文档内容
专题 4 向量综合归类
目录
讲高考................................................................................................................................................................................1
题型全归纳.......................................................................................................................................................................2
【题型一】向量夹角....................................................................................................................................................2
【题型二】线性运算1：基底型基础.....................................................................................................................2
【题型三】线性运算2：双线交点型.....................................................................................................................3
【题型四】线性运算3：“赵爽弦图”模型.......................................................................................................5
【题型五】向量基底“象限坐标轴”....................................................................................................................6
【题型七】向量最值....................................................................................................................................................8
【题型八】数量积.........................................................................................................................................................9
【题型九】模及其应用.............................................................................................................................................10
【题型十】投影...........................................................................................................................................................10
【题型十一】面积与奔驰定理...............................................................................................................................11
专题训练.........................................................................................................................................................................13
讲高考
1．（2022·全国·统考高考真题）已知向量 满足 ，则
（ ）
A． B． C．1 D．2
2．（福建·高考真题）已知 ，点C在 内，且
.设 ，则 等于（ ）
A． B．3 C． D．
3．（山东·高考真题）在直角 中CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是
（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·全国·统考高考真题）在 中，点D在边AB上， ．记
，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线 焦点F的
直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点 ，若 ，则（ ）
A．直线 的斜率为 B．
C． D．
6．（全国·高考真题）向量 满足 ，且 ，则 与 夹角
的余弦值等于___________．题型全归纳
【题型一】向量夹角
【讲题型】
例题1.已知平面向量 、 、 满足 ，则 与 所成夹角的最大
值是（ ）
A． B． C． D．
例题2.已知单位向量 ， ， 满足 ，则 与 夹角的余弦值为
（ ）
A． B． C． D．
【讲技巧】
求平面向量夹角的方法：
（1）定义法：利用向量数量积的定义得 ，其中两向量 的取值
范围是 ；
（2）坐标法：若非零向量 、 ，则 .
两个向量的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有
a·b<0，反之不成立
【练题型】
1.已知 ， ，则向量 与 的夹角为（ ）
A．90° B．60° C．30° D．0°
2.已知向量 ， 满足 ， ， ，设 与 的夹角为 ，则
A． B． C． D．
3.已知两个单位向量 ， 的夹角为 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【题型二】线性运算1：基底型基础
【讲题型】
例题1.在 中， ， ，且 ，则 （
）
A．1 B． C． D．-1
例题2.设 为 所在平面内一点， ， 为 的中点，则 （）
A． B．
C． D．
【讲技巧】
用已知向量表示某一向量的两个关键点:
(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，
等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．
【练题型】
1.设M是 边BC上任意一点，N为AM的中点，若 ，则 的值
为( )
A．1 B． C． D．
2.已知在 中，点M在边BC上，且 ，点E在边AC上，且 ，
则向量 （ ）
A． B．
C． D．
3.已知在平行四边形 中，点 、 分别是 、 的中点，如果 ，
，那么向量 （ ）
A． B． C． D．
【题型三】线性运算2：双线交点型
【讲题型】
例题1.如图， 中， 与 交于 ，设 ， ，
，则 为（ ）
A． B． C． D．
例题2.在 中， ， ，直线 与 交于点 ，若，则 （ ）
A． B． C． D．
【讲技巧】
向量共线定理(两个向量之间的关系)：向量 与非零向量 共线的充要条件是有且只有
一个实数 ，使得 .
变形形式：已知直线 上三点 、 、 ， 为直线 外任一点，有且只有一个实数
，使得： .
特别提醒：共线向量定理应用时的注意点：向量共线的充要条件中要注意“ ”，否
则 可能不存在，也可能有无数个.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注
意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共
线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合.
【练题型】
1. 中， 、 分别是 、 上的点，且 ， ， 与
交于点 ，则下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2.如图，在 中， ， ， 和 相交于点 ，则向量
等于（ ）
A． B．
C． D．
3.在 中， 交于点F，则 ( )
A． B．
C． D．【题型四】线性运算3：“赵爽弦图”模型
【讲题型】
例题1.如图所示，在 中，设 ， 的中点为 ， 的中点为 ，
的中点恰为 ，则 （）
A． B． C． D．
例题2.我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，
后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正
方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【练题型】
1.如图是由等边 和等边 构成的六角星，图中的 ， ， ， ， ， 均
为三等分点，两△个等边三角形△的中心均为 .若 ，则 （ ）A． B． C． D．
2.如图，在 中，设 ， 的中点为 ， 的中点为 ， 的中
点为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
【题型五】向量基底“象限坐标轴”
【讲题型】
例题1.如图， ，点 由射线 、线段 及 的延长线围成的阴影区域内
（不含边界）.且 ，则实数对 可以是（ ）
A． B． C． D．例题2.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量 ， ，其中
（3，1）， （1，3）．若 λ μ ，且0≤μ≤λ≤1，那么C点所有可能的位置
区域用阴影表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【讲技巧】
在平面向量的线性运算中，如图 ， 的范围可仿照直角坐标系得
出， ， 类比于 轴，直角坐标系中有四个象限，类比在（ ）中也
有四个象限，如第Ⅰ象限有 ，第Ⅱ象限有 ，第Ⅲ象限有 ，第Ⅳ
象限有 ，也可类比得出其中的直线方程，二元一次不等式组表示的平面区域等
等.
【练题型】
1.如图，在 中，点 是线段 及 、 的延长线所围成的阴影区域内（含边
界）的任意一点，且 ，则在直角坐标平面上，实数对 所表示的区
域在直线 的右下侧部分的面积是（ ）A． B． C． D．不能求
2.如图，在 中， 、 分别是 、 的中点，若 （ ，
），且点 落在四边形 内（含边界），则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型七】向量最值
【讲题型】
例题1.在直角梯形 中， ， ， ， ，
分别为 ， 的中点，以 为圆心， 为半径的圆交 于 ，点 在
上运动（如图）.若 ，其中 ， A>0,f (x)，则∴A=2的取值范围是（
1
）
A． B． C． D．
例题2.已知平面向量 ， ， 满足 ， ，则 的最大
值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【讲技巧】
求最值基本思维：
（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则
进行向量的加、减或数乘运算.
（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该
基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
（3） 具有特殊条件向量，可以考虑三角换元求最值【练题型】
1.给定两个单位向量 ， ，且 ，点 在以 为圆心的圆弧 上运
动， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2.已知向量 满足 ，若M为
AB的中点，并且 ，则λ+μ的最大值是
A． B． C． D．
3.已知向量 ， ， （ ），实数 ， 满
足 ，则 的最大值为（ ）
A．4 B． C．32 D．36
【题型八】数量积
【讲题型】
例题1.已知四边形 ， 是 的垂直平分线，垂足为 ， 为直线 外一点．
设向量 ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
例题2.在矩形ABCD中，| |＝6，| |＝3.若点M是CD的中点，点N是BC的三等分
点，且BN＝ BC，则 · ＝（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【讲技巧】
平面向量数量积公式有两种形式：
1. ⃑a⋅⃑b=|⃑a||⃑b|cosθ。
2. ⃑a⋅⃑b=x x + y y 。
1 2 1 2
3. 主要应用以下几个方面:
⃑a·⃑b
（1）求向量的夹角， cosθ= （此时⃑a·⃑b往往用坐标形式求解）；
|⃑a|·|⃑b|
⃑a⋅⃑b
（2）求投影，⃑a 在⃑b 上的投影是 ；
|⃑b|
（3）⃑a,⃑b向量垂直，则⃑a⋅⃑b=0;(4)求向量m⃑a+n⃑b 的模（平方后需求⃑a⋅⃑b）.
【练题型】1.在 中， ， ， ， 的垂直平分线交 于 ，则
（ ）
A． B． C． D．
2.．已知向量 ， ， ，则 （ ）
A．3 B． C．4 D．
3.在平面直角坐标系 的 轴的正半轴上取一点 ，在第二象限取一点 ，且 ，
若 ，且 ，则 的值为______.
【题型九】模及其应用
【讲题型】
例题1.已知向量 满足 ，且 ， ，则向量 与 的夹角
为（ ）
A． B． C． D．
例题2.若两个非零向量 ， 满足 ，且 ，则 与 夹
角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【讲技巧】
向量模：
【练题型】
1.已知向量 ， ， ，则 等于（ ）
A． B． C．5 D．25
2.设非零向量 ， 满足 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3.已知向量 满足 , ,且 在 方向上的投影与 在 方向上的投影相等,则等于( )
A． B． C． D．
【题型十】投影
【讲题型】
例题1.已知 ， ， ＝120°，则向量 在向量 方向上的投影是
________，向量 在向量 方向上的投影是________
例题2.已知向量 , 在 上的投影为______
【练题型】
1.已知向量 ，则 在 上的投影等于______________.
2.．已知 ， ，则 在 方向上的投影为______.
3.设 ，若 在 方向上的投影为2，且 在 方向上的投影为1，则 与 的夹角
等于_______________
【题型十一】面积与奔驰定理
【讲题型】
例题1.已知点P为ABC内一点， ，则△APB，△APC，△BPC的面
积之比为（ ）
A． B． C． D．
例题2.如图所示，设 为 所在平面内的一点，并且 ，则
与 的面积之比等于（ ）
A． B． C． D．
【讲技巧】
为 内一点， ，则 .
重要结论： ， ， .
结论1：对于 内的任意一点 ， 若 、 、 的面积分别为 、
、 ，则：
.即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积.
结论2：对于 平面内的任意一点 ，若点 在 的外部，并且在 的内部
或其对顶角的内部所在区域时，则有 .
结论3：对于 内的任意一点 ， 若 ，则 、 、
的面积之比为 .
即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数
之比.
结论4：对于 所在平面内不在三角形边上的任一点 ， ，
则 、 、 的面积分别为 .
即若三角形平面内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对应的三角形面积之比等于
权系数的绝对值之比.各向量所对应的三角形是指另外两个向量所在的三角形.
【练题型】
1.．已知 是等边三角形，且 ,那么四边形ABCD的面积
为
A． B． C． D．
2.设 是 内一点，且 ， ，设 ，其
中 、 、 分别是 、 、 的面积.若 ，则
的最小值是（ ）
A．3 B．16 C． D．83. 是 所在平面上的一点,满足 ,若 ,则 的面积
为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
一、单选题
1．已知向量 满足 ，那么向量 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知 ， ， ，则 （ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
3．已知 ，则 在 上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
4．在 中，点 在 边上，且 ，点 在 边上，且 ，连接 ，
若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．已知三个单位向量 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．在 中， ．P为 边上的动点，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
7．已知向量 ， 满足 ， ，且 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
8．已知点 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足
， ，则点 的轨迹一定通过 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
二、多选题9．若单位向量 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知等边 的边长为2，点D，E满足 ，BD与CE交于点O，
则（ ）
A．
B．
C．
D． 在 方向上的投影向量为
11．如图， 是 所在平面内任意一点， 是 的重心，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．已知向量 ， ，且 ，则实数m=______．
14．在平行四边形 中， 分别为 上的点，且 ，连接
，与 交于点 ，若 ，则 的值为______.
15．在 中， ，点Q满足 ，则 的最大值为
___________.
16．如图，在 中， ， ，点 满足 ， ， 为
中点，点 在线段 上移动（包括端点），则 的最小值是______.
