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专题七 《三角函数》讲义
7.3 三角函数的图像与性质
知识梳理 . 三角函数的图像与性质
1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定
义 R R
域
值域 [－1,1] [－1,1] R
奇偶
奇函数 偶函数 奇函数
性
单 在[2kπ－π，2kπ]
在(k∈Z)上是递增函
(k∈Z)上是递增函
调 数，在(k∈Z)上是递减 在(k∈Z)上是递增函数
数，在[2kπ，2kπ＋π]
函数
性 (k∈Z)上是递减函数
周
周期是 2kπ(k∈Z 且
周 期 是 2kπ(k∈ Z 且 周期是 kπ(k∈Z 且 k≠0)，
期 k≠0)，最小正周期是
k≠0)，最小正周期是2π 最小正周期是π
2π
性
对 称 轴 是 x ＝
对
对 称 轴 是 x ＝ ＋ kπ(k∈Z)，对称中心 对称中心是
称 kπ(k∈Z)，对称中心是
是
(k∈Z)
(kπ，0)(k∈Z)
性
(k∈Z)
题型一 . 三角函数图像的伸缩变换
π
1．要得到函数y＝3sin（2x+ ）的图象，只需要将函数y＝3cos2x的图象（ ）
3
π π
A．向右平行移动 个单位 B．向左平行移动 个单位
12 12
π π
C．向右平行移动 个单位 D．向左平行移动 个单位
6 6
2π
2．（2017•新课标Ⅰ）已知曲线C ：y＝cosx，C ：y＝sin（2x+ ），则下面结论正确的
1 2
3
是（ ）π
A．把C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
1
6
个单位长度，得到曲线C
2
B．把C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
1
π
个单位长度，得到曲线C
2
12
1 π
C．把C 上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个
1
2 6
单位长度，得到曲线C
2
1 π
D．把C 上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个
1
2 12
单位长度，得到曲线C
2
π
3．（2021春•闵行区校级期中）函数y＝cos（2x+ ）的图象向右平移 个单位长度后与函
2
φ
2π
数y＝sin（2x+ ）的图象重合，则| |的最小值为 ．
3
φ
π π
4．（2016春•南通期末）将函数f(x)=sin(ωx+φ)，(ω＞0，− ＜φ＜ )图象上
2 2
π
每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移 个单位长度得到y＝sinx
4
π
的图象，则f( )= ．
6
π
5．（2015•湖南）将函数f（x）＝sin2x的图象向右平移 （0＜ ＜ ）个单位后得到函
2
φ φ
π
数g（x）的图象．若对满足|f（x ）﹣g（x ）|＝2的x 、x ，有|x ﹣x | = ，则 ＝（
1 2 1 2 1 2min
3
φ
）
5π π π π
A． B． C． D．
12 3 4 6
题型二 . 已知图像求解析式
π 5π
1．图是函数y＝Asin（ x+ ）（x R）在区间[− ， ]上的图象，为了得到这个
6 6
ω φ ∈函数的图象，只要将y＝sinx（x R）的图象上所有的点（ ）
∈
π 1
A．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变
3 2
π
B．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
3
π 1
C．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变
6 2
π
D．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
6
π
2．已知函数y=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜ )的部分图象如图所示，则（ ）
2
π π π π π π
A．ω= ，φ=− B． = ，φ= C．ω=π，φ=− D．ω=π，φ=
2 4 2 4 4 4
ω
π 2
3．已知函数f（x）＝Acos（ x+ ）的图象如图所示，f（ ）=− ，则f（0）＝（ ）
2 3
ω φ
2 1 2 1
A．− B．− C． D．
3 2 3 2
π
4．已知函数f（x）＝Atan（ x+ ）（ ＞0，| |＜ ）的部分图象如图所示，下列关于函
2
ω φ ω φ
数g（x）＝Acos（ x+ ）（x R）的表述正确的是（ ）
ω φ ∈π
A．函数g（x）的图象关于点（ ，0）对称
4
π 3π
B．函数g（x）在[− ， ]递减
8 8
π
C．函数g（x）的图象关于直线x= 对称
8
π
D．函数h（x）＝cos2x的图象上所有点向左平移 个单位得到函数g（x）的图象
4
题型三 . 三角函数的性质
考点 1 . 单调性
π
1．函数y＝sin（﹣2x+ ）的单调递减区间是（ ）
3
π 5π π 5π
A．[k − ，k + ]，k Z B．[2k − ，2k + ]，k Z
12 12 12 12
π π ∈ π π ∈
π 5π π 5π
C．[k − ，k + ]，k Z D．[2k − ，2k + ]，k Z
6 6 6 6
π π ∈ π π ∈
π 5π
2．已知函数f(x)=Asin(x+φ)(A＞0，− ＜φ＜0)在x= 时取得最大值，则 f
2 6
（x）在[﹣ ，0]上的单调增区间是（ ）
π 5π 5π π π π
A．[−π，− ] B．[− ，− ] C．[− ，0] D．[− ，0]
6 6 6 3 6
π
3．已知函数f（x）＝sin（2x+ ）在区间[0，a]（其中a＞0）上单调递增，则实数a的取
3
值范围是（ ）
π π
A．{a|0＜a≤ } B．{a|0＜a≤ }
12 2
π π
C．{a|a＝k + ，k N*} D．{a|2k ＜a≤2k + ，k N*}
12 12
π ∈ π π ∈
π π
4．已知 ＞0，函数f（x）＝sin（ x+ ）在区间（ ， ）上单调递减，则实数 的取
4 2
ω ω π ω值范围是（ ）
1 5 1 3 1
A．[ ， ] B．[ ， ] C．(0， ] D．（0，2]
2 4 2 4 2
考点 2 . 周期性、奇偶性、对称性
π
1．已知函数f（x）＝cos2x+sin2（x+ ），则（ ）
6
1
A．f（x）的最小正周期为 ，最小值为
2
π
1
B．f（x）的最小正周期为 ，最小值为−
2
π
1
C．f（x）的最小正周期为2 ，最小值为
2
π
1
D．f（x）的最小正周期为2 ，最小值为−
2
π
2．已知f（x）＝sin2x+|sin2x|（x R），则下列判断正确的是（ ）
A．f（x）是周期为2 的奇函∈数
B．f（x）是值域为[0π，2]周期为 的函数
C．f（x）是周期为2 的偶函数 π
D．f（x）是值域为[0π，1]周期为 的函数
3．将函数y＝sin2x−√3cos2x的图象
π
沿x轴向右平移a个单位（a＞0）所得图象关于y轴对
称，则a的最小值是（ ）
7 π π π
A． π B． C． D．
12 4 12 6
π
4．已知函数f（x）＝asinx﹣bcosx（ab≠0，x R）在x= 处取得最大值，则函数y＝f（
4
∈
π
−x）是（ ）
4
A．偶函数且它的图象关于点（ ，0）对称
3ππ
B．偶函数且它的图象关于点( ，0)对称
2
3π
C．奇函数且它的图象关于点( ，0)对称
2
D．奇函数且它的图象关于点 （ ，0）对称
π考点 3 . 三角函数性质综合
1．（2019•天津）已知函数f（x）＝Asin（ x+ ）（A＞0， ＞0，| |＜ ）是奇函数，将
y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到ω原来φ的2倍（纵ω坐标不变φ），π所得图象对应的
π 3π
函数为 g（x）．若 g（x）的最小正周期为 2 ，且 g（ ）=√2，则 f（ ）＝
4 8
π
（ ）
A．﹣2 B．−√2 C．√2 D．2
2．（2015•天津）已知函数f（x）＝sin x+cos x（ ＞0），x R，若函数f（x）在区间
（﹣ ， ）内单调递增，且函数y＝ωf（x）的ω图象ω关于直线x∈＝ 对称，则 的值为
． ω ω ω ω
π π
3．（2014•大纲版）若函数f（x）＝cos2x+asinx在区间（ ， ）是减函数，则a的取值
6 2
范围是 ．
1
4．（2016•新课标Ⅰ）若函数f（x）＝x− sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的
3
取值范围是（ ）
1 1 1 1
A．[﹣1，1] B．[﹣1， ] C．[− ， ] D．[﹣1，− ]
3 3 3 3
π π π
5．（2013•安庆二模）已知函数f（x）＝sin（ x+ ），其中 ＞0，若f（ ）＝f（
6 6 3
ω ω
π π
），且f（x）在区间（ ， ）上有最小值、无最大值，则 等于（ ）
6 3
ω
40 28 16 4
A． B． C． D．
3 3 3 3
6．（2014•北京）设函数f（x）＝Asin（ x+ ）（A， ， 是常数，A＞0， ＞0）若f
ω φ ω φ ω
π π π 2π π
（x）在区间[ ， ]上具有单调性，且f（ ）＝f（ ）＝﹣f（ ），则f（x）的最
6 2 2 3 6
小正周期为 ．
题型四 . 三角函数最值1 π π
1．函数f（x）= sin（x+ ）+cos（x− ）的最大值为（ ）
5 3 6
6 3 1
A． B．1 C． D．
5 5 5
π 1
2．函数f（x）＝cos（ x+ ）（ ＞0）在[0， ]内的值域为[﹣1， ]，则 的取值范围
3 2
ω ω π ω
为（ ）
3 5 2 4 2 2 3
A．[ ， ] B．[ ， ] C．[ ，+∞) D．[ ， ]
2 3 3 3 3 3 2
3．已知函数f（x）＝cos2x+sinx，则下列说法中正确的是（ ）
π
A．f（x）的一条对称轴为x=
4
π π
B．f（x）在（ ， ）上是单调递减函数
6 2
π
C．f（x）的对称中心为（ ，0）
2
D．f（x）的最大值为1
π
4．若0＜x≤ ，则函数y＝sinx+cosx+sinxcosx的值域为 ．
3
ωx π 2π 5π
5．已知函数f(x)=2sinωx⋅cos2 ( − )−sin2ωx(ω＞0)在区间[− ， ]上是
2 4 5 6
增函数，且在区间[0， ]上恰好取得一次最大值1，则 的取值范围是（ ）
3 π 1 3 1 ω3 1 5
A．(0， ] B．[ ， ] C．[ ， ] D．[ ， )
5 2 5 2 4 2 2
π √3
6．已知函数f（x）＝cosx•sin（x+ ）−√3cos2x+ ，x R
3 4
∈
（1）求f（x）的最小正周期；
π
（2）求f（x）在闭区间[0， ]上的最大值和最小值及相应的 x值；（3）若不等式|f
2
π
（x）﹣m|＜2在x [0， ]上恒成立，求实数m的取值范围．
2
∈
题型五 . 三角函数零点
1．已知函数f（x）＝sin x−√3cos x（ ＞0），若方程f（x）＝﹣1在（0， ）上
ω ω ω π有且只有四个实数根，则实数 的取值范围为 ．
ω 1
2．已知函数f（x）=√3sin xcos x+cos2 x− ，（ ＞0，x R），若函数f（x）在区间（
2
ω ω ω ω ∈
π
，π）内没有零点，则 的取值范围（ ）
2
ω
5 5 5 11
A．（0， ] B．（0， ]∪[ ， ]
12 12 6 12
5 5 11
C．（0， ] D．（0， ]∪[ ，1）
8 6 12
π
3．函数f(x)=2sin(2ωx+ )(ω＞0)图象上有两点A（s，t），B（s+2 ，t）（﹣2＜t
6
π
＜2），若对任意s R，线段AB与函数图象都有五个不同交点，若f（x）在[x ，x ]和
1 2
∈
2
[x ，x ]上单调递增，在[x ，x ]上单调递减，且x −x =x −x = (x −x )，则x 的所
3 4 2 3 4 3 2 1 3 3 2 1
有可能值是
课后作业 . 三角函数的图像与性质
1．函数f（x）＝Asin（ x+ ）（A＞0， ＞0，﹣ ＜ ＜0）的部分图象如图所示，为
了得到g（x）＝Asin x的ω图φ象，只需将函ω数y＝f（xπ）的φ图象（ ）
ω
π π
A．向左平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
3 12
π π
C．向右平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
3 12
π
2．关于函数y＝2sin（3x+ ）+1，下列叙述正确的是（ ）
4
π
A．其图象关于直线x=− 对称
4π
B．其图象关于点（ ，1）对称
12
C．其值域是[﹣1，3]
π 1
D．其图象可由y＝2sin（x+ ）+1图象上所有点的横坐标变为原来的 得到
4 3
1 √3 π
3．已知函数f（x）＝（ a−√3）sinx+（ a+1）cosx，将f（x）的图象向右平移 个单
2 2 3
π
位长度得到函数g（x）的图象，若对任意x R，都有g（x）≤g（ ），则a的值为
4
∈
．
4．已知函数f（x）＝sin（ x+ ）（ ＞1，0≤ ≤ ）是R上的偶函数，其图象关于点M
ω φ ω φ π
3π π
（ ，0）对称，且在区间[0， ]上是单调函数，则 和 的值分别为（ ）
4 2
ω φ
2 π π π 10 π
A． ， B．2， C．2， D． ，
3 4 3 2 3 2
π π
5．已知函数f（x）＝sin（ x+ ），其中 ＞0，| |≤ ，− 为f（x）的零点：且f（x）
2 4
ω φ ω φ
π π π
≤|f（ ）|恒成立，f（x）在区间（− ， ）上有最小值无最大值，则 的最大值
4 12 24
ω
是（ ）
A．11 B．13 C．15 D．17
π π √3
6．已知函数f（x）＝2sin（ x− ）sin（ x+ ）（ ＞0），若函数g（x）＝f（x）+
6 3 2
ω ω ω
π
在[0， ]上有且只有三个零点，则 的取值范围为（ ）
2
ω
11 11 7 10 7 10
A．[2， ） B．（2， ） C．[ ， ） D．（ ， ）
3 3 3 3 3 3
