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第 16 讲 平面向量及其应用
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.平面向量基本定理
(1)平面向量的基底
平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}，常称为该平面上向量的一
组基底，如果c＝xa＋yb，则称xa＋yb为c在基底{a，b}下的分解式.
(2)平面向量基本定理
如果平面内两个向量 a与b不共线，则对该平面内任意一个向量 c，存在唯一
的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb.
2.平面向量的坐标
一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e ，e ，对于平面内的向量a，如
1 2
果a＝xe ＋ye ，则称 ( x ， y ) 为向量a的坐标，记作a＝(x，y).
1 2
3.平面向量的坐标运算
(1)平面向量线性运算的坐标表示
假设平面上两个向量 a，b 满足 a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，则 a±b＝ ( x ± x ，
1 1 2 2 1 2
y ± y )，λa＝ ( λx ， λ y )(λ∈R)，ua±vb＝ ( ux ± v x ， u y ± v y )(u，v∈R).
1 2 1 1 1 2 1 2
(2)向量模的坐标计算公式
如果向量a＝(x，y)，则|a|＝.
(3)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
则AB＝ ( x － x ， y － y )，
2 1 2 1
|AB|＝.
4.向量平行的坐标表示
设a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，则a∥b x y ＝ x y .
1 1 2 2 2 1 1 2
5.平面向量数量积的有关概念
⇔
(1)向量的夹角：给定两个非零向量 a，b，在平面内任选一点 O，作OA＝a，
OB＝b，则称[0，π]内的 ∠ AOB 为向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉.
(2)向量的垂直：当〈a，b〉＝时，称向量 a与向量b垂直，记作a⊥b.规定零
向量与任意向量垂直.(3)数量积的定义：一般地，当a与b都是非零向量时，称 | a | | b |cos 〈 a ， b 〉 为向
量a与b的数量积(也称为内积)，记作a·b, 即a·b＝ | a | | b |cos 〈 a ， b 〉 .
(4)数量积的几何意义：①投影向量：设非零向量AB＝a，过A，B分别作直线l
的垂线，垂足分别为A′，B′，则称向量A′B′__为向量a在直线l上的投影向量或
投影.
②投影的数量：一般地，如果a，b都是非零向量，则称 | a |cos 〈 a ， b 〉 为向量a
在向量b上的投影的数量.投影的数量与投影的长度有关，投影的数量既可能是
非负数，也可能是负数.
③两个非零向量a，b的数量积a·b，等于 a 在向量 b 上的投影的数量 与b的模
的乘积.
6.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，θ为向量a，b的夹角.
1 1 2 2
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x x ＋ y y .
1 2 1 2
(2)模：|a|＝＝.
(3)夹角：cos θ＝＝.
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0 x x ＋y y ＝0.
1 2 1 2
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) |x x ＋y y |≤ ·.
⇔ 1 2 1 2
7.平面向量数量积的运算律
⇔
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
8.平面几何中的向量方法
三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
二、考点和典型例题
1、平面向量基本定理
【典例1-1】（2022·江苏苏州·模拟预测）在 中， ，点D在线段 上，点E在线段 上，且满足 ， 交 于F，设 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）已知 均为单位向量，且
满足 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【典例1-3】（2022·江西·模拟预测（理））已知圆C的半径为2，点A满足 ，E，
F分别是C上两个动点，且 ，则 的取值范围是（ ）
A．[6，24] B．[4，22] C．[6，22] D．[4，24]
【典例1-4】（2022·河南·模拟预测（理））如图，在 中，M为BC的中点，
，则m＋n＝（ ）
A．1 B． C． D．2
【典例1-5】（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））设 ， 是平面内两个不共线的向量，
， ， ，若A，B，C三点共线，则 的最小
值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．22、坐标运算及其数量积
【典例2-1】（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）已知向量 ， ，若
与 反向共线，则 的值为（ ）
A．0 B．48 C． D．
【典例2-2】（2022·全国·二模（理））已知向量 ， ， ，若满足
， ，则向量 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【典例2-3】（2022·河南·高三阶段练习（理））在长方形 中， ， ，
点 在边 上运动，点 在边 上运动，且保持 ，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
【典例2-4】（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））已知向量 ， 为单位向量，
，则 与 的夹角为（ ）A． B． C． D．
【典例2-5】（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））若 ，
，下列正确的是（ ）
A． B．
C． 方向上的投影是 D．
3、综合应用
【典例3-1】（2022·北京·潞河中学三模）已知菱形 的边长为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】（2022·北京工业大学附属中学三模）已知向量 满足 ， 与 的夹角
为 ，则当实数 变化时， 的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．2
【典例3-3】（2022·内蒙古赤峰·三模（文））若向量 ， 满足 ， ，
，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【典例3-4】（2022·重庆八中模拟预测）如图，在平行四边形 中，E是 的中点，
， 与 相交于O．若 ， ，则 的长为
（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
【典例3-5】（2022·宁夏·平罗中学三模（文））已知函数 ，向量
， ，在锐角 中内角 的对边
分别为 ，
(1)若 ，求角 的大小；
(2)在（1）的条件下， ，求 的最大值.
【典例3-6】（2022·江苏南通·模拟预测）已知圆的内接四边形ABCD中， ，
BC=2， ．
(1)求四边形ABCD的面积；
(2)设边AB，CD的中点分别为E，F，求 的值．
