文档内容
第16讲 拉格朗日中值定理在导数中的应用
（高阶拓展、竞赛适用）
（2 类核心考点精讲精练）
命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题稳定，难度较大，分值为15-17分
【备考策略】1能用导数解决函数基本问题
2能理解拉格朗日中值定理及其几何意义
3能运用拉格朗日中值定理解题
【命题预测】近几年，以高等数学为背景的高考命题成为热点.许多省市模拟卷及高考试卷有关导数的题目
往往可以用拉格朗日中值定理解答。本文为高阶拓展内容，利用拉格朗日中值定理解题，能体现高观点解
题的好处，需学生灵活学习
知识讲解
1.拉格朗日（Lagrange）中值定理
若函数f（x）满足如下条件：
（1）f（x）在闭区间[a，b]上连续；
（2）f（x）在开区间（a，b）内可导．
则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得 ．
2.拉格朗日中值定理的几何意义
如图所示，在满足定理条件的曲线 上至少存在一点P（ξ，f（ξ）），该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线．
3. 需要注意的地方（逆命题不成立）
拉格朗日中值定理没有逆定理,即对曲线的任一切线,并不一定存在割线,使割线斜率等于
切线斜率,如f (x)=x3在x=0处的切线斜率为0,但f (x)不存在割线使割线斜率等于0
4. 拉格朗日公式还有下面几种等价形式
，
，
．
注：拉格朗日公式无论对于 还是 都成立，而ξ则是介于a与b之间的某一常数．显然，当
时， ．
考点一、 拉格朗日中值定理的认知及简单应用
1．（23-24高三上·陕西汉中·阶段练习）拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如
果函数 在闭区间 上连续，在开区间 内可导，那么在区间 内至少存在一点c，使得
成立，其中c叫做 在 上“拉格朗日中值点”，根据这个定理，判断函
数 在区间 上的“拉格朗日中值点”的个数为 .
2．（2024高三上·全国·专题练习）拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果
函数 在闭区间 上连续，在开区间 内可导，则在区间 内至少存在一个点 ，使得
称为函数 在闭区间 上的中值点，若关于函数 在区
间 上的“中值点”的个数为m，函数 在区间 上的“中值点”的个数为n，则有
（ ）（参考数据： .）
A．1 B．2 C．0 D．3．（2024高三上·全国·专题练习）已知 ， ，
(1)若 在 处取得极值，试求 的值和 的单调增区间；
(2)如图所示，若函数 的图象在 连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在 ，
使得 ，利用这条性质证明：函数 图象上任意两点的连线斜率不小于 ．
1．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了
一个定理，具体如下．如果函数 满足如下条件．（1）在闭区间 上是连续的；（2）在开区间
上可导则在开区间 上至少存在一点ξ，使得 成立，此定理即“拉格朗
日中值定理”，其中ξ被称为“拉格朗日中值”．则 在区间 上的“拉格朗日中值”
．
2．（2024·河北衡水·三模）已知 ．
(1)求 的单调区间和最值；
(2)定理：若函数 在 上可导，在 上连续，则存在 ，使得 ．该定
理称为“拉格朗日中值定理”，请利用该定理解决下面问题：
若 ，求证： ．
3．（2024·山西·三模）微分中值定理是微积分学中的重要定理，它是研究区间上函数值变化规律的有效工
具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的内容如下:
如果函数 在闭区间 上连续，在开区间 可导，导数为 ，那么在开区间 内至少存在
一点 ，使得 ，其中 叫做 在 上的“拉格朗日中值点”.已知函数
.
(1)若 ，求函数 在 上的“拉格朗日中值点” ；(2)若 ，求证:函数 在区间 图象上任意两点 ， 连线的斜率不大于 ；
(3)若 ，且 ，求证: .
考点二、 拉格朗日中值定理在导数中的综合应用
1．设 ,
求证: 当 时, 对任意 , 有
2．设 ,
当 时, 若对任意的 成立, 求 的取值范围
3．设 , 若对任意 , 都有 , 求 的范围
1．（2024·天津·高考真题）设函数 ．
(1)求 图象上点 处的切线方程；
(2)若 在 时恒成立，求 的值；
(3)若 ，证明 ．
2．（2024·山东济宁·一模）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 ，证明：对任意 ，存在唯一的实数 ，使得 成立；
(3)设 ， ，数列 的前 项和为 ．证明： ．
3．（高三上·辽宁抚顺·阶段练习）已知函数 .
（1）求函数 的最大值；（2）设 ,证明 .
1．（2022高三·全国·专题练习）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)设 ，证明：对任意 ， ， ．
2．（21-22高二下·广东深圳·期中）已知函数 ，
.
(1)讨论 的单调性；
(2)任取两个正数 ，当 时，求证： .
3．（22-23高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 有两个极值点 ，证明：
4．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）已知函数 .
(1)试判断函数 的单调性；
(2)已知函数 ，若 有且只有两个极值点 ，且 ，证明：
.
5．（2022·全国·模拟预测）已知函数 （其中 为自然对数的底数）.
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
6．（2023·山东淄博·二模）已知函数 ， .
(1)求函数 的单调区间；(2)若 ， 是函数 的两个极值点，且 ，求证： .
7．（2024高三上·全国·专题练习）已知函数 ，其中 .
(1)当 时，求 的极值；
(2)当 ， 时，证明： .
8．（23-24高三上·天津宁河·期末）已知函数 ， ．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)求 的单调区间；
(3)设 是函数 的两个极值点，证明： ．
9．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知函数 .
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若 ， ，且 有两个极值点，分别为 和 ，求 的最大值.
10．（2022高三·全国·专题练习）已知函数 ， 的导函数是 ．对任意两个不
相等的正数 、 ，证明：
(1)当 时， ；
(2)当 时， ．
11．（21-22高二下·安徽合肥·期中）已知函数 （ 为常数）
(1)讨论 的单调性
(2)若函数 存在两个极值点 ，且 ，求 的范围.
12．（22-23高二下·河南洛阳·期末）已知函数 （a为常数）．
(1)若函数 是增函数，求a的取值范围；
(2)设函数 的两个极值点分别为 ， （ ），求 的范围．
13．（2023·湖南常德·一模）已知函数 （ ）.
(1)讨论函数 的单调性；(2)若 两个极值点 ， ，且 ，求 的取值范围.
14．（21-22高二下·天津·期中）已知函数
(1)若 ，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
(2)当 时，讨论f（x）的单调性；
(3)设f（x）存在两个极值点 且 ，若 求证： .
15．（2023·天津河西·模拟预测）已知函数 .
(1)若函数 为增函数，求 的取值范围；
(2)已知 .
（i）证明： ；
（ii）若 ，证明： .
16．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，且
在 处取得极大值．
(1)求 的值与 的单调区间．
(2)如图，若函数 的图像在 连续，试猜想拉格朗日中值定理，即一定存在 ，使得
，求 的表达式〔用含 的式子表示〕．
(3)利用这条性质证明：函数 图像上任意两点的连线斜率不大于 ．
17．（2024·湖北襄阳·三模）柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用.定理内
容为：设函数f(x)，g(x)满足:
①图象在 上是一条连续不断的曲线；
②在 内可导;③对 ， ，则 ，使得 .
特别的，取 ，则有： ，使得 ，此情形称之为拉格朗日中值定理.
(1)设函数 满足 ，其导函数 在 上单调递增，证明：函数 在 上为
增函数.
(2)若 且 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
18．（2024·广东·二模）拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，其内容为：如果函数 在闭区间
上的图象连续不断，在开区间 内的导数为 ，那么在区间 内存在点 ，使得
成立．设 ，其中 为自然对数的底数， ．易知，
在实数集 上有唯一零点 ，且 ．
(1)证明：当 时， ；
(2)从图形上看，函数 的零点就是函数 的图象与 轴交点的横坐标．直接求解
的零点 是困难的，运用牛顿法，我们可以得到 零点的近似解：先用二分法，可在
中选定一个 作为 的初始近似值，使得 ，然后在点 处作曲线 的切
线，切线与 轴的交点的横坐标为 ，称 是 的一次近似值；在点 处作曲线 的切线，
切线与 轴的交点的横坐标为 ，称 是 的二次近似值；重复以上过程，得 的近似值序列
．
①当 时，证明： ；
②根据①的结论，运用数学归纳法可以证得： 为递减数列，且 ．请以此为前提条件，证明： ．
19．（23-24高二下·重庆·期中）柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用．定
理内容为：设函数 ， 满足①图象在 上是一条连续不断的曲线；②在 内可导；③对
， ．则 ，使得 ．特别的，取 ，则有：
，使得 ，此情形称之为拉格朗日中值定理．
(1)设函数 满足 ，其导函数 在 上单调递增，判断函数 在 的单调
性并证明；
(2)若 且 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)若 ，求证： ．
20．（2024高三上·全国·专题练习）已知函数 、 ， 的图象在 处的切
线与 轴平行．
(1)求 ， 的关系式并求 的单调减区间；
(2)证明：对任意实数 ，关于 的方程： 在 , 恒有实数解；
(3)结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数 是在闭区间 , 上连续不断的函数，且
在区间 内导数都存在，则在 内至少存在一点 ，使得 ．如我们所学过的指、对
数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件．试用拉格朗日中值定理证明：
当 时， （可不用证明函数的连续性和可导性）．
1．（2020·天津·高考真题）已知函数 ， 为 的导函数．
（Ⅰ）当 时，
（i）求曲线 在点 处的切线方程；
（ii）求函数 的单调区间和极值；
（Ⅱ）当 时，求证：对任意的 ，且 ，有 ．2．（四川·高考真题）已知函数 ， 的导函数是 ．对任意两个不相等的正数
、 ，证明：
(1)当 时， ；
(2)当 时， ．
