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解密12讲：平面向量
【考点解密】
考的一．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0 的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于 1 个单位 的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
考点二．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
交换律：
a＋b＝b＋a；
加法 求两个向量和的运算
结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
求a与b的相反向量
减法 a－b＝a＋(－b)
－b的和的运算
|λa|＝|λ||a|，
λ(μa)＝(λμ)a；
求实数λ与向量a的 当λ>0时，λa与a的方向相同；
数乘 (λ＋μ)a＝λa＋μa；
积的运算 当λ<0时，λa与a的方向相反；
λ(a＋b)＝λa＋λb
当λ＝0时，λa＝0
考点三.向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使得b＝λa.
考点四．平面向量基本定理
如果e，e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ，λ，
1 2 1 2
使a＝λe＋λe.
1 1 2 2
其中，不共线的向量e，e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
1 2
考点五．平面向量的坐标表示
(1)向量及向量的模的坐标表示
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2则AB＝(x－x，y－y)，|AB|＝.
2 1 2 1
(2)平面向量的坐标运算
设a＝(x，y)，b＝(x，y)，
1 1 2 2
则a＋b＝(x＋x，y＋y)，
1 2 1 2
a－b＝(x－x，y－y)，
1 2 1 2
λa＝(λx ，λy )．
1 1
考点六．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x，y)，b＝(x，y)，其中b≠0.a，b共线⇔xy－xy＝0.
1 1 2 2 1 2 2 1
考点七.向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则 ∠ AOB 就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π].
考点八.平面向量的数量积
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量
定义
积，记作a·b
|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影
投影
|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积
考点九.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
考点十.平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x，y)，b＝(x，y)，a与b的夹角为θ.
1 1 2 2
结论 符号表示 坐标表示
模 |a|＝ |a|＝
夹角 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b的充要条件 a·b＝0 xx ＋ yy ＝ 0
1 2 1 2
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |xx＋yy|≤
1 2 1 2【方法技巧】
求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体
应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
【核心题型】
题型一：平面向量的基础知识
1．（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）下列说法中正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．平行向量不一定是共线向量
C．对于任意向量 ，必有
D．若 满足 且 与 同向，则
【答案】C
【分析】对于A：根据单位向量的概念即可判断；对于B：根据共线向量的定义即可判断；对于C：分类讨论向量
的方向，根据三角形法则即可判断；对于D：根据向量不能比较大小即可判断.
【详解】依题意，
对于A，单位向量模都相等，方向不一定相同，故错误；
对于B，平行向量就是共线向量，故错误；
对于C，若 同向共线， ，
若 反向共线， ，
若 不共线，根据向量加法的三角形法则及
两边之和大于第三边知 .
综上可知对于任意向量 ，必有 ，故正确；
对于D，两个向量不能比较大小，故错误.
故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量 ， 是单位向量，且 ，向量 满足 ，则 的
最大值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量模的定义可得 ，进而求得 ，利用向量的线性运算，结合向量模的定义即可求
解.
【详解】解：因为 ，所以 ，即 ，又 ，所以 ．
所以 ．
因为 ，
所以 ．
故选：A．
3．（2022·河南·校联考一模）下列关于平面向量的说法正确的是（ ）
A．若 共线，则点A，B，C，D必在同一直线上
B．若 且 ，则
C．若G为 的外心，则
D．若O为 的垂心，则
【答案】D
【分析】A向量共线知向量所在直线平行或共线；B由零向量与任意向量都平行；C由向量相加不可能等于标量；
D利用向量减法的几何含义，结合垂心的性质，即可判断各选项的正误.
【详解】A：若 共线，则A，B，C，D在同一直线上或 ，错误；
B：若 为零向量，由任意向量都与零向量平行知，此时 不一定平行，错误；
C：若G为 的外心，有 ，且 不可能等于标量0，错误；
D：O为 的垂心，由 ，又 ，所以 ，同理有， ，即有 ，正确.
故选：D.
题型二：平面向量的线性运算
4．（2023·湖南永州·统考二模）设 为 所在平面内一点， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】运用平面向量加法规则计算.
【详解】
依题意作上图，则 ；
故选：D.
5．（2023秋·广西河池·高三统考期末）如图，在△ABC中，M为线段BC的中点，G为线段AM上一点且
，过点G的直线分别交直线AB、AC于P、Q两点， ， ，则
的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．4
【答案】B【分析】由 可得 ，根据三点共线向量性质可得 ，再结合均值不等式
即可求出结果．
【详解】由于M为线段BC的中点，则
又 ，所以 ，又 ，
所以 ，则
因为 三点共线，则 ，化得
由
当且仅当 时，即 时，等号成立， 的最小值为1
故选：B
6．（2022·河南·校联考模拟预测）如图，在 中， ， ，直线AM交BN于点Q，
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把 用 表示，然后由三点 共线可得．
【详解】由题意得，
，因为Q，M，A三点共线，故 ，化简整理得 ．
故选：C．
题型三：平面向量的共线定理
7．（2023·全国·高三专题练习） 的外心 满足 ， ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】从 这个条件可以考虑设 的中点为 ，从而得到 三点共线可求.
【详解】设 的中点为 ，则 可化为
即为 ， 三点共线且 ， 为等腰三角形，
由垂径定理得 ，代入数据得 ,
解之： ， .
故选：B.
8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在 中，M，N分别是线段 ， 上的点，且 ，
，D，E是线段 上的两个动点，且 ，则 的的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．2
【答案】B【分析】根据平面向量共线定理可设 ， ， ， ，再结合
得 ，最后运用基本不等式可求解.
【详解】设 ， ， ， ，
则 ，
， ， ， .
所以 ，
当且仅当 ， 时等号成立.
所以 的的最小值是 .
故选：B
9．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 与圆 ： 相交于不同两点 ， ，点 为线段 的中点，
若平面上一动点 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意，判断得点 在线段 外，从而得 是直角三角形，进而表示出 ，可得
，由 ，可得 的取值范围.
【详解】因为 ，所以 ， ， 三点共线，
且点 在线段 外，因为点 为线段 的中点，
所以 ，即 是直角三角形，所以 ，由数量积的定义可得：
，
因为 ，所以 ，即 ，
故选:C.
题型四：平面向量的基本定理
10．（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）在平行四边形 中， ､ 分别在边 ､ 上， ，
与 相交于点 ，记 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意过点 作 平行于 ，交 于点 ，先利用三角形相似求出 ，然后利用向量的线
性运算即可求解.
【详解】过点 作 平行于 ，交 于点 ，
因为 ，则 为 的中点，所以 且 ，因为 ，所以 ，
由 可得： ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
故选： .
11．（2022秋·甘肃武威·高三统考阶段练习）如图，在 中， 是 的中点，若
，则 （ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】利用向量的线性运算求得 ，由此求得 ，进而求得 .
【详解】因为 是 的中点，所以 ．
所以 ，所以 ，所以
．故选：D
12．（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图，在平行四边形 中，E是 的中点，
， 与 相交于O．若 ， ，则 的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】先以 为基底表示 ，再利用向量的数量积把 转化为关于 的方程，即可
求得 的长
【详解】在平行四边形 中，E是 的中点， ， 与 相交于O．
设 ，
则
由 ，可得
则 ，解之得 ，则
则
又 ，则 ，解之得 ，即 的长为4
故选：C题型五：平面向量的坐标运算
13．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知点 和数列 满足
，若 分别为数列 的前 项和，
则 （ ）
A． B． C． D．0
【答案】D
【分析】根据题意分析可得数列 均是周期为6的数列，运算求解即可得结果.
【详解】由题意可得： ，
则 ，
∵ ，则 ，
由 ，则 ，
同理 ， ，
即数列 均是周期为6的数列，而 ，
故选：D.
14．（2023·全国·高三专题练习）如图，在平行四边形 中，点 在线段 上，且 （ ），若
（ ， ）且 ，则 （ ）A． B．3 C． D．4
【答案】B
【分析】方法1：由 可得 ，由 代入可反解得
，最后根据 且 即可求得 的值.
方法2：建立平面直角坐标系，表示出点的坐标转化为坐标运算可求得结果.
【详解】方法1：在平行四边形 中，因为 ，所以 ，
所以 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ， ，（平面向量基本定理的应用）
又∵ ，
∴ ，解得 ，
故选：B.
方法2：如图，以A为坐标原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，则 ，设 ， ，
∵ 则 ，
又∵ ，设 ，则
即：
∴ ， ， ，
又∵ ，
∴
∴
∴
由②得 ，将其代入①得 ，
故选：B.
15．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量 ， 满足 ， ，点D满足 ，
E为 的外心，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的数量积求得 ，以O为原点，建立平面直角坐标系，再利用向量的坐标运算可得解.
【详解】 ， ，
， ，以O为原点，OA，垂直于OA所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则 ， ， ，设
又 ，知 ，解得 ，
又E为 的外心， ，
， 为等边三角形， ，
∴ ，∴ ．
故选：A
题型六：平面向量的数量积问题
16．（2023·四川成都·统考一模）已知平面向量 、 、 满足 ， ， ，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在平面内一点 ，作 ， ， ，取 的中点 ，计算出 、 的值，利用向量三
角不等式可求得 的最大值.
【详解】在平面内一点 ，作 ， ， ，则 ，则 ，
因为 ，则 ，故 为等腰直角三角形，则 ，取 的中点 ，则 ，
所以， ，所以， ，
因为 ，
所以， ，则 ，
所以， .
当且仅当 、 同向时，等号成立，故 的最大值为 .
故选：B.
17．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知 ABC中， ， ， ，在线段
△
BD上取点E，使得 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分析得到∠AEB是 与 的夹角，利用向量基本定理得到 ， ，利
用向量数量积公式得到 ， ， ，从而利用夹角余弦公
式求出答案.【详解】由题意知：∠AEB是 与 的夹角，
， ，
，
，
，
则 ．
故选：D．
18．（2023·四川绵阳·统考二模）如图，在边长为2的等边 中，点 为中线 的三等分点（靠近点 ），
点 为 的中点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】由已知可推得， ， ，进而根据平面向量数量积
的运算求解即可得出结果.
【详解】由已知， ， ， ，
所以 .
由已知 是 的中点，所以 ，
， .
所以 ，
，
所以， .
故选：B.
题型七：平面向量的几何应用
19．（2022·福建厦门·厦门市湖滨中学校考模拟预测）已知A，B是圆 上的动点， ，P是圆
上的动点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意得 在圆 上，则 ，数形结合即可求出 的取值范围，即
可得解.
【详解】由题意可得 是圆心为 半径为1的圆， 是圆心为 半径为1的圆，
设 中点为 ， ，由垂径定理得 ，
在圆 上，
又 ，
由图可知 ，
，
的范围为 .
故选：C
20．（2022·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）在平面内，定点 满足 ，
，动点P，M满足 ， ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得到 为正三角形，且 为 的中心，结合题设条件求得 ，得到 为边长
为 的正三角形，以 为原点建立直角坐标系，设 ，根据 ，得到 ，进而求得 ，即可求解.
【详解】由题意知 ，即点 到 三点的距离相等，可得 为 的外心，
又由 ，
可得 ，所以 ，
同理可得 ，所以 为 的垂心，
所以 的外心与垂心重合，所以 为正三角形，且 为 的中心，
因为 ，解得 ，
所以 为边长为 的正三角形，
如图所示，以 为原点建立直角坐标系，则 ，
因为 ，可得设 ，其中 ，
又因为 ，即 为 的中点，可得 ，
所以 .
即 的最大值为 .
故选：B.
21．（2022·全国·高三专题练习） 中， ， ， ，PQ为 内切圆的一条直径，M为边上的动点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】易知 是直角三角形，利用等面积法可得内切圆半径 ，设内切圆圆心为 ，根据 为直径，可
知 ， ，整理 ，进而根据 的运动情况来求解.
【详解】由题可知， ，所以 是直角三角形， ，
设内切圆半径为 ，则 ，解得 ，
设内切圆圆心为 ，因为 是 内切圆的一条直径，
所以 ， ，
则 ， ，
所以 ，
因为M为 边上的动点，所以 ；当 与 重合时， ，
所以 的取值范围是 ，
故选：C
题型八：平面向量的综合问题
22．（2022·河北石家庄·高三校联考阶段练习）已知向量 ， 函数
．
(1)求函数 的值域;
(2)函数 在 上有 10 个零点， 求 的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示，结合三角恒等变换得 ，再根据三角函数性质求
解即可；
（2）由题知 ，再根据三角函数性质得 ，解不等式即可得答案.
【详解】（1）解：
，
所以， 的值域为 .
（2）解：令 ， 即 ，
因为 ，所以 ，
因为函数 在 上有10个零点，
所以方程 在 上有10个实数根，
所以 ， 解得 ．
所以， 的取值范围为 .
23．（2023·高三课时练习）已知点G为 的重心．
(1)求 ；
(2)过G作直线与AB、AC两条边分别交于点M、N，设 ， ，求 的值．
【答案】(1)(2)3
【分析】（1）根据已知得出 与三边所在向量的关系，即可根据向量的运算得出答案；
（2）根据已知得出 ，结合 ， ，根据M、N、G三点共线，结合向量运算与
向量相等的定义列式整理，即可得出答案.
【详解】（1） 点G为 的重心，
， ， ，
，
（2） 点G为 的重心，
，
，
，
，
，
，
，
与 共线，
存在实数 ，使得 ，
则 ，
根据向量相等的定义可得 ，消去 可得 ，
两边同除 ，整理得 .
24．（2022·江苏盐城·模拟预测）如图，已知正方形ABCD的边长为2，过中心O的直线l与两边AB，CD分别交
于点M，N．
(1)若Q是BC的中点，求 的取值范围；
(2)若P是平面上一点，且满足 ，求 的最小值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）由向量的加法和数量积运算将 转化为 ，再由 的值和 的范围可求得结
果.
（2）令 可得点T 在BC上，再将 转化为 ，由 、 的范围
可求得结果.
【详解】（1）因为直线l过中心O且与两边AB、CD分别交于点M、N．
所以O为MN的中点，所以 ，
所以 ．
因为Q是BC的中点，所以 ， ，
所以 ，即的 取值范围为 ；
（2）令 ，则 ，
∴ ，即：
∴
∴点T 在BC上，
又因为O为MN的中点，
所以 ，从而 ， ，
因为 ，
所以 ，
即 的最小值为 ．
【高考必刷】
一、单选题
25．（2023·四川·石室中学校联考模拟预测）已知向量 ， ，则 （ ）
A．7 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量数量积的运算，先求 ，再根据同角三角函数基本关系是求 .
【详解】由已知，得 ，则 为锐角，
所以 ，所以 .
故选：A.
26．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考模拟预测）若非零向量 ， 满足 ， ，则 与 的夹
角 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对 两边同时平方可求出 ，设 与 的夹角为 ，由向量的夹角公式代入即可得出答
案.
【详解】因为 ，以 ，
又 ， ，所以 ， ，
设 与 的夹角为 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
即 与 的夹角为 .
故选：D.
27．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知 的外接圆圆心为O，且 ， ，
则 （ ）
A．0 B． C．1 D．【答案】C
【分析】根据题意可知 为直角三角形， 为等边三角形，即可求出 的值.
△ △
【详解】由 知 是 边中点，
因为 是 的外接圆圆心，所以 为直角三角形，
△ △
且 ，因为 ，所以 为等边三角形，
△
所以 ， ，
所以 ，
故选：C.
28．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）如图,在平行四边形 中, , 是边
的中点, 是 上靠近 的三等分点,若 ,则 （ ）
A．4 B． C． D．8
【答案】A
【分析】将 通过平面向量基本定理转化到 上,展开计算,再将 代入即可求得 .
【详解】解:由题知 ,所以 ,
记 ,因为 且 为平行四边形,
所以,
解得: (舍)或 .
故选:A
29．（2023春·江苏镇江·高三校考开学考试）已知平面向量 满足 ，且 ，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，求出 ，建立平面直角坐标系，设 ，求出轨迹方程，利用几何意义即可求
出 的最大值.
【详解】由 可知, ，故 ，
如图建立坐标系， ， ，
设 ，由 可得：
，
所以 的终点在以 为圆心,1为半径的圆上，所以 ，几何意义为 到 距离的2倍，
由儿何意义可知 ，
故选：D.
30．（2023·四川攀枝花·攀枝花七中校考模拟预测）在 中， ，点D在线段 上，点E在线段 上，
且满足 ， ， 交 于点F，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得AB＝4，AC＝3，设 ，根据平面向量的线性运算，推出 ，
由B，E，F三点共线求得λ，再将 表示成以 为基底的向量，由平面向量数量积的运算法则得答案．
【详解】
如图：由 ， 得AB＝4，AC＝3，
设 ，
则三点共线， ，即
，
则
故选：C.
31．（2022·四川眉山·统考一模）已知椭圆 的左焦点为 ，离心率为 ，直线
与C交于点M，N，且 ， ．当 取最小值时，椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据直线和椭圆的对称性可得 为平行四边形,再由 及向量的数量积可求 ,再应用基本不等
式,取等条件计算即可.
【详解】因为直线 与C交于点M，N，
设 为 的中点,由 为 的中点,故四边形 为平行四边形.
则 ,由椭圆定义得
设 因为 ,所以 ,又因
所以 , ,
在 中, ，应用余弦定理所以 ,又因为 ,所以
当且仅当 ,即 时 取最小值,此时,
则
故选: .
32．（2022·吉林·东北师大附中校考模拟预测）在 中， 为 上一点， ， 为线段 上任一点，
若 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C．6 D．8
【答案】D
【分析】利用共线定理求出定值，再用基本不等式即可求解.
【详解】由题知， ，
所以 ，
又因为 为线段 上任一点，
所以 ，
所以当且仅当 时等号成立，此时 ， .
故选：D.
二、多选题
33．（2022秋·安徽合肥·高三统考期末）在 中，已知 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】画出三角形，应用向量线性表示，三角形法则，数量积关系逐项分析即可.
【详解】如图所示：
因为 ，所以 ，
所以 ，
故选项A正确，
因为 ，所以
所以，
故C选项错误，
由 ，
，
在 ， ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
即
即 ，故选项D正确，
由 ，
所以在 中，因为 ，
所以 ，故B正确，
故选：ABD.
34．（2023·福建·统考一模）平面向量 满足 ，对任意的实数t， 恒成立，则（ ）A． 与 的夹角为 B． 为定值
C． 的最小值为 D． 在 上的投影向量为
【答案】AD
【分析】由题意可得： 与 的夹角 ，然后根据向量的运算逐项进行检验即可求解.
【详解】设平面向量 与 的夹角为 ，
因为对任意的实数t， 恒成立，
即 恒成立，又 ，
也即 对任意的实数 恒成立，
所以 ，则 ，所以 ，
故选项 正确；
对于 ，因为 随 的变化而变化，故选项 错误；
对于 ，因为 ，由二次函数的性质可知：当 时， 取
最小值 ，故选项 错误；
对于 ， 向量上的一个单位向量 ，由向量夹角公式可得：
，
由投影向量的计算公式可得： 在 上的投影向量为 ，故选
项 正确，故选： .
35．（2023春·广东揭阳·高三校考开学考试）已知O为坐标原点，点 ， ，
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】利用平面向量的坐标表示与旋转角的定义推得 是正三角形，从而对选项逐一分析判断即可.
【详解】对于A，因为 ， ， ，
所以 ， ，
故 是正三角形，则 ，故A正确；
对于B，因为 是正三角形， 是 的外心，
所以 是 的重心，故 ，即 ，故B正确；
对于C， ，故C正确；
对于D，因为 ，则 ，
所以 ，故D错误.
故选：ABC．.
36．（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）在 中， ， ， ， 且
，则（ ）
A．
B．
C．
D． ， ， ，使得
【答案】ABCD
【分析】根据向量共线以及三角形的面积公式可判断A，根据不等式即可求解BCD.
【详解】设 中 所对的边分别为 ，由 ， ， 得 ，
， ，
进而得 ， ， ，
,
,
，故A正确，
由A知， ，
，
所以 ，当且仅当 取等号，因此 ，故B正确，
,
同理
，
，当且仅当 时取等号,
因此存在 使得 ，故D正确
，所以
，故C正确,
故选：ABCD
三、填空题
37．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知向量 满足 ，请
写出一个符合题意的向量 的坐标______.
【答案】 （答案不唯一）【分析】根据题意，由数量积的计算公式可得 ，分析 、 的关系，利用特殊值法可得答
案.
【详解】根据题意，向量 ，且 ，
则有 ，即 ，
当 时， ，则 .
故答案为： （答案不唯一）
38．（2023·全国·高三专题练习）在 中， ，点Q满足 ，则 的最大
值为___________.
【答案】 ##
【分析】设 中点为M，则 ，根据平面向量的线性运算可得 ，得当
时， 最大，此时 是等边三角形，
求出 即可求解.
【详解】设 中点为M，
则 ，
，
由 ，知P点轨迹是以 为弦，圆周角为 的优弧，
∴当 时， 最大，此时 是等边三角形，
则 .
故答案为： .39．（2023·陕西商洛·校考三模）已知平面向量 ， ， ，其中 为单位向量，若 ，则
的取值范围是__________.
【答案】
【分析】建立如图所示坐标系，不妨设 ，由题意 ，可知 ，
记 ， ，则 ，求出点 的轨迹方程，由 的几何意义可得 即为 点的轨迹上的点
到 点的轨迹上的点的距离，从而可得出答案．
【详解】解：建立如图所示坐标系，
不妨设 ，
由 知，点 在直线 或 上，
由题意 ，可知 ，
记 ， ，则 ，
由定弦所对的角为顶角可知点 的轨迹是两个关于 轴对称的圆弧，
设 ，则 ，
因为 ，即 ，
整理得 或 ，
由对称性不妨只考虑第一象限的情况，
因为 的几何意义为：圆弧 的点到直线 上的点的距离，
所以最小值为 ，
故 ．
故答案为： ．
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是建立平面直角坐标系，利用坐标法求出动点的轨迹，再结合解析几何的
知识求出向量模的取值范围.
40．（2023·全国·模拟预测）已知 ， ， 是平面向量，满足 ， ， ，则向
量 在向量 上的投影的数量的最小值是______.
【答案】
【分析】由 ，可得 ，即 ，再结合条件 ， ，不妨设 ， ，
，结合条件可得 ，表示出向量 在向量 上的投影的数量，从而求得最小值.
【详解】由 ，则 ，
即 ，即 ，即 ，
又由 ，所以 ， ，
不妨设 ， ， ，则 ，即 ，
即 ，则
故向量 在向量 上的投影的数量为 ，
又 ，所以 ，
所以向量 在向量 上的投影的数量的最小值是 .
故答案为： .
41．（2023·陕西渭南·统考一模）将函数 和直线 的所有交点从左到右依次记为 ， ，
…， ，若 ，则 ____________.
【答案】10
【分析】根据题意作出两个函数的图象分析交点个数，利用对称性化简向量的和即可求解.
【详解】如图可知：函数 和直线 共有5个交点，依次为 ，其中 ，
∵函数 和直线 均关于点 对称，则 关于点 对称，
∴ ，且 ，
故 .
故答案为：10.四、解答题(共0分)
42．（2023·全国·高三专题练习） 中， ， ， ， .
(1)若 ， ，求 的长度；
(2)若 为角平分线，且 ，求 的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）从向量角度，以 为基底，表示出 ，再用向量法计算 的模长，即 的长度；
（2）用正弦定理的面积公式分别A表示出 ， ， 面积，列出等式计算即可求出A的正弦值，继
而求出面积.
【详解】（1）∵ ， ，∴ ，
又∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，即： .
（2）在 中， ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ .43．（2023·全国·高三专题练习）已知圆的内接四边形ABCD中， ，BC=2， ．
(1)求四边形ABCD的面积；
(2)设边AB，CD的中点分别为E，F，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理与面积公式求解
（2）以 为基底分解，由平面向量数量积的运算律求解
（1）解：在 中， 在 中，
∵A，B，C，D四点共圆，∴
，∴ ，∴ ，因为 ，所以 ，所以
， ，
（2）解：由（1）可知 即外接圆的直径，设 的中点为 ， 所以
，
．
44．（2022秋·广东广州·高三广州市第一一三中学校考阶段练习）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点O是 的外心， ．
(1)求角A；
(2)若 外接圆的周长为 ，求 周长的取值范围，
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三角形外心的定义和向量数量积的几何意义对条件化简，然后利用正弦定理边化角，整理化简可
得；
（2）先求外接圆半径，结合（1）和正弦定理将三角形周长表示为角C的三角函数，由正弦函数性质可得.
【详解】（1）过点O作AB的垂线，垂足为D，
因为O是 的外心，所以D为AB的中点
所以 ，同理
所以 ，由正弦定理边化角得：
所以
整理得：
因为 ，所以
所以 ，即
又 ，
所以 ，得（2）记 外接圆的半径为R，
因为 外接圆的周长为 ，
所以 ，得
所以 周长
由（1）知 ，
所以
因为 ，所以
所以
所以 ，即
所以 周长的取值范围为
