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专题 07 立体几何小题常考全归类
【命题规律】
高考对该部分的考查，小题主要体现在两个方面：一是有关空间线面位置关系的命题的真假判断；二
是常见一些经典常考压轴小题，难度中等或偏上．
【核心考点目录】
核心考点一：球与截面面积问题
核心考点二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题
核心考点三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题
核心考点四：立体几何中的交线问题
核心考点五：空间线段以及线段之和最值问题
核心考点六：空间角问题
核心考点七：轨迹问题
核心考点八：以立体几何为载体的情境题
核心考点九：翻折问题
【真题回归】
1．（2022·北京·高考真题）已知正三棱锥 的六条棱长均为6，S是 及其内部的点构成的集合．
设集合 ，则T表示的区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·浙江·高考真题）如图，已知正三棱柱 ，E，F分别是棱 上的点．
记 与 所成的角为 ， 与平面 所成的角为 ，二面角 的平面角为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
3．（多选题）（2022·全国·高考真题）如图，四边形 为正方形， 平面 ，
，记三棱锥 ， ， 的体积分别为 ，则
（ ）A． B．
C． D．
4．（多选题）（2022·全国·高考真题）已知正方体 ，则（ ）
A．直线 与 所成的角为 B．直线 与 所成的角为
C．直线 与平面 所成的角为 D．直线 与平面ABCD所成的角为
5．（多选题）（2021·全国·高考真题）在正三棱柱 中， ，点 满足
，其中 ， ，则（ ）
A．当 时， 的周长为定值
B．当 时，三棱锥 的体积为定值
C．当 时，有且仅有一个点 ，使得
D．当 时，有且仅有一个点 ，使得 平面
6．（2020·海南·高考真题）已知直四棱柱ABCD–ABC D 的棱长均为2，∠BAD=60°．以 为球心，
1 1 1 1
为半径的球面与侧面BCC B 的交线长为________．
1 1
【方法技巧与总结】
1、几类空间几何体表面积的求法
（1）多面体：其表面积是各个面的面积之和．
（2）旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．
（3）简单组合体：应弄清各构成部分，并注意重合部分的删、补．
2、几类空间几何体体积的求法
（1）对于规则几何体，可直接利用公式计算．
（2）对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解．
（3）锥体体积公式为 ，在求解锥体体积时，不能漏掉
3、求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆
锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形．
4、球的截面问题
球的截面的性质：
①球的任何截面是圆面；
②球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面；
③球心到截面的距离 与球的半径 及截面的半径 的关系为 ．
注意：解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的位置关系和数
量关系；选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素
之间的关系），达到空间问题平面化的目的．
5、立体几何中的最值问题有三类：一是空间几何体中相关的点、线和面在运动，求线段长度、截面
的面积和体积的最值；二是空间几何体中相关点和线段在运动，求有关角度和距离的最值；三是在空间几
何体中，已知某些量的最值，确定点、线和面之间的位置关系．
6、解决立体几何问题的思路方法：一是几何法，利用几何体的性质，探求图形中点、线、面的位置
关系；二是代数法，通过建立空间直角坐标系，利用点的坐标表示所求量的目标函数，借助函数思想方法
求最值；通过降维的思想，将空间某些量的最值问题转化为平面三角形、四边形或圆中的最值问题；涉及
某些角的三角函数的最值，借助模型求解，如正四面体模型、长方体模型和三余弦角模
（ 为平面的斜线与平面内任意一条直线 所成的角， 为该斜线与该平面所成的角， 为该斜线在平面
上的射影与直线 所成的角）．
7、立体几何中的轨迹问题，这是一类立体几何与解析几何的交汇题型，既考查学生的空间想象能力，
即点、线、面的位置关系，又考查用代数方法研究轨迹的基本思想，培养学生的数学运算、直观想象等素
养．
8、解决立体几何中的轨迹问题有两种方法：一是几何法．对于轨迹为几何体的问题，要抓住几何体
中的不变量，借助空间几何体（柱、锥、台、球）的定义；对于轨迹为平面上的问题，要利用降维的思想，
熟悉平面图形（直线、圆、圆锥曲线）的定义．二是代数法（解析法）．在图形中，建立恰当的空间直角
坐标系或平面直角坐标系．
9、以立体几何为载体的情境题大致有三类：
（1）以数学名著为背景设置问题，涉及中外名著中的数学名题名人等；
（2）以数学文化为背景设置问题，包括中国传统文化，中外古建筑等；
（3）以生活实际为背景设置问题，涵盖生产生活、劳动实践、文化精神等．
10、以立体几何为载体的情境题都跟图形有关，涉及在具体情境下的图形阅读，需要通过数形结合来
解决问题．图形怎么阅读?一是要读特征，即从图形中读出图形的基本特征；二是要读本质，即要善于将
所读出的信息进行提升，实现“图形→文字→符号”的转化；三是要有问题意识，带着问题阅读图形，将
研究图形的本身特征和关注题目要解决的问题有机地融合在一起；四是要有运动观点，要“动手”去操作，动态地去阅读图形．
【核心考点】
核心考点一：球与截面面积问题
【规律方法】
球的截面问题
球的截面的性质：
①球的任何截面是圆面；
②球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面；
③球心到截面的距离 与球的半径 及截面的半径 的关系为 ．
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三阶段练习）已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，且该四棱锥的所有顶点都在
球O的球面上，PA⊥平面ABCD, ，点E在棱PB上，且 ， 过E作球
O的截面，则所得截面面积的最小值是____________.
例2．（2022·湖北省红安县第一中学高三阶段练习）球体在工业领域有广泛的应用，某零件由两个球体构
成，球 的半径为 为球 表面上两动点， 为线段 的中点.半径为2的球 在球 的
内壁滚动，点 在球 表面上，点 在截面 上的投影 恰为 的中点，若 ，则三棱锥
体积的最大值是___________.
例3．（2022·江西·高三阶段练习（理））如图，正方体 的棱长为6， ，点
是 的中点，则过 ， ， 三点的平面 截该正方体所得截面的面积为_________．
例4．（2022·北京市十一学校高三阶段练习）如图，在棱长为2的正方体 中， 分别
是棱 的中点，点 在线段 上运动，给出下列四个结论：①平面 截正方体 所得的截面图形是五边形；
②直线 到平面 的距离是 ；
③存在点 ，使得 ；
④ 面积的最小值是 ．
其中所有正确结论的序号是__________．
核心考点二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题
【规律方法】
几类空间几何体体积的求法
（1）对于规则几何体，可直接利用公式计算．
（2）对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，
有时可采用等体积转换法求解．
（3）锥体体积公式为 ，在求解锥体体积时，不能漏掉
【典型例题】
例5．（2022·河南省实验中学高一期中）如图，在正方体 中， ， ， 分别为
， 的中点， ， 分别为棱 ， 上的动点，则三棱锥 的体积（ ）
A．存在最大值，最大值为 B．存在最小值，最小值为
C．为定值 D．不确定，与 ， 的位置有关
例6．（2022·山西运城·模拟预测（文））如图，正方体 的棱长为1，线段 上有两个动
点E，F，且 ，点P，Q分别为 的中点，G在侧面 上运动，且满足 G∥平面
，以下命题错误的是（ ）A．
B．多面体 的体积为定值
C．侧面 上存在点G，使得
D．直线 与直线BC所成的角可能为
例7．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在正方体 中，过对角线 的一个平面交
于E，交 于F，给出下面几个命题：
①四边形 一定是平行四边形；
②四边形 有可能是正方形；
③平面 有可能垂直于平面 ；
④设 与DC的延长线交于M， 与DA的延长线交于N，则M､N､B三点共线；
⑤四棱锥 的体积为定值．
以上命题中真命题的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5核心考点三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题
【规律方法】
几何法，利用几何体的性质，探求图形中点、线、面的位置关系；二是代数法，通过建立空间直角坐
标系，利用点的坐标表示所求量的目标函数，借助函数思想方法求最值
【典型例题】
例8．（2022·全国·高三专题练习）如图，正方形 的中心为正方形 的中心， ，截去
如图所示的阴影部分后，翻折得到正四棱锥 （ ， ， ， 四点重合于点 ），则此四棱锥
的体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例9．（2022·江西南昌·三模（理））已知长方体 中， ， ， ，
为矩形A B C D 内一动点，设二面角 为 ，直线 与平面 所成的角为 ，若 ，则
1 1 1 1
三棱锥 体积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
例10．（2022·浙江·高三阶段练习）如图，在四棱锥 中，底面是边长为 的正方形，
， 为 的中点．过 作截面将此四棱锥分成上､下两部分，记上､下两部分
的体积分别为 ， ，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
例11．（2022·河南省实验中学高一期中）如图，在正方体 中， ， ， 分别为
， 的中点， ， 分别为棱 ， 上的动点，则三棱锥 的体积（ ）
A．存在最大值，最大值为 B．存在最小值，最小值为
C．为定值 D．不确定，与 ， 的位置有关
核心考点四：立体几何中的交线问题
【规律方法】
几何法
【典型例题】
例12．（2022·浙江宁波·一模）在棱长均相等的四面体ABCD中，P为棱AD（不含端点）上的动点，过点
A的平面α与平面PBC平行．若平面α与平面ABD，平面ACD的交线分别为m，n，则m，n所成角的正
弦值的最大值为__________．例13．（2022·全国·高三专题练习）已知一个正四面体的棱长为2，则其外接球与以其一个顶点为球心，1
为半径的球面所形成的交线的长度为___________.
例14．（2022·福建福州·三模）已知正方体 的棱长为 ，以 为球心，半径为2的球面
与底面 的交线的长度为___________.
例15．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））如图，在四面体 中， ， ，
两两垂直， ，以 为球心， 为半径作球，则该球的球面与四面体 各面交线
的长度和为___．
核心考点五：空间线段以及线段之和最值问题
【规律方法】
几何法，利用几何体的性质，探求图形中点、线、面的位置关系；二是代数法，通过建立空间直角坐
标系，利用点的坐标表示所求量的目标函数，借助函数思想方法求最值
【典型例题】
例16．（2022·全国·高三专题练习）已知正三棱锥 的底面边长为 ，外接球表面积为 ，
，点M，N分别是线段AB，AC的中点，点P，Q分别是线段SN和平面SCM上的动点，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例17．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为3的正方体 中，点 满足 ，点
在平面 内，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例18．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在直三棱柱 中， ， ，，P是 上的一动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
核心考点六：空间角问题
【规律方法】
1、用综合法求空间角的基本数学思想主要是转化与化归，即把空间角转化为平面角，进而转化为三
角形的内角，然后通过解三角形求得．求解的一般步骤为：
（1）作图：作出空间角的平面角．
（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的．
（3）计算：在证明的基础上计算得出结果．
简称：一作、二证、三算．
2、用定义作异面直线所成角的方法是“平移转化法”，可固定一条，平移另一条；或两条同时平移
到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．
3、求直线与平面所成角的常见方法
（1）作角法：作出斜线、垂线、斜线在平面上的射影组成的直角三角形，根据条件求出斜线与射影
所成的角即为所求．
（2）等积法：公式 ，其中 是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，是斜线段的长，其
中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可构造三棱锥，利用等体积法来
求垂线段的长．
（3）证垂法：通过证明线面垂直得到线面角为90°．
4、作二面角的平面角常有三种方法
（1）棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线
所成的角，就是二面角的平面角．
（2）面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上
的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角．（3）空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角
就是二面角的平面角．
【典型例题】
例19．（2022·浙江金华·高三期末）已知正方体 中， 为 内一点，且
，设直线 与 所成的角为 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例20．（2022·浙江·效实中学模拟预测）在等腰梯形 中， ， ，AC
交BD于O点， 沿着直线BD翻折成 ，所成二面角 的大小为 ，则下列选项中错
误的是（ ）
A． B．
C． D．
例21．（2022·浙江·湖州中学高三阶段练习）如图， 中， ， ， ，D为AB
边上的中点，点M在线段BD（不含端点）上，将 沿CM向上折起至 ，设平面 与平
面ACM所成锐二面角为 ，直线 与平面AMC所成角为 ，直线MC与平面 所成角为 ，则在
翻折过程中，下列三个命题中正确的是（ ）
① ，② ，③ .
A．① B．①② C．②③ D．①③
例22．（2022·浙江·高三专题练习）已知等边 ，点 分别是边 上的动点，且满足 ，
将 沿着 翻折至 点处，如图所示，记二面角 的平面角为 ，二面角 的平面
角为 ，直线 与平面 所成角为 ，则（ ）A． B． C． D．
例23．（2022·全国·高三专题练习）设三棱锥 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱 上的
点（不含端点），记直线 与直线 所成的角为 ，直线 与平面 所成的角为 ，二面角
的平面角是 则三个角 ， ， 中最小的角是（ ）
A． B． C． D．不能确定
核心考点七：轨迹问题
【规律方法】
解决立体几何中的轨迹问题有两种方法：一是几何法．对于轨迹为几何体的问题，要抓住几何体中的
不变量，借助空间几何体（柱、锥、台、球）的定义；对于轨迹为平面上的问题，要利用降维的思想，熟
悉平面图形（直线、圆、圆锥曲线）的定义．二是代数法（解析法）．在图形中，建立恰当的空间直角坐
标系或平面直角坐标系．
【典型例题】
例24．（2022·北京·昌平一中高三阶段练习）设正方体 的棱长为1， ， 分别为 ，
的中点，点 在正方体的表面上运动，且满足 ，则下列命题：
①点 可以是棱 的中点；
②点 的轨迹是菱形；
③点 轨迹的长度为 ；
④点 的轨迹所围成图形的面积为 .
其中正确的命题个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例25．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体 的边长为2，点E，F分别为棱CD，
的中点，点P为四边形 内（包括边界）的一动点，且满足 平面BEF，则点P的轨迹长为（ ）
A． B．2 C． D．1
例26．（2022·全国·模拟预测（理））如图，在四棱锥 中，底面ABCD是边长为2的正方形，
PA⊥平面ABCD，且 ，点E，F，G分别为棱AB，AD，PC的中点，下列说法错误的是
（ ）
A．AG⊥平面PBD
B．直线FG和直线AC所成的角为
C．过点E，F，G的平面截四棱锥 所得的截面为五边形
D．当点T在平面ABCD内运动，且满足 的面积为 时，动点T的轨迹是圆
例27．（2022·浙江温州·高三开学考试）如图，正方体 ，P为平面 内一动点，设二面角
的大小为 ，直线 与平面A BD 所成角的大小为 .若 ，则点P的轨迹是
1 1
（ ）
A．圆 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线
例28．（2022·全国·高三专题练习）如图，正方体 中，M为BC边的中点，点P在底面
和侧面 上运动并且使 ，那么点P的轨迹是（ ）A．两段圆弧 B．两段椭圆弧
C．两段双曲线弧 D．两段抛物线弧
核心考点八：以立体几何为载体的情境题
【规律方法】
以立体几何为载体的情境题都跟图形有关，涉及在具体情境下的图形阅读，需要通过数形结合来解决
问题．图形怎么阅读？一是要读特征，即从图形中读出图形的基本特征；二是要读本质，即要善于将所读
出的信息进行提升，实现“图形→文字→符号”的转化；三是要有问题意识，带着问题阅读图形，将研究
图形的本身特征和关注题目要解决的问题有机地融合在一起；四是要有运动观点，要“动手”去操作，动
态地去阅读图形．
【典型例题】
例29．（2022·宁夏·平罗中学高三阶段练习（理））设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在P处的
离散曲率为 为多面体M的所有与点P相邻
的顶点，且平面 ， ，……， 遍及多面体M的所有以P为公共点的面如图是正四面体、
正八面体、正十二面体和正二十面体，若它们在各顶点处的离散曲率分别是a，b，c，d，则a，b，c，d
的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
例30．（2022·广东·广州市从化区第三中学高三阶段练习）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲
空间的运用，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角
之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多
面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有 个面角，每个面角是 ，所以正四面体在每个顶点的曲率为 ，故其总曲率为 .给出下列三个结论：
①正方体在每个顶点的曲率均为 ；
②任意四棱锥的总曲率均为 ；
③若某类多面体的顶点数 ，棱数 ，面数 满足 ，则该类多面体的总曲率是常数.
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
例31．（2022·辽宁·沈阳二十中三模）我国南北朝时期的著名数学家祖暅原提出了祖暅原理：“幂势既同，
则积不容异.”意思是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，
若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都
与球的半径相等的圆柱，与半球（如图①）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心
为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图②），用任何一个平行于底面的平面去截它们
时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即
.现将椭圆 绕 轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图③），
类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（ ）
A． B． C． D．
例32．（2022·全国·高三专题练习）将地球近似看作球体.设地球表面某地正午太阳高度角为 ， 为此时
太阳直射纬度（当地夏半年取正值，冬半年取负值）， 为该地的纬度值，如图．已知太阳每年直射范围
在南北回归线之间，即 ．北京天安门广场的汉白玉华表高为9.57米，北京天安门广场的纬度为北纬 ，若某天的正午时刻，测得华表的影长恰好为9.57米，则该天的太阳直射纬度为
（ ）
A．北纬 B．南纬
C．北纬 D．南纬
核心考点九：翻折问题
【规律方法】
1、处理图形翻折问题的关键是理清翻折前后长度和角度哪些发生改变，哪些保持不变．
2、把空间几何问题转化为平面几何问题，把握图形之间的关系，感悟数学本质．
【典型例题】
例33．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知四边形 ， 是以 为斜边的等腰直角三角形，
为等边三角形， ，将 沿对角线 翻折到 在翻折的过程中，下列结论中不正确
的是（ ）
A． B． 与 可能垂直
C．直线 与平面 所成角的最大值是 D．四面体 的体积的最大是
例34．（2022·浙江·杭州高级中学模拟预测）如图，已知矩形 的对角线交于点 ，将
沿 翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得 ，则 的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
例35．（2022·全国·高三专题练习）如图1，在正方形 中，点 为线段 上的动点（不含端点），
将 沿 翻折，使得二面角 为直二面角，得到图2所示的四棱锥 ，点 为线段
上的动点（不含端点），则在四棱锥 中，下列说法正确的是（ ）
A． ､ ､ ､ 四点一定共面
B．存在点 ，使得 平面
C．侧面 与侧面 的交线与直线 相交
D．三棱锥 的体积为定值
例36．（2022·全国·高三专题练习）已知直角梯形ABCD满足：AD∥BC，CD⊥DA，且△ABC为正三角形．
将△ADC沿着直线AC翻折至△AD'C如图，且 ，二面角 、 、
的平面角大小分别为α，β，γ，直线 ， ， 与平面ABC所成角分别是θ，θ，θ，则
1 2 3
（ ）
A．B．
C．
D．
【新题速递】
1．（2022·安徽·高三阶段练习）如图，在棱长为 的正四面体 中，点 分别在棱
上，且平面 平面 为 内一点，记三棱锥 的体积为 ，设 ，关于函
数 ，下列说法正确的是（ ）
A． ，使得
B．函数 在 上是减函数
C．函数 的图象关于直线 对称
D． ，使得 （其中 为四面体 的体积）
2．（2022·重庆市长寿中学校高三阶段练习）如图所示，在直角梯形 中， ､
分别是 ､ 上的点， ，且 （如图1）.将四边形 沿 折起，连
接 （如图2）.在折起的过程中，下列说法中错误的个数是（ ）
① 平面 ；
② 四点不可能共面；③若 ，则平面 平面 ；
④平面 与平面 可能垂直.
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2022·四川·成都市第二十中学校一模（理））如图， 在棱长为 2 的正方体 中，
均为所在棱的中点， 则下列结论正确的有（ ）
①棱 上一定存在点 ， 使得
②三棱锥 的外接球的表面积为
③过点 作正方体的截面， 则截面面积为
④设点 在平面 内， 且 平面 ， 则 与 所成角的余弦值的最大值为
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
4．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学有限责任公司模拟预测（文））在棱长为 的正方体
中， 为 的中点，点 在正方体各棱及表面上运动且满足 ，则点 轨迹所围
成图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）直线 平面 ，垂足是 ，正四面体 的棱长为4，点
在平面 上运动，点 在直线 上运动，则点 到直线 的距离的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·湖南·模拟预测）正三棱柱 的底面边长是4，侧棱长是6，M，N分别为 ，
的中点，若点P是三棱柱内（含棱柱的表面）的动点，MP∥平面 ，则动点P的轨迹面积为
（ ）
A． B．5 C． D．
7．（2022·山西·高三阶段练习）已知正方体 的顶点都在表面积为 的球面上，过球心O的平面截正方体所得的截面为一菱形，记该菱形截面为S，点P是正方体表面上一点，则以截面S为底面，
以点P为顶点的四棱锥的体积的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
8．（2022·浙江·高三阶段练习）在 中， ， ．若空间点 满足 ，则
直线 与平面 所成角的正切的最大值是（ ）
A． B． C． D．1
9．（多选题）（2022·云南曲靖·高三阶段练习）已知正方体 的棱长为1，点 为侧面
内一点，则（ ）
A．当 时，异面直线 与 所成角的正切值为2
B．当 时，四面体 的体积为定值
C．当点 到平面 的距离等于到直线 的距离时，点 的轨迹为拋物线的一部分
D．当 时，四面体 的外接球的表面积为
10．（多选题）（2022·辽宁·本溪高中高三阶段练习）如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平
面互相垂直， ，G为线段AE上的动点，则（ ）
A．
B．多面体ABCDEF的体积为
C．若G为线段AE的中点，则 平面CEF
D．点M，N分别为线段AF，AC上的动点，点T在平面BCF内，则 的最小值是
11．（多选题）（2022·广东·东涌中学高三期中）如图，已知正方体 的棱长为1， ，
， 分别为 ， ， 的中点，点 在 上， 平面 ，则以下说法正确的是
（ ）A．点 为 的中点
B．三棱锥 的体积为
C．直线 与平面 所成的角的正弦值为
D．过点 、 、 作正方体的截面，所得截面的面积是
12．（多选题）（2022·安徽·阜阳师范大学附属中学高三阶段练习）已知 为等腰直角三角形，
，其高 ， 为线段 的中点，将 沿 折成大小为 的二面角，连接
，形成四面体 ，动点 在 内（含边界），且 平面 ，则在 变化的过程中
（ ）
A．
B． 点到平面 的距离的最大值为
C．点 在 内（含边界）的轨迹长度为
D．当 时， 与平面 所成角的正切值的取值范围为
13．（多选题）（2022·江苏省泰兴中学高三阶段练习）棱长为1的正方体 内部有一圆柱
，此圆柱恰好以直线 为轴，且圆柱上下底面分别与正方体中以 为公共点的3个面都有一个公
共点，以下命题正确的是（ ）
A．在正方体 内作与圆柱 底面平行的截面，则截面的最大面积为
B．无论点 在线段 上如何移动，都有
C．圆柱 的母线与正方体 所有的棱所成的角都相等
D．圆柱 外接球体积的最小值为
14．（多选题）（2022·江苏盐城·高三阶段练习）已知正四面体ABCD的棱长为 ，其外接球的球心为
O．点E满足 ， ，过点E作平面 平行于AC和BD，平面 分别与该正四面体的棱BC，CD，AD相交于点M，G，H，则（ ）
A．四边形EMGH的周长为是变化的
B．四棱锥 的体积的最大值为
C．当 时，平面 截球O所得截面的周长为
D．当 时，将正四面体ABCD绕EF旋转 后与原四面体的公共部分体积为
15．（2022·安徽·石室中学高三阶段练习）已知三棱锥 的高为 分别为 的中点，
若平面ABD，平面BCE，平面ACF相交于O点，则O到平面ABC的距离h为___________.
16．（2022·北京八十中高三期末）如图，在正方体ABCD—A B C D 中，E为棱 的中点.动点P沿着棱
1 1 1 1
DC从点D向点C移动，对于下列四个结论：
①存在点P，使得 ；
②存在点P，使得平面 平面 ；
③ 的面积越来越小；
④四面体 的体积不变.
所有正确的结论的序号是___________.
17．（2022·重庆市万州第二高级中学高三阶段练习）已知空间四边形 的各边长及对角线 的长度
均为6，平面 平面 ，点M在 上，且 ，过点M作四边形 外接球的截面，
则截面面积的最小值为___________.
18．（2022·北京交通大学附属中学高三阶段练习）如图，正方体 的棱长为4，点P在正
方形 的边界及其内部运动.平面区域W由所有满足 的点P组成，则四面体 的
体积的取值范围_________.19．（2022·黑龙江·鹤岗一中高三阶段练习）已知点P是棱长为2的正方体 的表面上一个
动点，若使 的点P的轨迹长度为a；使直线 平面BDC的点P的轨迹长度为b；使直线AP与平
面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为c．则a，b，c的大小关系为______．（用“＜”符号连接）
20．（2022·四川·高三开学考试（理））已知点 是棱长为2的正方体 的表面上一个动点，
若使 的点 的轨迹长度为 ；使直线 平面 的点 的轨迹长度为 ；使直线 与平面
所成的角为 的点 的轨迹长度为 ．则 的大小关系为______．（用“ ”符号连接）
