文档内容
专题 2-2 比大小归类
目录
讲高考................................................................................................................................................................................1
题型全归纳.......................................................................................................................................................................3
【题型一】“中间值”法1：正负以及1分界型..............................................................................................3
【题型二】“中间值”法2：非特殊数为中间值..............................................................................................4
【题型三】利用函数图像交点比较大小...............................................................................................................6
【题型四】作差比较法................................................................................................................................................9
【题型五】做商比较法.............................................................................................................................................11
【题型六】指数函数单调性与指数运算“放大”型.....................................................................................13
【题型七】利用对数运算凑“同构”.................................................................................................................15
【题型八】等式与方程形式的构造比大小........................................................................................................17
【题型九】利用函数奇偶性、对称性单调性等比大小.................................................................................19
【题型十】构造函数求导法....................................................................................................................................21
【题型十一】三角函数值之间的比大小.............................................................................................................23
【题型十二】放缩法..................................................................................................................................................25
【题型十三】超难构造比大小...............................................................................................................................27
专题训练.........................................................................................................................................................................29
讲高考
高考真题
1．已知 ， ， ，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
2021年全国新高考II卷数学试题
【答案】C
【分析】对数函数的单调性可比较 、 与 的大小关系，由此可得出结论.
【详解】 ，即 .
故选：C.
2．设 ， ， ．则（ ）
A． B． C． D．
2021年全国高考乙卷数学（理）试题
【答案】B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b
与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数 ,
，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，
结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】[方法一]：
，
所以 ；
下面比较 与 的大小关系.
记 ，则 ， ，
由于
所以当00时， ，
所以 ，即函数 在[0，+∞)上单调递减，所以 ，即
，即bb>c B．b>a>c C．c>a>b D．a>c>b
【答案】A
【分析】
利用指数函数及对数函数的性质即得.
【详解】
∵ ， ，，
∴ .故选：A.
【讲技巧】
解答比较函数值大小问题，常见的基础思路之一是判断各个数值所在的区间，这样的区
间划分，最基础的是以正负划分，正数则以1为区间端点划分。
【练题型】
1.设 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据指数函数的单调性和幂函数的单调性比较大小.
【详解】 是单调递减函数， ，即 ，
又 在 为增函数， ，即 。故选：C
2.设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先根据指数函数、幂函数的性质确定 范围并比较大小，再判断 的范围，即可比较 ，
， 的大小关系.
【详解】
在 上单调递增， ，
又 在 上单调递减， ， ，
,
又 ， .故选：D
3.三个数 ， ， 的大小关系为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
试题分析：因为 ， ， ，所以 ．故选
D．
考点：比较大小．
【题型二】“中间值”法2：非特殊数为中间值
【讲题型】
例题1.若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据对数函数的单调性，分别计算 ， ， 的范围即可比较大小.
【详解】
因为 ，所以 ，即 ，
可得 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，又 ，可得 ，
因为 ，故
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，所以 。故选：D．
例题2.已知 ， ， ， ，则 、 、 、 的大小关系是（
）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
利用对数函数的单调性比较 、 、 与 的大小关系，利用中间值法判断出 、 的大小
关系，综合可得出 、 、 、 的大小关系.
【详解】
， ， ，
， ，则 ，
， ，则 ，
因此， .故选：D.
【讲技巧】
寻找非0、1的中间变量是难点。中间变量的选择首先要估算要比较大小的两个值所在
的大致区间。然后可以对区间使用二分法（或者利用区间内特殊值，或者利用指对互
化）寻找合适的中间值。
1.估算要比较大小的两个值所在的大致区间
2.可以对区间使用二分法（或者利用指对转化）寻找合适的中间值
【练题型】
1.若 ， ， ，则 、 、 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据对数函数的性质可得 ， ，然后利用对数的运算化为同底并结合对数函数的单调性，可比较出 的大小关系， 分别与中间值 比较，得出 ， 分
别与中间值 比较，得出 ，综合即可选出答案.
解：由题意， ， ， ，即 ， ，
，而 ，所以 ，
，而 ，即 ，又
， ，
而 ，则 ，即 ，同理， ，
，
而 ，则 ，即 ，综上得： ，
所以 .故选：D.
2.若 ，则 之间的大小关系是 __________.
【答案】
【详解】
注意到
.
下面证明 .
，
.
故 .
3.设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用对数函数的性质及放缩法有 、 ，可比
较 ， 的大小，再由 并构造 ，根据其单调性即可确定 ， 的大小.
【详解】由题意， ， ，∴ ，
由 ，则 ，而 在 上递增，
∴ ，故 ，即 ，∴ .故选：C
【题型三】利用函数图像交点比较大小【讲题型】
例题1.已知正实数 ， ， 满足 ， ， ，则
a，b，c的大小关系为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 可得 ，由此可构造函数 ，根
据f(x)的单调性即可判断a和c的大小；根据对数的计算法则和对数的性质可得b与2的大
小关系； 变形为 ，利用函数 与函数 的图象可判
断两个函数的交点的横坐标c的范围，从而判断b与c的大小.由此即可得到答案．
【详解】 ，
故令 ，则 ， ．
易知 和 均为 上的增函数，故 在 为增函数．
∵ ，故由题可知， ，即 ，则 ．
易知 ， ，
作出函数 与函数 的图象，如图所示，
则两图象交点横坐标在 内，即 ， ， ．故选：B．
【讲技巧】
幂指对函数，可以借助函数之间的图像交点，以及函数与坐标轴的交点，函数的区间值
域，来寻找特殊值之间的大小位置关系
【练题型】
1.已知 则 ， ， 的大小关系是（ ）。
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题意 可知，令 ，可得， ，画
出函数 的图像，结合 的范围，即可比较a,b,c的大小。
【详解】
由题意知 ，令 ， 。
函数 的图像如下，当 ，由图像可知 ，即 ，故答案选B。
2.若正实数a，b，c满足 ， ， ，则正实数 之间的大小
关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意可知，正实数 分别是方程 ， 和 在
内的根，再根据零点的存在定理，分别可求出正实数 的取值范围，由此即可
得到结果.
【详解】
∵ 与 的图象在 只有一个交点，∴ 在 只有一个根，
设为a．
令 ，∵ ， ，
，
∴ ．
∵ 与 的图象在 只有一个交点，∴ 在 只有一个根，
设为b．
令 ，∵ ， ，
∴ ，∴ ．∵ 与 的图象在 只有一个交点，
∴ 在 只有一个根，设为c．
令 ，∵ ， ，
，
∴ ．∴ ．故选：A.
3.已知 ，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
画出 ， ， ， 的图像，根据图像得到答案.
【详解】
画出 ， ， ， 的图像，如图所示：根据图像知： .故选：D.
【题型四】作差比较法
【讲题型】
例题1.设 ， ， ， ，则 ， ， 的大小关系是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由作差比较法和不等式的性质，可得结论．
【详解】
解：由 ，可得 ， ， ，又 ，
可得 ；
又 ，可得 ．所以 ．故选：A．
例题2.已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用作差法比较a,c大小，再分别比较b,c与 的关系即可求解
【详解】
a-c= =
<0,故
又 故3> ,故 ,即b> ,
又 ＜ 故 ,故 即c＜ ,所以b＞c,综上 ，
故选B.
【讲技巧】差比法：作差，变形，判断正负。
其中难点在于恒等变形的方向和变形的技巧，变形的目的是为了判断正负，所以可以因式分解，或者
计算化简，或者放缩为具体值，准确计算找对变形方向是关键。
【练题型】
1.实数 ， ， 分别满足 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意得 ， ， ，然后 与 作差结合基本不等式
比较大小，构造函数 ，可判断其在 上单调递减，则 ，化简
可得 ，则 ，则可比较出 与 的大小即可
【详解】由题意得 ， ， ，则
，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
设 ，则 ，当 时， ，所以 在 上单调
递减，所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，故选：B
2.已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用作差法比较a,c大小，再分别比较b,c与 的关系即可求解
【详解】a-c= =<0,故
又 故3> ,故 ,即b> ,
又 ＜ 故 ,故 即c＜ ,所以b＞c,综上 ，
故选B.
3.已知 分别满足下列关系： ，则 的大小关系（从小
写到大）_______.
【答案】
【分析】先分别求出 ， 与 可通过作差可比较大小， 可以通过放缩再和 作商比
较出大小.
【详解】因为 ，所以 ，
=
，
所以 即 ， 。
所以 ，故有
故答案为：
【题型五】做商比较法
【讲题型】
例题1..已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
先由题，易知 ，而 ，再将b，c作商，利用对数
的运算以及基本不等式，求得比值与1作比较即可得出答案.
【详解】因为 ，故 。
所以 ，即 故选D
例题2.已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】先由题，易知 ，而 ，再将b，c作商，利用对数的运算以及基本不等式，求得比值与1作比较即可得出答案.
【详解】因为 ，故 。
所以 ，即 故选D
【讲技巧】
商比法：
两个正数a，b，如果 运用商比法，要注意两个数是正数还
，
是负数。
【练题型】
1.已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】对 作商比较，再通过构造函数 ，利用导数判断其单调
性，可比较 的大小，从而可得结论.
【详解】因为 ，
所以 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递增，在 上递减，
所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
综上 ，故选：AC
2.已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由 ，设 ，求出导函数得出单调性，从而可得
，即 ，得出 大小，同理可得 大小，得出答案.
【详解】∵ ，构造函数 ，，
令 ，则 ，∴ 在 上单减，∴
，
故 ，所以 在 上单减，∴
，
同理可得 ，故 ，故选：C.
3.已知00，
又m<0，n<0，则 ，于是得mb，
综上： .故选：D.
【讲技巧】
指、对、幂大小比较的常用方法：
（1）底数相同，指数不同时，如 和 ，利用指数函数 的单调性；
（2）指数相同，底数不同，如 和 利用幂函数 单调性比较大小；
（3）底数相同，真数不同，如 和 利用指数函数 单调性比较大小；
（4）底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间
量，借助中间量进行大小关系的判定.
【练题型】
1..已知 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
首先求出 、 ，即可判断 ，再利用作差法判断 ，即可得到 ，再判断
，即可得解；
【详解】
解：由 ，所以 ，可知 ，又由 ，有
，又由 ，有 ，可得 ，即 ，故有 .故选：B
2.设 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用指数函数及幂函数的单调性即得．
【详解】
因为 ， ， ，由指数函数及幂函数的单调性可得，
∴ ，即 .
故选：A．
3.已知 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据幂函数的单调性可得 ，根据对数函数的单调性可得 ，即可比较.
【详解】
依题意， ，函数 在 上单调递增，而 ，
，即 ，
函数 在 上单调递增，且 ，则有 ，即 ，
．故选：C.
【题型七】利用对数运算凑“同构”
【讲题型】
例题1.设 ， ， ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据对数的运算性质和对数函数的单调性，单调 ，再结合指数函数和对数
函数的性质，求得 且 ，即可求解.
【详解】
由对数的运算性质，可得 ，
又由函数 在定义域为单调递增函数，所以 ，
又因为 ，且 ，
所以 ，即 .故选：C.
例题2.已知 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
构造函数 ，利用导数判断函数的单调性，可得 ，从而可得
，再由 在 上单调递增，即可得出选项.
【详解】构造函数 ，则 ，当 时， ，故
在 上单调递减，
所以 ，所以 ，
所以 ， ，因为 在 上单调递增，所以 ，
同理 ，所以 ，故选：B【讲技巧】
对数公式运算
对数运算公式比较多，再加上换底公式，构成了丰富多彩的运算、转化、化归技巧。做
为对数值所独有的技巧：
1、类似于分式型的分离常数，借助此法可以把较复杂的数据，转化为某一单调区间，
或者某种具有单调性的形式，以利于比较大小
2.可以利用换底公式等运算公式，把要比较大小的数（或者式子）转化为具有相同结构
的对数（或者对数式子），再借助中间数，或者差比法、商比法等来比较大小
【练题型】
1.若 ， ， ，则 、 、 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据对数函数的性质可得 ， ，然后利用对数的运算化为同底并结合
对数函数的单调性，可比较出 的大小关系， 分别与中间值 比较，得出
， 分别与中间值 比较，得出 ，综合即可选出答案.
【详解】解：由题意， ， ， ，
即 ， ， ，
而 ，所以 ， ，而
，
即 ，又 ， ，
而 ，则 ，即 ，同理， ，
，而 ，则 ，即 ，
综上得： ，所以 .故选：D.
2.. ､ ､ 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
应用对数的运算性质可得 、 、 ，进而比
较大小关系.
【详解】， ，
，∵ ，
∴ ，故选：C.
3.已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
把c用对数表示，根据式子结构，转化为比较 的大小，分别与1和 比
较即可.
【详解】
， ，由 得，
.
因为 ，所以 ， ，即 .
下面比较a、b的大小关系：
（其中 ）， ，所以
所以 所以 .故选：C.
【题型八】等式与方程形式的构造比大小
【讲题型】
例题1.已知 ， ， ，其中 ， ， ，则a，b，
c的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造函数 ，并求 ，利用函数 的图象去比较
三者之间的大小顺序即可解决.
【详解】将题目中等式整理，得 ， ， ，
构造函数 ， ，
令 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
函数 的大致图象如图所示．因为 ， ， ，且 ， ， ，
则由图可知 ， ，所以 ．故选：A．
例题2.已知实数x，y， ，且满足 ， ，则x，y，z大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，可得 ，构造函数，借助函数单调性比较大小即得.
【详解】因 ， ，则 ，即 ，
令 ，则 ，函数 在 上单调递增，有
，
即 ，从而当 时， ，令 ， ，
在 上单调递减，
则由 ， 得 ，
所以 .
故选：A
【练题型】
1.若 ， ， ，则a，b，c与1的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据条件构造函数，并求其导数，判断该函数的单调性，据此作出该函数的大致
图象，由图象可判断a，b，c与1的大小关系.
【详解】令 ，则
当 时， ，当 时，
即函数 在 上单调递减，在 上单调递增,
而 ，由 可知 ，
故作出函数大致图象如图：由图象易知， ，故选：C.．
2.设实数 ， ， 分别满足 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】对于 和 的比较中，分别设为函数，求导并研究其函数的单调性，再与特殊值
的函数值比较大小，从而知 与中介值 的大小，比较出 之间的大小关系.
【详解】因为 且 ，所以
令 ，则 令 得
当 时， 所以 在 单调递增，
且 又因为 ，所以
令 则 则 在 上单调递增，
且 又因为 ，所以
所以 ．
故选B.
3.实数x、y满足 则x、y的大小关系是___________．
【答案】 ##
【分析】比较x、y的大小关系，在等式中比较x、y的大小关系，利用假设法结论正确的
答案，结论错误则结果与假设的相反.
【详解】假设 ．由①知 ，由于 ，则 ，从而
．设 ，则 在 上递减，且 ，又
，所以 ．于是 ．
由②知， ，又 ，所以 ，即 ．
类似上面有 ．于是 与 矛盾故 ．
故答案为： .
【题型九】利用函数奇偶性、对称性单调性等比大小【讲题型】
例题1.已知 是定义域为 的奇函数， 为偶函数，当 时，
，若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是
________.
【答案】 ##
【分析】
先分析得到函数的最小正周期为4，再利用函数的周期性求值得解.
【详解】
解：由题得 ，
所以 ，
所以 ，
所以函数的最小正周期为4.
所以 ，
，
.
所以 .故答案为：
例题2.已知函数 满足 对任意的 都有
恒成立，若 则 的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意可设 ， 则有 ，再由定义法判断函数的单调性
可得函数 在 为减函数，再判断大小即可.
解：设 ， 由已知有：任意的 都有
恒成立，
即函数 在 为减函数，所以 ，
由 可得 ，即 ， 所以 ，故
选D.
【练题型】
1.已知函数 ，若 ，则a、b、
c之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意，求出函数 的定义域，结合函数的解析式可得 ，即函数 为偶
函数，设 ，利用复合函数单调性的判断方法分析可得 在 ， 上
为减函数，又由 的值，可得在区间 ， 上， ，由此可得 在区间 ，
上为增函数，据此分析可得答案．【详解】
根据题意，函数 ，其定义域为 ，
则 ，
即函数 为偶函数，
设 ，有 ，
设 ，则 ，
当 时， 为减函数且 ，
而 在 为增函数，
则 在 ， 上为减函数，
又由 ，则在区间 ， 上， ，
又由 ，则 在区间 ， 上为增函数，
又由 ，
则有 ，
故选 ．
2.已知函数 定义在 上的函数 满足： ，当
， ，则 与 的大小关系为
A． B．
C． D．不能确定
【答案】A
【分析】
根据题意，求得 在 上单调递减，在 上单调递增，又 ，可得函数
为偶函数和 的周期为4，可得 ， ，可得答案.
【详解】
由 ，知函数 在 上单调递减，在 上单调递增，又
，所以函数 为偶函数.由 ，得函数 的周期为4.
又 ，
，
而 ， ，且 ，
所以 .故选A.3.已知定义在 上的函数 满足 ，且函数 在 上是减函数，若
，则 的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
化简 ，根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出 ， 的
取值范围，结合 的单调性与奇偶性即可得结果.
【详解】 ， 是偶函数， ， ，
，
， ， ，又因为 在
上递减，
， ，
即 ，故选A.
【题型十】构造函数求导法
【讲题型】
例题1.已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
若对数式的底相同，直接利用对数函数的性质判断即可，若底不同，则根据结构构造函数，
利用函数的单调性判断大小．
【详解】
对于 的大小： ， ，明显 ；
对于 的大小：构造函数 ，则 ，
当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递减，
即
对于 的大小： ， ， ，
故选B．
例题2.设 ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造函数 ，得 ，判断函数 在 的单调性，结合减函数的
性质与不等式性质，判断出 ， ， 的大小关系．
解：设 ，则 ，当 时， ，故 在 为减函数，
， ，则 ，故 ；又 ， ，
即 ，故 ， ．故选：B．
【讲技巧】
常见的构造函数求导思维：在于转化过程中，“分参”→“同构”，得新函数，求导函数寻找单调性
【练题型】
1.设 ，已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用导函数可得 的单调性，从而可比较a，c的大小，设 ，由幂函数
的单调性可比较b，c的大小，从而可得选项.
【详解】
解： ，当 时， ，则 ，所以 在
上单调递减，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，
设 ，则 在 上单调递增，
又 ，所以 ，则 ，
所以 ，故选：D.
2.设 ， ， ，则 的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】①由题意得 ；
②由于 ，
令 ，则 ，∴ 区间 上单调递减，
∴ ，即 ，因此 ，
故 ，所以 ，可得 ；
③由于 ，令 ，则 ，∴ 区间 上单调递增，
∴ ，即 ，∴ ，故 ．综上可得 ．选B．
3.设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
分析：由 ，得 ， ，所以 ，构造函数 ，
利用单调性可得 ，从而得 .
详解：易知 ，所以 .令 ，
当 时， ， 单调递增. ，即 ，所以
，即 .
所以 .又 ，所以 .综上： .故选A.
【题型十一】三角函数值之间的比大小
【讲题型】
例题1.已知函数f(x)=sin(cosx)-x与函数g(x)=cos(sinx)-x在区间(0， )都为减函数，设
x,x,x∈(0， )，且cosx=x，sin(cosx)=x，cos(sinx )=x，则x,x,x 的大小关系是（
1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3
）
A．xb>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>a>b
【答案】C
【分析】
由 ，可得 ，利用 ， 的单调性分析可
得 ，即 ，即得解
【详解】∵ ， ∴ ，
又函数 在区间 上单调递减， ，
函数 在区间 上单调递增， ，
∴ ，即 故选：C
【题型十二】放缩法
【讲题型】
例题1.若 ， ， ，则它们的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先判断 大小，再分别判断 和 的大小即可
【详解】因为 ，故 .又 ，
，故 .再分析 和 的大小，因为 ，
，故 ，又 ，故 ，故 .综上有
故选：D
例题2.若 ， ， ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式和对数的运算法则得到 ，再利用指数函数单调性结合放缩法
得到 即可求解．
【详解】 ，
， ，
， ， ，
， ，
，故选： ．【讲技巧】
放缩：
1.借助幂指对函数的单调性进行放缩。
2.常用一些放缩公式：
;
当 时取等;
,当 时取等,
【练题型】
1.已知 ， ， 则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据对数的性质比较大小
【详解】先比较 ，易知 ,故 ，即
又 ，故 时 ， 时
故 ， 而 ，故 ，有
故选：A
2.若 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用对数运算的性质将 化简为 ，从而和c比较大小，同理比较a,c的
大小关系，再根据两个指数幂的大小结合对数的运算性质可比较a,b大小，即可得答案.
【详解】由题意： ， ，故 ．
又 ，即 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ．因为 ，故 ，即
，
所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，故选：B.
3.已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】结合已知条件，比较 和 的大小，进而可得到 和 的大小，然后利用介值比
较 与 的大小，利用介值 和对数函数性质可得 和 的大小，进而得出答案.【详解】由 ， ，可知 ，
又由 ，从而 ，可得 ，
因为 ，所以 ；因为 ，从而 ，即
，
由对数函数单调性可知， ，
综上所述， .故选：B.
【题型十三】超难构造比大小
【讲题型】
例题1.已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】 与 可看作 与 ，从而可构造函数 比大小，
与 可看作 与 ，从而可构造函数 比大小.
【详解】构造函数 ，则 ，令 ，则
．令 ，得 ，所以 在 上单调递减，在 上
单调递增，故 ，因此 在 上单调递增，所以
．令x＝0.4，则 ，所以 ，即a＜b．
构造函数 ，则 ，因此 在
上单调递减，所以 ，令x＝0.4，则 ，
所以 ，所以c＜a．故b＞a＞c．
故选：C．
例题2.已知 ，则 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】构造函数 ， ，利用导函数得到其单调性，从而得到 ，
当且仅当 时等号成立，变形后得到 ，当 时，等号成立，令 后
得到 ；
再构造 ，利用导函数得到其单调性，得到 ，当且仅当 时，等号成
立，
变形后得到 ，当 时，等号成立，令 得到 ，从而得到 .
【详解】构造 ， ，
则 ，当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，
故 ，当且仅当 时等号成立，
因为 ，所以 ，
当 时，等号成立，
当 时， ，所以
构造 ，则 ，当 时， ，当 时， ，
所以 在 单调递增，在 上单调递减，
故 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立，
故 ，当且仅当 时，等号成立，
令 ，则 ，所以 ，
综上 ，故选：
【练题型】
1.已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数 ， ，求其单调性，从而判断 ， ， 的大小关
系.
【详解】构造 ， ，
，
在 时为减函数，且
，
所以 在 恒成立，
故 在 上单调递减，
所以 ，
即 ，所以 ，即 .
故选：D
2.若 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】构造函数 ，利用导数可得 ，进而可得
，可得 ，再利用函数 ，可得 ，即得.
【详解】令 ，则 ，∴ 在 上单调递增，
∴ ， ， ，
∵ ，∴ ，故 ，
设 ，则 ，
所以函数在 上单调递增，
由 ，所以 时， ，即 ，
∴ ，
又 ，
∴ ，故 .故选：B.
3.已知 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先构造函数 ，求导确定函数单调性，即可判断 的大
小.
【详解】令 ，则 ，
显然当 时， 是减函数且 ，故 是减函数，
，即 ，
可得 ，即 .
故选：A.
一、单选题
1．已知 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】比较 的大小，可以借助中间值 以及对数函数的单调性， 利用对数恒等式求
值即可与 比较大小.
【详解】因为 ， ，所以 ，又
，
所以 .
故选：B.
2．已知 ，且 是方程 的两根，则 的
大小关系是（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【分析】画出函数图象，数形结合进行求解.
【详解】 为二次函数，开口向上，
因为 是方程 的两根，
故 为图象与 轴的两个交点横坐标，
其中 ，
画出图象如下：
显然 ，
故选：C
3．已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性即可比较大小.
【详解】解： ， ， ，
，
故选：B.
4．设 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b＞c＞a B．b＞a＞c
C．a＞c＞b D．a＞b＞c
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性，结合“媒介数”比较大小作
答.
【详解】因 ，则 ，而
，
又 ，即有 ，因此 ，B正确.
故选：B
5．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】根据指数函数及幂函数的单调性比较 的大小，分别比较 与 的大小即可得
的大小，从而得答案.
【详解】解：因为 在R上为单调递减函数，所以 ，又因为 在
上为单调递增函数，所以 ，即 ，所以 ，即 ，
又因为 ，又因为 ，
，
即有 所以 ，即 ，所以 ，即 ，
综上所述： .故选：A.
6．已知定义在 上的函数 ，则
的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用函数 的单调性和对数值的大小即可判断.
【详解】因为定义在 上的函数 ，
对于 ，都有 ，
所以函数 为 上的奇函数，
当 时，函数 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，
因为 ， ，
由对数函数 的性质可知： ，
所以 ，也即 ，
又因为 ，所以 ，则有 ，
所以 ，
故选： .
7．已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数得出 大小，又 即得出结论.
【详解】构造函数 ，则 ，
在 上恒成立，则 在 上单调递减，故，则 ，
，则 ，
由对于函数 ， 恒成立，
所以， 即 在 上恒成立.
所以， （注：
）
所以，
故选：C
8．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数 ， ，求其单调性，从而判断 ， ， 的大小关
系.
【详解】构造 ， ，
，
在 时为减函数，且
，
所以 在 恒成立，
故 在 上单调递减，
所以 ，
即 ，所以 ，即 .
故选：D
【点睛】对于指数式，对数式比较大小问题，通常方法是结合函数单调性及中间值比较大
小，稍复杂的可能需要构造函数进行比较大小，要结合题目特征，构造合适的函数，通过
导函数研究其单调性，比较出大小.
二、多选题
9．下列大小关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】对A， 正确；对B，借助中间量 可知正确；对C，由换底公式
而 ，所以C错误；对D，借助中间值1即可比较出结果；
【详解】对于A，因为 ，而 是增函数，所以 ，即 ，故A正确；对于B，根据指数函数 为单调递减可知， ，
又由幂函数 为单调递增可知，
所以 ，故B正确；
对于C，由换底公式可知 ，
根据对数函数单调性可知 ， ,
所以 ，故C错误；
对于D，由指数函数单调性可知 ，所以 ，故D正
确；
故选：ABD.
10．若 ， ， ，则下列a，b，c的大小关系表达正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】利用对数运算性质得到将 化为底相同的对数，然后利用对数函数的相关性质
得到 ，而 ，最终比较出三者大小关系.
【详解】 ， ，
所以根据对数函数 的图像与单调性知 ，
即 ，
，所以 ，
故选：AD.
11．已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】对 作商比较，再通过构造函数 ，利用导数判断其单调
性，可比较 的大小，从而可得结论.
【详解】因为 ，
所以 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递增，在 上递减，
所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，
综上 ，
故选：AC
12．已知实数 、 、 满足 ，则 、 、 的大小关系可能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】设 ，作出函数 、 、 的图象，分类讨论直线
的位置，可得出合适的选项.
【详解】设 ，作出函数 、 、 的图象.
设函数 与函数 图象的交点为点 ，函数 与函数 图象的交点为点
.
①当直线 在点 的上方时，由图象可得 ，A选项满足条件；
②当直线 在点 的下方，在点 的上方时，由图象可得 ，B选项满足条件；
③当直线 在点 的下方时，在原点的上方时，由图象可得 ，C选项满足条件.
故选：ABC.
三、填空题
13．己知 ，设 ，则a，b，c的大小关系为
_______．（用“ ”连接）
【答案】
【分析】根据对数运算及对数函数的性质判断即可．
【详解】解：由 得 ，即 ， ，
又 ，， ， ，
，综上： ．故答案为： ．
14．设 ，则a，b，c的大小关系是_____．
（用“ ”连接）
【答案】
【分析】构造函数 ,易得 单调递增，即可得到结果.
【详解】
由幂函数 在 为减函数知 在 上单调递增，
故 ，
即 .故答案为： .
15．设 ，则a，b，c大小关系是____________．
【答案】 ## ．
【分析】通过构造函数，利用导数来研究函数的单调性，再利用单调性比较大小.
【详解】令 ， ，则 ，
令 ，得 ，即 在 上单调递增， ，
∴ ，即 ，即 ，
令 ，则 ，
令 得 ，即 在 单调递减，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，即 .所以 .故答案为： .
16．设函数 ， ， ， ， ，
记 ， .则 ， ， 大
小关系是______.
【答案】
【分析】根据所给函数解析式 ,结合 的表达式，代入 化简.由等差数列
求和公式可求得 并可得与1的大小关系.将 代入 ，由三角函数性质化简,并
与特殊角的三角函数值比较,可与1比较大小,即可比较 , , 大小.
【详解】因为函数 ， ，
则 ，所以 .
因为 ，
则
，
所以
，
因为 ，
则
.
因为 , ，
所以 ，
而 ，
所以 即 ，
综上所述, ，
所以 ，
故答案为: .
【点睛】本题考查了函数新定义的应用，函数式的化简变形及等差数列求和的应用,利用中
间值法比较大小，化简过程繁琐，属于难题.
