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专题突破卷 21 圆锥曲线中的定直线问题
题型一：椭圆中的定直线问题
1．已知椭圆C： 的左右顶点分别为A，B，过 的直线与椭圆C交于E，
F两点（异于左右顶点），直线AE，BF相交于点P．
(1)求证：点P在定直线上；
(2)线段EF的中点为M，求 面积的最大值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）设直线EF： ，联立椭圆方程，结合韦达定理，再联立直线
的方程，即可求解；
（2）由题意将 转化成 ，结合（1）由 即可求解.
【详解】（1）由题意知直线EF斜率不为0，设直线 ： ， ，，
将直线EF与椭圆C的方程联立得 ，
消去x得 ，则 ， 是该方程的两根，
则 ， ，
将直线 方程联立，得
消去y，得 ，
解得点 的横坐标为 ，则点 在定直线 上．
（2）由题意知：
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！而
令
当 时，取等号，
所以 面积的最大值为
2．已知椭圆C： 的右顶点为 ，离心率为 ，过点 的直
线l与C交于M，N两点．
(1)若C的上顶点为B，直线BM，BN的斜率分别为 ， ，求 的值；
(2)过点M且垂直于x轴的直线交直线AN于点Q，证明：线段MQ的中点在定直线上．
【答案】(1)-3(2)证明见解析
【分析】（1）根据离心率和 ，待定系数法求出 ， ， ，得到椭圆方
程，设直线l的方程，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，
，代入两根之和，两根之积，求出 的值；
（2）设线段MQ的中点为 ，又M(x ,y )，故 ，根据三点共线，得
1 1
到 ，计算出 ，故 ，得到线段MQ的中点在定直线 上.
【详解】（1）由题意知 ，
解得 ， ， ，
所以C的方程为 ，
显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为： ，M(x ,y )，N(x ,y )，
1 1 2 2
由 ，得 ，
由方程 的判别式 ，可得 ，
所以 ， ，
易得 ，所以 ， ，
所以
，
（2）证明：设线段MQ的中点为 ，又M(x ,y )，N(x ,y )，
1 1 2 2
4
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以 ， ，即 ，又A，N，Q三点共线，
所以 ，即 ，
所以 ，又 ，
又
所以
，
所以 ，即线段MQ的中点在定直线 上．
3．已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，上､下顶点分别为 ，
四边形 的面积为 且有一个内角为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若以线段 为直径的圆与椭圆 无公共点，过点 的直线与椭圆 交于 两点（点 在点 的上方），线段 上存在点 ，使得 ，求 的最小值.
【答案】(1) 或 (2)
【分析】（1）由题意可得 的值及 的值，即求出椭圆的方程；
（2）由线段 为直径的圆与椭圆 无公共点，可得 ，分直线 的斜率存在
和不存在两种情况讨论，设直线 的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，
设点 的坐标，由 ，可得点 的横纵坐标的关系，由
，可得 的最小值.
【详解】（1）由题意可得 ，可得 ，
，或 ，
所以椭圆的方程为： 或 ；
（2）由以线段 为直径的圆与椭圆 无公共点，得 ，
所以椭圆 的标准方程为： ，
因为 ，所以点 在椭圆 外，
设 ，
6
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！当直线 的斜率存在时， ，
由 ，可得 ，解得 ，（*）
设直线 ，
联立 ，整理可得： ，
由 ，
整理可得： ，解得 或 ，
且 ，
代入 整理可得 ，
代入直线 的方程，得 ，
可得 ，
当直线 的斜率不存在时， ，则 ，
由 ，得 ，也满足方程 ，
所以点 在直线 （在椭圆 内部）上，设点F (1,0)关于直线 的对称点为 ，
2
则 解得 ，
所以 ，
此时点 在椭圆 内，符合题意，
所以 的最小值为 .
4．已知椭圆 的短轴长为 ，左、右顶点分别为 ，过右焦点
的直线 交椭圆 于 两点（不与 重合），直线 与直线 交于点 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)求证：点 在定直线上.
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【答案】(1) ；(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，求出 即可得解.
（2）设出直线 方程，与椭圆方程联立，再求出直线 与直线 的交点横坐标，并
结合韦达定理计算即得.
【详解】（1）依题意， ，半焦距 ，则 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）显然直线 不垂直于y轴，设直线 ，
由 消去x并整理得 ，
，设A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
则 ，且有 ，
直线 ，直线 ，
联立消去y得 ，即 ，
整理得 ，
即 ，
于是 ，而 ，
则 ，因此 ，
所以点 在定直线 上.5．已知椭圆 的左､右焦点分别为 是 上一点，且点
到点 的距离之和为 .
(1)求 的方程；
(2)斜率为 的直线 与 交于 两点，则 的外心是否在一条定直线上？若在，求
出该直线的方程；若不在，请说明理由.
【答案】(1) (2)存在，
【分析】（1）由已知可得 ，求解即可；
（2）设直线 的方程为 ，联立方程组可得 ，且 ，
，可求得 ，设直线 的方程为
，即 ，与椭圆联立方程组可得 ，
求得 的垂直平分线方程，同理可求 的垂直平分线方程，可求得 的外心在定直
10
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！线上.
【详解】（1）由题意，得 ，解得 ，
故 的方程为 .
（2） 的外心在定直线 0上.理由如下：
由题意设直线 的方程为 ，
联立 ，得 ，
所以 ，
即 ，且 .
设 的中点为 ，
则 ，
所以
，
即直线 与 的斜率互为相反数.设直线 的方程为 ，即 .
联立 ，得 ，
则 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以线段 的垂直平分线的方程为 ，
即 ①.
直线 的方程为 ，同理可得线段 的垂直平分线的方程为
②
联立①②，得 ，
得 ，
故 的外心在定直线 上.
6．已知椭圆 的两个顶点分别为 、 ，焦点在 轴上，离心率为 ，直线
12
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！与椭圆 交于 、 两点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)当 变化时，是否存在过点 的定直线 ，使直线 平分 ？若存在，求出该定
直线的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) (2)存在，
【分析】（1）根据题意，得到 ，由 ，求得 ，即可求得椭圆 的方程的标
准方程；
（2）假设存在定直线 ，设为 ，联立方程组求得 ，化简 ，设直线
、 及直线 的倾角分别为 ， ， ，且直线 与直线 交于点 ，利用斜率公式，
化简得到 且 ，求得 ，即可求解.
【详解】（1）解：由椭圆 的两个顶点分别为 、 ，可得 ，
又由 ，解得 ，
所以椭圆 的方程的标准方程为 .
（2）解：假设存在定直线 ，显然直线 的斜率存在，设为 ，且M(x ,y )、
1 1
N(x ,y )，
2 2
联立方程组 ，整理得 ，则 ，且 ， ，
由
.
设直线 、 及直线 的倾角分别为 ， ， ，设直线 与直线 交于点 ，
则 ， ，所以 ，
即 ，
所以 即 ，
化简得 且 ，
所以 ，解得 或 （舍），
所以存在过点 的定直线 ，使直线 平分 ，该定直线的方程为 ；
7．已知椭圆 的右焦点为 ，过点 且不垂直于坐标轴的直线交
于 两点， 在 两点处的切线交于点 ．
(1)求证：点 在定直线上，并求出该直线方程；
(2)设点 为直线 上一点，且 ，求 的最小值．
14
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【答案】(1)证明见解析， (2)12
【分析】（1）由题得出椭圆方程，设直线 方程为 ，
写出 两点处的切线方程，由对称性得，点 处于与 轴垂直的直线上，法一：两切线
方程联立得 ，再代入 即可证明；法二：由点 在两切线
上得直线 的方程 ，结合直线 过点F(1,0)，即可得出 ；
（2）由（1）得出直线 的方程，设直线 和 交于点 ，得出 为线段 的中点，
由弦长公式得出|AB|进而得出 ，由两直线夹角公式得出 ，得出
，根据基本不等式求解即可．
【详解】（1）由题意可知， ，
所以 ，所以椭圆方程为 ，
设直线 方程为 ，
联立 ，消 可得，(3+4k2)x2−8k2x+4k2−12=0，
所以 ，
因为过点 的切线为 ，过点 的切线为 ，
由对称性可得，点 处于与 轴垂直的直线上，
法一：联立 ，消去 得， ，将 代入上式得 ，
所以 点在直线 上．
法二：因为点 在两切线上，所以 ，
所以直线 的方程为 ，
又直线 过点F(1,0)，所以 ，解得 ．
（2）将 代入 得， ，
直线 的方程为 ，
设直线 和 交于点 ，联立 ，解得 ，
又 ，所以 为线段 的中点，
因为 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
16
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！故 的最小值为12．
8．已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 是C上一点，
.点 分别为C的上、下顶点，直线 ： 与C相交于 两点，
直线 交于点P.
(1)求C的标准方程；
(2)证明点Р在定直线 上，并求直线 ， 围成的三角形面积的最小值.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）设焦距，分类讨论 是否为直角，结合两点斜率公式与正切的差角公
式计算即可；
（2）设 坐标，联立椭圆方程利用韦达定理得横坐标的关系，再含参表示 方
程，化简计算得点Р在定直线 ： 上，设直线 与直线 的交点分别为 ，
含参表示其坐标求三角形面积的最值即可.
【详解】（1）设椭圆的焦距为 ，则 .
①当 时，则 ，满足题意；
②当 时，则 ，分别设直线 的斜率为 ，则 ， ，
所以 ，即 ，
整理得 ，解得 或 .
又 ，且 ，所以没有c满足方程 .
综上 ，
因为点 在椭圆C上，所以 ，
又 ，解之得 ， ，
所以C的方程为 ；
（2）设 ，联立方程组 ，
整理得 ，
则 ， ，显然 ，
由椭圆解析式 知其上下顶点坐标为： ，
可得直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，
18
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！则
，
解得 ，
故点Р在定直线 ： 上，
设直线 与直线 的交点分别为E，F，
易得E ，F
，
当且仅当 时，等号成立.
9．平面直角坐标系xOy中，面积为9的正方形 的顶点 分别在x轴和y轴上滑动，
且 ，记动点P的轨迹为曲线 ．
(1)求 的方程；
(2)过点 的动直线l与曲线 交于不同的两点 时，在线段 上取点Q，满足．试探究点Q是否在某条定直线上？若是，求出定直线方程；若
不是，说明理由．
【答案】(1) (2)点Q在定直线上，定直线方程为
【分析】（1）设点 的坐标，利用平面向量的坐标表示消参得 ，结合正方
形面积得 的方程；
（2）设 ， 的坐标，与椭圆联立并根据韦达定理得 横坐标关系，
再根据线段乘积关系化为比值关系得 ，化简得 ，代入直线方程即
可 ，从而求出定直线方程.
【详解】（1）设 ，
由 ，得 ，
所以 ，
因为正方形ABCD的面积为 ，即 ，
所以 ，整理可得 ，
因此C的轨迹方程为 ．
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（2）依题意，直线l存在斜率，设l： ，即 ，
设点 ，M(x ,y )，N(x ,y ) ，
1 1 2 2
由 ，消y得 ，
即 ，
由
，
可以得到 ，
所以 ，
可得 ， ，
由 ，得 ，
所以 ，
可得
，
所以 ，因为 ，
所以点Q在定直线上，定直线方程为 ．
10．已知椭圆 的离心率为 ，点 在 上．
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线交 于P，Q两点，过点 作垂直于 轴的直线与直线AQ相交于点
，证明：线段PM的中点在定直线上．
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
【分析】（1）由题意联立方程组解出 ，代入即可求解；
（2）设点直曲联立，解法一利用整体法求出中点坐标 与 的关系 ，进而
得出结论；解法二利用根与系数的关系寻求 与 的关系，进而确定 与 的函数关
系得以证明.
【详解】（1）由题意可得 ，解得 ，所以 的方程为 ．
（2）
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！如图：设 的中点 ，
则直线AQ方程为 ，所以 ，
于是 ，
由题可知直线PQ的斜率存在，设PQ的方程为 ，
联立 ，
解法一：消去 得 ，
所以 ， ，即 ．
则有 ，
又因为 ，
所以 ，
于是 ，
即 ，即 ，即 ，
即点 在直线 上．
解法二：
，
，即
故点 的纵坐标 为：
，
即 ， ，
即 ，
又因为 ，
即 ，所以 ，
故 ，同理 ，所以 即 ，
即点 在直线 上．
题型二：双曲线中的定直线问题
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11．已知双曲线 的右焦点为 ，过点 的直线 交双曲线 于点 ，
且 的最小值为 .
(1)求 的方程；
(2)若 均在 的右支上且 的外心落在 轴上，求直线 的方程.
【答案】(1) (2) 或
【分析】（1）分别求出 均位于双曲线 的右支时或 分别位于双曲线 的左､右支
时|AB|的最小值，再根据题意进行取舍，进而求出曲线 的方程即可；
（2）先讨论斜率不存在时，不符合题意；当直线 的斜率存在时，直线与双曲线联立，解
出 的取值范围，由 的外心 落在 轴上，可得 ，则
，最后解出 的值，进而解出直线 的方程.
【详解】（1）当 均位于 的右支时， ，
当 分别位于 的左､右支时， ，
因为 ，且 ，所以 （舍），
所以 ，即 ，
所以双曲线 的方程为 .
（2）由曲线 的方程为 ，可得 ，
当直线 的斜率不存在时，直线的方程为 ，解得 ，
则 ，
此时， 为等腰三角形， 边上中垂线为 轴，
若外心 的横坐标 ，则 ，但此时 ， ，
由 ，则不符合题意；
当直线 的斜率存在时，设 ，联立 消去 可得
，
由题意知 恒成立，
设A(x ,y ),B(x ,y )，则 ，
1 1 2 2
由于 位于双曲线 的右支，所以 ，即 ，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！解得 或 ，
.
设 的中点 ，
则 在 的中垂线上，设直线 的斜率为 ，则 ，
所以 ，显然 ，则 ，可得 ，
由 ，则 ，
又因为 ，
可得: ，
整理得 ，
，
即 ，由 ，则 ，满足 ，
所以直线方程为 ，即 或 .
12．动点 与定点 的距离和它到定直线 的距离的比是2，记动点 的
轨迹为曲线 .
(1)求 的方程；
(2)过 的直线 与 交于 两点，且 ，若点 满足 ，
证明：点 在一条定直线上.【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）根据题意列等式，然后化简即可得到 的方程；
（2）分斜率为0和不为0两种情况考虑，当直线 的斜率为0时得到 ，当直线
的斜率不为0时，联立直线和双曲线方程，结合韦达定理和 得到点 在定直
线 上，又 也在直线 上，即可证明点 在一条定直线上.
【详解】（1）由题意知 ，所以 ，
所以 ，
化简得， 的方程为 .
（2）
依题意，设 ，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！①当直线 的斜率为0时，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，从而 ，
则 ，即 ，解得 ，即 .
②当直线 的斜率不为0时，设 的方程为 ，
由 消去 ，得 ，
则 且 ，
因为 ，所以 ，
消去 ，得 ，
所以 ，
从而 ，
又 也在直线 上.
综上，点 在直线 上.
13．在平面直角坐标系 中，O为坐标原点， ，动点P满足 ，
设点P的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)过点 的直线l与曲线 在y轴右侧交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点D，满足 ．证明：点D在定直线上．
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）设点P的坐标为 ，根据斜率乘积为定值化简即可；
（2）设直线l的方程为 ，联立双曲线方程得到韦达定理式，化简弦长得
，代入韦达定理式计算即可.
【详解】（1）设点P的坐标为 ，
由 得 ，化简整理得 ，
所以曲线 的方程为 .
（2）若直线l的斜率不存在，则直线l与曲线 只有一个交点，不符合题意，
所以直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为 ，
设点 ，
联立方程组 ，整理得 ，易知 ，
，解得 ，
，解得 或 ，
综上 或 ，
30
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！因为 ，
同理由 得 ，
化简整理得 ，
所以 ，
化简整理得 ，代入 ，
化简整理得 ，
所以点D在定直线 上．
14．已知双曲线C的中心为坐标原点O，C的一个焦点坐标为 ，离心率为 ．
(1)求C的方程；
(2)设C的上、下顶点分别为 ， ，若直线l交C于 ， ，且点N在第
一象限， ，直线 与直线 的交点P在直线 上，证明：直线MN过定点．
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
【分析】（1）利用待定系数法即可求解双曲线方程；
（2）首先设直线MN： ，并得到韦达定理，并表示直线 ， 的方程，根据交点在直线 上，化简得到 ，即可得证．
【详解】（1）由题意得 ， ，则 ，所以 ，
故C的方程为 ；
（2）证明：由已知条件得直线MN的斜率存在，设直线MN： ，
联立 ，消去y整理得， ，
由题设条件得 ， ，
则 ， ．
由（1）得 ， ，
则直线 ： ，直线 ： ，
两式相除得 ．
因为直线 与直线 的交点P在直线 上，所以 ．
32
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！因为 ，所以 ，即 ，
所以 ．
又 ，
，
所以 ，解得 ，
所以直线MN过定点 ．
15．已知双曲线 的左､右顶点分别是 ，直线 与 交于 两点（不与
重合），设直线 的斜率分别为 ，且 .
(1)判断直线 是否过 轴上的定点.若过，求出该定点；若不过，请说明理由.
(2)若 分别在第一和第四象限内，证明：直线 与 的交点 在定直线上.
【答案】(1)过定点 .(2)证明过程见解析
【分析】（1）根据题意设出直线 的方程，联立直线与双曲线的方程，得出韦达定理的等
式，再通过斜率之间的关系即可得出 ，即可得出定点坐标.
（2）根据题意得出两条直线方程，再联立化简得到关于 的等式，从而得到定直线方程.【详解】（1）由题意可知 ，设直线 的方程为
.
由 消去 ，可得 ，
则 ， ，即 ，
.
因为
，
所以 ，
故直线 的方程为 ，恒过点 .
（2）由题可知，直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
因为
，
所以 ，故点 在定直线 上.
34
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16．已知双曲线C： ，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于
A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为 .
(1)求C的方程；
(2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB
交于点N， ， 均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理
由.
【答案】(1) (2)存在，
【分析】
（1）由点A的坐标求得 ，结合双曲线的定义求得 ，进一步计算得出双曲线的方程即可；
（2）设直线PQ的方程为 ，与双曲线联立得出韦达定理，结合两个向量共
线的坐标表示求得 ，得到直线l的方程.
【详解】（1）
由已知C： ，点A的坐标为 ，得 ，
焦点 ， ， .
所以 ， ，故C： .（2）设l的方程为 ，则 ，故 ，
由已知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为 ，故 .
与双曲线方程联立得： ，
由已知得 ， ，设 ， ，
则 ， ①
由 ， 得： ， ，
消去 得： ，
即 ②
由①②得： ，由已知 ，
故存在定直线l： 满足条件.
17．已知曲线 上的动点 满足 ，且 .
(1)求 的方程；
(2)若直线 与 交于 、 两点，过 、 分别做 的切线，两切线交于点 .在以下两
个条件①②中选择一个条件，证明另外一个条件成立.
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！①直线 经过定点 ；
②点 在定直线 上.
【答案】(1) ( )(2)答案见解析
【分析】（1）由双曲线的定义得出曲线 的方程；
（2）若选择①证明②成立：利用导数得出过 和过 的方程，从而得出交点 的横坐标，
再由 证明点 在定直线 上；若选择②证明①成立：利用导数
得出过 和过 的方程，从而得出 ，再由直线 的方程
证明直线 经过定点 .
【详解】（1）因为 ，
所以曲线 是以 、 为焦点，以 为实轴长的双曲线的右支,
所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，得 ，
所以曲线 的方程为 ( ).
（2）若选择①证明②成立.
依题意， 在双曲线右支上，此时直线 的斜率必不为 ，
设直线方程为 ， ，不妨设 在第一象限， 在第四象限.
因为 ，所以 ，且 ，求导得 ，
所以过点 的直线方程为 ，化简为 ①，同理 ②，
联立方程①②得,交点 的横坐标为 ，
因为 、 点在直线 上，所以 ，
所以 ，
所以 的横坐标 .
即点 在定直线 上.
若选择②证明①成立.
不妨设 在第一象限， 在第四象限.设 ，
因为 ，所以 ，且 ，
求导得 ，所以过点 的直线方程为 ，
化简为 ①，同理 ②
联立方程①②得交点 的横坐标为 ，
由题意， ，
即 ③.
因为 ，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以过直线 的方程为 ，
化简 ，
整理得
由③式可得 ,
易知 ，即直线 过定点 .
18．已知双曲线C： 的离心率为 ，过点 的直线l与C左右
两支分别交于M，N两个不同的点（异于顶点）．
(1)若点P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN斜率之积（O为坐标原点）；
(2)若A，B为双曲线的左右顶点，且 ，试判断直线AN与直线BM的交点G是否在
定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由
【答案】(1)1(2)是在定直线上，定直线
【分析】（1）根据题意列出方程组得到 ，设 ， ， ，利用
点差法即可求解；
（2）根据（1）的结论得出 ， ，设直线l： ， ，设 ，
，联立直线与曲线方程，利用韦达定理联立直线 与直线 的方程得出 ，
进而得证.【详解】（1）由题意得 ，所以 ，
设 ， ， ，
则 ，
作差得 ，
又MN的斜率 ， ，
所以 .
（2）∵ ，∴ ， ， ，
直线l： ， ，
设 ， ，
联立 得 ，
所以 ，所以 ，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！设直线AN： ，BM： ，
所以 ，
所以 ．故存在定直线 ，使直线AN与直线BM的交点G在定直线上．
19．已知双曲线 的离心率为 ，左､右焦点分别为 ，点
坐标为 ，且 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)过点 的动直线 与 的左､右两支分别交于两点 ，若点 在线段 上，满足
，证明： 在定直线上.
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）根据离心率设 ，代入 得到 ，得到答案.
（2）设 ，联立方程得到根与系数的关系，根据 得到
，代入数据整理得到 ，得到答案.
【详解】（1）设 ，因为双曲线 的离心率为 ，
设 ，
所以 ，所以 ，解得 或 （舍），
所以双曲线 的方程为 ，
（2）设 ，当直线斜率不存在时不成立，设 ，
即 ，
由 ，可得 ，
由于点 在双曲线 内部，易得 ，所以 .
设 ，根据题意， ，又 ，可得 ，
整理得： ，
即 ，化简得
又 ，消去 ，得 ，
所以点 在定直线 上.
20．已知 、 分别为双曲线 的上、下焦点，其中 坐标为
42
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！点 是双曲线 上的一个点.
(1)求双曲线 的方程；
(2)已知过点 的直线与 上支交于不同的A、B两点，在线段
AB上取点Q，满足 ，证明：点Q总在某条定直线上.
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）根据焦点坐标与双曲线过点 ，得到 、 的方程，解得即可；
（2）设直线与双曲线交于 ， ，点 ，依题意 ，
，即可得到 ，从而得到动点的轨迹方程.
【详解】（1）由 坐标为 得 ，
点 在双曲线 上得 ，
解得 ，双曲线方程为
（2）设直线与双曲线交于 ， ，点 ，
由 得 且 ， ， ，
代入坐标得 ， ，
整理得： ① ②，得 ③，
同理 ④， ⑤，得 ⑥，由于双曲线 上的点满足 ，
⑥ ③得 ，
即 ，所以 ，
表示点 在定直线 上.
题型三：抛物线中的定直线问题
21．已知抛物线 ，过点 的直线 与 交于不同的两点 .当直线
的倾斜角为 时， .
(1)求 的方程；
(2)在线段 上取异于点 的点 ，且满足 ，试问是否存在一条定直线，使
得点 恒在这条定直线上？若存在，求出该直线；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) (2)点 恒在直线 上.
【分析】（1）先求直线 的方程，再与抛物线联立组成方程组，利用韦达定理及两点距离
公式，求弦 的长即可；
（2）设直线 方程，再与抛物线联立组成方程组，利用韦达定理及相似三角形求解即可.
【详解】（1）设A(x ,y ),B(x ,y ).
1 1 2 2
44
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！若直线 的倾斜角为 ，则直线 的方程为 .
联立 得 ，
则 ，
且 ，
所以 .
因为 ，所以 ，故 的方程为 .
（2）存在，定直线为 .
由题意知直线 的斜率存在，
设直线 的方程为 ， .
联立 得 .
由 ，得 且 ，
.
不妨设 ，则 ，
过点 向 轴作垂线，垂足分别为点 ，如图所示，
则 ， .
因为 ，所以 ，
整理得 ，所以 .代入直线 的方程得 .
因为 ，所以点 恒在直线 上.
22．已知抛物线 的焦点为 ，过 作互相垂直的直线 ，分别与 交
于 和 两点（A，D在第一象限），当直线 的倾斜角等于 时，四边形 的
面积为 ．
(1)求C的方程；
(2)设直线AD与BE交于点Q，证明：点 在定直线上．
【答案】(1) (2)证明见解析.
【分析】（1）由抛物线的对称性知 ，由四边形的面积求出 ，又 的方
程为 ，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理及焦点弦公式求出 ，即可得解；
（2）设直线 的方程为y=k(x−1) ，则直线 的方程为 ，设
A(x ,y ),B(x ,y )，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，表示出直线 、
1 1 2 2
的方程，联立解得 ，即可得证.
【详解】（1）当直线 的倾斜角等于 时，直线 的倾斜角等于 ，
46
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！直线 的方程为 ，由抛物线的对称性知 ，
所以 ，得 ．
联立方程组 ，消去 得 ．
设 两点的横坐标分别为 ，则 ， ．
又 ，所以 ，所以 的方程为 ．
（2）由（1）知F(1,0)，依题意，可设直线 的方程为y=k(x−1) ，
则直线 的方程为 ．
联立方程组 消去 得 ，显然 ，
设A(x ,y ),B(x ,y )，则 ．
1 1 2 2
设 ，同理可得 ，
所以 ，同理可得 ．
直线 的方程为 ，
即 ．
同理，直线 的方程为
．
两直线方程联立得 ，解得 ，即直线 与 的交点 在定直线 上．
23．若抛物线 的方程为 ，焦点为 ，设 是抛物线 上两个不同的动点.
(1)若 ，求直线 的斜率；
(2)设 中点为 ，若直线 斜率为 ，证明 在一条定直线上.
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）根据焦半径公式得到 ，求出 ，从而求出斜率；
（2）法一： ，联立抛物线方程，设 ，得到两根之和，
两根之积，得到 ，求出答案；
法二：设 ，得到 ，从而确定 ，得到
，得到答案.
【详解】（1） ，
48
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！，将 代入 得， ，
所以 ；
（2）法一：设 ，
，即 ，
代入 ，得 ，
由韦达定理，有 ，
故 ， 在定直线 上.
法二：设 ，
由题意， ，
故 ，
故 ， 在定直线 上.
24．已知抛物线C:x2= y，过点 作直线交抛物线C于A，B两点，过A，B两点分别
作抛物线C的切线交于点P．
(1)证明：P在定直线上；
(2)若F为抛物线C的焦点，证明：∠PFA=∠PFB．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）设出A(x ,x2)，B(x ,x2)，求出直线 的方程，与抛物线联立，由 与
1 1 2 2
都和抛物线相切，得到两条切线的方程联立证明即可；
⃗FA⋅⃗FP ⃗FB⋅⃗FP
（2）要证∠PFA=∠PFB．即证 = ，求出向量的坐标证明即可.
|⃗FA| |⃗FB|
x2−x2
【详解】（1）证明：设A(x ,x2)，B(x ,x2)，则k = 1 2=x +x ，
1 1 2 2 AB x −x 1 2
1 2
直线 的方程为y−x2=(x +x )(x−x )，即y=(x +x )x−x x ，
1 1 2 1 1 2 1 2
又因为直线 过点E(0,2)，所以−x x =2，即 ，
1 2
设直线 的方程为y−x2=k(x−x )，与抛物线方程 联立，解得 或x=k−x ，
1 1 1
又因为直线 与抛物线相切，所以x =k−x ，即k=2x ，
1 1 1
所以直线 的方程为y−x2=2x (x−x )，即y=2xx −x2 ，
1 1 1 1 1
同理直线 的方程为y=2xx −x2 ，
2 2
{y=2xx −x2 (x +x ) (x +x )
由 1 1 ，解得P 1 2,x x ，即P 1 2,−2 ，
y=2xx −x2 2 1 2 2
2 2
故点P在直线 上．
⃗FA⋅⃗FP ⃗FB⋅⃗FP
cos∠PFA= cos∠PFB=
（2）证明：∵ ， ，
|⃗FA|⋅|⃗FP| |⃗FB|⋅|⃗FP|
⃗FA⋅⃗FP ⃗FB⋅⃗FP
注意到两角都在(0,π)内，可知要证∠PFA=∠PFB．即证 = .
|⃗FA| |⃗FB|
而⃗FA= ( x ,x2− 1) ，⃗FP= (x 1 +x 2,− 9) ，
1 1 4 2 4
50
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以⃗FA⋅⃗FP=x ⋅
x
1
+x
2−
9(
x2−
1)
=−
7
(4x2+1)，
1 2 4 1 4 16 1
又|F ⃗ A|= √ x2+ ( x2− 1) 2 =x2+ 1 ，
1 1 4 1 4
7
− (4x2+1)
⃗FA⋅⃗FP 16 1 7 ⃗FB⋅⃗FP 7
所以 = =− ，同理 =− ，
|⃗FA|
x2+
1 4 |⃗FB| 4
1 4
⃗FA⋅⃗FP ⃗FB⋅⃗FP
即有 = ，故∠PFA=∠PFB．
|⃗FA| |⃗FB|
25．已知抛物线 的焦点为 ，直线 ： 与直线 与抛物
线 分别交于点 和点 .
(1)若 ，求 的面积；
(2)若直线 与 交于点 ，证明：点 在定直线上.
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）联立抛物线与直线 ，消去 得 ，设 ，由
韦达定理得出 ，即可根据抛物线弦长公式得出|PQ|，再由点到直线的距离公
式得出点F(1,0)到直线 的距离，即可根据三角形面积公式得出答案；（2）设 ， ，分别联立抛物线与直线 和抛物线
与直线 ，消去 根据韦达定理得出 ， ，根据直线的点斜式化简得出直线
与 的方程，即可联立两直线方程消去 ，再代入 ， ，化解得出定直
线.
【详解】（1）
依题意，F(1,0)，
联立 ，得 .
设 ，
故 ，
故 ，
，
52
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！点F(1,0)到直线 的距离 ，
故 .
（2）
设 ， ，
联立 得 ，
则 .
同理可得， .
则直线 ，
化简得， ，
同理可得，直线 ，
联立①②消去 可得，故点 在直线 上.
26．已知抛物线 ，过点 的两条直线 、 分别交 于 、 两点
和 、 两点．当 的斜率为 时， ．
(1)求 的标准方程；
(2)设 为直线 与 的交点，证明：点 在定直线上．
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）当直线 的斜率为 时，写出直线 的方程，设点 、 ，将
直线 的方程与抛物线 的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可得出关于 的方程，
结合 可求出 的值，即可得出抛物线 的标准方程；
（2）分析可知直线 、 都不与 轴重合，设直线 的方程为 ，将该直线的方
程与抛物线的方程联立，设 、 ，由韦达定理可得 ，同理可得
出 ，写出直线 、 的方程，求出这两条直线的交点 的横坐标，即可证得结
论成立.
【详解】（1）解：当直线 的斜率为 时，直线 的方程为 ，设点 、
，
54
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！联立 可得 ，
，因为 ，可得 ，
由韦达定理可得 ， ，
，
整理可得 ，解得 或 （舍去），
因此，抛物线 的方程为 .
（2）证明：当直线 与 轴重合时，直线 与抛物线 只有一个交点，不合乎题意，
所以，直线 不与 轴重合，同理可知直线 也不与 轴重合，
设直线 的方程为 ，联立 可得 ，
则 可得 ，
设点 、 ，由韦达定理可得 ，
设直线 的方程为 ，设点 、 ，同理可得 ，
直线 的方程为 ，即 ，
化简可得 ，
同理可知，直线 的方程为 ，
因为点 在抛物线的对称轴上，由抛物线的对称性可知，交点 必在垂直于 轴的直线上，所以只需证明点 的横坐标为定值即可，
由 ，消去 ，
因为直线 与 相交，则 ，
解得
，
所以，点 的横坐标为 ，因此，直线 与 的交点 必在定直线 上.
27．已知抛物线C： ，过 的直线与C相交于A，B两点，其中O为坐标原点.
(1)证明：直线OA，OB的斜率之积为定值；
(2)若线段AB的垂直平分线交y轴于M，且 ，求直线AB的方程.
【答案】(1)证明见解析(2) 或
【分析】（1）直线与抛物线方程联立，利用韦达定理表示斜率乘积；
56
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（2）结合二倍角公式，求 ，以及弦长公式求 ，并利用韦达定理表示 ，
利用比值，即可求直线方程.
【详解】（1）设 ，设直线AB：x=my+1.
联立 化简可得：
由韦达定理可得： ；
所以 ，
所以直线OA，OB的斜率之积为定值 .
（2）设线段AB的中点N，设 .
则 ，解得 ，
所以 ，即 ；
所以 ；
又线段AB的中点N，可得 ，所以 .
因为 ，所以 ，所以 .
所以 ，解得 ；
所以直线AB的方程为： 或 .
28．已知抛物线 和圆 ，倾斜角为45°的直线 过 的焦
点且与 相切．
(1)求p的值：
(2)点M在 的准线上，动点A在 上， 在A点处的切线l 交y轴于点B，设
2，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程．
【答案】(1) ；(2)证明见解析，定直线方程为 .
【分析】
（1）设直线l1的方程为 ，再根据直线和圆相切求出 的值得解；
（2）依题意设 ，求出切线l2的方程和B点坐标，求出 ，
，即得证.
【详解】（1）
由题得抛物线 的焦点坐标为 ，
设直线l1的方程为 ，
由已知得圆 的圆心 ，半径 ，
因为直线l1与圆 相切，
所以圆心到直线 的距离 ，
即 ，解得 或 （舍去）．
所以 .
（2）
依题意设 ，由（1）知抛物线 方程为 ，
所以 ，所以 ，设A ， ），则以A为切点的切线l2的斜率为
58
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以切线l2的方程为 ．
令 ，即l2交y轴于B点坐标为 ，
所以 ，
∴ ，
∴ ．
设N点坐标为（x，y），则 ，
所以点N在定直线 上．
29．已知直线 与抛物线C： 交于A，B两点，分别过A，B两点作C的切线，
两条切线的交点为 .
(1)证明点D在一条定直线上；
(2)过点D作y轴的平行线交C于点E，线段 的中点为 ，
①证明： 为 的中点；
②求 面积的最小值.
【答案】(1)证明见解析(2)①证明见解析；②
【分析】（1）求导得到 ，确定切线方程，化简得到A，B两点两点都在直线
上，对比得到 ， ，得到答案.
（2）联立方程得到根与系数的关系，计算得到 的横坐标均为 ，纵坐标满足，得到证明，计算 ，点到直线的距离为 ，计算
面积得到答案.
【详解】（1）设 ， ， ，由 得 ，
C在点A处的切线方程为 ，
将 代入上式得 ，故 ，
同理 ，
A，B两点两点都在直线 上，
所以直线 与直线 是同一直线，故 ， ，
即点D在定直线 上.
（2）① ，即 为 ， 为 ，
将 与 联立得 ， ，
故 ，
线段 的中点为 ，故 三点共线，
60
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！， ，故 为 的中点.
② ， ，
点 到直线 的距离为：
，
（当 时取等），
面积的最小值为 .
30．已知直线 与抛物线C： 交于A，B两点，分别过A，B两点作C的切线，
两条切线的交点为D．
(1)证明点D在一条定直线上；
(2)过点D作y轴的平行线交C于点E，求 面积的最小值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）设 ， ， ，利用导数的几何意义求出点 处的切
线方程，即可得到 ，同理 ，从而得到直线 与直
线 是同一直线，即可求出 ，从而得解；
（2）由（1）知 则 为 ，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，
即可表示出 点坐标，即可得到 为 的中点，再用弦长公式表示出 及 到直线
的距离 ，即可求出 的最小值，即可得解.
【详解】（1）设 ， ， ，由 得 ，则在点 处的切线方程为 ，
将 代入上式得 ，
∴ ，
同理 ，
∴ ， 两点都在直线 上，所以直线 与直线 是同一直
线，
∴ ， ，即点 在定直线 上．
（2）由（1）可知， ，即 为 ，∴ 为 ，
将 与 联立得 ，
∴ ， ，
∴线段 的中点为 ，
∴ ， ， 三点共线，且 为 的中点．
∵ ，
到直线 的距离 ，
∴ （当 时取等）
∵ ，
∴ 面积的最小值为 ．
62
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1．椭圆 的左右焦点分别为 ，焦距为 ，点M为椭圆上位
于x轴上方的一点， ，且 的面积为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点 的直线l与椭圆交于A，B两点，且 ，求直线l的方程.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）依题意可得 ，根据椭圆的定义、三角形面积公式及勾股定理求
出 ，即可求出 ，从而得解；
（2）首先求出 的坐标，分直线 的斜率为 与不为 两种情况讨论，当直线 的斜率不
为 时，设直线 的方程为 ， ， ，，联立直线 与椭圆的方程，
结合韦达定理可得 ， ，由 ，推出 ，解得 ，
进而可得答案．
【详解】（1）解：因为 ，所以 ，即 ，所以
，所以又 ， ， ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，
所以椭圆方程为 .
（2）解：由（1）知 ， ，所以 ，即
，
当直线 的斜率为 时，此时 ，不合题意，
当直线 的斜率不为 时，设直线 的方程为 ， ， ，
联立 ，得 ，
所以 ， ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
解得 或 ，
当 时，直线 过点 ，不符合题意，
64
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以直线 的方程为 ．
2．已知 为 的两个顶点， 为 的重心，边 上的两条中
线长度之和为6.
(1)求点 的轨迹 的方程.
(2)已知点 ，直线 与曲线 的另一个公共点为 ，直线 与
交于点 ，求证：当点 变化时，点 恒在一条定直线上.
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）由三角形重心的性质与椭圆的定义求解即可；
（2）设直线 的方程为： ， ，联立直线与椭圆，再表示出直
线又直线 与 的方程，联立求出交点，即可求解
【详解】（1）因为 为 的重心，且边 上的两条中线长度之和为6，
所以 ,
故由椭圆的定义可知 的轨迹 是以 为焦点的椭圆（不包括长轴的端点），
且 ，所以 ，
所以 的轨迹 的方程为 ；
（2）设直线 的方程为： ， ，
联立方程 得： ，
则 ，所以 ，
又直线 的方程为： ，
又直线 的方程为： ，
联立方程 得： ，
把 代入上式得：
，
所以当点 运动时，点 恒在定直线 上
3．已知椭圆 的左、右顶点分别为 ， ，且 ，离心率为
，过点 的直线l与椭圆C顺次交于点Q，P．
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在定直线 与直线 交于点G，使 ，G，Q共线．
【答案】(1) (2)存在 满足条件，分析见解析.
【分析】(1)由条件列关于 的方程，解方程可得椭圆C的方程；(2)联立方程组，利用
设而不求结论求直线 ， 的交点，由此确定 的方程.
【详解】（1）∵ ，所以 ，故 ，
66
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∵ ∴ ，又 ，所以
∴椭圆C的方程为∴
（2）由已知可得直线l的斜率一定存在，
设直线l的方程为
得： ，
．
设 ， ，则
，
∴
， ，
， ，
令
∴ ，
∴
∴存在直线 满足题意
4．已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ， 且双曲线 经过点 ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)过点 作动直线 ，与双曲线的左、右支分别交于点 、 ，在线段 上取异于
点 、 的点 ，满足 ，求证：点 恒在一条定直线上．
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）求出 的值，利用双曲线的定义可求得 的值，再根据 可求得
的值，即可得出双曲线 的方程；
（2）设点 、 、 ，设 ，可得出 ，根
据向量的坐标运算结合 化简可得出关于 、 所满足的一元二次方程，即可
证得结论.
【详解】（1）解：因为 ，则 ，
由双曲线的定义可得
，
所以， ，则 ，
因此，双曲线 的方程为 .
68
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（2）证明：设点 、 、 ，
则 ，可得 ，
设 ，则 ，其中 ，
即 ，整理可得 ，
所以， ， ，
将 代入 可得 ，
将 代入 可得
，即 ，
所以，点 恒在直线 上.
5．在直角坐标平面内，已知 ， ，动点 满足条件：直线 与直线 的斜
率之积等于 ，记动点 的轨迹为 ．
(1)求 的方程；
(2)过点 作直线 交 于 ， 两点，直线 与 交点 是否在一条定直线上？
若是，求出这条直线方程；若不是，说明理由．【答案】(1) (2)点 在直线 上
【分析】（1）设P(x,y) ，由斜率公式得到方程，整理即可得解；
（2）依题意直线 的斜率不为 ，设直线 的方程为 ， ， ，
联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，表示出直线 、 的方程，即可得到
直线 ， 的交点 的坐标满足 ，根据韦达定理求出
，即可求出 ，从而得解.
【详解】（1）解：设P(x,y) ，则 ，得 ，即
，
故轨迹 的方程为： ．
（2）解：根据题意，直线 的斜率不为 ，
设直线 的方程为 ，
由 ，消去 并整理得 ，
其中 ．
设 ， ，则 ， ．
显然 ，
从而可设直线 的方程为 ①，
70
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！直线 的方程为 ②，
所以直线 ， 的交点 的坐标满足： ．
而
，
因此， ，即点 在直线 上．
6．已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为 ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)已知点 是双曲线 的右支上异于顶点 的任意点，点 在直线 上，且 ，
为 的中点，求证：直线 与直线 的交点在某定曲线上．
【答案】(1) (2)证明见解析.
【分析】（1）根据右焦点和渐近线方程，可列出关于 的方程，进而求解即可；
（2）先设出 和直线 与直线 的交点，先表示出 坐标，再由 ，列出方程
组，最后消参可得定曲线方程.
【详解】（1）解：由于双曲线右焦点为 ，渐近线为 ，
所以 ， ，
解得 ，
所以双曲线 的方程为：（2）证明：设 ，直线 与直线 的交点为 ，
设直线 为 ，
由题可知： ，
联立 ，化简得 ，
所以 ，由 可得 ，
那么 ，
所以 ，
由于 是 中点，所以 ，
因为 ，所以 且 ，解得 ，
因为直线 与直线 的交点为 ，
根据斜率相等可得 ，
代入 的坐标得
化简得 ，
将两式相乘得 ，即为 ，
72
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以直线 与直线 的交点在定曲线 上.
7．设抛物线 的焦点为 ，过 且斜率k 的直线 与 交于A，D两点，
.
（1）求 ；
（2）若 在 上，过点 作 的弦 ， ，若 ，证明：直线 过定点，
并求出定点的坐标.
【答案】（1） ；（2）证明见解析，定点 .
【分析】（1）设出 的方程为 ，与抛物线 联立方程组，表示出弦长
，求出斜率k；
（2）设直线 : ，联立 把 表示为 ，找出m、n的
关系，把直线 用点斜式表示，得到直线过定点.
【详解】解：（1）由题意得 ， 的方程为 ， ，
设 ， ，
由 ，得 ，
，故 ，
所以 ，
解得 (舍)， .
（2）因为 在 上，所以 ，
设直线 的方程为 ， ， .联立 ，得 ，
由 得 ， ， .
因为 ，所以 .
所以 ，又因为 ， ，
所以 ，
所以 或 ，
所以 或 .
因为 恒成立，所以 ，
所以直线 的方程 ，
所以直线 过定点 .
8．已知F为抛物线 的焦点，直线 与C交于A，B两点且
.
（1）求C的方程.
（2）若直线 与C交于M，N两点，且 与 相交于点T，证明：点
T在定直线上.
【答案】（1） ；（2）证明见解析．
【分析】（1）解：设 ， ，直线方程与抛物线方程联立方程组消去 后应
用韦达定理得 ，利用焦半径公式及韦达定理的结果可求得 得抛物线方程；
74
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（2）设 ， ， ，把 两点坐标代入抛物线方程相减琍
，同理可得 ，然后求得交点 的横坐标为常数即证（由 ．
化为坐标表示后相加即可得）．
【详解】（1）解：设 ， ，由 ，得 ，
则 ，
从而 ，
解得 ，故 的方程为 .
（2）证明：设 ， ， ， .
因为 ，所以 .
根据 得 ，则 ，
同理得 .
又 两式相加得 ，
即 ，由于 ，所以 .
故点 在定直线 上.
9．设抛物线 的焦点为 ，过点 的动直线 与抛物线 交于 ，
两点，当 在 上时，直线 的斜率为 .
（1）求抛物线的方程；
（2）在线段 上取点 ，满足 ， ，证明：点 总在定直线上.【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用直线 的斜率列方程，化简求得 ，由此求得抛物线方程.
（2）设直线 的方程为 ，联立直线 的方程和抛物线方程，化简写出根与系数
关系.利用向量的坐标运算建立 中 的关系式，由此求得 点所在定直线方程.
【详解】（1）由题意，得 ，则 ，解得 ，
故抛物线的方程为 .
（2）证明：设 ， ， ，
直线 的方程为 .
由 得 ，
， .
由 ， ，得 ， ，
故 ，化简得 .
又 ，故 ，
化简得 ，
即 ，则 或 .
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！当点 在定直线 上时，直线 与抛物线 只有一个交点，与题意不符.
故点 在定直线 上.
10．已知抛物线C： （ ）与圆O： 相交于A，B两点，且点A的
横坐标为 .F是抛物线C的焦点，过焦点的直线l与抛物线C相交于不同的两点M，N.
（1）求抛物线C的方程.
（2）过点M，N作抛物线C的切线 ， ， 是 ， 的交点，求证：点P在定直
线上.
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】（1）易得点A的坐标为 ，然后利用待定系数法即可求得抛物线的方程；
（2）抛物线 ，则 ，设 , ，可分别求得切线PM的方程和
切线PN的方程，联立解得点 ，设直线MN的方程为 ，代入抛物
线的方程得 ，所以 ，进而可得点 的纵坐标为 ，命题得证.
【详解】（1）点A的横坐标为 ，所以点A的坐标为 ，
代入解得 ，所以抛物线的方程为 ；
（2）抛物线 ，则 ，设 , ，
所以切线PM的方程为 ，即 ,同理切线PN的方程为 ，
联立解得点 ，
设直线MN的方程为 ，代入 ，
得 ，所以 ，
所以点P在 上，结论得证.
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