文档内容
威海市 2020 年初中学业水平数学试卷
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. -2的倒数是（ ）
A. -2 B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据倒数的定义求解.
【详解】-2的倒数是-
故选B
【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数相反数等知识点的掌握
2. 下列几何体的左视图和俯视图相同的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
通过观察各几何体得到左视图与俯视图，进而进行判断即可得解．
【详解】A.该几何体左视图是：
俯视图是：故A选项错误；
B.该几何体左视图是：
俯视图是：
故B选项错误；
C.该几何体左视图是：
俯视图是：
故C选项错误；
D.该几何体左视图是：
俯视图是：故D选项正确，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，建立相关的空间思维是解决本题的关键．
3. 人民日报讯， 年 月 日，中国成功发射北斗系统第 颗导航卫星．至此中国提前半年全面完
成北斗三号全球卫星导航系统星座部署．北斗三号卫星上配置的新一代国产原子钟，使北斗导航系统投时
精度达到了十亿分之一秒，十亿分之一用科学记数法可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据科学记数法的表示形式 (n为整数)进行表示即可求解．
【详解】 ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了于1的数的科学记数法表示方法，熟练掌握相关的表示方法是解决本题的关键．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
分别进行同底数幂的乘法、幂的乘方、完全平方公式、合并同类项等运算，然后选出正确选项即可．
【详解】A、 ，本选项正确；
B、 ，本选项错误；
C、 ，本选项错误；D、 ，本选项错误；
故选：A．
【点睛】此题考查合并同类项、完全平方公式、幂的乘方、同底数幂的乘法，掌握运算法则是解题关键．
5. 分式 化简后的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据异分母分式相加减的运算法则计算即可．异分母分式相加减，先通分，再根据同分母分式相加减的法
则计算．
【详解】解：
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式的加减，熟练掌握分式通分的方法是解答本题的关键．
6. 一次函数 与反比例函数 在同一坐标系中的图象可能是（ ）A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据一次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解．
【详解】当 时， ，则一次函数 经过一、三、四象限，反比例函数 经
过一 、三象限，故排除A，C选项；
当 时， ，则一次函数 经过一、二、四象限，反比例函数 经过二、四
象限，故排除B选项，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图像的性质，熟练掌握相关性质与函数图像的关系是解决
本题的关键．
7. 为了调查疫情对青少年人生观、价值观产生的影响，某学校团委对初二级部学生进行了问卷调查，其中
一项是：疫情期间出现的哪一个高频词汇最触动你的内心？针对该项调查结果制作的两个统计图（不完整）如下，由图中信息可知，下列结论错误的是（ ）
A. 本次调查的样本容量是
B. 选“责任”的有 人
C. 扇形统计图中“生命”所对应的扇形圆心角度数为
D. 选“感恩”的人数最多
【答案】C
【解析】
【分析】
根据条形统计图与扇形统计图中的相关数据进行计算并逐一判断即可得解．
【详解】A.由统计图可知“奉献”对应的人数是 108 人，所占比为 18%，则调查的样本容量是
，故A选项正确；
B.根据扇形统计图可知“责任”所对的圆心角是 ，则所对人数为 人，故B选项正确；
C.根据条形统计图可知“生命”所对的人数为132人，则所对的圆心角是 ，故C选项
错误；
D.根据“敬畏”占比为16%，则对应人数为 人，则“感恩”的人数为
人，人数最多，故D选项正确，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了通过条形统计图与扇形统计图之间各部分数量与占比的关系对总体，未知部分对
应数量以及对应圆心角的求解，数量掌握相关计算方法是解决本题的关键．8. 如图，点 ，点 都在反比例函数 的图象上，过点 分别向 轴、 轴作垂线，垂足
分别为点 ， ．连接 ， ， ．若四边形 的面积记作 ， 的面积记作 ，
则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M，N，根据图象上点的坐标特征得到P（4，1），Q
（−2，−2），根据反比例函数系数k的几何意义求得S ＝4，然后根据S ＝S −S −S 求得S ＝
1 2 △PQK △PON 梯形ONKQ 2
3，即可求得S：S＝4：3．
1 2
【详解】解：点P（m，1），点Q（−2，n）都在反比例函数y＝ 的图象上，
∴m×1＝−2n＝4，
∴m＝4，n＝−2，
∵P（4，1），Q（−2，−2），
∵过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M，N，∴S＝4，
1
作QK⊥PN，交PN的延长线于K，则PN＝4，ON＝1，PK＝6，KQ＝3，
∴S＝S −S −S ＝ ×6×3− ×4×1− （1＋3）×2＝3，
2 △PQK △PON 梯形ONKQ
∴S：S＝4：3，
1 2
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，分别求得S、S 的
1 2
值是解题的关键．
9. 七巧板是大家熟悉 一种益智玩具，用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将块等腰直角三角形硬纸板
（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②），已知 ，则图中阴影部分的面积为（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
如图，设OF＝EF＝FG＝x，可得EH＝2 x＝20，解方程即可解决问题．
【详解】解：如图，设OF＝EF＝FG＝x，∴OE＝OH＝2x，
在Rt△EOH中，EH＝2 x，
由题意EH＝20cm，
∴20＝2 x，
∴x＝5 ，
∴阴影部分的面积＝（5 ）2＝50（cm2），
故选：C．
【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运
用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10. 如图，抛物线 交 轴于点 ， ，交 轴于点 ．若点 坐标为 ，对
称轴为直线 ，则下列结论错误的是（ ）
A. 二次函数的最大值为
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、与x轴、y轴的交点以及过特殊点时相应的系数a、b、c满足
的关系进行综合判断即可．
【详解】解：抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A（−4，0），对称轴为直线x＝−1，因此有：x＝−1＝− ，即2a−b＝0，因此选项D符合题意；
当x＝−1时，y＝a−b＋c的值最大，选项A不符合题意；
由抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），
当x＝1时，y＝a＋b＋c＞0，因此选项B不符合题意；
抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2−4ac＞0，故选项C不符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的位置与系数a、b、c的关系是正确判断的前提．
11. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线 ， ， ， 为 的中点，E为边
上一点，直线 交 于点F，连结 ， ．下列结论不成立的是（ ）
A. 四边形 为平行四边形
B. 若 ，则四边形 为矩形
C. 若 ，则四边形 为菱形
D. 若 ，则四边形 为正方形
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质及判定定理，以及特殊平行四边形的判定定理进行逐一判断即可得解．
【详解】A.∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∴
∵ 为 的中点
∴在 与 中
∴
∴
又∵
∴四边形 为平行四边形，
故A选项正确；
B.假设
∵ ， ，
∴
∴
∴
∵
∴
则当 时，
∵四边形 为平行四边形
∴四边形 为矩形，
故B选项正确；
C.∵ ，
∴E是AB中点
∵
∴
∵四边形 为平行四边形∴四边形 为菱形，
故C选项正确；
D.当 时与 时矛盾，则DE不垂直于AB，则四边形 不为矩形，则也不可能为正
方形，故D选项错误，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质及判定定理，以及特殊平行四边形的判定定理，熟练掌握相关
性质及定理的几何证明方法是解决本题的关键．
12. 如图，矩形 的四个顶点分别在直线 ， ， ， 上．若直线 且间距相等，
， ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，可以得到BG的长，再根据∠ABG＝90°，AB＝4，可以得到∠BAG的正切值，再根据平行线
的性质，可以得到∠BAG＝∠α，从而可以得到tanα的值．
详解】解：作CF⊥l 于点F，交l 于点E，设CB交l 于点G，
4 3 3
由已知可得GE∥BF，CE＝EF，
∴△CEG∽△CFB，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵BC＝3，
∴GB＝ ，
∵l∥l，
3 4
∴∠α＝∠GAB，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，
∴∠ABG＝90°，
∴tan∠BAG＝ = = ，
∴tanα的值为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，平行线的性质，矩形的性质，解直角三角形，解答本题的关
键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
第Ⅱ卷
二、填空题（将答案填在答题纸上）
13. 计算 的结果是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次根式的加减运算和零指数幂的运算法则进行计算即可．
详解】解：=
= ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算和零指数幂，掌握运算法则是解题关键．
14. 一元二次方程 的解为__________．
【答案】x= 或x=2
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解法解出答案即可．
【详解】
当x－2=0时,x=2,
当x－2≠0时,4x=1,x= ,
故答案为:x= 或x=2．
【点睛】本题考查解一元二次方程,本题关键在于分情况讨论．
15. 下表中 与 的数据满足我们初中学过的某种函数关系，其函数表达式为__________．
…… ……
…… ……
【答案】
【解析】
【分析】根据表中x与y之间的数据，假设函数关系式为： ，并将表中的点(-1，0)、(0，3)、(1，4)、
(3，0)任取三个点带入函数关系式，求出二次项系数、一次项系数、常数项即可求得答案．
【详解】解：根据表中x与y之间的数据，假设函数关系式为： ，并将表中(-1，0)、(0，3)、
(1，4)三个点带入函数关系式，得：
解得： ，
∴函数的表达式为： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了函数的表达式，解题的关键是掌握函数的三种表达方式：列表法、解析式法、图像法，
本题就是将列表法转变为解析式法．
16. 如图，四边形 是一张正方形纸片，其面积为 ．分别在边 ， ， ， 上顺次
截取 ，连接 ， ， ， ．分别以 ， ， ，
为轴将纸片向内翻折，得到四边形 ，若四边形 的面积为 ，则 __________．
【答案】4
【解析】
【分析】由四边形 的面积算出边长,再用a表示出EB,即可表示出四个三角形的面积,列出等式即可求解．
【详解】∵四边形 是由四个直角边翻折得到的,
∴四边形 是正方形,
∵四边形 是9cm2,
∴ ．
∵ ,
∴EB=FC=DG=HD=(a－3)cm．
∴2S =(S －S )÷4=(25－9)÷4=4cm2,
△AEH □ABCD □A1B1C1D1
即 , ,
因式分解得: ,
∴a=4或a=﹣1(舍去)．
故答案为4．
【点睛】本题考查正方形折叠的题型,关键在于结合图形找到等量关系．
17. 如图，点 在 的内部， ， 与 互补，若 ， ，
则 __________．
【答案】【解析】
【分析】
通过证明△ACO∽△OCB，可得 ，可求出OC．
【详解】解：∵∠OCA＝∠OCB，∠OCA与∠AOB互补，
∴∠OCA＋∠AOB＝180°，∠OCB＋∠AOB＝180°，
∵∠OCA＋∠COA＋∠OAC＝180°，∠OCB＋∠OBC＋∠COB＝180°，
∴∠AOB＝∠COA＋∠OAC，∠AOB＝∠OBC＋∠COB，
∴∠AOC＝∠OBC，∠COB＝∠OAC，
∴△ACO∽△OCB，
∴ ，
∴OC2＝2× ＝3，
∴OC＝ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明△ACO∽△OCB是本题的关键．
18. 如图①，某广场地面是用 ． ． 三种类型地砖平铺而成的，三种类型地砖上表面图案如图②所示，
现用有序数对表示每一块地砖的位置：第一行的第一块（ 型）地砖记作 ，第二块（ 型）地时记
作 …若 位置恰好为 型地砖，则正整数 ， 须满足的条是__________．【答案】m、n同为奇数或m、n同为偶数
【解析】
【分析】
几何图形，观察A型地砖的位置得到当列数为奇数时，行数也为奇数，当列数为偶数，行数也为偶数的，
从而得到m、n满足的条件．
【详解】解：观察图形，A型地砖在列数为奇数，行数也为奇数的位置上或列数为偶数，行数也为偶数的
位置上，
若用（m，n）位置恰好为A型地砖，正整数m，n须满足的条件为m、n同为奇数或m、n同为偶数，
故答案为：m、n同为奇数或m、n同为偶数．
【点睛】本题考查了坐标表示位置：通过类比点的坐标考查解决实际问题的能力和阅读理解能力．分析图
形，寻找规律是关键．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题
考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答
19. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来
【答案】−1≤x＜3；在数轴上的表示见详解
【解析】
【分析】
先求出每个不等式的解集，再求出这些不等式解集的公共部分，然后在数轴上表示出来即可．【详解】解：
由①得：x≥−1；
由②得：x＜3；
∴原不等式组的解集为−1≤x＜3，
在坐标轴上表示：
．
【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在
数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面
表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集
时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
20. 在“旅游示范公路”建设的的中，工程队计划在海边某路段修建一条长 的步行道，由于采用新
的施工方式平均每天修建步行道的长度是计划的 倍，结果提前 天完成任务，求计划平均每天修建的
长度．
【答案】80m
【解析】
分析】
设计划平均每天修建步行道的长度为xm，则采用新的施工方式后平均每天修建步行道的长度为1.5xm，根
据工作时间＝工作总量÷工作效率结合实际比原计划提前5天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之
经检验后即可得出结论．
【详解】解：设计划平均每天修建步行道的长度为xm，则采用新的施工方式后平均每天修建步行道的长
度为1.5xm，
依题意，得：
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，
答：计划平均每天修建步行道的长度为80m．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．21. 居家学习期间，小睛同学运用所学知识在自家阳台测对面大楼的高度如图，她利用自制的测角仪测得
该大楼顶部的仰角为 ，底部的俯角为 ：又用绳子测得测角仪距地面的高度 为 ．求该大楼
的高度（结果精确到 ）（参考数据： ， ， ）
【答案】该大楼的高度约为72.1m．
【解析】
【分析】
作AH⊥CD于H，则四边形 ABDH是矩形，得出 HD＝AB＝31.6m，由三角函数定义求出 AH≈40.51
（m），证出CH＝AH＝40.51m，进而得出答案．
【详解】解：作AH⊥CD于H，如图：
则四边形ABDH是矩形，
∴HD＝AB＝31.6m，
在Rt△ADH中，∠HAD＝38°，tan∠HAD＝ ，∴AH＝ ≈40.51（m），
在Rt△ACH中，∠CAH＝45°，
∴CH＝AH＝40.51m，
∴CD＝CH＋HD＝40.51＋31.6≈72.1（m），
答：该大楼的高度约为72.1m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题以及等腰直角三角形的判定，解答本题的关键是
根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．
22. 如图， 的外角 的平分线与它的外接圆相交于点 ，连接 ， ，过点 作
，交 于点
求证：（1） ；
（2） 为⊙O的切线．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据圆内接四边形的性质得到∠EAM＝∠EBC．，根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠EAM，得到
∠BCE＝∠EBC，于是得到BE＝CE；
（2）如图，连接EO并延长交BC于H，连接OB，OC，推出直线EO垂直平分BC，得到EH⊥BC，求得
EH⊥EF，根据切线的判定定理即可得到结论．
【详解】证明：（1）∵四边形ACBE是圆内接四边形，
∴∠EAM＝∠EBC，
∵AE平分∠BAM，∴∠BAE＝∠EAM，
∵∠BAE＝∠BCE，
∴∠BCE＝∠EAM，
∴∠BCE＝∠EBC，
∴BE＝CE；
（2）如图，连接EO并延长交BC于H，连接OB，OC，
∵OB＝OC，EB＝EC，
∴直线EO垂直平分BC，
∴EO⊥BC，
∵EF//BC，
∴EO⊥EF，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF为⊙O的切线．
【点睛】本题考查了切线的判定定理，等腰三角形的性质和判定，垂直平分线的性质定理，圆内接四边形
的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
23. 小伟和小梅两位同学玩掷骰子的游戏，两人各掷一次均匀的骰子，以掷出的点数之差的绝对值判断输
赢．若所得数值等于 ， ， ，则小伟胜：若所得数值等于 ， ， ，则小梅胜
（1）请利用表格分别求出小伟、小梅获胜的概率（2）判断上述游戏是否公平．如果公平，请说明理由；如果不公平，请利用上表修改游戏规则，以确保
游戏的公平性
【答案】（1）P（小伟胜）＝ ，P（小梅胜）＝ ；（2）游戏不公平；修改为：两次掷出的点数之差的
绝对值为1，2，则小伟胜；否则小梅胜．
【解析】
【分析】
（1）利用列表法表示所有可能出现的结果情况，并求出小伟胜、小梅胜的概率；
（2）依据获胜的概率判断游戏的公平性，修改规则时，利用差的绝对值的形式，使两人获胜的概率相等
即可．
【详解】解：（1）用列表法表示所有可能出现的结果如下：
表中总共有36种可能的结果，每一种结果出现的可能性相同，“差的绝对值”为0，1，2共有24种，
“差的绝对值”为3，4，5的共有12种，
∴P（小伟胜）＝ ＝ ，P（小梅胜）＝ ＝ ，
答：小伟胜的概率是 ，小梅胜的概率是 ；
（2）∵ ≠ ，
∴游戏不公平；
根据表格中“差的绝对值”的不同情况，要使游戏公平，即两人获胜的概率相等，
于是修改为：两次掷出的点数之差的绝对值为1，2，则小伟胜；否则小梅胜，这样小伟、小梅获胜的概率均为 ．
【点睛】此题主要考查了游戏的公平性，通过列举出所有的可能结果，求出相应的概率是解决问题的关键．
24. 已知，在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点为 ，点 的坐标为
（1）求抛物线过点 时顶点 的坐标
（2）点 的坐标记为 ，求 与 的函数表达式；
（3）已知 点的坐标为 ，当 取何值时，抛物线 与线段 只有一个
交点
【答案】（1）（1，1）或（3，5）；（2）y＝2x−1；（3）−3≤m≤3且m≠1．
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法求得解析式，然后把解析式化成顶点式即可求得；
（2）化成顶点式，求得顶点坐标，即可得出y与x的函数表达式；
（3）把C（0，2）代入y＝x2−2mx＋m2＋2m−1，求得m＝1或−3，结合（1）根据图象即可求得．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝x2−2mx＋m2＋2m−1过点B（3，5），
∴把B（3，5）代入y＝x2−2mx＋m2＋2m−1，整理得，m2−4m＋3＝0，
解得m＝1，m＝3，
1 2
当m＝1时，y＝x2−2x＋2＝（x−1）2＋1，
其顶点A的坐标为（1，1）；
当m＝3时，y＝x2−6x＋m2＋14＝（x−3）2＋5，
其顶点A的坐标为（3，5）；
综上，顶点A的坐标为（1，1）或（3，5）；
（2）∵y＝x2−2mx＋m2＋2m−1＝（x−m）2＋2m−1，∴顶点A的坐标为（m，2m−1），
∵点A的坐标记为（x，y），
∴x＝m，
∴y＝2x−1；
（3）由（2）可知，抛物线的顶点在直线y＝2x−1上运动，且形状不变，
由（1）知，当m＝1或3时，抛物线过B（3，5），
把C（0，2）代入y＝x2−2mx＋m2＋2m−1，得m2＋2m−1＝2，
解得m＝1或−3，
所以当m＝1或−3时，抛物线经过点C（0，2），
如图所示，当m＝−3或3时，抛物线与线段BC只有一个交点（即线段CB 端点），
当m＝1时，抛物线同时过点B、C，不合题意，
所以m的取值范围是−3≤m≤3且m≠1．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，
数形结合是解题的关键．
25. 发现规律：
（1）如图①， 与 都是等边三角形，直线 交于点 ．直线 ， 交于点 ．
求 的度数
（2）已知： 与 的位置如图②所示，直线 交于点 ．直线 ， 交于点 ．
若 ， ，求 的度数
应用结论：（3）如图③，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， 为 轴上一动点，
连接 ．将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ， ，求线段 长度的最小
值
【答案】（1） 的度数为 ；（2） 的度数为 ；（3）线段 长度的最小值
为
【解析】
【分析】
（1）通过证明 可得 ，再由三角形内角和定理进行求解即可；（2）通过证明 可得 ， ，可证 ，可得
，由外角性质可得 ，再有三角形内角和定理进行求解即可；
（3）由旋转的性质可得 是等边三角形，可得 ，
，如图③将 绕点M顺时针旋转 ，得到 ，连接
OQ，可得 ，OK=NQ，MO=MQ，则当NQ为最小值时，OK有最小值，由垂线段最短可得当
轴时，NQ有最小值，由直角三角形的性质即可求解．
【详解】（1）∵ 与 是等边三角形
∴AB=AC，AD=AE，
∴
∴
∴
∵
∴
∴ ；
（2）∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴∴
∵
∴
∵
∴
∴ ；
（3）∵将线段MN绕点M逆时针旋转 得到线段MK
∴ ，
∴ 是等边三角形
∴ ，
如下图，将 绕点M顺时针旋转 ，得到 ，连接OQ
∴ ，
∴OK=NQ，MO=MQ
∴ 是等边三角形
∴
∴∵OK=NQ
∴当NQ为最小值时，OK有最小值，由垂线段最短可得当 轴时，NQ有最小值
∵点 的坐标为
∴
∵ 轴，
∴
∴线段OK长度的最小值为 ．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三
角形的判定和性质，旋转的性质，三角形内角和定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是解决本题的关
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