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第一章 三角函数 1.1任意角和弧度制 1.1.1任意角 农垦中学 刘国海 一、 教学目标： 1、知识与技能 （1）推广角的概念、引入大于360角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义； （3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表 示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；（6）揭示知识背景，引发 学生学习兴趣.（7）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识. 2、过程与方法 通过创设情境：“转体720，逆（顺）时针旋转”，角有大于360角、零角和旋转方 向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平 面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角， 画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方 法，巩固练习. 3、情态与价值 通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分. 角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变 化的观点认识事物. 二、教学重、难点 重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法. 难点: 终边相同的角的表示. 三、学法与教学用具 之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中 实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过 角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表 示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等. 教学用具:电脑、投影机、三角板 四、教学设想 【创设情境】 思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25 小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？ [取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到 一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0 360之间，这正是我们这节课要研 究的主要内容——任意角. 【探究新知】 1．初中时，我们已学习了0 360角的概念，它是如何定义的呢？ [展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的 图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止 位置OB，就形成角.旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O 叫做叫的顶点. 12.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转 体720” （即转体2周），“转体1080”（即转体3周）等,都是遇到大于360的角以及按 不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360的角或按 不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢? [展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了 我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫 正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射 线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle). [展示课件]如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于750；图1.1.3(2)中，正角 210，负角150,660；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any angle）,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“ ”可简记为. 3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念. 角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外） 在第几象限，我们就说这个角是第几象限角(quadrant angle).如教材图1.1-4中的30角、 210角分别是第一象限角和第三象限角.要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这 个角不属于任何一个象限,称为非象限角. 4.[展示投影]练习: (1)(口答)锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这 两个问题. (2)(回答)今天是星期三那么7k(kZ)天后的那一天是星期几? 7k(kZ)天前的那 一天是星期几?100天后的那一天是星期几? 5.探究:将角按上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有唯一的一条终边与之对 应.反之,对于直角坐标系中任意一条射线OB(如图1.1-5),以它为终边的角是否唯一?如果 不惟一,那么终边相同的角有什么关系?请结合4.(2)口答加以分析. [展示课件]不难发现,在教材图1.1-5中,如果32的终边是OB,那么328,392 角的终边都是OB,而328 321360,392 32(1)360. 设S {|32k360,kZ},则328,392角都是S 的元素,32角也是S 的元素.因此,所有与32角终边相同的角,连同32角在内,都是集合S 的元素；反过来， 集合S 的任一元素显然与32角终边相同. 一般地,我们有:所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合 S {|k360,kZ},即任一与角终边相同的角,都可以表示成角与整数 2个周角的和. 6.[展示投影]例题讲评 例1. 例1在0 360范围内，找出与－95012'角终边相同的角，并判定它是第几象 限角.（注：0－360是指0 360） 例2.写出终边在y轴上的角的集合. 例3.写出终边直线在y  x上的角的集合S ,并把S 中适合不等式360  720的元素写出来. 7.[展示投影]练习 教材P 第3、4、5题. 6 注意: （1）kZ ；（2）是任意角（正角、负角、零角）；（3）终边相同的角不一 定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍. 8.学习小结 (1) 你知道角是如何推广的吗? (2) 象限角是如何定义的呢? (3) 你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗?会写终边落在x轴、y轴、直 线y  x上的角的集合. 五、评价设计 1．作业：习题1.1 A组第1,2,3题． 2．多举出一些日常生活中的“大于360的角和负角”的例子，熟练掌握他们的表示， 进一步理解具有相同终边的角的特点． 1．1任意角和弧度制 1.1.2弧度制 农垦中学 刘国海 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）理解并掌握弧度制的定义；（2）领会弧度制定义的合理性；（3）掌握并运用弧度 制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（5）角的集 合与实数集R之间建立的一一对应关系.(6) 使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度 制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系. 2、过程与方法 创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合 理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与 弧度制的互化,能正确使用计算器. 3、情态与价值 通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度制，理解并认识到角度 3制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.角的概念 推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一 的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧 度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节学习三角函数做好准备. 二、教学重、难点 重点: 理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用. 难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用. 三、学法与教学用具 在我们所掌握的知识中，知道角的度量是用角度制，但是为了以后的学习，我们引入了 弧度制的概念，我们一定要准确理解弧度制的定义，在理解定义的基础上熟练掌握角度制与 弧度制的互化. 教学用具:计算器、投影机、三角板 四、教学设想 【创设情境】 有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问 那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里） 显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不 同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1 英里=1.6公里. 在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就 是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制. 【探究新知】 1．角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角 等于180度，直角等于90度等等. 弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧 度？弧度制与角度制之间如何换算？请看课本P P ，自行解决上述问题. 6 7 2.弧度制的定义 [展示投影]长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度， 或1(单位可以省略不写). 3.探究:如图,半径为r的圆的圆心与原点重合,角的终边与x轴的正半轴重合,交圆 于点A,终边与圆交于点B.请完成表格. 弧AB的长 OB旋转的方向 AOB的弧度数 AOB的度数 y r 逆时针方向 B 2r 逆时针方向  A r 1 O x 2r 2  0 180 180 我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等， 一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负 主要由角的旋转方向来决定. 44.思考:如果一个半径为r的圆的圆心角所对的弧长是l,那么a的弧度数是多少? l 角的弧度数的绝对值是： ，其中，l是圆心角所对的弧长，r是半径. r 5.根据探究中180 rad 填空: 1  ___rad ,1rad  ___度 显然,我们可以由此角度与弧度的换算了. 6.例题讲解 例1.按照下列要求,把6730'化成弧度: (1)精确值； (2)精确到0.001的近似值. 例2.将3.14rad 换算成角度(用度数表示,精确到0.001). 注意:角度制与弧度制的换算主要抓住180 rad ,另外注意计算器计算非特殊角的 方法. 7. 填写特殊角的度数与弧度数的对应表: 度 0 30 45 120 120 120 120   3 弧度  3 2 2 角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系:即每 一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一 的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应. 8.例题讲评 例3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式: 1 1 (1)l R; (2)S  R2; (3)S  lR. 2 2 其中R是半径,l是弧长,(02)为圆心角,S 是扇形的面积. 例4.利用计算器比较sin1.5和sin85的大小. 注意:弧度制定义的理解与应用,以及角度与弧度的区别. 9.练习 教材P . 10 9.学习小结 (1)你知道角弧度制是怎样规定的吗? (2)弧度制与角度制有何不同,你能熟练做到它们相互间的转化吗? 五、评价设计 1．作业：习题1.1 A组第7,8,9题． 2．要熟练掌握弧度制与角度制间的换算,以及异同．能够使用计算器求某角的各三角函 数值． 51.2 任意角的三角函数 1.2.1任意角的三角函数(一) 农垦中学 刘国海 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在 各象限的符号）；（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（3）了解如何利用与单位 圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线 表示出来；（4）掌握并能初步运用公式一；（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实 数为自变量的函数. 2、过程与方法 初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个 定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意 角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函 数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方 法，巩固练习. 3、情态与价值 任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于 用角的终边上点的坐标的“比值”来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意 角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确 把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟 悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突，而且“比值”需要通过运算才能 得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解. 本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地表明了 正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系. 二、教学重、难点 重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各 象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）. 难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各 象限的符号）；三角函数线的正确理解. 三、学法与教学用具 任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正 弦函数、余弦函数.表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了 这两个函数之间的关系. 另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密， 这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了. 教学用具:投影机、三角板、圆规、计算器 四、教学设想 第一课时 任意角的三角函数（一） 【创设情境】 y 提问：锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？ P（a，b） 借助右图直角三角形，复习回顾. r 引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。  数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗? O M 6如图,设锐角的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,那 么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点 y P(a,b),它与原点的距离r  a2 b2 0.过P作x a的终边 轴的垂线,垂足为M ,则线段OM 的长度为a,线段 P(x,y MP b ) MP的长度为b.则sin  ; OP r O OM a MP b x cos  ; tan  . OP r OM a 思考：对于确定的角，这三个比值是否会随点 P在的终边上的位置的改变而改变呢？ 显然，我们可以将点取在使线段OP的长r 1 的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数： MP OM MP b sin b; cos a; tan  . OP OP OM a 思考：上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以 后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究 这个问题――任意角的三角函数. 【探究新知】 1.探究:结合上述锐角的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢? 显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似 锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称 以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆. 2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义? 如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么: (1)y叫做的正弦(sine),记做sin,即sin y； （2）x叫做的余弦(cossine),记做cos,即cos x； y y （3） 叫做的正切(tangent),记做tan,即tan (x0). x x 注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当α不是 锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点 P(x,y)，从而就必然能够最终算出三角函数值. 3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角 函数值呢? 前面我们已经知道,三角函数的值与点P在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我 y x 们只需计算点到原点的距离r  x2  y2 ,那么sin ,cos , x2  y2 x2  y2 y tan .所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函 x 数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自 7变量的函数. 4.例题讲评 5 例1.求 的正弦、余弦和正切值. 3 例2．已知角的终边过点P(3,4)，求角的正弦、余弦和正切值. 0 教材给出这两个例题，主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法: 如例2:设x3,y 4,则r  (3)2 (4)2 5. y 4 x 3 y 4 于是 sin  ,cos  ,tan  . r 5 r 5 x 3 5.巩固练习P 第1,2,3题 17 6.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再 将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中： 定义域 三角函数 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 角度制 弧度制 sin cos tan 7．例题讲评 sin0 例3．求证：当且仅当不等式组{ 成立时，角为第三象限角. tan0 8.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 显然: 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一: sin(2k)sin cos(2k)cos (其中kZ ) tan(2k) tan 9.例题讲评 例4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证:  (1)cos250; (2)sin( ); (3)tan(672); (4)tan3 4 例5.求下列三角函数值: 9 11 (1)sin148010'; (2)cos ; (3)tan( ) 4 6 利用公式一,可以把求任意角的三角函数值, 转化为求0到2(或0到360)角的三角 8函数值. 另外可以直接利用计算器求三角函数值,但要注意角度制的问题. 10.巩固练习P 第4,5,6,7题 17 11.学习小结 (1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同? (2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗? (3)请写出各三角函数的定义域； (4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗? 五、评价设计 1．作业：习题1.2 A组第1,2题． 2．比较角概念推广以后,三角函数定义的变化.思考公式一的本质是什么?要做到熟练应 用.另外,关于三角函数值在各象限的符号要熟练掌握,知道推导方法. 第二课时 任意角的三角函数（二） 【复习回顾】 1、三角函数的定义； 2、三角函数在各象限角的符号； 3、三角函数在轴上角的值； 4、诱导公式（一）：终边相同的角的同一三角函数的值相等； 5、三角函数的定义域. 要求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，凡是碰到轴上 角时，要结合定义进行分析；并要求在理解的基础上记忆. 【探究新知】 1．引入：角是一个图形概念，也是一个数量概念（弧度数）.作为角的函数——三角 函数是一个数量概念（比值），但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式 来表示三角函数呢？ 2．[边描述边画]以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单 位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）. y 当角为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一 a角 的 终 个交点 P(x,y)，过点 P作 PM  x轴交 x轴于点 边 P T M ，则请你观察: 根据三角函数的定义：|MP|| y||sin|； O M A x |OM ||x||cos| 随着在第一象限内转动，MP、OM 是否也 跟着变化？ 3．思考：（1）为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段MP、OM 规定一个 适当的方向，使它们的取值与点P的坐标一致？ （2）你能借助单位圆，找到一条如MP、OM 一样的线段来表示角的正切值吗？ 我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角的终边不在坐标轴时, 以O为始点、M 为终点，规定： 9当线段OM 与x轴同向时，OM 的方向为正向，且有正值x；当线段OM 与x轴反向 时，OM 的方向为负向，且有正值x；其中x为P点的横坐标.这样,无论那种情况都有 OM  xcos 同理,当角的终边不在x轴上时,以M 为始点、P为终点，规定： 当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正向，且有正值y；当线段MP与y轴反向 时，MP的方向为负向，且有正值y；其中y为P点的横坐标.这样,无论那种情况都有 MP  y sin 4.像MP、OM 这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段（direct line segment）. 5.如何用有向线段来表示角的正切呢? 如上图,过点A(1,0)作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与的终边交于点 T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA、AT ,我们有 y tan AT  x 我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT ,分别叫做角的正弦线、余 弦线、正切线，统称为三角函数线. 6.探究：（1）当角的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、 余弦线和正切线吗？ （2）当的终边与x轴或y轴重合时，又是怎样的情形呢？ 7.例题讲解   例1．已知  ，试比较,tan,sin,cos的大小. 4 2 处理:师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质. 8.练习P 第1,2,3,4题 19 109学习小结 (1)了解有向线段的概念. (2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分 别用正弦线、余弦线、正切线表示出来. (3)体会三角函数线的简单应用. 【评价设计】 1．作业： 比较下列各三角函数值的大小(不能使用计算器)   (1)sin15、tan15 （2）cos15018'、cos121 （3） 、tan 5 5 2．练习三角函数线的作图. 1.2任意角的三角函数 1.2.2同角三角函数的基本关系 农垦中学 刘国海 一、教学目标： 1、知识与技能 (1) 使学生掌握同角三角函数的基本关系；(2)已知某角的一个三角函数值，求它的其 余各三角函数值；(3)利用同角三角函数关系式化简三角函数式；(4)利用同角三角函数关系 式证明三角恒等式；（5）牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高 学生分析，解决三角问题的能力；（6）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三 角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；（7）掌握恒等式证明的一般方法. 2、过程与方法 由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之间的关系；学习 已知一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；利用同角三角函数关系式化简三角函数式； 利用同角三角函数关系式证明三角恒等式等.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所 学知识. 3、情态与价值 通过本节的学习，牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学 生分析，解决三角问题的能力；进一步树立化归思想方法和证明三角恒等式的一般方法. 二、教学重、难点 sin 重点：公式sin2cos21及  tan的推导及运用：（1）已知某任意角的 cos 正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；（2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角 恒等式. 难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式. 三、学法与教学用具 利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式: sin2cos21及 sin  tan,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等. cos 教学用具:圆规、三角板、投影 四、教学设想 【创设情境】 与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三 y 角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现 不同函数值之间的互相转化． P 【探究新知】 1 11 M O A(1, x 0)1. 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一 下同一个角不同三角函数之间的关系吗? 如图:以正弦线MP,余弦线OM 和半径OP三者的长构成直角三角形,而且OP1.由 勾股定理由MP2 OM2 1,因此x2  y2 1,即sin2cos21.  sin 根据三角函数的定义,当a k (kZ)时,有 tan. 2 cos 这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方等于1，商等于角的正切. 2. 例题讲评 3 例6.已知sin ,求cos,tan的值. 5 sin,cos,tan三者知一求二,熟练掌握. 3. 巩固练习P 页第1,2,3题 23 4.例题讲评 cosx 1sinx 例7.求证:  . 1sinx cosx 通过本例题,总结证明一个三角恒等式的方法步骤. 5.巩固练习P 页第4,5题 23 6.学习小结 sin （1）同角三角函数的关系式的前提是“同角”，因此sin2cos21，tan ． cos （2）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所 在象限进行分类讨论． 五、评价设计 (1)作业：习题1.2A组第10,13题. (2)熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,得到其他几个常用的关 系式;注意三角恒等式的证明方法与步骤. 第二章 平面向量 本章内容介绍 向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概 念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行 （平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算， 从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系. 向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景.在本章中， 学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、 平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量 语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题. 本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍 了向量的一些基本概念. （让学生对整章有个初步的、全面的了解.） 12第1课时 §2.1 平面向量的实际背景及基本概念 教学目标： 1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、 单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共 线向量. 2. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量. 教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 学 法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物 理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念. 教 具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学思路： 一、情景设置： 如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否 追到老鼠？（画图） C 结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了. A D B 分析：老鼠逃窜的路线 AC、猫追逐的路线 BD实际上都是有方 向、有长短的量. 引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？ 二、新课学习： （一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量 （二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片） 1、数量与向量有何区别？ 2、如何表示向量？ 3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？ 4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？ 5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？ 6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？ 7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？这时各向 量的终点之间有什么关系？ （三）探究学习 131、数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法： a B ①用有向线段表示； （终点） ②用字母ａ、ｂ A(起点) （黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB； ④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|. 3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别： （1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量 就是相同的向量； （2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是 不同的有向线段. 4、零向量、单位向量概念： ①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别. ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行. 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 6、相等向量定义： 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有 向线段的起点无关. 7、共线向量与平行向量关系： 平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的 起点无关）. 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向 量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. （四）理解和巩固： 14例1 书本86页例1. 例2判断： （1）平行向量是否一定方向相同？（不一定） （2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定） （3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量） （4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量） （5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量） （6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同） （7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定） 例3下列命题正确的是（ ） A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形 的四顶点 C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行 解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量， 所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行 四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相 同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑， 假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共 线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C. 例4 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量OA、OB、OC 相等的向量. 变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个） 变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在） 变式三：与向量共线的向量有哪些？（CB, DO, FE） 课堂练习： 1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. ①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上； ②单位向量都相等； ③任一向量与它的相反向量不相等； ④四边形ABCD是平行四边形当且仅当 AB ＝DC ⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0； 15⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同. 解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量 AB、AC在同一直线上. ②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定. ③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不 同. 正确.如图 AC与BC共线，虽起点不同，但其终点却相 2．书本88页练习 三、小结 ： 1、描述向量的两个指标：模和方向. 2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比. 3、向量的图示，要标上箭头和始点、终点. 四、课后作业： 书本88页习题2.1第3、5题 （吴春霞） 第2课时 §2.2.1 向量的加法运算及其几何意义 教学目标： 1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义； 2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解 决问题的能力； 3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结 合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法； 教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点：理解向量加法的定义. 学 法： 数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移 的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加 法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边 形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律. 16教 具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学思路： 一、设置情景： 1、 复习：向量的定义以及有关概念 强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研 究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提 下，移到任何位置 2、情景设置： A B C （1）某人从A到B，再从B按原方向到C， 则两次的位移和：ABBC  AC （2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C， C A B 则两次的位移和：ABBC  AC C （3）某车从A到B，再从B改变方向到C， 则两次的位移和：ABBC  AC A B C （4）船速为AB，水速为BC，则两速度和：ABBC  AC 二、探索研究： １、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. A B ２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”） 如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝ｂ，则向量AC叫做a 与ｂ的和，记作a＋ｂ，即 a＋ｂ ABBC  AC，规定： a + 0-= 0 + a a a a C b b ａ a+b a+b ｂ A ＋ ｂ a ｂ B 探究：（1）两相向量的和仍是一个向量； 17 aa（2）当向量a与b不共线时，a+b的方向不同向，且|a+b|<|a|+|b|； （3）当a与b同向时，则a+b、a、b同 O a A b b 向，且|a+b|=|a|+|b|，当a与b反向时，若|a|>| b a a 则ba|，+b的方向与a相且同|a，+b|=|a|-若|b|a|；|<|b则|，a+b B 的方向与b相同，且|a+b|=|b|-|a|. （4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广 到n个向量连加 ３．例一、已知向量a、b，求作向量a+b 作法：在平面内取一点，作OA a AB b，则OB  ab. ４．加法的交换律和平行四边形法则 问题：上题中b+a的结果与a+b是否相同？ 验证结果相同 从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应） ２）向量加法的交换律：a+b=b+a ５．向量加法的结合律：(a+b) +c=a+ (b+c) 证：如图：使AB  a， BC b， CD c 则(a+b) +c=AC CD  AD，a+ (b+c) =ABBD  AD ∴(a+b) +c=a+ (b+c) 从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. 三、应用举例： 例二（P94—95）略 练习：P95 四、小结 1、向量加法的几何意义； ２、交换律和结合律； ３、注意：|a+b| ≤ |a| + |b|，当且仅当方向相同时取等号. 18五、课后作业： P103第２、３题 六、板书设计（略） 七、备用习题 1、一艘船从A点出发以2 3km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的 速度的大小为4km/h，求水流的速度. 2、一艘船距对岸4 3km，以2 3km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时， 船的实际航程为8km，求河水的流速. 3、一艘船从A点出发以v 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为v ，船 1 2 的实际航行的速度的大小为4km/h，方向与水流间的夹角是60，求v 和v . 1 2 4、一艘船以5km/h的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h，则船的实际航行速度大小 最大是 km/h，最小是 km/h ５、已知两个力F ，F 的夹角是直角，且已知它们的合力F与F 的夹角是60，|F|=10N 1 2 1 求F 和F 的大小. 1 2 ６、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 （吴春霞） 第3课时 §2.2.2 向量的减法运算及其几何意义 教学目标： 1. 了解相反向量的概念； 2. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义； 3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转 化的辩证思想. 教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法. 教学难点：减法运算时方向的确定. 学 法：减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运 算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量. 教 具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学思路： 19一、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则 向量加法的运算定律： D C 例：在四边形中，CBBABA . 解：CBBABACBBA AD CD A B 二、提出课题：向量的减法 1．用“相反向量”定义向量的减法 （1） “相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量.记作 a （2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.(a) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (a) = 0 如果a、b互为相反向量，则a = b， b = a， a + b = 0 （3） 向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差. 即：a  b = a + (b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2．用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a  b 3．求作差向量：已知向量a、b，求作向量 ∵(ab) + b = a + (b) + b = a + 0 = a a O a 作法：在平面内取一点O， b b ab 作OA= a， AB= b B 则BA= a  b 即a  b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量. 注意：1AB表示a  b.强调：差向量“箭头”指向被减数 2用“相反向量”定义法作差向量，a  b = a + (b) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一. B’ B a b a+ (b) b O a A b b B 4．探究： １）如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是b  a. 20a ab ab O B A B’ O B A b a ab ab b O A b B B O A ２）若a∥b， 如何作出a  b ？ 三、例题： 例一、（P９７ 例三）已知向量a、b、c、d，求作向量ab、cd. 解：在平面上取一点O，作OA= a， OB= b， OC= c， OD= d， 作BA， DC ， 则BA= ab， DC = cd A B D d b a c C O D C 例二、平行四边形ABCD中，AB a，AD b， 用a、b表示向量AC、DB. A B 解：由平行四边形法则得： AC= a + b， DB= AB AD = ab 变式一：当a， b满足什么条件时，a+b与ab垂直？（|a| = |b|） 变式二：当a， b满足什么条件时，|a+b| = |ab|？（a， b互相垂直） 变式三：a+b与ab可能是相当向量吗？（不可能，∵ 对角线方向不同） 练习：Ｐ98 四、小结：向量减法的定义、作图法| 五、作业：P103第4、５题 六、板书设计（略） 七、备用习题： 1.在△ABC中， BC=a， CA=b，则AB等于( ) 21A.a+b B.-a+(-b) C.a-b D.b-a 2.O为平行四边形ABCD平面上的点，设OA=a， OB=b， OC=c， OD =d，则 A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0 C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0 ３.如图，在四边形ABCD中，根据图示填空： a+b= ，b+c= ，c-d= ，a+b+c-d= . ４、如图所示，O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定a、b、c、d 的方向（用箭头表示），使a+b=AB，c-d=DC ，并画出b-c和a+d. 第３题 （吴春霞） 2.3平面向量的基本定理及坐标表示 第4课时 §2.3.1 平面向量基本定理 教学目的： （1）了解平面向量基本定理； （2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解 决实际问题的重要思想方法； （3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 教学重点：平面向量基本定理. 教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 授课类型：新授课 22教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、 复习引入：   1．实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa        （1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa= 0 2．运算定律          结合律：λ(μa)=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a=λa+μa， λ(a+b )=λa+λb    3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =  λa. 二、讲解新课： 平面向量基本定理：如果e ，e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面 1 2   内的任一向量a，有且只有一对实数λ ，λ 使a=λ e +λ e . 1 2 1 1 2 2 探究： (1) 我们把不共线向量ｅ 、ｅ 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； １ ２ (2) 基底不惟一，关键是不共线； (3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ 、ｅ 的条件下进行分解； １ ２  (4) 基底给定时，分解形式惟一. λ ，λ 是被a，e ，e 唯一确定的数量 1 2 1 2 三、讲解范例： 例1 已知向量e ，e 求作向量2.5e +3e . 1 2 1 2  例2 如图 ABCD的两条对角线交于点M，且AB=a，AD    =b ，用a，b 表示MA，MB，MC 和MD 例3已知 ABCD的两条对角线AC与BD交于OE是，任意一点， 求：证OA+OB+OC+OD=4OE 例 4（1）如图，OA，OB不共线， AP=tAB (tR)用 23OA，OB表示OP.      （2）设OA、OB不共线，点P在O、A、B所在的平面内，且OP(1t)OAtOB(tR). 求证：A、B、P三点共线. 例5 已知 a=2e -3e ，b= 2e +3e ，其中e ，e 不共线，向量c=2e -9e ，问是否存在这样的 1 2 1 2 1 2 1 2    实数、,使d ab与c共线. 四、课堂练习： 1.设e 、e 是同一平面内的两个向量，则有( ) 1 2 A.e 、e 一定平行 1 2 B.e 、e 的模相等 1 2 C.同一平面内的任一向量a都有a =λe +μe (λ、μ∈R) 1 2 D.若e 、e 不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =λe +ue (λ、u∈R) 1 2 1 2 2.已知矢量a = e -2e ，b =2e +e ，其中e 、e 不共线，则a+b与c =6e -2e 的关系 1 2 1 2 1 2 1 2 A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定 3.已知向量e 、e 不共线，实数x、y满足(3x-4y)e +(2x-3y)e =6e +3e ，则x-y的值等于( ) 1 2 1 2 1 2 A.3 B.-3 C.0 D.2 4.已知a、b不共线，且c =λa+λb(λ，λ∈R)，若c与b共线，则λ= . 1 2 1 2 1 5.已知λ＞0，λ＞0，e 、e 是一组基底，且 a =λe +λe ，则 a与 e _____，a与 1 2 1 2 1 1 2 2 1 e _________(填共线或不共线). 2 五、小结（略） 六、课后作业（略）： 七、板书设计（略） 八、课后记： 第5课时 §2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算 教学目的： （1）理解平面向量的坐标的概念； （2）掌握平面向量的坐标运算； （3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线. 教学重点：平面向量的坐标运算 教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 授课类型：新授课 24教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．平面向量基本定理：如果e ，e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内 1 2   的任一向量a，有且只有一对实数λ ，λ 使a=λ e +λ e 1 2 1 1 2 2 (1)我们把不共线向量ｅ 、ｅ 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； １ ２ (2)基底不惟一，关键是不共线； (3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ 、ｅ 的条件下进行分解； １ ２  (4)基底给定时，分解形式惟一. λ ，λ 是被a，e ，e 唯一确定的数量 1 2 1 2 二、讲解新课： 1．平面向量的坐标表示 如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、 y轴方向相同的两个单位向量i、 j作为 基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得 a  xi yj…………○1 我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作 a (x,y)…………○2 其中x叫做a在x轴上的坐标， y叫做a在 y轴上的坐标，○2式叫做 向量的坐标表示.与a相等的向量的坐标也为(x,y). 特别地，i (1,0)， j (0,1)，0(0,0). 如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OA a，则点A的位置 由a唯一确定. 设OA xi yj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也 就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯 一表示. 2．平面向量的坐标运算 25（ 1） 若 a (x ,y )， b (x ,y )， 则 ab (x  x ,y  y )， ab 1 1 2 2 1 2 1 2 (x x ,y  y ) 1 2 1 2 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 设基底为i、 j，则ab (x i y j)(x i y j) (x  x )i(y  y )j 1 1 2 2 1 2 1 2 即ab (x  x ,y  y )，同理可得ab (x x ,y  y ) 1 2 1 2 1 2 1 2   （2） 若A(x ,y )，B(x ,y )，则AB  x x ,y  y 1 1 2 2 2 1 2 1 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标. AB=OBOA=( x y )  (x ，y )= (x  x ， y  y ) 2， 2 1 1 2 1 2 1 （3）若a (x,y)和实数，则a  (x,y). 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设 基 底 为 i、 j， 则 a (xi yj) xiyj， 即 a  (x,y) 三、讲解范例：  例1 已知A(x ，y )，B(x ，y )，求AB的坐标. 1 1 2 2         例2 已知a=(2，1)， b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐标. 例3 已知平面上三点的坐标分别为A(2， 1)， B(1， 3)， C(3， 4)，求点D的坐标使 这四点构成平行四边形四个顶点. 解：当平行四边形为ABCD时，由AB  DC得D =(2， 2) 1 当平行四边形为ACDB时，得D =(4， 6)，当平行四边形为DACB时，得D =(6， 0) 2 3 例4已知三个力F (3， 4)， F (2， 5)， F (x， y)的合力F +F +F =0，求F 的 1 2 3 1 2 3 3 坐标. 解：由题设F +F +F =0 得：(3， 4)+ (2， 5)+(x， y)=(0， 0) 1 2 3 2632 x 0 x  5 即： ∴ ∴F (5，1) 45 y 0  y 1 3 四、课堂练习： 1 1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 MP  MN ， 求P点的坐标 2 2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则AB2BC= . 3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ， 求证：四边形ABCD 是梯形. 五、小结（略） 六、课后作业（略） 七、板书设计（略） 八、课后记： （王海） 第6课时 §2.3.4 平面向量共线的坐标表示 教学目的： （1）理解平面向量的坐标的概念； （2）掌握平面向量的坐标运算； （3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线. 教学重点：平面向量的坐标运算 教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性 授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．平面向量的坐标表示 分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、 j作为基底.任作一个向量a，由平面 向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a  xi yj 27把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作a (x,y) 其中x叫做a在x轴上的坐标， y叫做a在y轴上的坐标， 特别地，i (1,0)， j (0,1) ，0(0,0). 2．平面向量的坐标运算 若a (x ,y )，b (x ,y )， 1 1 2 2 则ab (x  x ,y  y )，ab (x x ,y  y )，a  (x,y). 1 2 1 2 1 2 1 2   若A(x ,y )，B(x ,y )，则AB  x x ,y  y 1 1 2 2 2 1 2 1 二、讲解新课：    a∥b (b 0)的充要条件是x y -x y =0 1 2 2 1     设a=(x ， y ) ，b =(x ， y ) 其中b a. 1 1 2 2   x x 由a=λb 得， (x ， y ) =λ(x ， y )   1 2 消去λ，x y -x y =0 1 1 2 2 1 2 2 1 y y  1 2  探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y ， y 有可能为0， ∵b 0 ∴x ， y 中至少有 1 2 2 2 一个不为0 y y （2）充要条件不能写成 1  2 ∵x ， x 有可能为0 1 2 x x 1 2    a b (3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a∥b (b 0) x y x y 0 1 2 2 1 三、讲解范例：     例1已知a=(4，2)，b =(6， y)，且a∥b ，求y. 例2已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(2，5)，试判断A，B，C三点之间的位置关系. 例3设点P是线段P P 上的一点， P 、P 的坐标分别是(x ，y )，(x ，y ). 1 2 1 2 1 1 2 2 (1) 当点P是线段P P 的中点时，求点P的坐标； 1 2 (2) 当点P是线段P P 的一个三等分点时，求点P的坐标. 1 2 28  例4若向量a=(-1，x)与b =(-x， 2)共线且方向相同，求x   解：∵a=(-1，x)与b =(-x， 2) 共线 ∴(-1)×2- x•(-x)=0   ∴x=± 2 ∵a与b 方向相同 ∴x= 2 例5 已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量AB与CD平行吗？直线AB 与平行于直线CD吗？ 解：∵AB=(1-(-1)， 3-(-1))=(2， 4) ， CD=(2-1，7-5)=(1，2) 又 ∵2×2-4×1=0 ∴AB∥CD 又 ∵ AC=(1-(-1)， 5-(-1))=(2，6) ，AB=(2， 4)，2×4-2×60 ∴AC与AB 不平行 ∴A，B，C不共线 ∴AB与CD不重合 ∴AB∥CD 四、课堂练习： 1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（ ） A.6 B.5 C.7 D.8 2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（ ） A.-3 B.-1 C.1 D.3 3.若AB=i+2j， DC =(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量) . AB与DC 共线，则x、y的值可能分别为（ ） A.1，2 B.2，2 C.3，2 D.2，4 4.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，则y= . 5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b与2a-b平行，则x的值为 . 6.已 知 □ ABCD四 个 顶 点 的 坐 标 为 A(5， 7)， B(3， x)， C(2， 3)， D(4， x)， 则 x= . 五、小结 （略） 六、课后作业（略） 七、板书设计（略） 八、课后记： （王海） 29§2.4平面向量的数量积 第7课时 一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义 教学目的： 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义； 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； 3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题； 4.掌握向量垂直的条件. 教学重点：平面向量的数量积定义 教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推 导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点： 平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运 算律. 教学过程： 一、复习引入：   1． 向量共线定理 向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使   b =λa. 2．平面向量基本定理：如果e ，e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内 1 2   的任一向量a，有且只有一对实数λ ，λ 使a=λ e +λ e 1 2 1 1 2 2 3．平面向量的坐标表示 分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、 j作为基底.任作一个向量a，由平面向 量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a  xi yj 把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作a (x,y) 304．平面向量的坐标运算 若a (x ,y )，b (x ,y )，则ab (x  x ,y  y )，ab (x x ,y  y )， 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 a  (x,y).   若A(x ,y )，B(x ,y )，则AB  x x ,y  y 1 1 2 2 2 1 2 1    5．a∥b (b 0)的充要条件是x y -x y =0 1 2 2 1 6．线段的定比分点及λ P ， P 是直线l上的两点，P是l上不同于P ， P 的任一点，存在实数λ， 1 2 1 2 使 PP=λ PP ， λ 叫 做 点 P分 PP 所 成 的 比 ， 有 三 种 情 况 ： 1 2 1 2 λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0) 7. 定比分点坐标公式： 若点 P (x ，y ) ，Ｐ (x ，y )，λ为实数，且PP＝λPP ，则点 P的坐标为（ １ 1 1 ２ 2 2 1 2 x x y y 1 2 , 1 2 ），我们称λ为点P分PP 所成的比. 1 1 1 2 8. 点P的位置与λ的范围的关系： ①当λ＞０时，PP与PP 同向共线，这时称点P为PP 的内分点. 1 2 1 2 ②当λ＜０( 1)时，PP与PP 反向共线，这时称点P为PP 的外分点. 1 2 1 2 9.线段定比分点坐标公式的向量形式： 在平面内任取一点O，设OP ＝ａ，OP ＝ｂ， 1 2 ab 1  可得OP=  a b. 1 1 1 10．力做的功：W = |F||s|cos，是F与s的夹角. 二、讲解新课： 1．两个非零向量夹角的概念 已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ 的夹角. 31说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向； （2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；  （3）当θ＝ 时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； 2 （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0≤≤180 C 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos， （０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 （1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定. （2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两 个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略， 也不能用“×”代替. （3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0. 因为其中cos有可能为0. （4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc  a=c.但是ab = bc a = c 如右图：ab = |a||b|cos = |b||OA|，bc = |b||c|cos = |b||OA|  ab = bc 但a  c (5)在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c  a(bc) 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共 线. 3．“投影”的概念：作图 定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影. 32投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为 直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b|；当 = 180时投影为 |b|. 4．向量的数量积的几何意义： 数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积. 5．两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量. 1 ea = ae =|a|cos 2 ab  ab = 0 3 当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|. 特别的aa = |a|2或|a| aa ab 4 cos = |a||b| 5 |ab| ≤ |a||b| 三、讲解范例： 例1 已知|a|=5， |b|=4， a与b的夹角θ=120o，求a·b. 例2 已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60o求(a+2b)·(a-3b). 例3 已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直. 例4 判断正误，并简要说明理由. ①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－AB＝BA；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0， 则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ， с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２. 解：上述8个命题中只有③⑧正确； 对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０；对于②：应有０·ａ＝0； 对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cosθ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜， 这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜； 对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０； 对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零； 对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс. 则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с）， ∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ 若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ. 评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律. 例6 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时， 分别求ａ·ｂ. 33解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°， ∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18； 若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°， ∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°， ∴ａ·ｂ＝０； ③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有 1 ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6× ＝9 2 评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ 时，有0°或180°两种可能. 四、课堂练习： 1.已知|a|=1，|b|= 2 ，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（ ） A.60° B.30° C.135° D.４５°  2.已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为 ，那么向量m=a-4b的模为（ ） 3 A.2 B.2 3 C.6 D.12 3.已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是(a+b)与(a-b)垂直的（ ） A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件  4.已知向量a、b的夹角为 ，|a|=2，|b|=1，则|a+b|·|a-b|= . 3 5.已知a+b=2i-8j，a-b=-8i+16j，其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量， 那么a·b= . 6.已知a⊥b、c与a、b的夹角均为60°，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，则(a+2b-c)２＝______. 7.已知|a|=1，|b|= 2 ，(1)若a∥b，求a·b；(2)若a、b的夹角为６０°，求|a+b|；(3)若a-b 与a垂直，求a与b的夹角. 8.设m、n是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角. 9.对于两个非零向量a、b，求使|a+tb|最小时的t值，并求此时b与a+tb的夹角. 五、小结（略） 六、课后作业（略） 七、教学后记： （王海） 34第8课时 二、平面向量数量积的运算律 教学目的： 1.掌握平面向量数量积运算规律； 2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题； 3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题 . 教学重点：平面向量数量积及运算规律. 教学难点：平面向量数量积的应用 授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意 数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质.  教学过程： 一、复习引入： 1．两个非零向量夹角的概念 已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ 的夹角. 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos， （０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 3．“投影”的概念：作图 C 定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影. 投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为 直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b|；当 = 180时投影为 |b|. 4．向量的数量积的几何意义： 数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积. 5．两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量. 351 ea = ae =|a|cos； 2 ab  ab = 0 3 当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|. 特别的aa = |a|2或|a| aa ab 4cos = ；5|ab| ≤ |a||b| |a||b| 二、讲解新课： 平面向量数量积的运算律 1．交换律：a  b = b  a 证：设a，b夹角为，则a  b = |a||b|cos，b  a = |b||a|cos ∴a  b = b  a 2．数乘结合律：(a)b =(ab) = a(b) 证：若> 0，(a)b =|a||b|cos， (ab) =|a||b|cos，a(b) =|a||b|cos， 若< 0，(a)b =|a||b|cos() = |a||b|(cos) =|a||b|cos，(ab) =|a||b|cos， a(b) =|a||b|cos() = |a||b|(cos) =|a||b|cos. 3．分配律：(a + b)c = ac + bc 在平面内取一点O，作OA= a， AB= b，OC= c， ∵a + b （即OB）在c方向上的 投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cos = |a| cos + |b| cos 1 2 ∴| c | |a + b| cos =|c| |a| cos + |c| |b| cos ， ∴c(a + b) = ca + cb 即：(a + b)c = ac 1 2 + bc 说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с） （2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0 ａ＝ｂ （3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２， （ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ (ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２ 三、讲解范例： 例1 已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a  5b垂直，a  4b与7a  2b垂直，求a与b 的夹角. 解：由(a + 3b)(7a  5b) = 0  7a2 + 16ab 15b2 = 0 ① (a  4b)(7a  2b) = 0  7a2  30ab + 8b2 = 0 ② 两式相减：2ab = b2 代入①或②得：a2 = b2 ab b2 1 设a、b的夹角为，则cos =   ∴ = 60 |a||b| 2|b|2 2 36例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和. 解：如图：平行四边形ABCD中，AB  DC，AD  BC，AC=AB AD 2 2 ∴|AC|2=| AB AD|2 AB  AD 2ABAD 而BD=AB AD ， 2 2 ∴|BD|2=| AB AD|2 AB  AD 2ABAD 2 2 ∴|AC|2 + |BD|2 = 2AB 2AD = | AB|2 | BC |2 | DC |2 | AD|2 例3 四边形ABCD中，AB＝ａ，BC＝ｂ，CD＝с，DA＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝ с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD是什么图形? 分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量. 解：四边形ABCD是矩形，这是因为： 一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２ 即｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜２ 由于ａ·ｂ＝с·ｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２① 同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２② 由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD两组对边分别相等. ∴四边形ABCD是平行四边形 另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD可得ａ＝－с， 代入上式得ｂ·(2ａ)＝０，即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB⊥BC. 综上所述，四边形ABCD是矩形. 评述：(1)在四边形中，AB，BC，CD，DA是顺次首尾相接向量，则其和向量是零 向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用； (2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两 种关系. 四、课堂练习： 1.下列叙述不正确的是（ ） A.向量的数量积满足交换律 B.向量的数量积满足分配律 C.向量的数量积满足结合律 D.a·b是一个实数 2.已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为６０°，则(a+2b)·(a-3b)等于（ ） A.72 B.-72 C.36 D.-36 373 3 3.|a|=3，|b|=4，向量a+ b与a- b的位置关系为（ ） 4 4  A.平行 B.垂直 C.夹角为 D.不平行也不垂直 3 4.已知|a|=3，|b|=4，且a与b的夹角为150°，则(a+b)２＝ . 5.已知|a|=2，|b|=5，a·b=-3，则|a+b|=______，|a-b|= . 6.设|a|=3，|b|=5，且a+λb与a－λb垂直，则λ＝ . 五、小结（略） 六、课后作业（略） 七、板书设计（略） 八、课后记： （王海） 第9课时 三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 教学目的： ⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示 ⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式. ⑶能用所学知识解决有关综合问题. 教学重点：平面向量数量积的坐标表示 教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用 授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．两个非零向量夹角的概念 已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ 的夹角. 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos， （０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 3．向量的数量积的几何意义： 数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积. C 384．两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量. 1 ea = ae =|a|cos； 2 ab  ab = 0 3 当 a与 b同向时，ab = |a||b|；当 a与 b反向时，ab = |a||b|. 特别的 aa = |a|2或 |a| aa ab 4 cos = ；5|ab| ≤ |a||b| |a||b| 5．平面向量数量积的运算律 交换律：a  b = b  a 数乘结合律：(a)b =(ab) = a(b) 分配律：(a + b)c = ac + bc 二、讲解新课： ⒈ 平面两向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量a (x ,y )，b (x ,y )，试用a和b的坐标表示ab. 1 1 2 2 设i是x轴上的单位向量， j是y轴上的单位向量，那么a  x i y j，b  x i y j 1 1 2 2 所以ab (x i y j)(x i y j)  x x i2  x y i j x y i j y y j2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 又ii 1， j j 1，i j  ji 0，所以ab  x x  y y 1 2 1 2 这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即ab  x x  y y 1 2 1 2 2. 平面内两点间的距离公式 八、 设a (x,y)，则|a|2 x2  y2或|a| x2  y2 . （2）如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x ,y )、(x ,y )，那么 1 1 2 2 |a| (x x )2 (y  y )2 (平面内两点间的距离公式) 1 2 1 2 九、 向量垂直的判定 设a (x ,y )，b (x ,y )，则a b  x x  y y 0 1 1 2 2 1 2 1 2 十、 两向量夹角的余弦（0） 39ab x x  y y cos =  1 2 1 2 |a||b| x 2  y 2 x 2  y 2 1 1 2 2 十一、 讲解范例： 十二、 设a = (5， 7)，b = (6， 4)，求a·b及a、b间的夹角θ(精确到1o) 例2 已知A(1， 2)，B(2， 3)，C(2， 5)，试判断△ABC的形状，并给出证明. 例3 已知a = (3， 1)，b = (1， 2)，求满足xa = 9与xb = 4的向量x. 解：设x = (t， s)， xa 9  3t s 9  t  2 由     ∴x = (2， 3) xb  4 t 2s  4 s  3 例4 已知a＝（１， 3），b＝（ 3＋１， 3－１），则a与b的夹角是多少? 分析：为求a与b夹角，需先求a·b及｜a｜·｜b｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 解：由a＝（１， 3），b＝（ 3＋１， 3－１） 有a·b＝ 3＋１＋ 3（ 3－１）＝４，｜a｜＝２，｜b｜＝２ 2 ． ab 2 记a与b的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝  a  b 2  又∵０≤θ≤π，∴θ＝ 4 评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定. 例5 如图，以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角△OAB，使B = 90，求点B和向量AB 的坐标. 解：设B点坐标(x， y)，则OB= (x， y)，AB= (x5， y2) ∵OBAB ∴x(x5) + y(y2) = 0即：x2 + y2 5x  2y = 0 又∵|OB| = |AB| ∴x2 + y2 = (x5)2 + (y2)2即：10x + 4y = 29  7  3 x  x  x2  y2 5x2y 0  1 2  2 2 由   或  10x4y  29 y   3 y  7   1 2  2 2 407 3 3 7 3 7 7 3 ∴B点坐标( , )或( , )；AB=( , )或( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 例6 在△ABC中，AB=(2， 3)，AC=(1， k)，且△ABC的一个内角为直角， 求k值. 3 解：当A = 90时，ABAC= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k = 2 当B = 90时，ABBC= 0，BC=ACAB= (12， k3) = (1， k3) 11 ∴2×(1) +3×(k3) = 0 ∴k = 3 3 13 当C = 90时，ACBC= 0，∴1 + k(k3) = 0 ∴k = 2 十三、 课堂练习： 1.若a=(-4，3)，b=(5，6)，则3|a|２－４a·b＝（ ） A.23 B.57 C.63 D.83 2.已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，则△ABC为（ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形 3.已知a=(4，3)，向量b是垂直a的单位向量，则b等于（ ） 3 4 4 3 3 4 3 4 A.( , )或( , ) B.( , )或( , ) 5 5 5 5 5 5 5 5 3 4 4 3 3 4 3 4 C.( , )或( , ) D.( , )或( , ) 5 5 5 5 5 5 5 5 4.a=(2，3)，b=(-2，4)，则(a+b)·(a-b)= . 1 5.已知A(3，2)，B(-1，-1)，若点P(x，- )在线段AB的中垂线上，则x= . 2 6.已知A(1，0)，B(3，1)，C(2，0)，且a=BC，b=CA，则a与b的夹角为 . 十四、 小结（略） 十五、 课后作业（略） 十六、 板书设计（略） 十七、 课后记： （王海） 第12课时 41复习课 一、教学目标 1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。 2. 了解平面向量基本定理. 3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。 4. 了解向量形式的三角形不等式：||a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|(试问：取等号的条 件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(|a|2+|b|2)=|a－b|2+|a+b|2. 5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）： 6. 向量的坐标概念和坐标表示法 7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积） 8. 数量积（点乘或内积）的概念，a·b=|a||b|cos=x x +y y 注意区别“实数与向 1 2 1 2 量的乘法；向量与向量的乘法” 二、知识与方法 向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形 式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合， 形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③ 判垂直 三、典型例题 例1.对于任意非零向量a与b，求证：｜｜a｜-｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜+｜b｜ 证明：(1)两个非零向量a与b不共线时，a+b的方向与a，b的方向都不同，并且｜ a｜-｜b｜＜｜a±b｜＜｜a｜+｜b｜ (3)两个非零向量a与b共线时，①a与b同向，则a+b的方向与a.b相同且｜a+b｜ =｜a｜＋｜b｜.②a与b异向时，则a+b的方向与模较大的向量方向相同，设|a|＞|b|， 则|a+b|=|a|-|b|.同理可证另一种情况也成立。 例2 已知O为△ABC内部一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设OA=a，OB=b，OC=c， 且|a|=2，|b|=1，| c|=3，用a与b表示c i j 如：图解建立平面直角坐标系xoy，其中i, j是单位正交基底向量, 则B（0，1），C（-3，0设），A（xy，），则条 件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A（1，- 3），也就是a=i － 3 j, b=j， c=-3i所以-3a=3 3 b+c|即c=3a－3 3 b 例3.下面5个命题：①|a·b|=|a|·|b|②(a·b)2=a 2·b 2③a⊥(b－c)，则a·c=b 42·c ④a·b=0，则|a+b|=|a－b|⑤a·b=0，则a=0或b=0，其中真命题是（ ） A①②⑤ B ③④ C①③ D②④⑤ 四、巩固训练 1.下面5个命题中正确的有（ ） ①a=b  a·c=b·c； ②a·c=b·c  a=b；③a·（b+c）=a·c+b·c； ab a ④a·（b·c）=（a·b）·c； ⑤  . 2 a b A..①②⑤ B.①③⑤ C. ②③④ D. ①③ 2.下列命题中，正确命题的个数为（ A ） ①若a与b是非零向量 ，且a与b共线时，则a与b必与a或b中之一方向相同；②若e为 单位向量，且a∥e则a=|a|e ③a·a·a=|a|3 ④若a与b共线，a与c共线，则c与b 共线；⑤若平面内四点A.B.C.D，必有AC+BD=BC+AD A 1 B 2 C 3 D 4 3.下列5个命题中正确的是 ①对于实数p,q和向量a,若pa=qa则p=q②对于向量a与b，若|a|a=|b|b则a=b③对于 两个单位向量a与b，若|a+b|=2则a=b④对于两个单位向量a与b，若ka=b，则a=b 4.已知四边形ABCD的顶点分别为A(2,1)，B(5,4)，C(2,7)，D(-1,4),求证：四边形ABCD为 正方形。 第三章 三角恒等变换 一、课标要求： 本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式，以及运用这些公式进行 简单的恒等变换. 三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习，要使学生在学习三 角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变 换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用. 1. 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用； 2. 理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、 余弦、正切公式，了解它们的内在联系； 3. 运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积 公式（不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉 性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应 43用. 二、编写意图与特色 1. 本章的内容分为两节：“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”，“简单的三角恒等变换”， 在学习本章之前我们学习了向量的相关知识，因此作者的意图是选择两角差的余弦公式作为 基础，运用向量的知识来予以证明，降低了难度，使学生容易接受； 2. 本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式； 3. 本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运 算的能力，因此在本章全部内容的安排上，特别注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比、 联系、化归的观点去分析、处理问题，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识； 4. 本章在内容的安排上贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末叶的 内容”的理念，严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度，尤其注意不以半角公式、 积化和差、和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练习. 三、教学内容及课时安排建议 本章教学时间约8课时，具体分配如下： 3.1两角和与差的正弦、余弦、和正切公式 约3课时 3.2简单的恒等变换 约3课时 复习 约2课时 §3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 一、课标要求： 本节的中心内容是建立相关的十一个公式，通过探索证明和初步应用，体会和认识公式 的特征及作用. 二、编写意图与特色 本节内容可分为四个部分，即引入，两角差的余弦公式的探索、证明及初步应用，和差 公式的探索、证明和初步应用，倍角公式的探索、证明及初步应用. 三、教学重点与难点 1. 重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角和差的三角函数的十一个公式，并 了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础； 2. 难点：两角差的余弦公式的探索与证明. 3.1.1 两角差的余弦公式 一、教学目标 掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及 其功能，为建立其它和（差）公式打好基础. 44二、教学重、难点 1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式； 2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过 程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等. 三、学法与教学用具 1. 学法：启发式教学 2. 教学用具：多媒体 四、教学设想： 2 3 （一）导入：我们在初中时就知道 cos45  ，cos30  ，由此我们能否得到 2 2 cos15 cos  45 30 ?大家可以猜想，是不是等于cos45 cos30呢？ 根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差 的余弦公式cos? （二）探讨过程： 在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角的终边与单位圆的交点为P，cos 1 等于角与单位圆交点的横坐标，也可以用角的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角 和角？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.） 展示多媒体动画课件，通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索cos与cos、 cos、sin、sin之间的关系，由此得到cos()coscossinsin，认 识两角差余弦公式的结构. 思考：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向 量的知识来证明？ 提示：1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？ 2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？ 展示多媒体课件 比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处，体会向量方法的作用与便利之处. 思考：cos?，coscos，再利用两角差的余弦公式得出   45coscoscoscossinsincoscossinsin   （三）例题讲解 例1、利用和、差角余弦公式求cos75、cos15的值. 解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差. 2 3 2 1 6 2 cos75 cos  45 30 cos45cos30 sin45sin30      2 2 2 2 4 2 3 2 1 6 2 cos15 cos  4530 cos45cos30sin45sin30      2 2 2 2 4 点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如： cos15 cos  60 45 ，要学会灵活运用. 4   5 例 2、已知sin ，  ,  ,cos ,是第三象限角，求cos的 5  2  13 值. 2   4 4 3 解：因为  , ，sin 由此得cos 1sin2 1     2  5 5 5 2 5  5  12 又因为cos ,是第三象限角，所以sin 1cos2 1     13  13 13  3  5  4  12 33 所以cos()coscossinsin               5  13 5  13 65 点评：注意角、的象限，也就是符号问题. （四）小结：本节我们学习了两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解公式的 推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角、的象限，也就是 符号问题，学会灵活运用. （五）作业：P .T T 150 1 2 （胡仕伟） §3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 46一、教学目标 理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒 等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用. 二、教学重、难点 1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用； 2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用. 三、学法与教学用具 学法：研讨式教学 四、教学设想： （一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式： coscoscossinsin；coscoscossinsin． 这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？ 提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天 的问题有帮助吗？ 让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.          sincos    cos    cos   cossin   sin 2   2    2   2  sincoscossin． sinsin sincoscossinsincoscossin   让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手） sin sincoscossin tan  ． cos coscossinsin 通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan、tan的形式呢？（分式分子、分 tantan 母同时除以coscos，得到tan ． 1tantan    注意： k, k, k(kz) 2 2 2 以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？ 47tantan tantan tantan     1tantan 1tantan    注意： k, k, k(kz)． 2 2 2 （二）例题讲解 3       例1、已知sin ,是第四象限角，求sin    ,cos    ,tan   的值. 5  4   4   4 2 3  3 4 解：因为sin ,是第四象限角，得cos 1sin2 1     ， 5  5 5 3  sin 5 3 tan   ， cos 4 4 5     2 4 2  3 7 2 于是有 sin    sin coscos sin         4  4 4 2 5 2  5 10     2 4 2  3 7 2 cos  cos cossin sin           4  4 4 2 5 2  5 10 两结果一样，我们能否用第一章知识证明？  3 tantan  1   4 4 tan    7    4   3 1tantan 1    4  4 例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值： （1）、sin72cos42 cos72sin42；（2）、cos20cos70 sin20sin70；（3）、 1tan15 ． 1tan15 解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、 余弦和正切公式中哪个相象. 1 （1）、sin72cos42 cos72sin42 sin  72 42 sin30  ； 2 （2）、cos20cos70 sin20sin70 cos  20 70 cos90 0； 481tan15 tan45 tan15 （3）、  tan  45 15 tan60  3 ． 1tan15 1tan45tan15 例3、化简 2cosx 6sinx 解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？ 1 3  2cosx 6sinx2 2 cosx sinx2 2  sin30cosxcos30sinx  2 2sin  30 x    2 2    2  2 思考：2 2是怎么得到的？2 2  2  6 ，我们是构造一个叫使它的正、余弦 1 3 分别等于 和 的. 2 2 小结：本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中 要善于发现规律，学会灵活运用. 作业： 2   1   3 1、 已知tan ,tan     ,求tan   的值．（ ） 5  4 4  4 22  3   3 3  5 2、 已知0   ,cos     ,sin     ，求sin 4 4  4  5  4  13 的值． （胡仕伟） §3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式 一、教学目标 以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导 过程，掌握其应用. 二、教学重、难点 教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 教学难点：二倍角的理解及其灵活运用. 三、学法与教学用具 学法：研讨式教学 四、教学设想： （一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式， 49sinsincoscossin； coscoscossinsin； tantan tan ． 1tantan 我们由此能否得到sin2,cos2,tan2的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中 看成即可）， （二）公式推导： sin2sinsincoscossin2sincos； cos2coscoscossinsincos2sin2； 思考：把上述关于cos2的式子能否变成只含有sin或cos形式的式子呢？ cos2cos2sin21sin2sin212sin2； cos2cos2sin2cos2(1cos2)2cos21． tantan 2tan tan2 tan  ． 1tantan 1tan2   注意：2 k, k kz 2 2 （三）例题讲解 5   例1、已知sin2 ,  ,求sin4,cos4,tan4的值． 13 4 2    解：由  ,得 2． 4 2 2 2 5  5  12 又因为sin2 , cos2 1sin22 1    ． 13 13 13 5  12 120 于是sin42sin2cos22      ； 13  13 169 50120 2   5  119 sin4 169 120 cos412sin2212    ；tan4   ． 13 169 cos4 119 119 169 1 例２、已知tan2 ,求tan的值． 3 2tan 1 解：tan2  ，由此得tan26tan10 1tan2 3 解得tan2 5或tan2 5． （四）小结：本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过 程中要善于发现规律，学会灵活运用. （五）作业： P .T T 150 3 4 （胡仕伟） 3.2 简单的三角恒等变换（3个课时） 一、课标要求： 本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中 的应用． 二、编写意图与特色 本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、 分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及 变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提 高学生的推理能力． 三、教学目标 通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程 中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使 用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力． 四、教学重点与难点 教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式 的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三 角变换的特点，提高推理、运算能力． 教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高 从整体上把握变换过程的能力． 五、学法与教学用具 学法：讲授式教学 六、教学设想： 51学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的 内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．下面我们以习题 课的形式讲解本节内容．    例1、试以cos表示sin2 ,cos2 ,tan2 ． 2 2 2   解：我们可以通过二倍角cos2cos2 1和cos12sin2 来做此题． 2 2   1cos 因为cos12sin2 ，可以得到sin2  ； 2 2 2   1cos 因为cos2cos2 1，可以得到cos2  ． 2 2 2  sin2  2 1cos 又因为tan2   ． 2  1cos cos2 2 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？ 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不 仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差 异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换 的重要特点． 例２、求证： 1 （１）、sincos sinsin；   2   （２）、sinsin2sin cos ． 2 2 证明：（１）因为sin和sin是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边 着手． sinsincoscossin；sinsincoscossin． 两式相加得2sincossinsin； 1 即sincos sinsin；   2 （２）由（１）得sinsin2sincos①；设,，   那么 , ． 2 2 52  把,的值代入①式中得sinsin2sin cos ． 2 2 思考：在例２证明中用到哪些数学思想？ 例２ 证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后 面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式． 例３、求函数y sinx 3cosx的周期，最大值和最小值． 解：y sinx 3cosx这种形式我们在前面见过， 1 3    y sinx 3cosx2  sinx cosx  2sin  x ，  2 2   3 2 所以，所求的周期T  2，最大值为２，最小值为2．  点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数 y  Asinx的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用． 小结：此节虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中体 现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用． 作业： P P T T 157 158 1 4 《三角恒等变换》复习课（2个课时） 一、教学目标 进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式， 对三角函数式进行化简、求值和证明： 二、知识与方法： 53 1. 11个三角恒等变换公式中余，弦的差角公式是其它公式的基础由，它出发用，-β代替β、 ±β 2 代替β、 α=β 等换元法 可 以 cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ 推导出其 它 公 cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ 式。你能 根 据 下图回顾 推 导 过程吗？ tantan tan（α+β）= 1tantan tantan tan（α-β）= 1tantan sin2α=2sinαcosα tantan tan2α= cos2α=cos2α- sin2α 1tantan =2cos2α-1=1-2 sin2α 2．化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽 量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来； 3．求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根 据上三角函数值进一步缩小角的范围。 4．证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行 变换使其左右相等。 5. 三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，即（1）找 差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以 用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用 或逆用公式，如升、降幂公式， cosα= cosβcos（α-β）- sinβsin（α-β），1= sin2α+cos2α， 1tan300 tan450 tan300 = =tan（450+300）等。 1tan300 1tan450tan300 例题 2 1 tan 例1 已知sin（α+β）= ，sin（α-β）= ，求 的值。 3 5 tan 例2 求值：cos24°﹣sin6°﹣cos72° 543 1 1 例3 化简（1）  ；（2）sin2αsin2β+cos2αcos2β- cos2αcos2β。 sin200 sin700 2  例4 设为锐角，且3sin2α+2sin2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：α+2β= 。 2 例 5 如图所示，某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠，为降低成本，必须尽 量减少水与水渠壁的接触面。若水渠断面面积设计为定值m，渠深8米。则水渠 壁的倾角应为多少时，方能使修建的成本最低？ 分析：解答本题的关键是把实际问 A E D 题转化成数学模型，作出横 断面的图形，要减少水与水 渠壁的接触面只要使水与水 8 渠断面周长最小，利用三角 形的边角关系将倾角为和 B C 横断面的周长L之间建立函数 关系，求函数的最小值 55