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易错点1 忽视不等式隐含条件致误
设 ，若1≤ ≤2,2≤ ≤4，则 的取值范围是________．
【错解】由 得 ，①＋②得： ， ②−①得： .
由此得4≤ =4a−2b≤11，所以 的取值范围是[4,11]．
【错因分析】错误的主要原因是多次使用同向不等式的可加性而导致了 的范围扩大．
【试题解析】解法一：设 =m ＋n (m、n为待定系数)，则4a−2b=m(a−b)＋n(a＋b)，即
4a−2b=(m＋n)a＋(n−m)b，于是得 ，解得 .∴ =3 ＋ ．
又∵1≤ ≤2,2≤ ≤4，∴5≤3 ＋ ≤10，即5≤ ≤10.
解法二：由 ，得 ，∴ =4a−2b=3 ＋ ．
又∵1≤ ≤2,2≤ ≤4，∴5≤3 ＋ ≤10，即5≤ ≤10.
解法三：由题意，得 ，确定的平面区域如图中阴影部分所示.当 =4a−2b过点 时，取得最小值 ；
当 =4a−2b过点B(3,1)时，取得最大值4×3−2×1=10，∴5≤ ≤10.
【答案】
（1）此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运
算求得整体范围；
（2）求范围问题如果多次利用不等式的性质有可能扩大变量取值范围．
1．已知 ， 满足 ，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A【名师点睛】本题考查待定系数法，考查不等式的基本性质，属于基础题．该问题是已知不等关系求范围的
问题，可以用待定系数法来解决． 学科%网
易错点2 忽略不等式性质成立的条件
给出下列命题：
①若 ,则 ； ②若 ，则 ；
③若 且 ,则 ； ④若 ,则 .
其中正确命题的序号是 .
【错解】① ,又 ,则 ，故①正确；②当 时， ,故②不正确；
③正确；④由 知 ,∴ ，故 ,故④不正
确.故填①③.不等式的性质的几点注意事项
(1)在应用传递性时，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的．如a≤b，
bb ac2>bc2；若无c≠0这个条件，
a>b ac2>bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)． ⇒
(3)“⇒a>b>0 an>bn(n∈N*，n>1)”成立的条件是“n为大于1的自然数，a>b>0”，假如去掉“n为大于1的自然
数”这个条⇒件，取n＝－1，a＝3，b＝2，那么就会出现“3－1>2－1”的错误结论；假如去掉“b>0”这个条件，取a
＝3，b＝－4，n＝2，那么就会出现“32>(－4)2”的错误结论．
2．下列不等式中，正确的是
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】A【名师点睛】本题考查不等式的性质，注意正、负号的应用.根据不等式的性质和代特殊值逐一排除即可.
错点3 忽略对二次项系数的讨论导致错误
已知关于x的不等式mx2＋mx＋m－1＜0恒成立，则m的取值范围为______________．
【错解】由于不等式mx2＋mx＋m－1＜0对一切实数x都成立， 学科%网
所以m＜0且Δ＝m2－4m(m－1)＜0，
解得m＜0．故实数m的取值范围为(－∞，0)．
【错因分析】由于本题中x2的系数含有参数，且当m＝0时不等式不是一元二次不等式，因此必须讨论m
的值是否为0．而错解中直接默认不等式为一元二次不等式，从而采用判别式法处理导致漏解．
【试题解析】由于不等式mx2＋mx＋m－1＜0对一切实数x都成立，
当m＝0时，－1＜0恒成立；当m≠0时，易知m＜0且Δ＝m2－4m(m－1)＜0，解得m＜0．
综上，实数m的取值范围为(－∞，0]．
【答案】(－∞，0]
解一元二次不等式的一般步骤
一化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．
二判：计算对应方程的判别式．
三求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．
四写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．
3．已知命题“ ”为真命题,则实数 的取值范围是__________.
【答案】【名师点睛】不等式 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 时， 或当
时， ；不等式 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 时， 或
当 时， ．
解不等式恒成立问题的技巧
(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，
恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用
分离参数法求最值．
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就
是参数.
易错点4 解含参不等式时不能正确分类导致错误
解不等式 ．【错因分析】显然当a＝0时，原不等式是不成立的，故上述求解过程是错误的．实际上错解中的变形非同
解变形，因为a－1的符号是不确定的，错解中仅考虑了当a－1＞0时的情况．
【试题解析】显然当 时，原不等式是不成立的． 学科……网
当a≠0时原不等式可化为 ，即 ，
等价于 (*)，
当 时，(*)式可转化为 ，即 ，即 ．
当 时，(*)式可转化为 ．
当 时，(*)式可转化为 ．
又当 时， ，所以当 或 时， ；
当 时， ．
综上，当 时，原不等式的解集为 或 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ．
在求解此类问题时，既要讨论不等式中相关系数的符号，也要讨论相应方程两个根的大小．在不等式转化的
过程中，要特别注意等价性；在比较两根的大小时，也要注意等价性，否则将导致分类讨论不完全而出错．
4．已知 ，其中 .
（1）解关于 的不等式；
（2）若 时，不等式恒成立，求实数 的范围.
【答案】（1）见解析；（2） .【名师点睛】（1）本题主要考查一元二次不等式的解法和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识
的掌握水平和分析推理转化能力.
（2）解答第2问的关键是转化，先转化为 恒成立，再转化为 恒成立，即得m的
取值范围.
解含有参数的一元二次不等式的步骤：
(1)二次项系数若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形
式．
(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.
易错点5 不能准确把握目标函数的几何意义致误设变量x，y满足约束条件 ，则目标函数z=3x−2y的最小值为
A．−5 B．−4
C．−2 D．3
【错解】不等式组表示的平面区域如图所示，由图可知，当直线z=3x−2y平移到过点(1,0)时取得最小值，
即z =3×1−2×0=3.故选D.
min
【错因分析】本题易出现以下两个错误：一是理所当然地把目标函数“z”跟“截距”画上等号，没有正确
理解目标函数的意义致错；二是不能正确区分直线斜率的“陡峭”程度，导致最优解不正确，相应地导
致目标函数的最小值求解错误．
【试题解析】不等式组表示的平面区域是如图所示的阴影部分，结合图形，可知当直线3x−2y=z平移到过
点(0,2)时，z=3x−2y的值最小，最小值为−4，故选B.
形如z=Ax＋By(B≠0)，即 ， 为该直线在y轴上的截距，z的几何意义就是该直线在y轴上截
距的B倍，至于z与截距能否同时取到最值，还要看B的符号．5．若实数 ， 满足约束条件 则 的最大值是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由实数 ， 满足约束条件 作出可行域，如图. 学.科网
， ，联立 解得 ，
的几何意义为可行域内动点与原点距离的平方，其最大值为 .
故选D.
【名师点睛】本题主要考查了简单的线性规划和二元一次不等式组，在求目标函数的最值时根据
的几何意义，将其转化为点到点距离的平方，从而得到结果
易错点6 忽略等号成立的一致性导致错误
若x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，则 的最小值为_______________．【错解】因为x＞0，y＞0，所以1＝x＋2y≥ ，即8xy≤1，即xy≤ ，故 ≥8．
因为 ≥ ，所以 ≥ ．故 的最小值为 ．
连续应用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等号时的条件是否一致，若不能同时取等号，则连续用基
本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到取等号的条件成立．
6．若正数 满足 ，则 的最大值为
A． B．
C． D．
【答案】A【名师点睛】本题考查了基本不等式的简单应用，关键要注意“1”的灵活应用，属于基础题.
一、不等关系与不等式
1．比较大小的常用方法
（1）作差法的一般步骤是：作差，变形，定号，得出结论．
注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是什么无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或者多
个因式的积的形式.
（2）作商法的一般步骤是：作商，变形，判断商与1的大小，得出结论．
注意：作商时各式的符号为正，若都为负，则结果相反.
（3）介值比较法：
①介值比较法的理论根据是：若a>b,b>c,则a>c，其中b是a与c的中介值.
②介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值.
2．不等式的性质及应用
（1）应用不等式性质解题的指导思想：理解不等式的性质时，首先要把握不等式性质成立的条件，特别是
实数的正负和不等式的可逆性；其次，要关注常见函数的单调性对于理解不等式性质的指导性.
（2）解决此类问题常用的两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答
案．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．
3．求代数式的取值范围的一般思路
（1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；
（2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；
（3）结合不等式的传递性进行求解；（4）要注意不等式同向可乘性的适用条件及整体思想的运用.
二、一元二次不等式及其解法
1．解一元二次不等式的一般步骤
（1）一化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．
（2）二判：计算对应方程的判别式．
（3）三求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．
（4）四写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．
2．解含有参数的一元二次不等式的步骤
（1）二次项系数若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的
形式．
（2）判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．
（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.
3．解不等式恒成立问题的技巧
（1）对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上
方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外常转化为求二次函数的
最值或用分离参数法求最值．即
①若 在定义域内存在最大值 ，则 (或 )恒成立 (或 );
②若 在定义域内存在最小值 ，则 (或 )恒成立 (或 );
③若 在其定义域内不存在最值，只需找到 在定义域内的最大上界(或最小下界) ，即
在定义域内增大(或减小)时无限接近但永远取不到的那个值，来代替上述两种情况下的 ，只是等号均
可以取到.
（2）解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，
谁就是参数.
4．已知不等式的解集求参数的解题方法
已知不等式的解集求参数问题的实质是考查三个“二次”间的关系.其解题的一般思路为:
（1）根据所给解集确定相应方程的根和二次项系数的符号;
（2）由根与系数的关系，或直接代入方程，求出参数值或参数之间的关系，进而求解.
5．简单分式不等式的解法若 与 是关于 的多项式，则不等式 (或<0，或 0，或 0)称为分式不等式．解分式不
等式的原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式(组)求解．即
;
;
;
.
对于形如 a(或0)的解集为(x,x),则x＋x＋ 的最小值是
1 2 1 2
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知,x,x 是方程x2−4ax＋6a2=0两个根,则 ,所以x＋x＋
1 2 1 2
,当且仅当 时,等号成立.
12．若函数 的定义域为R，则实数k的取值范围是______．
【答案】
【解析】∵函数 的定义域为 ，∴ 对任意 恒成立，
当 时，不等式化为 ，对任意 不恒成立；
当 时，则 ，解得 ，
综上，实数 的取值范围是 ．故答案为 .
【名师点睛】本题考查函数的定义域及其求法，考查数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，是中
档题．
13．能够说明“设a,b,c是任意实数.若a>b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为
.
【答案】-1,-2,-3(答案不唯一)
【解析】因为“设a,b,c是任意实数.若a>b>c,则a+b>c”是假命题,则它的否定“设存在实数a,b,c．若
a>b>c,则a+b≤c”是真命题.
由于a>b>c,所以a+b>2c,又a+b≤c,所以c<0.
因此a,b,c依次可取整数-1,-2,-3,满足a+b≤c．14．已知 是任意实数,则关于 的不等式 的解集
为 .
【答案】
【解析】∵ ,
∴ ,即 ,解得 . 学%科网
15．[2018天津文]已知 ，且 ，则 的最小值为_____________.
【答案】
【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；
二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．由题意首先求
得a−3b的值，然后结合基本不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.
16．已知 ,若 ,则 的最小值为 .
【答案】96
【解析】因为 ,所以 = =
= ,当且仅当 ,即 时,等号成立.17．已知实数x,y满足不等式组 则z=x2+y2-10y+25的最大值为
.
【答案】65
【解析】作出不等式组所表示的可行域,如图中阴影部分所示,
因为z=x2+y2-10y+25=(x-0)2+(y-5)2的几何意义表示可行域中的点(x,y)到定点M(0,5)的距离的平方.结合
图象易知点C到点M的距离最大,由 得C(7,9),则z =(7-0)2+(9-5)2=65.
max
18．设实数x,y满足 则u= 的取值范围是 .
【答案】[- , ]19．[2018江苏卷]在 中，角 所对的边分别为 ， ， 的平分线交
于点D，且 ，则 的最小值为________．
【答案】9
【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中
“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条
件才能应用，否则会出现错误. 学#科网
20．[2018北京文]若𝑥,y满足 ，则2y− 的最小值是_________.
𝑥
【答案】3
【解析】作出可行域，如图，则直线 过点A(1,2)时， 取最小值3.
【名师点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：
一、准确无误地作出可行域；
二、画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；
三、一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
解本题时，先作出可行域，再根据目标函数与可行域关系，确定最小值取法.21．[2018新课标I文]若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为_____________．
【答案】6
【解析】根据题中所给的约束条件 ，画出其对应的可行域，如图所示：
【名师点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可
行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优
解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截
距型、距离型，根据不同的形式，应用相应的方法求解.
22．[2018新课标II文]若 满足约束条件 则 的最大值为__________．
【答案】9【解析】不等式组 表示的可行域是以 为顶点的三角形区域，
如下图所示，目标函数 的最大值必在顶点处取得，易知当 时， .
【名师点睛】线性规划问题是高考中常考考点，主要以选择或填空的形式出现，基本题型为给出约束条件
求目标函数的最值，主要结合方式有：截距型、斜率型、距离型等. 学￥科网
23．[2018新课标Ⅲ文]若变量 满足约束条件 则 的最大值是________．
【答案】324．某研究所计划利用宇宙飞船进行新产品搭载试验,计划搭载若干件新产品A,B,该研究所要根据产品的研
制成本、产品重量、搭载试验费用和预计收益来决定具体安排,通过调查得到的有关数据如表:
每件A产品 每件B产品
研制成本、搭载试验费用之和(万元) 20 30
产品重量(千克) 10 5
预计收益(万元) 80 60
已知研制成本、搭载试验费用之和的最大资金为300万元,最大搭载重量为110千克,则如何安排这两种
产品进行搭载,才能使总预计收益达到最大,最大预计收益是多少?
【答案】960万元________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
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