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重难点 07 双变量问题【八大题型】
【新高考专用】
导数是高中数学的重要内容，是高考常考的热点内容，从近几年的高考情况来看，导数中的双变量问
题在高考中占有很重要的地位，主要涉及双变量的恒成立问题、双参数不等式问题以及双变量的不等式证
明等问题，一般作为解答题的压轴题出现，难度较大，需要灵活求解.
【知识点1 导数中的双变量问题】
1．导数中的双变量问题导数中的双变量问题往往以双参数不等式的形式呈现，要想解决双变量问题，就需要掌握破解双参数
不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的
不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果．
【知识点2 导数中的双变量问题的解题策略】
1．转化为同源函数解决双变量问题
此类问题一般是给出含有x ，x ，f(x)，f(x)的不等式，若能通过变形，把不等式两边转化为结构形式
1 2 1 2
相同的代数式，即转化为同源函数，可利用该函数单调性求解.
2．整体代换解决双变量问题
(1)解此类题的关键是利用代入消元法消去参数a，得到仅含有x，x 的式子.
1 2
(2)与极值点x ，x 有关的双变量问题：一般是根据x ，x 是方程f'(x)=0的两个根，确定x ，x 的关系,
1 2 1 2 1 2
再通过消元转化为只含有x 或x 的关系式，再构造函数解题，即把所给条件转化为 x ，x 的齐次式，然后
1 2 1 2
转化为关于 的函数，把 看作一个变量进行整体代换，从而把二元函数转化为一元函数来解决问题.
3．构造函数解决双变量问题的答题模板
第一步：分析题意，探究两变量的关系；
第二步：合二为一，变为单变量不等式；
第三步：构造函数；
第四步：判断新函数的单调性或求新函数的最值，进而解决问题；
第五步：反思回顾解题过程，规范解题步骤.
【题型1 双变量单调性问题】
【例1】（2024·四川德阳·一模）已知函数 ，若对任意 ，都有 ，则实
f (x)=¿ x x f(x )+x f(x ) f(xa )>f(log x) a>0且a≠1
1 1 2 2 1 2 2 1 a
是（ ）
2 1
A．alna< B．alna<
e e
1 2
C．alna> D．alna>
e e【变式1-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数f (x)=2lnx+x2−ax．
(1)当a=1时，求f (x)的单调区间；
(2)若对任意 ，都有f (x )−f (x ) ，求 的取值范围．
01 a
1 2 x −x
2 1
a+1
【变式1-3】（23-24高二下·辽宁朝阳·阶段练习）已知函数f (x)=x−(a+2)lnx− .
x
(1)讨论函数f (x)的单调性；
1
(2)设g(x)=lnx+ ，对任意x ,x ∈[3,+∞)，且x >x ，使f (x )−f (x )≥a[g(x )−g(x )]恒成立，求
x 1 2 2 1 2 1 2 1
正实数a的取值范围.
【题型2 双变量的最值（范围）问题】
【例2】（2024·广东广州·模拟预测）已知函数 ，若 ，则 的
f(x)=ex+x,g(x)=lnx+x f (x )=g(x ) x x
1 2 1 2
最小值为（ ）
1 √e
A．−e B．− C．−1 D．−
e 2
【变式2-1】（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数f(x)=¿，若a0时，讨论f (x)的单调性；
(2)若函数 有两个极值点 ，求 的最小值.
f (x) x ,x (x 0.
2
(1)求f (x)的单调区间；
(2)函数 的图象上是否存在两点 （其中 ），使得直线 与函数 的图象
f (x) A(x ,y ),B(x ,y ) x ≠x AB f (x)
1 1 2 2 1 2
x +x
在x = 1 2处的切线平行？若存在，请求出直线AB；若不存在，请说明理由.
0 2
【变式4-3】（2024·重庆·模拟预测）牛顿在《流数法》一书中，给出了代数方程的一种数值解法——牛顿
法．具体做法如下：如图，设r是f(x)=0的根，首先选取x 作为r的初始近似值，若f(x)在点
0(x ,f(x ))处的切线与x轴相交于点(x ,0)，称x 是r的一次近似值；用x 替代x 重复上面的过程，得到
0 0 1 1 1 0
x ，称x 是r的二次近似值；一直重复，可得到一列数：x ,x ,x ,⋯,x ,⋯．在一定精确度下，用四舍
2 2 0 1 2 n
五入法取值，当 近似值相等时，该值即作为函数 的一个零点 ．
x ,x (n∈N∗) f(x) r
n−1 n
(1)若 ，当 时，求方程 的二次近似值（保留到小数点后两位）；
f(x)=x3+3x2+x−3 x =0 f(x)=0
0
(2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取为曲线的切线或割线，求函数 在点
g(x)=ex−3
3
(2,g(2))处的切线，并证明：ln3<1+ ；
e2
(3)若ℎ(x)=x(1−lnx)，若关于x的方程ℎ(x)=a的两个根分别为x ,x (x e−ea．
1 2 1 2 2 1
【题型5 与零点有关的双变量问题】
【例5】（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数f (x)=lnx+1−ax有两个零点x ,x ，且x 1 B．x +x <
1 2 a
1
C．x ⋅x <1 D．x −x > −1
1 2 2 1 a
| 2 |
【变式5-1】（2024·四川南充·一模）已知函数f(x)= lnx− +2 −m（0 e31
x 1 m+2 2 3−m 1 2
1
A．1 B．2 C．3 D．4
lnx
【变式5-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数f (x)=ax− ，a>0．
x
(1)若f (x)存在零点，求a的取值范围；
(2)若
x
，
x
为
f (x)
的零点，且
x 2
．
1 2 1 2 1 2
【变式5-3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数f (x)=x2lnx−m有两个不同的零点x ，x ，且
1 2
．
t=x2+x2
1 2
(1)求实数m的取值范围；
(2)求证：t<1；
2 3
(3)比较t与 及2m+ 的大小，并证明．
e e
【题型6 双变量的恒（能）成立问题】
lnx
【例6】（2024·重庆·模拟预测）已知函数f (x)= ,g(x)=axe−ax，若存在x ∈(0,1),x ∈(−∞,0)使
x 1 2
得 ，则实数 的取值范围为（ ）
f (x )=g(x ) a
1 2
A．(−∞,−2) B．(−2,−1) C．(−1,+∞) D．(0,+∞)
【变式6-1】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数f (x)=2xlnx−ax2，若对任意的x ,x ∈(0,+∞)，
1 2
当 时，都有 ，则实数 的取值范围为（ ）
x >x 2x +f (x )>2x +f (x ) a
1 2 1 2 2 1A． [ 1 ,+∞ ) B．[1,+∞) C． [1 ,+∞ ) D．[2,+∞)
2e e
【变式6-2】（2024·四川泸州·一模）已知函数f (x)=ax+1−xlnx的图像在x=1处的切线与直线x−y=0
平行．
(1)求函数f (x)的单调区间；
(2)若 ，且 时， ，求实数m的取值范围．
∀x ,x ∈(0,+∞) x >x f (x )−f (x )>m(x2−x2)
1 2 1 2 1 2 1 2
1
【变式6-3】（23-24高二下·湖南郴州·期末）已知f (x)=alnx+ x2−2x（a∈R且a≠0），
2
g(x)=cosx+xsinx．
(1)求g(x)在[−π,π]上的最小值；
(2)如果对任意的 ，存在 [1 ]，使得f (x ) 成立，求实数a的取值范围．
x ∈[−π,π] x ∈ ,e 2 −a≤g(x )
1 2 e x 1
2
【题型7 双变量的不等式证明问题】
【例7】（2024·河北保定·二模）已知函数 为其导函数．
f(x)=ax−xlnx,f′ (x)
(1)若f(x)≤1恒成立，求a的取值范围；
(2)若存在两个不同的正数 ，使得 ，证明： ．
x ,x f (x )=f (x ) f′(√x x )>0
1 2 1 2 1 2
【变式7-1】（2024·全国·模拟预测）设函数f (x)=xlnx(1)分析f (x)的单调性和极值；
( 1) 1
(2)设g(x)=f x+ + ，若对任意的x≥0，都有g(x)≥mx成立，求实数m的取值范围；
e e
1
(3)若x ≠x ，且满足f (x )+f (x )= (x2+x2)−1时，证明：x +x >2.
1 2 1 2 2 1 2 1 2
【变式7-2】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数 ．
f(x)=a(1−2lnx)+4x6 (a∈R)
(1)讨论f(x)的单调性；
1
(2)若x ，x (x ≠x )为函数g(x)=kx2+ −lnx的两个零点，求证：(x x ) 4>12e4．
1 2 1 2 x2 1 2
sinx
【变式7-3】（2024·四川成都·模拟预测）已知函数f(x)= −m,x∈(0,π).
ex
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若 ，满足 .
x n，则称α(x)与β(x)具有性质α−β//m>n．
(1)函数 与 是否具有性质 ？并说明理由．
φ (x)=sinx−x2 φ (x)=ex−x φ −φ //x >0
1 2 1 2 0
(2)已知函数f (x)=aex−ln(x+1)与g(x)=ln(x+a)−ex+1具有性质f −g//x >x ．
1 2
（i）求a的取值范围；
（ii）证明： ．
|g(x )|>|x |
1 2
【变式8-2】（2024·浙江温州·二模）如图，对于曲线Γ，存在圆C满足如下条件：
①圆C与曲线Γ有公共点A，且圆心在曲线Γ凹的一侧；②圆C与曲线Γ在点A处有相同的切线；
③曲线Γ的导函数在点A处的导数（即曲线Γ的二阶导数）等于圆C在点A处的二阶导数（已知圆
r2
在点 处的二阶导数等于 ）；
(x−a) 2+(y−b) 2=r2 A(x ,y )
0 0 (b−y ) 3
0
则称圆C为曲线Γ在A点处的曲率圆，其半径r称为曲率半径．
(1)求抛物线y=x2在原点的曲率圆的方程；
1
(2)求曲线y= 的曲率半径的最小值；
x
(3)若曲线
y=ex
在
(x ,ex 1)
和
(x ,ex 2)(x ≠x )
处有相同的曲率半径，求证：
x +x <−ln2
．
1 2 1 2 1 2
【变式8-3】（2024·上海徐汇·二模）已知常数k为非零整数，若函数y=f (x)，x∈[0,1]满足：对任意
x ,x ∈[0,1] ， |f (x )−f (x )|≤|(x +1) k−(x +1) k| ，则称函数 y=f (x) 为 L(k) 函数.
1 2 1 2 1 2
(1)函数y=2x，x∈[0,1]是否为L(2)函数﹖请说明理由；
1
(2)若y=f (x)为L(1)函数，图像在x∈[0,1]是一条连续的曲线，f (0)=0，f (1)= ，且f (x)在区间(0,1)上
2
仅存在一个极值点，分别记f (x) 、f (x) 为函数y=f (x)的最大、小值，求f (x) −f (x) 的取值范围；
max min max min
(3)若a>0，f (x)=0.05x2+0.1x+aln(x+1)，且y=f (x)为L(−1)函数，g(x)=f′(x)，对任意
，恒有 ，记 的最小值为 ，求 的取值范围及 关于 的表达式.
x,y∈[0,1] |g(x)−g(y)|≤M M M(a) a M(a) a
一、单选题1．（2024·吉林长春·模拟预测）已知a，b满足ea=−ae−2，b(lnb−2)=e4，其中e是自然对数的底数，
则ab的值为（ ）
A．−e B．−e2 C．−e3 D．−e4
1
2．（24-25高三上·山西大同·开学考试）已知x ,x 是函数f(x)= ax2−2x+lnx的两个极值点，若不等
1 2 2
式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
m>f (x )+f (x )+x x m
1 2 1 2
A．(−3,+∞) B．[−2,+∞) C．(2,+∞) D．[e,+∞)
3．（23-24高三上·山东·阶段练习）已知函数 ，对任意 ，存在
f(x)=e2x,g(x)=x−1 x ∈R
1
，使 ，则 的最小值为（ ）．
x ∈(0,+∞) f (x )=g(x ) x −x
2 1 2 2 1
A．1 B．√2
3 1
C．2+ln2 D． + ln2
2 2
4．（2024·江苏南通·模拟预测）已知直线y=kx+t与函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象恰有两个
切点，设满足条件的k所有可能取值中最大的两个值分别为k 和k ，且k >k ，则（ ）
1 2 1 2
A．3 k 5 B．7 k 5 C．5 k 7 D．7 k 7
< 1< < 1< < 1< < 1<
5 k 7 5 k 3 3 k 3 5 k 3
2 2 2 2
5．（2024·山西晋中·模拟预测）已知函数f (x)=xlnx，g(x)=xex，若存在x ∈(0,+∞)，x ∈R，使得
1 2
成立，则x 的最大值为（ ）
f (x )=g(x )>0 2
1 2 x
1
1 2 1
A． B．1 C． D．
e e e2
1
6．（23-24高三上·广东江门·阶段练习）已知f (x)=alnx+ x2(a>0)若对于任意两个不等的正实数x 、
2 1
，都有 f (x )−f (x ) 恒成立，则 的取值范围是（ ）
x 1 2 >2 a
2 x −x
1 2
A．(0,1] B．[1,+∞) C．(0,3] D．[1,2e)(1 )
7．（23-24高三上·河北沧州·阶段练习）已知函数f(x)=ex−ax2的定义域为 ,2 ，且对
2
∀x ,x ∈ (1 ,2 ) ,x ≠x , f (x 1 )−f (x 2 ) 0
1 2 1 2 1 2
（ ）
1 3
A．x > B．x < C．x x >1 D．x +x <2
1 2 2 2 1 2 1 2
二、多选题
9．（2024·重庆万州·模拟预测）若函数f (x)=ln(ax)−1，g(x)=ex−b，满足对∀x∈(0,+∞)均有
f (x)g(x)≥0，则ab的取值不可能为（ ）
25
A．e B． C．e2 D．9
4
10．（2024·广东广州·一模）已知直线y=kx与曲线y=lnx相交于不同两点M(x ,y )，N(x ,y )，曲线
1 1 2 2
y=lnx在点M处的切线与在点N处的切线相交于点P(x ,y )，则（ ）
0 0
1
A．00)存在两个极值点x ,x ，则
1 2
的取值范围是 ．
f (x )+f (x )
1 2
14．（2024·全国·模拟预测）若对于∀m∈[−e,e]，∀y∈(−1,+∞)，使得不等式
4x3+ln(x+1)+(2023−m)x−10．
eax
(1)若f (x)在(0,2]上单调递增，求a的取值范围；
(2)当 时，若 且 ，比较 与 的大小，并说明理由
a=1 x +x =4 02x ex 1
1 2 2 1
17．（2024·河南商丘·模拟预测）已知函数f (x)的定义域为(0,+∞)，其导函数
2
f′(x)=2x+ −2a(a∈R),f (1)=1−2a．
x
(1)求曲线 在点 处的切线 的方程，并判断 是否经过一个定点；
y=f (x) (1,f (1)) l l
(2)若 ，满足 ，且 ，求 的取值范围．
∃x ,x 0
