重难点 06 利用导数研究函数的零点【八大题型】
【新高考专用】
导数是高中数学的重要内容，从近几年的高考情况来看，导数中的函数零点（方程根）问题在高考中
占有很重要的地位，是热点问题，主要涉及函数零点的个数或范围等问题.高考常考查三次函数与复合函
数的零点问题，以及函数零点与其他知识的交汇问题，一般作为解答题的压轴题出现，难度较大，需要灵
活求解.
【知识点1 导数中的函数零点问题及其解题策略】
1．函数零点（个数）问题的的常用方法
(1)构造函数法：构造函数g( x)，利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图象，判断函数零点的个数.(2)函数零点存在定理：利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数
有多少个零点.
(3)数形结合法：函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，数形结合，根据图象的几何直观求
解.
2．导数中的含参函数零点（个数）问题
利用导数研究含参函数的零点（个数）问题主要有两种方法：
(1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决.
(2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y= g (x)图象的交点问题.
3．与函数零点有关的参数范围问题的解题策略
与函数零点（方程的根）有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合
特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况.
【知识点2 隐零点问题及其解题策略】
1．隐零点问题
隐零点问题是指函数的零点存在但无法直接求解出来的问题，在函数不等式与导数的综合题目中常会
遇到涉及隐零点的问题，处理隐零点问题的基本策路是判断单调性，合理取点判断符号，再结合函数零点
存在定理处理.
2．隐零点问题的解题策略
在求解函数问题时，很多时候都需要求函数f(x)在区间I上的零点，但所述情形都难以求出其准确值，
导致解题过程无法继续进行时，可这样尝试求解：先证明函数 f(x)在区间I上存在唯一的零点(例如，函数
f(x)在区间I上是单调函数且在区间I的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可设出其
零点是x.因为x 不易求出(当然，有时是可以求出但无需求出)，所以把零点x 叫做隐零点；若x 容易求出，
0 0 0 0
就叫做显零点，而后解答就可继续进行，实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法.
【题型1 判断或讨论零点的个数】
【例1】（2024·新疆乌鲁木齐·三模）已知符号函数sgn(x)=¿，则函数f(x)=sgn(lnx)−xlnx零点个数
为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式1-1】（2024·北京房山·一模）若函数f(x)=¿，则函数g(x)=f(x)+x+c零点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．1或3
【变式1-2】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知函数f (x)=lnx−axex−1+x+1，a∈R．
(1)当a=1时，求f (x)的极值；
(2)讨论函数f (x)的零点个数．【变式1-3】（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知函数 ．
f(x)=exsinx
(1)讨论函数f (x)在区间(0,π)上的单调性；
f(x)
(2)判断函数ℎ(x)= +ln(x+1)−2x+1零点的个数．
ex
【题型2 零点问题之唯一零点问题】
【例2】（2024·四川绵阳·模拟预测）函数f (x)=ex−kx−b恰好有一零点x ，且k>b>0，则x 的取值范围
0 0
是（ ）
A．(−∞,0) B．(0,1) C．(−∞,1) D．(1,+∞)
【变式2-1】（2024·四川成都·三模）若函数f (x)=ex−kx2大于0的零点有且只有一个，则实数k的值为
（ ）
e e2
A．4 B．2√e C． D．
2 4
【变式2-2】（2024·四川德阳·三模）已知函数f (x)=2lnx−x2−1.
(1)试研究函数f (x)的极值点；
3
(2)若F(x)=f (x)+4ax恰有一个零点，求证0<a< .
4
【变式2-3】（2024·广东汕头·三模）已知函数 .
f(x)=x(ex−ax2
)
(1)若曲线y=f(x)在x=−1处的切线与y轴垂直，求y=f(x)的极值.
(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点，求a.【题型3 零点问题之双零点问题】
【例3】（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数f (x)=lnx+1−ax有两个零点x ,x ，且x <x ，则下列命
1 2 1 2
题正确的是（ ）
2
A．a>1 B．x +x <
1 2 a
1
C．x ⋅x <1 D．x −x > −1
1 2 2 1 a
【变式3-1】（2024·湖南郴州·模拟预测）已知 ，若 有两个零点，则实数
f(x)=memx−lnx(m≥0) f(x) m
的取值范围为（ ）
A．( 1) B．( 1 )
0, 0,
e e2
C．(1 ,+∞ ) D．[ 1 ,+∞ )
e e2
1
【变式3-2】（2024·湖南·三模）已知函数f(x)=ae2x−(ax+2−a)ex+ x2.
2
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.
【变式3-3】（2024·浙江·模拟预测）已知a为实数，n∈N*，设函数f (x)=xn−alnx.
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)若f (x)有两个零点，求a的取值范围.【题型4 根据零点情况求参数范围】
【例4】（2024·四川·模拟预测）已知函数 若函数 有5个不同的零点，则 的取
f (x)=¿ y=[f (x)] 2−af (x) a
值范围是（ ）
A．(0,1] B．(1,4] C．(1,4) D．(1,+∞)
【变式4-1】（2024·四川·模拟预测）已知函数f (x)=¿，若关于x的方程f (x)+a−1=0的不同实数根的个
数为4，则a的取值范围为（ ）
( 1 ) ( 1 ) ( 1) ( 1 1)
A． 1− ,1 B． −1− ,−1 C． 1,1+ D． 1− ,1+
e e e e e
【变式4-2】（2024·四川凉山·三模）已知函数f (x)=(2x−1)ex−mx2−mx+m．
(1)当m=0时，求f (x)的极值点；
(2)若m>0且函数f (x)有三个零点，求实数m的取值范围．
a
【变式4-3】（2024·新疆·三模）已知函数f (x)=(x−1)ex− x2+a.
2
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)若f (x)有三个不同的零点，求实数a的取值范围.
【题型5 函数零点的证明问题】
1
【例5】（2024·重庆·模拟预测）已知函数f(x)=a(lnx+1)+ (a>0)．
x3
(1)求证：1+xlnx>0；
√1
(2)若x ,x 是f(x)的两个相异零点，求证：|x −x |<1− ．
1 2 2 1 a1
【变式5-1】（2024·四川自贡·三模）已知函数f(x)=1+ +alnx(a>0)
x
(1)求函数f(x)的单调区间；
a
(2)函数f(x)有唯一零点x ，函数g(x)=x−sinx− 在R上的零点为x ．证明：x <x ．
1 e2 2 1 2
【变式5-2】（2024·河北邯郸·三模）已知函数 ， ．
f(x)=x(ex−ax2) a∈R
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程．
(2)已知关于 的方程 恰有4个不同的实数根 ，其中 ， ．
x f(x)=ax2−ex x ,x ,x ,x x >0 x >0
1 2 3 4 1 2
（i）求a的取值范围；
（ii）求证：x +x >4．
1 2
【变式5-3】（2024·湖北·模拟预测）已知函数f (x)=ex−lnx−a，g(x)=ex−ln(x+a)，其中a为整数且
.记 为 的极值点，若 存在两个不同的零点 ， ，
a≥1 x f (x) f (x) x x (x <x )
0 1 2 1 2
(1)求a的最小值；
(2)求证： ；
g(lnx )=g(lnx )=0
1 2【题型6 多零点的和、差、积与大小关系问题】
| 2 |
【例6】（2024·四川南充·一模）已知函数f(x)= lnx− +2 −m（0<m<3）有两个不同的零点x ，x （
x 1 2
x <x ），下列关于x ，x 的说法正确的有（ ）个
1 2 1 2
①x ② 2 ③ m 3 ④
2<e2m x > e3<x < x x >1
x 1 m+2 2 3−m 1 2
1
A．1 B．2 C．3 D．4
a a
【变式6-1】（2024·四川成都·一模）已知函数f (x)=(lnx) 2− xlnx+ x2有三个零点x 、x 、x 且
2 e 1 2 3
，则2lnx lnx lnx 的取值范围是（ ）
x <x <x 1+ 2+ 3
1 2 3 x x x
1 2 3
A．( − 1 ,0 ) B．( − 1 ,0 ) C．( − 1 ,0 ) D．( − 2 ,0 )
e2−e e2 2e e
ln(ex)
【变式6-2】（2024·福建南平·模拟预测）已知函数f (x)= ，其中e为自然对数的底数．
ax
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)若方程f (x)=1有两个不同的根x ,x ．
1 2
(i)求a的取值范围；
(ii)证明： ．
x2+x2>2
1 2
1
【变式6-3】（2024·湖南郴州·模拟预测）已知函数f(x)=2alnx+ x2−(a+2)x，其中a为常数.
2
(1)当a>0时，试讨论f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)有两个不相等的零点x ，x ，
1 2
（i）求a的取值范围；
（ii）证明：x +x >4.
1 2【题型7 隐零点问题】
【例7】（2024·天津河西·模拟预测）已知函数 .
f(x)=ae2x+(a−2)ex−x,g(x)=ex−ln(x+m)
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)当m≤2时，求证g(x)>0；
(3)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．
a
【变式7-1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知f (x)=(x−1) 2ex− x3+ax(x>0)(a∈R).
3
(1)讨论函数f (x)的单调性；
1
(2)当a=0时，判定函数g(x)=f (x)+lnx− x2零点的个数，并说明理由.
2
【变式7-2】（23-24高三上·辽宁鞍山·阶段练习）已知函数 ， .
f (x)=lnx−ax+1 g(x)=x(ex−x)
（1）若直线y=2x与函数f (x)的图象相切，求实数a的值；
（2）当a=−1时，求证：f (x)≤g(x)+x2.
【变式7-3】（2024·广东广州·模拟预测）已知函数f (x)=xeax（a>0）.
(1)求f (x)在区间[−1,1]上的最大值与最小值；(2)当a≥1时，求证：f (x)≥lnx+x+1.
【题型8 与函数零点相关的综合问题】
ax ex+1
【例8】（2024·湖北·二模）已知函数f (x)= + （e为自然对数的底数）．则下列说法正确的是
ex x+ex
（ ）
A．函数f (x)的定义域为R
e2
B．若函数f (x)在P(0,f (0))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ，则a=1
2e−2
C．当a=1时，f (x)=m可能有三个零点
D．当a=1时，函数的极小值大于极大值
【变式8-1】（2024·四川成都·二模）函数f (x)=ex+asinx,x∈(−π,+∞)，下列说法不正确的是（ ）
A．当a=−1时，f (x)>0恒成立
B．当a=1时，f (x)存在唯一极小值点x
0
C．对任意a>0,f (x)在x∈(−π,+∞)上均存在零点
D．存在a<0,f (x)在x∈(−π,+∞)上有且只有一个零点
【变式8-2】（2024·四川宜宾·一模）已知函数 .
u(x)=2lnx−a(x2−1),v(x)=2x2lnx
(1)当a=1时，判断u(x)的单调性；
(2)若函数f (x)=u(x)+v(x)恰有两个极值点.
（i）求实数a的取值范围；
（ii）证明：f (x)的所有零点之和大于3.
【变式8-3】（2024·山东济南·二模）已知函数 .
f (x)=(x−a) 2(x−b)(a,b∈R,a<b)
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
a=1,b=2 y=f (x) (2,f (2))(2)设x ,x 是f (x)的两个极值点，x 是f (x)的一个零点，且x ≠x ,x ≠x .是否存在实数x ，使得
1 2 3 3 1 3 2 4
x ,x ,x ,x 按某种顺序排列后构成等差数列？若存在，求x ；若不存在，说明理由.
1 2 3 4 4
一、单选题
1．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数f (x)=¿，且g(x)=f (x)−mx有两个不同的零点，则
m的取值范围为（ ）
( 1) (1 ) (1 )
A． −∞, B． ,e C．(e,+∞) D． ,+∞
e e e
2．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数 ，则（ ）
f(x)=x3−x+1
A．f(x)有三个极值点 B．f(x)有三个零点
C．点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心 D．直线y=2x是曲线y=f(x)的切线
3．（2024·河南·模拟预测）已知a>0，若函数f (x)=¿没有零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．(e,+∞) B．(1,e) C．(0,1) D．(1,+∞)
ex
4．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数f (x)= ，若函数g(x)=[f (x)] 2 +af (x)−e2−ae恰有5个不同的零
|x|
点，则实数a的取值范围是（ ）
( 2) ( 1)
A．(−∞,−2e) B．(−∞,−e) C． −∞,− D． −∞,−
e e
5．（2024·山西太原·二模）已知函数f (x)=¿，若方程f (x)−k|x+2|=0恰有三个不同实数根，则实数k的
取值范围是（ ）
(2 e+1)
A．(0,8−2√13)∪(1,+∞) B． ,
3 3
(2 ) ( e+1] (2 ) [e+1 )
C． ,8−2√13 ∪ 1, D． ,1 ∪ ,8+2√13
3 3 3 3
6．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数f (x)=¿，若关于x的方程f2(x)−(2+t)f (x)+2t=0有3个不同的
实数根，则实数t的取值范围为（ ）( 1) ( 1 ) [ 1 ]
A． −∞,− B． − ,0 C． − ,1 D．(−e,2)
e e e
7．（2024·全国·模拟预测）已知关于x的方程e2x−axex+9e2x2=0有4个不同的实数根，分别记为
ex
1
ex
2
ex
3
ex
4
x ,x ,x ,x ，则( −e)( −e)( −e)( −e)的取值范围为（ ）
1 2 3 4 x x x x
1 2 3 4
A． B． C． D．
(0,16e4
)
(0,12e4
)
(0,4e4
)
(0,8e4
)
1
8．（2024·江西南昌·三模）已知函数f(x)=xex− a(x+1) 2.则下列说法中错误的是（ ）
2
1
A．当a= 时，f(x)在R上单调递增
e
B．当a<0时，f(x)的最小值是一个与a无关的常数
C．f(x)可能有三个不同的零点
D．当a>0时，f(x)有且仅有一个零点
二、多选题
ex−a
9．（2024·全国·模拟预测）设e为自然对数的底数，函数f(x)= −alnx(x>0)，则下列结论正确的
x
是（ ）
A．当a=e时，f(x)无极值点 B．当a>e时，f(x)有两个零点
C．当1<a<e时，f(x)有1个零点 D．当a≤1时，f(x)无零点
| 2 |
10．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数f (x)= lnx− +2 −m(0<m<3)有两个不同的零点
x
，则（ ）
x ,x (x <x )
1 2 1 2
A． B．x C． 2 D． m 3
(x x ) =1 2<e2m x > e3<x <
1 2 min x 1 m+2 2 3−m
1
11．（2024·广西来宾·模拟预测）下列关于函数f (x)=x−xlnx的说法，正确的有（ ）
A．x=1是f (x)的极大值点
B．函数f˙(x)有两个零点
C．若方程f (x)=m有两根x ,x ，则x +x >e
1 2 1 2
D．若方程f (x)=m有两根x ,x ，则x +x <e
1 2 1 2
三、填空题12．（2024·福建泉州·一模）已知函数 有且只有两个零点，则a的范围是 ．
f(x)=(x−1)ex+|ex−a|
x
13．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数f (x)= −aln(x+1)(a>0)有3个零点，则a的取值范围为
x+2
．
14．（2024·全国·模拟预测）已知函数f(x)=¿．若g(f(x))=0有三个不同的根，则a的取值范围为 ．
四、解答题
15．（2024·贵州黔南·一模）已知函数 .
f(x)=aex−x+1(a∈R)
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若当a>0时，函数f(x)有两个不同的零点，求实数a的取值范围.
16．（2024·福建·模拟预测）已知函数 ．
f(x)=xlnx−a(x2−1)
(1)讨论函数f(x)的零点个数；
1 1 1
(2)若f(x)有三个零点x , x , x ，求 + + 的取值范围．
1 1 3 x x x
1 2 3
17．（2024·山东烟台·三模）已知函数f (x)=x+aex(a∈R).
(1)讨论函数f (x)的单调性；
x f (x)−x
(2)当a=3时，若方程 + =m+1有三个不等的实根，求实数m的取值范围.
f (x)−x f (x)
18．（2024·云南大理·模拟预测）已知函数f (x)=eax−x（x>0），其中a∈R.(1)讨论f (x)的单调性；
(2)若f (x)恰好有一个零点，求a的取值范围；
(3)若f (x)有两个零点x ，x （x <x ），求证：lnx +2lnx >3.
1 2 1 2 1 2
19．（2024·甘肃白银·一模）已知函数f (x)=tx2−2lnx−1.
(1)若曲线y=f (x)在x=2处的切线的斜率为3，求t.
(2)已知 恰有两个零点 .
f (x) x ,x (x <x )
1 2 1 2
①求t的取值范围；
②证明：x x 2−2lnt.
1+ 2<
x x t
2 1
