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专题七 《三角函数》讲义
7.1 任意角的三角函数
知识梳理 . 任意角的三角函数
1．角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图
形．
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β
＝α＋2kπ，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式：
角α的弧度数公式 |α|＝(l表示弧长)
角度与弧度的换算 ①1°＝rad；②1 rad＝°
弧长公式 l＝|α|r
扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2
3.任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos
α＝x，tan α＝(x≠0)．
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，
余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫
做角α的正弦线、余弦线和正切线．
4.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．
(2)商数关系：＝tan_α(α≠＋kπ，k∈Z)．
5．三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α π＋α －α π－α －α ＋α(k∈Z)
正弦 sin α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α
余弦 cos_α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α
正切 tan α tan_α －tan_α －tan_α
函数名改变，符号看象
口诀 函数名不变，符号看象限
限
题型一 . 同角之间的关系
3√10
1．已知角 的终边经过点P（1，m），且sin =− ，则cos ＝（ ）
10
α α α
√10 √10 √10 1
A．± B．− C． D．
10 10 10 3
1
2．已知a是第二象限角，tanα=− ，则cos ＝（ ）
3
α
3√10 3√10 √10 √10
A． B．− C． D．−
10 10 10 10
π
3．已知α∈(0， )，tanα=√2cosα，则sin ＝（ ）
2
α
√3 √6 √2 √3
A． B． C． D．
3 3 2 2
4 π
4．已知sin +cos = （0＜ ＜ ），则sin ﹣cos 的值为 ．
3 4
θ θ θ θ θ题型二 . 齐次式
1．已知tan ＝2，则2sin2α+cos2α 的值为（ ）
sin2α−3cos2α
α
A．9 B．6 C．﹣2 D．﹣3
1 1
2．已知tan =− ，则 =（ ）
2 sin2α−cos2α
α
5 5 5 5
A．− B．− C． D．
4 8 8 4
3．已知tan ＝﹣1，则2sin2 ﹣3cos2 ＝（ ）
7 α α 1 α 1 3
A．− B．− C． D．
4 2 2 4
3π
4．已知2cos2 ﹣3sin2 ＝1， （− ，﹣ ），那么tan 的值为（ ）
2
α α α∈ π α
1 1
A．2 B．﹣2 C． D．−
2 2
题型三 . asinx±bcosx
2cosα−sinα
1．已知cos ﹣3sin ＝0，则 的值为（ ）
cosα+sinα
α α
5 4 5 4
A．− B．− C． D．
4 5 4 5
4
2．已知sin +cos = ，则sin •cos ＝（ ）
3
α α α α
7 7 7 7
A．− B．− C． D．
9 18 18 9
√3 1
3．已知sinx+cosx= ，则tanx+ =（ ）
2 tanx
A．﹣6 B．﹣7 C．﹣8 D．﹣9
π 3√5
4．若 （ ， ），2sin +cos = ，则tan ＝（ ）
2 5
α∈ π α α α
2 2
A．﹣2 B．2 C． D．−
11 11
题型四 . 诱导公式sin(2π−α)cos(π−α)
3 =
1．已知sin（ + ）= ，则 π （ ）
5 sin( −α)
2
π α
4 4 3 3
A．− B． C．− D．
5 5 5 5
π 3
2．已知sin（ − ）= ，则cos（ + ）＝（ ）
2 5
α π α
3 3 4 4
A．− B． C． D．
5 5 5 5
π √3 3π
3．sin( +α)= ，则sin( −α)= ．
4 2 4
π 5π 2π
4．已知cos( −θ)=a(|a|≤1)，则cos( +θ)+sin( −θ)= ．
6 6 3课后作业 . 任意角的三角函数
1．已知角 的终边上有一点P（﹣4a，3a）（a≠0），则2sin +cos 的值是（ ）
2 θ 2 2 2 θ θ
A． B．− C． 或− D．不确定
5 5 5 5
sin2A+cos2A
2．已知tanA＝2，则 =（ ）
1−cos2A
3 5 3 5
A． B． C． D．
2 2 8 8
√5
3．已知A是三角形的内角，且sinA+cosA= ，则tanA等于 ．
2
sinθ+cosθ+1
4．已知2sin ﹣cos ＝1，则 的值为（ ）
sinθ−cosθ+1
θ θ
4
A． B．0 C．2 D．0或2
5
π √3 π 5π
5．已知：cos( −α)= ，则sin2 (α− )−cos( +α)的值为 ．
6 3 6 6
sin(α−5π)cos(8π−α)tan(−α−π)
f(α)=
6．已知 π 3π ，其中 是第三象限角，且
sin(α− )cos( +α)
2 2
α
3π 1
cos(α− )= ，则f（ ）＝ ．
2 5
α
