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专题 5-1 平面向量中的高频小题归类
目录
专题5-1平面向量中的高频小题归类.............................................................................................1
..................................................................................1
题型一：平面向量的线性运算.........................................................................................................1
题型二：向量数量积问题（含最值，范围问题）........................................................................4
题型三：向量的夹角.........................................................................................................................7
题型四：向量模（含最值，范围问题）.........................................................................................8
题型五：平面向量的平行与垂直问题...........................................................................................10
题型六：三点共线的等价关系.......................................................................................................11
.............................................................14
一、单选题.......................................................................................................................................14
二、多选题.......................................................................................................................................16
三、填空题.......................................................................................................................................16
四、双空题.......................................................................................................................................16
题型一：平面向量的线性运算
【典例分析】
例题1．（2022·河南开封·一模（文））已知 中， 为 边上一点，且
，则 （ ）A． B． C． D．
例题2．（2022·河南新乡·一模（理））在△ 中， ， 分别为边 ， 的中
点，且 与 交于点 ，记 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·四川资阳·一模（理））如图， ， 为以 的直径的半圆的两个三等
分点， 为线段 的中点， 为 的中点，设 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
平面向量的线性运算主要工具是向量的加，减法：
向量加法法则：
①三角形法则(首尾相接，首尾连）： .
②平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线）：
向量减法法则：(共起点，连终点，指向被减向量）【变式演练】
1．（2022·河北容城中学模拟预测）在平行四边形 中， 分别是 的中
点， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））如图， 中， ， ，点E
是 的三等分点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2022·宁夏·石嘴山市第三中学模拟预测（理））在等边 中，O为重心，D是
的中点，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·模拟预测（理））在 中，D为AC的中点， ，则
（ ）
A． B． C． D．
题型二：向量数量积问题（含最值，范围问题）
【典例分析】
例题1．（2022·湖南·模拟预测）已知直线 与圆 ： 相交于不同两点 ，，点 为线段 的中点，若平面上一动点 满足 ，则 的取值范
围是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2022·全国·模拟预测）如图，在矩形 中， ， 为边
上的任意一点（包含端点）， 为 的中点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·江西·模拟预测（理））已知圆 的半径为2，点 满足 ， ，
分别是 上两个动点，且 ，则 的取值范围是（ ）
A．[6，24] B．[4，22] C．[6，22] D．[4，24]
例题4．（2022·上海松江·二模）已知正方形 的边长为4，点 、 分别在边
、 上，且 ， ，若点 在正方形 的边上，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
例题5．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））已知抛物线 ： ，点
为直线 上一动点，过点 作直线 ， 与抛物线 分别切于点 ， ，则
（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．0或1
【提分秘籍】
求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义（包括向量数量积几何意义）
（2）利用向量的坐标运算（自主建系，只要题目有可以建系的条件，可通过建系法求解）；
（3）利用向量三角不等式
（同号同向取等号；异号反向取等号）
例如： 中间的连接号都是“ ”，记忆口诀：同号则 ， 同向不等式
取到等号；
在不等式 中，中间的连接号“ ”和“ ”，记忆口诀：异号则 ，
反向不等式 取到等号；
【变式演练】
1．（2022·四川·射洪中学模拟预测（理））在 中， ， ， 为线段
的中点， ， 为线段 垂直平分线 上任一异于 的点，则
（ ）
A． B．4 C．7 D．
2．（2022·全国·模拟预测）如图，在平行四边形 中， ，点E是 的
中点，点F满足 ，且 ，则 （ ）
A．9 B． C． D．
3．（2022·北京·人大附中模拟预测）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的
传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形前纸窗花．图2中正六边形
的边长为4，圆 的圆心为该正六边形的中心，圆 的半径为2，圆 的直径
，点 在正六边形的边上运动，则 的最小值为（ ）A．5 B．6 C．7 D．8
4．（2022·全国·模拟预测）在 中，已知 ， ， ， ，
，点 在边 上，则 的最大值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
5．（2022·四川·成都七中一模（文））已知 ， ，且 ，则
的最小值是_____________．
6．（2022·上海崇明·一模）在边长为2的正六边形ABCDEF中，点P为其内部或边界上一
点，则 的取值范围为______.
7．（2022·安徽·全椒县第八中学模拟预测（理））骑自行车是一种环保又健康的运动，如
图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆 （前轮），圆 （后轮）的半径均为
， ， ， 均是边长为 的等边三角形.设点 为后轮上的一点，则在骑
行该自行车的过程中， 的最大值为______.题型三：向量的夹角
【典例分析】
例题1．（2022·广西北海·一模（文））已知向量 是单位向量，向量 ，且
，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·云南大理·模拟预测）已知向量 满足
，则向量 与 所成的夹角为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·浙江·模拟预测）已知平面向量 满足： ，若对满足
条件的任意向量 ， 恒成立，则 的最小值是______________．
【提分秘籍】
求向量夹角公式：
【变式演练】
1．（2022·全国·模拟预测（理））已知平面向量 与 互相垂直，模长之比为2：
1，若 ，则 与 的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·山东德州·模拟预测）已知 ， ， ，则 （ ）A． B． C． D．
3．（2022·湖南·模拟预测）已知向量 ， 满足 ， ，则 与 的夹角
的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·广西北海·一模（理））已知向量 是单位向量，向量 ，且
，则 与 的夹角为_____________．
题型四：向量模（含最值，范围问题）
【典例分析】
例题1．（2022·浙江绍兴·一模）已知向量 ， 满足 ， ，
，则 （ ）
A．2 B． C．1 D．
例题2．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知平面向量 ， ，
且非零向量 满足 ，则 的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．2
例题3．（2022·四川资阳·一模（理））已知平面向量 ， ， 满足
，且 ，则 的最大值为______．
例题4．（2022·浙江绍兴·一模）已知圆 ： ，线段 在直线 ：
上运动，点 为线段 上任意一点，若圆 上存在两点 ， ，使得
，则线段 长度的最大值是______.
例题5．（2022·江西南昌·模拟预测（文））已知 为正交基底，且， 分别为 的中点，若 ，则 的最
小值为_____.
【提分秘籍】
求两个向量的模方法：
（1） 可通过基底法表示向量求模，也可通过建系法用坐标表示向
量求模
（2）利用向量三角不等式
（同号同向取等号；异号反向取等号）
例如： 中间的连接号都是“ ”，记忆口诀：同号则 ， 同向不等式
取到等号；
在不等式 中，中间的连接号“ ”和“ ”，记忆口诀：异号则 ，
反
向不等式 取到等号；
【变式演练】
1．（2022·全国·大化瑶族自治县高级中学模拟预测（文））已知点A､B在单位圆上，
，若 ，则 的最小值是（ ）
A．2 B．3 C． D．4
2．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））已知A，B为圆 上
的两动点， ，点P是圆 上的一点，则 的最小值
是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．（2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测）平面向量 满足 ，则
与 夹角最大值时 为（ ）A． B． C． D．
4．（2022·海南华侨中学模拟预测）已知不共线的平面向量 两两所成的角相等，且
，则 （ ）
A． B．2 C．3 D．2或3
5．（2022·浙江·三门县观澜中学模拟预测）已知 为单位向量， 满足
，当 与 的夹角最大时， _________．
题型五：平面向量的平行与垂直问题
【典例分析】
例题1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）已知向量 ， ，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·江苏·扬州中学模拟预测）已知向量 ， ，若 ，则
（ ）
A． B．2 C．8 D．
例题3．（2022·四川省绵阳八一中学模拟预测（理））已知向量 ，
且 ， 则 ___________.
例题4．（2022·陕西渭南·一模（文））已知点 ， ，向量
，若 ，则实数 等于___________.
【提分秘籍】
两个向量平行、垂直的坐标表示
已知非零向量 ，（1） ．
（2）
【变式演练】
1．（2022·贵州贵阳·模拟预测（文））已知平面向量 ，若 与
垂直，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）若 ， ，
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·四川绵阳·一模（理））已知向量 ， ，且 ，则
______．
4．（2022·广东茂名·二模）已知向量 （t，2t）， ＝（﹣t，1），若（ ﹣ ）⊥（
+ ），则t＝_____．
题型六：三点共线的等价关系
【典例分析】
例题1．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（理））已知 是 内一点，
，若 与 的面积之比为 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·河南·南阳中学模拟预测（文）） 中，若 ，点
满足 ，直线 与直线 相交于点 ，则 的长（ ）A． B． C． D．
例题3．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）在 中， ， 分别是边 ，
上的点，且 ， ，点 是线段 上异于端点的一点，且满足
，则 _________．
例题4．（2022·湖南·雅礼中学一模）在 中， 在边
上，延长 到 ，使得 ，若 （ 为常数），则 的长
度是________．
【提分秘籍】
设平面上三点 , , 不共线,则平面上任意一点 与 , 共线的充要条件是存在实数
与 ,使得 ,且 .特别地,当 为线段 的中点时,
.
【变式演练】
1．（2022·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆 ， 为圆 上任
一点，若 ，则 的最大值为（ ）A． B．2 C． D．1
2．（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测（理））如图，在 中，M，N分别是线段
， 上的点，且 ， ，D，E是线段 上的两个动点，且
，则 的的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．2
3．（2022·山东滨州·二模）在 中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一
点，若 （ ， ），则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·河南·安阳一中模拟预测（文））在 中，点D在BC上，且满足
，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足 ，则 的最小
值为（ ）
A． B．C． D．
5．（2022·上海市实验学校模拟预测）已知点 为 的重心，过 作直线与 、
两边分别交于 、 两点，且 ， ，则 的值为________.
一、单选题
1．（2022·贵州·贵阳六中一模（理））在平行四边形 中， ， ，则
（ ）
A．1 B．-1 C．9 D．-9
2．（2022·上海普陀·一模）设 ，若向量 、 、 满足 ，且
，则满足条件的k的取值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2022·河南·民权县第一高级中学模拟预测（文））已知在平行四边形 中，
， ， ， ， ，则 （ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
4．（2022·全国·模拟预测）已知向量 ， 满足 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·云南·昆明一中模拟预测（理））设D为 所在平面内一点， ，
若 ，则 （ ）A． B． C． D．
6．（2022·全国·模拟预测）如图，在 中，点D是边AB上一点且 ，E是边
BC的中点，直线AE和直线CD交于点F，若BF是 的平分线，则 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．
7．（2022·全国·模拟预测）如图，在平行四边形 中，点 在线段 上，且
（ ），若 （ ， ）且 ，则 （ ）
A． B．3 C． D．4
8．（2022·江苏盐城·模拟预测）在 中，过重心E任作一直线分别交AB，AC于M，
N两点，设 ， ，（ ， ），则 的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．2
9．（2022·广西·南宁市第十九中学模拟预测（文）） 的外心 满足
， ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．210．（2022·河南·一模（理））在 中， ，点 在线段 上且与端点不重
合，若 ，则 的最大值为（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题
11．（2022·全国·模拟预测）已知过抛物线 ： 的焦点 的直线 ：
与抛物线 交于 两点，若 ，且 ，则 的取值可
以为（ ）
A． B． C．2 D．3
12．（2022·全国·模拟预测）已知平面向量 ， ，则下列说法正确的是
（ ）
A． B． 在 方向上的投影向量为
C．与 垂直的单位向量的坐标为 D．若向量 与向量 共线，则
三、填空题
13．（2022·上海宝山·一模）已知平面向量 、 满足 ， ，则 在 方向上
的数量投影的最小值是______.
14．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）在 中， ， ， 与
交于点 ，若 ，则 的值为__________.
四、双空题
15．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知平面四边形 ， ， ，
， ，则 ______；动点 ， 分别在线段 ， 上，且
， ，则 的取值范围为____.
16．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知平面向量 ，且，则 的最大值是_______； 最小值是________．
17．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学模拟预测）如图，在菱形 中， ，
，E，F分别为 ， 上的点， ， ，若线段 上存在
一点M，使得 ，则 __________，若点N为线段 上一个动点，则
的取值范围为__________.
18．（2022·天津·耀华中学一模）如图是由两个有一条公共边的边长为2的正六边形构成
的平面图形.设 ，则 ___________； 是线段 上的动点，则
的最小值是___________.
