文档内容
专题 4 向量综合归类
目录
讲高考................................................................................................................................................................................1
题型全归纳.......................................................................................................................................................................4
【题型一】向量夹角....................................................................................................................................................5
【题型二】线性运算1：基底型基础.....................................................................................................................7
【题型三】线性运算2：双线交点型.....................................................................................................................9
【题型四】线性运算3：“赵爽弦图”模型.....................................................................................................13
【题型五】向量基底“象限坐标轴”.................................................................................................................16
【题型七】向量最值..................................................................................................................................................20
【题型八】数量积.......................................................................................................................................................23
【题型九】模及其应用.............................................................................................................................................26
【题型十】投影...........................................................................................................................................................28
【答案】-1.....................................................................................................................................................................28
【题型十一】面积与奔驰定理...............................................................................................................................29
专题训练.........................................................................................................................................................................33
讲高考
1．（2022·全国·统考高考真题）已知向量 满足 ，则
（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】解：∵ ，
又∵ ∴9 ，∴ 故选：C.
2．（福建·高考真题）已知 ，点C在 内，且
.设 ，则 等于（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得 ,建立坐标系，由已知条件可得 ，进而可得
，即可得答案.
【详解】解：因为 ，
所以 ,又因为点C在 内，且 ，建立如图所示的坐标系：
则 , ,
又因为 ，所以 ，所以 ，所以 .故选：B.
3．（山东·高考真题）在直角 中CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据向量模、数量积的运算对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项， ，A选项正确.
B选项， ，B选项正确.
C选项，
，C选项错误.
D选项，根据三角形的面积公式可知：
,
结合AB选项的分析可知：
，D选项正确.故选：C
4．（2022·全国·统考高考真题）在 中，点D在边AB上， ．记
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D在边AB上， ，所以 ，即 ，
所以 ．
故选：B．
5．（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线 焦点F的
直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点 ，若 ，则（ ）
A．直线 的斜率为 B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】由 及抛物线方程求得 ，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线 的方程，联立抛物线求得 ，即可求出 判断B选项；由抛物
线的定义求出 即可判断C选项；由 ， 求得 ，
为钝角即可判断D选项.
【详解】对于A，易得 ，由 可得点 在 的垂直平分线上，则 点
横坐标为 ，
代入抛物线可得 ，则 ，则直线 的斜率为 ，
A正确；
对于B，由斜率为 可得直线 的方程为 ，联立抛物线方程得
，
设 ，则 ，则 ，代入抛物线得 ，解得
，则 ，
则 ，B错误；
对于C，由抛物线定义知： ，C正确；
对于D， ，则
为钝角，
又 ，则
为钝角，
又 ，则 ，D正确.
故选：ACD.6．（全国·高考真题）向量 满足 ，且 ，则 与 夹角
的余弦值等于___________．
【答案】 ##
【分析】利用向量数量积公式得到 ，解
出即可.
【详解】
解得 .
故答案为： .
7．（2022·全国·统考高考真题）设向量 ， 的夹角的余弦值为 ，且 ， ，则
_________．
【答案】
【分析】设 与 的夹角为 ，依题意可得 ，再根据数量积的定义求出 ，最后
根据数量积的运算律计算可得．
【详解】解：设 与 的夹角为 ，因为 与 的夹角的余弦值为 ，即 ，
又 ， ，所以 ，
所以 ．
故答案为： ．
题型全归纳【题型一】向量夹角
【讲题型】
例题1.已知平面向量 、 、 满足 ，则 与 所成夹角的最大
值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设 与 夹角为 ， 与 所成夹角为 ，利用平面向量的数量积可得出
，并可得出 ，利用基本不等式
可求得 的最小值，可得出 的取值范围，即可得解.
【详解】
设 与 夹角为 ， 与 所成夹角为 ，
，
所以， ，①
，②
又 ，③
②与③联立可得 ，④
①④联立可得
，
当且仅当 时，取等号， ， ，则 ，
故 与 所成夹角的最大值是 ，故选：A.
例题2.已知单位向量 ， ， 满足 ，则 与 夹角的余弦值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据 ， ， 为单位向量，变形后平方可得： ， ， ，利用夹
角公式求出 与 夹角的余弦值.
【详解】
， ， 为单位向量.对 两边平方，即 ，可得： ；
由 可得： ，两边平方，可得： ；
由 可得： ，两边平方，可得： ，所以
．
．故选：A
【讲技巧】
求平面向量夹角的方法：
（1）定义法：利用向量数量积的定义得 ，其中两向量 的取值
范围是 ；
（2）坐标法：若非零向量 、 ，则 .
两个向量的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有
a·b<0，反之不成立
【练题型】
1.已知 ， ，则向量 与 的夹角为（ ）
A．90° B．60° C．30° D．0°
【答案】A
【分析】
结合空间向量的夹角坐标运算公式以及三角恒等变换化简求出夹角的余弦值，进而可得到
结果.
【详解】
因为 ， ，
所以 ， ，
设向量 与 的夹角为 ，则
，
2.已知向量 ， 满足 ， ， ，设 与 的夹角为 ，则
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由已知条件，求出 及 ，然后利用向量的夹角公式即可求解.
【详解】
解：因为 ， ， ，所以 ，所以 ，
，
所以 ，故选：C.
3.已知两个单位向量 ， 的夹角为 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先由数量积的定义及运算律求出 ，再由夹角公式求解即可.
【详解】
， ，
设 与 的夹角为 ，则 ，又 ，则 与 的夹角为
.故选：A.
【题型二】线性运算1：基底型基础
【讲题型】
例题1.在 中， ， ，且 ，则 （
）
A．1 B． C． D．-1
【答案】C
【分析】
根据向量的线性运算法则，化简得 ，再结合 ，求
得以 的值，即可求解.
【详解】
由题意在 中， ， ，
根据向量的线性运算法则，可得：
，
又由 ，所以 ，所以 .故选：C.
例题2.设 为 所在平面内一点， ， 为 的中点，则 （
）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】
画出图形，由平面向量的线性运算法则结合图形即可得解.
【详解】
由题意画出图形，如图，
因为 ， 为 的中点，
所以 ， ,
所以
.故选：A.
【讲技巧】
用已知向量表示某一向量的两个关键点:
(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，
等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．
【练题型】
1.设M是 边BC上任意一点，N为AM的中点，若 ，则 的值
为( )
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】
设 ，通过 ，再利用向量的加减运算可得 ，
结合条件即可得解.
【详解】
设 ，
则有
.
又 ，所以 ，有 .故选B.
2.已知在 中，点M在边BC上，且 ，点E在边AC上，且 ，
则向量 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据平面向量的线性运算得 ，由此可求出答案．
解：∵ ， ，∴ ， ，
∴ ，故选：B．
3.已知在平行四边形 中，点 、 分别是 、 的中点，如果 ，
，那么向量 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
作出图形，利用平面向量加法法则可求得结果.
【详解】如下图所示：
点 、 分别是 、 的中点，
.故选：B.
【题型三】线性运算2：双线交点型
【讲题型】
例题1.如图， 中， 与 交于 ，设 ， ，
，则 为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
延长 交 于点 ，由于 与 交于 ，可知：点 是
的重心，利用三角形重心的性质和向量的平行四边形法则即可得到答案．
【详解】
延长 交 于点 ； 与 交
于 ，
点 是 的重心， ， ，
又
，则 为 ；故答案选A
例题2.在 中， ， ，直线 与 交于点 ，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由向量三点共线，以及由基底的不同表示，由此能求出 ， ．
解： 因为 ，所以。设
所以 ， 。由 、 、
共线，所以
， ．故选：D ．
【讲技巧】
向量共线定理(两个向量之间的关系)：向量 与非零向量 共线的充要条件是有且只有
一个实数 ，使得 .
变形形式：已知直线 上三点 、 、 ， 为直线 外任一点，有且只有一个实数
，使得： .
特别提醒：共线向量定理应用时的注意点：向量共线的充要条件中要注意“ ”，否
则 可能不存在，也可能有无数个.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注
意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共
线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合.
【练题型】
1. 中， 、 分别是 、 上的点，且 ， ， 与
交于点 ，则下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
作出图形，连接 ，利用相似三角形计算得出 ，进而可得出 ，结
合平面向量的基本定理可得解.
【详解】
如下图所示：
连接 ，则 ， ， ， ，因此，
.
故选：D.
2.如图，在 中， ， ， 和 相交于点 ，则向量
等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】过点 分别作 交 于点 ，作 交 于点 ，由平行
线得出三角形相似，得出线段成比例，结合 ， ，证出
和 ，最后由平面向量基本定理和向量的加法法则，即可得 和
表示 .
【详解】解：过点 分别作 交 于点 ，作 交 于点 ，
已知 ， ， ，则 和
，
则： 且 ，即： 且 ，所以
，
则： ，所以 ，解得： ，
同理 ， 和 ，则： 且 ，
即： 且 ，所以 ，
则： ，即 ，所以 ，即 ，得： ，
解得： ， 四边形 是平行四边形，
由向量加法法则，得 ，所以 .
故选：B.
3.在 中， 交于点F，则 ( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】 三点共线， ，进而将 用 表示，同理利用
三点共线，又将 用 表示，根据向量基本定理建立等量关系，即可求解.
【详解】由题意可知
三点共线， ， 三点共线， ，
， ，
，解得 ， .故选：D.
【题型四】线性运算3：“赵爽弦图”模型
【讲题型】
例题1.如图所示，在 中，设 ， 的中点为 ， 的中点为 ，
的中点恰为 ，则 （）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由向量的三角形法则以及向量中点关系结合向量的基本定理可表示出 ．
【详解】如图，连接 ，则 ，①
.②
① ②，得 .③
又 ，④
将④代入③，得 ，解得 .故选C.
例题2.我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，
后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正
方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用平面向量的加法法则和数乘向量求解.
【详解】由题得即 ，解得 ，即 ，
故选：B
【练题型】
1.如图是由等边 和等边 构成的六角星，图中的 ， ， ， ， ， 均
为三等分点，两△个等边三角形△的中心均为 .若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
以点 为坐标原点， 为 轴， 为 轴建立平面直角坐标系，设等边三角形的边长
为 ，得出点 的坐标，由向量的运算可求得 的值，可得答案.
【详解】
由平行四边形法则， ，所以 ，
，所以
以点 为坐标原点， 为 轴， 为 轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设等边三角形的边长为 .则等边三角形的高为
，由 ， ， ， ， ， 均为三等分点，则 , 所以
, ,
所以 ，解得 所以 故选：B.
2.如图，在 中，设 ， 的中点为 ， 的中点为 ， 的中
点为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】根据平面向量基本定理及其几何意义，结合条件可得
及 ，解方程可求得 ，即可得到m，n的值，所以得
到结果.
【详解】解：由题意可得 ，
，①
，②
由①②解方程求得 .
再由 可得 .【题型五】向量基底“象限坐标轴”
【讲题型】
例题1.如图， ，点 由射线 、线段 及 的延长线围成的阴影区域内
（不含边界）.且 ，则实数对 可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
本题可利用平面向量基本定理和平行四边形法则将四个答案一一代入，然后判断点 的位
置，排除错误答案，即可得出结果.
【详解】
根据平面向量基本定理和平行四边形法则可知：
若取 ，则 ，点 在阴影区域内，A正确；
若取 ，则 ，点 在直线 的上方，B错
误；
若取 ，则 ，点 在直线 的下方，C错误；
若取 ，则 ，点 在射线 上，D错误，
故选：A.
例题2.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量 ， ，其中
（3，1）， （1，3）．若 λ μ ，且0≤μ≤λ≤1，那么C点所有可能的位置
区域用阴影表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【分析】可以使用特殊点代入排除法，即取值，然后计算满足条件点的位置，然后排除到
一定错误的答案．
【详解】当λ＝μ＝1时， （4，4），故可以排除C答案
当λ＝μ＝0时， （0，0），故可以排除B答案
当 ， 时， （ ， ），故可以排除答案A
故选D．
【讲技巧】
在平面向量的线性运算中，如图 ， 的范围可仿照直角坐标系得
出， ， 类比于 轴，直角坐标系中有四个象限，类比在（ ）中也
有四个象限，如第Ⅰ象限有 ，第Ⅱ象限有 ，第Ⅲ象限有 ，第Ⅳ象
限有 ，也可类比得出其中的直线方程，二元一次不等式组表示的平面区域等等.
【练题型】
1.如图，在 中，点 是线段 及 、 的延长线所围成的阴影区域内（含边
界）的任意一点，且 ，则在直角坐标平面上，实数对 所表示的区
域在直线 的右下侧部分的面积是（ ）
A． B． C． D．不能求
【答案】A
【分析】由点 是由线段 及 、 的延长线所围成的阴影区域内（含边界）的任
意一点，作 的平行线，把 中 、 所满足的不等式表示出来，然后
作出不等式组所表示的可行域，并计算出可行域在直线 的右下侧部分的面积即可.
【详解】如下图，过 作 ，交 的延长线于 ，交 的延长线于 ，设 ， ， ， ，
则
，
所以 ，得 ，所以 .
作出不等式组 对应的可行域，如下图中阴影部分所示，
故所求面积为 ，故选：A.
2.如图，在 中， 、 分别是 、 的中点，若 （ ，
），且点 落在四边形 内（含边界），则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
分析：利用平面向量的线性运算，得出 满足的不等关系，再利用线性规划思想求解.
详解：由题意，当 在线段 上时， ，当 点在线段 上时， ，∴当 在四边形 内（含边界）时， （＊），又 ，
作出不等式组（＊）表示的可行域，如图，
表示可行域内点 与 连线的斜率，由图形知 ，
，即 ，∴ ， ，
【题型七】向量最值
【讲题型】
例题1.在直角梯形 中， ， ， ， ，
分别为 ， 的中点，以 为圆心， 为半径的圆交 于 ，点 在
上运动（如图）.若 ，其中 ， A>0,f (x)，则∴A=2的取值范围是（
1
）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】建立如图所示的坐标系，则 ， ， ， ， ， ，
设 ，其中 ， ， ， ，
∵ ，∴ ，即 ，
解得 ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
即 的取值范围是 ，故选C.
例题2.已知平面向量 ， ， 满足 ， ，则 的最大
值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【分析】
不妨设 ， ， ， ，则求 的最大值，
即求 的最大值，然后将问题转化为关于 的方程
有解的问题，最后求出 的最值即可.
【详解】
根据题意，不妨设 ， ， ， ，
则 ，所以求 的最大值，即求 的最大值，
由 可得 ，
即 ，
因为关于 的方程有解，所以 ，
令 ，则 ，
所以 ，
令 ，则 ，
当 时， ，
所以 ，所以 ，所以 的最大值为 ，故选：C.【讲技巧】
求最值基本思维：
（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则
进行向量的加、减或数乘运算.
（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该
基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
（3） 具有特殊条件向量，可以考虑三角换元求最值
【练题型】
1.给定两个单位向量 ， ，且 ，点 在以 为圆心的圆弧 上运
动， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
给定两个单位向量 ， ，且 则 ，
建立如图所示的坐标系，
则A（1，0），B（cos150°，sin150°），即 设∠AOC=
，则 因为 则
，
所以 =
因为 ， 所以
有最小值-1.
故选B2.已知向量 满足 ，若M为
AB的中点，并且 ，则λ+μ的最大值是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 如图所示，∵向量 满足
，
不妨取A(1,0),B(0,1).∵M为AB的中点，∴ .∵
.
∵ ，∴ ，设 .
则 当 时取等号。
∴ 的最大值是 .故选：B.
3.已知向量 ， ， （ ），实数 ， 满
足 ，则 的最大值为（ ）
A．4 B． C．32 D．36
【答案】D
【解析】
由 可得 ，由此可得 ，故
，由于 ，所以当 时，
，应选答案D。
【题型八】数量积
【讲题型】
例题1.已知四边形 ， 是 的垂直平分线，垂足为 ， 为直线 外一点．
设向量 ， ，则 的值是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
分析：由题意结合平面向量的性质整理计算即可求得最终结果.
详解：由题意可得： ，
由于 ，
故： ，
即 .
本题选择C选项.
例题2.在矩形ABCD中，| |＝6，| |＝3.若点M是CD的中点，点N是BC的三等分
点，且BN＝ BC，则 · ＝（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】根据向量的运算法则，求得 ， ，再结
合向量的数量积的运算公式，即可求解.
【详解】由题意，作出图形，如图所示：
由图及题意，根据向量的运算法则，可得 ，
，
所以
.故选C．
【讲技巧】
平面向量数量积公式有两种形式：
1. ⃑a⋅⃑b=|⃑a||⃑b|cosθ。
2. ⃑a⋅⃑b=x x + y y 。
1 2 1 2
3. 主要应用以下几个方面:
⃑a·⃑b
（1）求向量的夹角， cosθ= （此时⃑a·⃑b往往用坐标形式求解）；
|⃑a|·|⃑b|⃑a⋅⃑b
（2）求投影，⃑a 在⃑b 上的投影是 ；
|⃑b|
（3）⃑a,⃑b向量垂直，则⃑a⋅⃑b=0;(4)求向量m⃑a+n⃑b 的模（平方后需求⃑a⋅⃑b）.
【练题型】
1.在 中， ， ， ， 的垂直平分线交 于 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 的垂直平分线交 于 ，且 可得 为等腰直角三角形，且
， ；进而由 可求出 的长，
从而求出 的值.
【详解】解：因为 的垂直平分线交 于 、 ，
所以 为等腰直角三角形， ， ，
在 中， ， ， ，所以 ，
所以 ， ，
所以 . 故选：C.
2.．已知向量 ， ， ，则 （ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】首先设出点A（0,0）、C（x，y）的坐标，由已知条件 ， 列
出关于x、y的方程组，然后根据向量的差的计算性质表示出向量 的坐标形式，并表示
出向量 的模，将以上列出的关于x、y的式子整体带入即可求得 .
【详解】设 ,
即 （1）
（2）将（1）（2）代入上式解得：
故选B
3.在平面直角坐标系 的 轴的正半轴上取一点 ，在第二象限取一点 ，且 ，
若 ，且 ，则 的值为______.
【答案】 .
【解析】分析：过 作 轴的垂线，垂足为 ，在 中， ，
于是 ， ，
，详解：
如图所示，过 作 轴的垂线，垂足为 ，
则在 中， ，
，
则在 中， ，于是 ，
， ，
，故答案为 .
【题型九】模及其应用
【讲题型】
例题1.已知向量 满足 ，且 ， ，则向量 与 的夹角
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 可知 ，利用数形结合的方式可确定所求夹角的正切值，
进而求得结果.
【详解】由 知：以 为邻边的平行四边形的对角线相等，
以 为邻边的平行四边形为矩形，即 ，如下图所示：设向量 与 的夹角为 ，又
， 向量 与 的夹角为 .故选： .
例题2.若两个非零向量 ， 满足 ，且 ，则 与 夹
角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，设 与 的夹角为 .由 ，可得 ，再将
两边同时平方，将 代入，变形可得 的值，即可得答案.
【详解】设 与 的夹角为 .∵ ，∴ ，
∴ .①∵ ，∴ ②
由①②，解得 .故选：D.
【讲技巧】
向量模：
【练题型】
1.已知向量 ， ， ，则 等于（ ）
A． B． C．5 D．25
【答案】C
【分析】根据 两边平方，即可得答案；
【详解】 ，
，
故选：C.
2.设非零向量 ， 满足 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】由 可得 ，利用数量积的运算性质结合条件可得答案.
【详解】 ， .
，
.故选：A
3.已知向量 满足 , ,且 在 方向上的投影与 在 方向上的投影相等,则
等于( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用向量数量积的几何意义可得 ，进而求出向量的夹角，再利用向量数
量积求出向量的模即可.
【详解】
设两个向量的夹角为 ,则 ,
从而 , ,所以 .
故选：A.
【题型十】投影
【讲题型】
例题1.已知 ， ， ＝120°，则向量 在向量 方向上的投影是
________，向量 在向量 方向上的投影是________
【答案】－5 －1
【分析】
根据向量投影的定义，即可求解、
【详解】
根据向量投影的定义，向量 在向量 方向上的投影是
；
向量 在向量 方向上的投影是
例题2.已知向量 , 在 上的投影为______
【答案】-1
【分析】
由已知及向量数量积性质,结合 可求 ，然后代入 可求
在 上的投影．
【详解】 ， ， ,,
在 上的投影为 ，故答案为-1．
【练题型】
1.已知向量 ，则 在 上的投影等于______________.
【答案】
【解析】
试题分析： 在 方向上的投影为: .
2.．已知 ， ，则 在 方向上的投影为______.
【答案】 .
【分析】
根据数量积的定义得出投影为 ．
【详解】
由题意投影为 .
故答案为： ．
3.设 ，若 在 方向上的投影为2，且 在 方向上的投影为1，则 与 的夹角
等于_______________
【答案】
【详解】
由题意得
【题型十一】面积与奔驰定理
【讲题型】
例题1.已知点P为ABC内一点， ，则△APB，△APC，△BPC的面
积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先将已知向量式化为两个向量共线的形式，再利用平行四边形法则及向量数乘运算的几何
意义，三角形面积公式确定面积之比解： ， ，如图：
，
，
、 、 三点共线，且 ， 为三角形 的中位线
而
例题2.如图所示，设 为 所在平面内的一点，并且 ，则
与 的面积之比等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题，延长AP交BC于点D，利用共线定理，以及向量的运算求得向量 的关
系，可得 与 的比值，再利用面积中底面相同可得结果.
【详解】延长AP交BC于点D，因为A、P、D三点共线，
所以 ，设
代入可得
即
又因为 ，即 ，且
解得 所以 可得 因为 与 有相
同的底边，所以面积之比就等于 与 之比所以 与 的面积之比为
故选D【讲技巧】
为 内一点， ，则 .
重要结论： ， ， .
结论1：对于 内的任意一点 ， 若 、 、 的面积分别为 、
、 ，则：
.
即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积.
结论2：对于 平面内的任意一点 ，若点 在 的外部，并且在 的内部
或其对顶角的内部所在区域时，则有 .
结论3：对于 内的任意一点 ， 若 ，则 、 、
的面积之比为 .
即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数
之比.
结论4：对于 所在平面内不在三角形边上的任一点 ， ，
则 、 、 的面积分别为 .
即若三角形平面内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对应的三角形面积之比等于
权系数的绝对值之比.各向量所对应的三角形是指另外两个向量所在的三角形.
【练题型】
1.．已知 是等边三角形，且 ,那么四边形ABCD的面积
为
A． B． C． D．
【答案】A【分析】
设AD的中点为E，以 为邻边作平行四边形AECB，画出对应的图形，利用E为中
点，得到 为平行四边形，再根据 可得四边形 为矩形，于是得到
四边形ABCD为直角梯形，进而可得所求的面积．
【详解】取AD的中点E，以 为邻边作平行四边形AECB，如图所示，
则有 ，又 ，∴ ，∴四边形 为平
行四边形，
又BE为等边 的中线，∴ ，∴平行四边形BCDE是矩形，
∴四边形ABCD是直角梯形．又 ，∴ ，
∴四边形ABCD的面积为 ．故选
A．
2.设 是 内一点，且 ， ，设 ，其
中 、 、 分别是 、 、 的面积.若 ，则
的最小值是（ ）
A．3 B．16 C． D．8
【答案】B
【详解】
分析：由向量的数量积可得 ，从而求出 ，进而可得 ，从
而利用基本不等式求最小值．
详解：由题意，
∵ ，
则
又
，
故 则 当且仅当 时等
号成立.
故选B.
3. 是 所在平面上的一点,满足 ,若 ,则 的面积
为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8【答案】A
【解析】∵ ，∴ ，
∴ ，且方向相同．∴ ，∴ ．选A．
一、单选题
1．已知向量 满足 ，那么向量 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的夹角公式运算求解.
【详解】由题意可得： ，
∵ ，
∴向量 的夹角为 .
故选：D
2．已知 ， ， ，则 （ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】C
【分析】由余弦定理与数量积的定义求解即可
【详解】因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
所以
所以 ，
故选：C
3．已知 ，则 在 上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 在 上的投影向量是 计算即可解决.
【详解】由题知， ，
所以 ，
设 与 夹角为 ，所以 在 上的投影向量是 ，
故选：B
4．在 中，点 在 边上，且 ，点 在 边上，且 ，连接 ，
若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知结合向量的线性表示及平面向量基本定理可求 ， ，进而可求 ．
【详解】解：如图，连接
则 ，
∴ ， ，则 .
故选：A.
5．已知三个单位向量 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得 ，设 与 所成的角为 ，则有 ，
根据 求解即可.
【详解】解：由题意可得 ，又因为 ，所以
，设 与 所成的角为 ，则
，又因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 的最小值为 .故选：B.
6．在 中， ．P为 边上的动点，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】以 为坐标原点建立合理直角坐标系，求出直线 所在直线方程为 ，
设 ，得到 ，利用二次函数的性质即可求出其值域.
【详解】以 为坐标原点， ， 所在直线分别为 轴， 轴，建立直角坐标系，
则 ，直线 所在直线方程为 ，
设 ， ，则 ， ，
，
当 时， ，当 时， ，
故其取值范围为 ，故选：B.
7．已知向量 ， 满足 ， ，且 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求得数量积 ，再利用向量夹角公式即可求得 与 的夹角.
【详解】因为 ，所以 ,
则 .则 .
又因为 ，所以 ,即 与 的夹角为 .故选：D.
8．已知点 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足
， ，则点 的轨迹一定通过 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【分析】由题设条件得到 ，从而判断出点P在 的平分线上，由此得
到点 的轨迹一定通过 的内心.
【详解】 分别表示 方向的单位向量，
令 ， ，则 ，即 ，
又 ，以 为一组邻边作一个菱形 ，则点P在该菱形的对角线 上，
所以点P在 ，即 的平分线上，故动点P的轨迹一定通过 的内心.
故选：B.
.
二、多选题
9．若单位向量 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据向量的数量积运算律以及夹角公式求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，因为 为单位向量， 两边平方，得
，即 ，所以 或 ，故A错
误；
所以 故B正确；
所以 ，故C正确；
， ，所以 ，故D正确.
故选:BCD.
10．已知等边 的边长为2，点D，E满足 ，BD与CE交于点O，
则（ ）
A．
B．
C．
D． 在 方向上的投影向量为
【答案】BC
【分析】建系，利用坐标处理向量问题，结合向量的坐标运算逐项分析.
【详解】由题E为AB中点，则 ．以E为原点，EA，EC分别为x轴，y轴正方向
建立平面直角坐标系，如图所示：则 ，
对A：∵
∴ ，选项A错误；
对B：设 ， ，则 ， ，
∵ ，则 ，解得 ，即O是CE中点，
∴ ，所以选项B正确；
对C：∵O是CE中点，
∴ ，所以选项C正确；
对D：∵ ，则
，
∴ 在 方向上的投影向量为 ，所以选项D错误．
故选：BC．
11．如图， 是 所在平面内任意一点， 是 的重心，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】利用平面向量的线性运算可判断ABC选项；利用平面向量数量积的运算性质可判
断D选项.
【详解】对于A选项，由题意可知， 、 、 分别为 、 、 的中点，
所以， ，同理可得 ， ，
所以， ，A错；
对于B选项，由重心的性质可知 ， ， ，
由A选项可知， ，
所以，
，B
对；
对于C选项，由重心的性质可知 ， ， ，
所以，
，C对；
对于D选项， ，
同理可得 ， ，
因此， ，D对.
故选：BCD.
12．下列命题正确的是（ ）
A．已知 ，则向量 在 方向上的投影向量的长度为4
B．若向量 的夹角为钝角，则
C．若向量 满足 ，则 或
D．设 是同一平面内两个不共线的向量，若 ，则 可作为该平
面的一个基底
【答案】ABD
【分析】由投影向量的长度公式计算向量 在 方向上的投影向量的长度，判断A，根据数
量积的性质判断B，C，根据基底的定义判断D.
【详解】对于选项A，因为 ，所以向量 在 方向上的投影向量的长度为
，A正确；
对于选项B，因为向量 的夹角为钝角，所以 ，所以
，B正确；
对于选项C，当 时， ，但 且 ，C错误；
对于选项D，假设 共线，则 ，又 ，所以 ，
因为 不共线，所以 ，方程组无解，故假设错误，即 不共线，所以 可作
为该平面的一个基底，D正确；
故选：ABD.三、填空题
13．已知向量 ， ，且 ，则实数m=______．
【答案】15
【分析】利用向量垂直的坐标表示列出方程求解即可.
【详解】∵ ，∴ ，
得 ,
故答案为：15.
14．在平行四边形 中， 分别为 上的点，且 ，连接
，与 交于点 ，若 ，则 的值为______.
【答案】
【分析】根据给定条件，利用向量的加法，结合共线向量定理的推论求解作答.
【详解】在 中， 不共线，因为 ，
则有 ，
又 三点共线，于是得 ，解得 ，
所以 的值为 .故答案为：
15．在 中， ，点Q满足 ，则 的最大值为
___________.
【答案】 ##
【分析】设 中点为M，则 ，根据平面向量的线性运算可得
，得当 时， 最大，此时 是等边三角形，
求出 即可求解.
【详解】设 中点为M，
则 ，
，
由 ，知P点轨迹是以 为弦，圆周角为 的优弧，
∴当 时， 最大，此时 是等边三角形，
则 .
故答案为： .
16．如图，在 中， ， ，点 满足 ， ， 为中点，点 在线段 上移动（包括端点），则 的最小值是______.
【答案】
【分析】本题采用建系法，设 ，利用向量共线得到 ，再写出
， ，从而得到方程 ，解出 即可求出
坐标为 ，再设 ， ，写出 ， ，
则 的函数表达式，利用函数单调性即可求出最值.
【详解】以 为原点， 所在直线为 轴建立如图所示直角坐标系，
设 ， ， ，
设 ， ， ，
， ， ，
， ， ，
， ，
，即 ，解得 ，
，因为 为 中点， ，
设 ， ， ， ,
,所以当 时 ，即 ，
故答案为： .
