中 ， ，
因为 ，所以 ，即 ；
故选：D
典例12.（2022春·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）已知矩形 的边 ， ， 为
的中点， 为矩形 所在平面内的动点，且 ，则 的取值范围为______.
【答案】
【分析】由题意可知，P是以点A为圆心，1为半径的圆上一点，以A为原点建立坐标系，设 ，即可求出 ，根据三角函数的值域，即可求出 的取值范
围.
【详解】解：由题意可知，P是以点A为圆心，1为半径的圆上一点，如图建立坐标系，
则 ， ， ，
设 ，
则 ， ，
， ，
，
由于 为矩形 所在平面内的动点， ，则 ，
，
当 时， 有最小值 ，
当 时， 有最大值 ，
的取值范围为 ，
故答案为： .典例13.（2021·天津·统考高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点， 且
交AB于点E． 且交AC于点F,则 的值为____________； 的最小值为
____________．
【答案】 1
【分析】设 ，由 可求出；将 化为关于 的关系式即
可求出最值.
【详解】设 ， ， 为边长为1的等边三角形， ，
，
， 为边长为 的等边三角形， ，
，
，
，
所以当 时， 的最小值为 .
故答案为：1； .典例14.（2022·浙江·统考高考真题）设点P在单位圆的内接正八边形 的边 上，则
的取值范围是_______．
【答案】
【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立平
面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设 ，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到
，然后利用 即可解出．
【详解】以圆心为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则 , ，设 ,于
是 ，
因为 ，所以 ，故 的取值范围是 .
故答案为： ．
【总结提升】1.平面向量部分，数量积是最重要的概念，求解平面向量数量积的最值、范围问题要深刻理解数量积的意义，
从不同角度对数量积进行转化．
2.数量积有关的最值和范围问题是高考的热点之一，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比
如向量的模、数量积、夹角、系数的范围等．解决思路是建立目标函数的解析式，转化为求函数(二次函数、
三角函数)等的最值或应用基本不等式．同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以还有一种思路是数形
结合，应用图形的几何性质．
3.求向量模的最值(范围)的方法
①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．
②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．
考向五 平面向量与三角交汇问题
【核心知识】
1. 正弦定理、余弦定理
2. 三角恒等变换
3. 三角函数图象和性质
【典例分析】
典例15.（2022春·广东·高三校联考阶段练习）已知向量 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量垂直得出 ，根据 ，以及正弦、余弦倍角公式即可求解.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
结合 ，
得 ，
，，
又 ，
所以 ，
所以原式 .
故选：D.
典例16.（2020·江苏·统考高考真题）在△ABC中， D在边BC上，延长AD到P，使
得AP=9，若 （m为常数），则CD的长度是________．
【答案】 或0
【分析】根据题设条件可设 ，结合 与 三点共线，可求得 ，再根据
勾股定理求出 ，然后根据余弦定理即可求解.
【详解】∵ 三点共线，
∴可设 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
若 且 ，则 三点共线，
∴ ，即 ，
∵ ，∴ ，
∵ , , ，
∴ ，设 ， ，则 ， .
∴根据余弦定理可得 ， ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
∴ 的长度为 .
当 时， ， 重合，此时 的长度为 ，
当 时， ， 重合，此时 ，不合题意，舍去.
故答案为：0或 .
【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出
．
典例17.（2022春·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，
c，若 ．
(1)求角A；
(2)若点D是边 上的一点，且 ，求 的面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）正弦定理角化边，再用余弦定理求角A；
（2）利用向量数量积的运算，把等式转化为边，再利用基本不等式求解最小值.
【详解】（1）由 及正弦定理知： ，即 ，由余弦定理有 ，由 ，所以 ，
（2）由 ，所以 ，可得 ，即
，
由 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，故所求 的面积的最大值为 ．
考向六 平面向量与解析几何的交汇问题
【核心知识】
1. 圆的方程
2. 圆锥曲线方程及其几何性质
【典例分析】
典例18.（2022春·河南·高三校联考阶段练习）已知 分别是椭圆 的左、右焦点，
椭圆C过 和 两点，点P在线段 上，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据椭圆过点求出 ，再求出焦点坐标，利用数量积的坐标运算结合二次函数的最值求解.
【详解】因为椭圆 过点 和 ，
所以 ，可得 ，
所以 ， ，设 ，由题意直线 的方程为 ，即 ，
因为点P在线段 上，所以 满足 ，
则
， ，
当 时， ，当 时， ，
所以 的取值范围为 .
故选：D
典例19.（2022·四川南充·统考一模）已知向量 与 夹角为锐角，且 ，任意 ， 的最小
值为 ，若向量 满足 ，则 的取值范围为______．
【答案】
【分析】结合二次函数的性质，由 的最小值求得向量 与 的夹角，判断出 点对应的轨迹，从而求
得 的取值范围.
【详解】设向量 与 的夹角为 ， ，则 ，
，
所以当 时， 取得最小值为 ，
即 ，所以 .
如图所示，设 ，三角形 是等边三角形，
设 是 的中点，则 ，
由于 ，所以 ，
所以 点的轨迹是以 为直径的圆，圆的半径为 ，
根据圆的几何性质可知， 即 的取值范围为 .
故答案为：
【点睛】本小题解题难点有两点，第一点是 的最小值的用法，有关向量模的试题，可以考虑利用平方
再开方的方法进行转化，结合向量的数量积运算来求解.第二点是 的用法，转化为向量垂直、
轨迹为圆来配合解题.
典例20.（2020·山东·统考高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点 ，椭圆 的顶点分别为 ， ，
， ，其中点 为抛物线的焦点，如图所示.（1）求抛物线的标准方程；
（2）若过点 的直线 与抛物线交于 ， 两点，且 ，求直线 的方程.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）根据抛物线的焦点，求抛物线方程；（2）首先设出直线 的方程为 ，与抛物线方程
联立，并利用韦达定理表示 ，并利用 ，求直线的斜率，验证后，即可得到直线方
程.
【详解】解：（1）由椭圆 可知 ， ，
所以 ， ，则 ，
因为抛物线的焦点为 ，可设抛物线方程为 ，
所以 ，即 .
所以抛物线的标准方程为 .（2）由椭圆 可知 ， ，
若直线 无斜率，则其方程为 ，经检验，不符合要求.
所以直线 的斜率存在，设为 ，直线 过点 ，
则直线 的方程为 ，
设点 ， ，
联立方程组 ，
消去 ，得 .①
因为直线 与抛物线有两个交点，
所以 ，即 ，
解得 ，且 .
由①可知 ，
所以 ，
则 ，
因为 ，且 ，
所以 ，
解得 或 ，
因为 ，且 ，
所以 不符合题意，舍去，所以直线 的方程为 ，
即 .
