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解密13 等差数列和等比数列的计算和性质
【考点解密】
1．数列的有关概念
概念 含义
数列 按照一定顺序排列的一列数
数列的项 数列中的每一个数
数列的通项 数列{a}的第n项a
n n
如果数列{a}的第n项a 与序号n之间的关系能用公式a＝f
n n n
通项公式
(n)表示，这个公式叫做数列的通项公式
前n项和 数列{a}中，S＝a＋a＋…＋a 叫做数列的前n项和
n n 1 2 n
2．数列的表示方法
列表法 列表格表示n与a 的对应关系
n
图象法 把点(n，a)画在平面直角坐标系中
n
通项
公 把数列的通项用公式表示
公式
式
递推 使用初始值a 和a ＝f (a)或a，a 和a ＝f (a，a )等表
1 n＋1 n 1 2 n＋1 n n－1
法
公式 示数列的方法
3．a 与S 的关系
n n
若数列{a}的前n项和为S，则a＝
n n n
4．数列的分类
分类标准 类型 满足条件
有穷数列 项数有限
项数
无穷数列 项数无限
递增数列 a >a
n＋1 n
项与项间的
递减数列 a <a 其中n∈N*
n＋1 n
大小关系
常数列 a ＝a
n＋1 n
5．等差数列的定义
a－a =d (n≥2)
n n-1
6．等差数列的通项公式
a ＝a＋(n－1)d
n 1＝a ＋(n－m)d .
m
7．等差中项
若a，b，c成等差数列，则2b=a+c . b叫做a与c的等差中项．
8．等差数列的下标和公式
若k＋l＝m＋n，则a＋a＝a ＋a.
k l m n
9．等差数列的前n项和公式
S＝ 或S＝na＋d.
n n 1
10．等差数列的前n项和公式与函数的关系
S＝n2＋n. 数列{a}是等差数列⇔S＝An2＋Bn (A，B为常数)．
n n n
11.等差数列的常用性质
(1)数列S ，S －S ，S －S ，…构成等差数列．
m 2m m 3m 2m
(2)若{a}是等差数列，则也是等差数列，其首项与{a}的首项相同，公差为d.
n n
12．等差数列的前n项和的最值
在等差数列{a}中，a>0，d<0，则S 存在最大值；若a<0，d>0，则S 存在最小值．
n 1 n 1 n
13．等比数列的定义
a
n
a
n−1＝q (n≥2)．
14．等比数列的通项公式
a＝a·qn－1 = a ·qn－m ．
n 1 m
15．等比中项
若a，b，c成等比数列，则b2= a·c ． b是a与c的等比中项.16．等比数列的下标和公式
若m＋n＝p＋q，则a ·a＝a·a .
m n p q
17．等比数列的前n项和公式
S＝
n
18．等比数列的常用性质
在等比数列{a}中，若S 为其前n项和，则S，S －S，S －S 也成等比数列 (n为偶数且q＝－1除外)．
n n n 2n n 3n 2n
【方法技巧】
♥♥♥解决数列的单调性问题的三种方法
(1)用作差比较法，根据a －a 的符号判断数列{a}是递增数列、递减数列还是常数列．
n＋1 n n
(2)用作商比较法，根据(a>0或a<0)与1的大小关系进行判断．
n n
(3)函数法．
✿✿✿求数列的最大项与最小项的常用方法
(1)函数法，利用函数求最值．
(2)利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项．
(3)比较法：
若有a －a＝f(n＋1)－f(n)>0，则a >a，则数列{a}是递增数列，所以数列{a}的最小项为a；
n＋1 n n＋1 n n n 1
若有a －a＝f(n＋1)－f(n)<0，则a <a，则数列{a}是递减数列，所以数列{a}的最大项为a.
n＋1 n n＋1 n n n 1
【核心题型】
题型一：等差数列的基本计算
1．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ，若 且
，则 （ ）
A． B． C． D．2．（2023·湖南岳阳·统考一模）已知两个等差数列2，6，10，…及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公
共项按从小到大的顺序组成一个新数列 ，则数列 的各项之和为（ ）
A．1666 B．1654 C．1472 D．1460
3．（2023·重庆·统考一模）设等差数列 的前n项和为 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
题型二：等差数列的基本性质
4．（2022·浙江·模拟预测）已知等差数列 中， ，公差 ，若 ，
，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知 是各项不全为零的等差数列，前n项和是 ，且
，若 ，则正整数m＝（ ）
A．2020 B．2019 C．2018 D．2017
6．（2022·全国·高三专题练习）设正项等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
题型三：等差数列的函数
7．（2022·全国·校联考模拟预测）设 为等差数列 的前 项和，且 ，都有 .若 ，则
（ ）A． 的最小值是 B． 的最小值是
C． 的最大值是 D． 的最大值是
8．（2022·浙江绍兴·统考一模）已知数列 为等差数列，前 项和为 ，则“ ”是“数列
为单增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（2019·福建福州·统考模拟预测）设正项数列 的前 项和 满足 ，记 表示不超过 的最大
整数， ． 数列 的前 项和为 ，则使得 成立的 的最小值为（ ）
A．1179 B．1178 C．2019 D．2018
题型四:含绝对值的等差数列前项和
10．（2022·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考三模）已知数列 的前n项之和 ，则
的值为
A．61 B．65 C．67 D．68
11．（2019秋·福建福州·高三校考期中）已知直线 与直线 互相平行且距离为 .等差
数列 的公差为 ，且 ，令 ，则 的值为
A．60. B．52 C．44 D．36
12．（2023·高三课时练习）设等差数列 ， ，…， （ ， )的公差为 ，满足
，则下列说法正确的是
A． B． 的值可能为奇数
C．存在 ，满足 D． 的可能取值为
题型五：等差数列奇数或偶数和问题13．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 的项数为奇数，其中所有奇数项之和为 ，所有偶数项之和
为 ，则该数列的中间项为（ ）
A． B． C． D．
14．（2020春·全国·高三专题练习）在数列 中， ， ，且 ，则
（ ）
A．0 B．1300
C．2600 D．2602
15．（2021·全国·统考模拟预测）等差数列 的前n项和为 ，已知 ， ，当 时，则n=（ ）
A．13 B．12 C．24 D．25
题型六：等差数列前n项和的性质
16．（2022·四川·四川师范大学附属中学校考二模）设等差数列 ， 的前n项和分别是 ， ，若
，则 （ ）
A． B．
C． D．3
17．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
18．（2020·安徽淮北·统考一模）设等差数列 的公差不为0，其前 项和为 ，若 ，
，则
A．0 B．-2020 C．2020 D．4040
题型七：等比数列的基本计算
19．（2023·河南郑州·统考一模）记 为等比数列 的前n项和．若 ， ，则 （ ）
A．32 B．31 C．63 D．6420．（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）已知 为等比数列， 是它的前 项和，若 ，且 与
的等差中项为 ，则 等于（ ）
A．35 B． C． D．
21．（2023·贵州毕节·统考一模）已知数列 的通项公式为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
题型八：等比数列的性质
22．（2022·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测） 为公比大于1的正项等比数列，且 和 是方程
的两根，若正实数x，y满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
23．（2022·山东·统考模拟预测）已知等比数列 满足： ， ，则 的
值为（ ）
A．20 B．10 C．5 D．
24．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 为等比数列， ， 为函数 的两个不同的零点，
则 的值为（ ）
A． B． C．12 D．18题型九：等比数列前n项和的性质
25．（2022·湖北襄阳·襄阳五中校考模拟预测）在数列 中， ， ，若 ，
则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
26．（2022·全国·高三专题练习）已知 是等比数列 的前 项和，若存在 ，满足 ，
则数列 的公比为（ ）
A． B．2 C． D．3
27．（2021·陕西安康·统考二模）已知等比数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 （
）
A．9 B．10 C．12 D．17
题型十：等差等比的实际应用
28．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考一模）古希腊大哲学家芝诺提出一个有名的悖论，其大意是：“阿
喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄，在他和乌龟的赛跑中，他的速度是乌龟速度的10倍，乌龟在他前面100米爬
行，他在后而追，但他不可能追上乌龟，原因是在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追了
100米时，乌龟已在他前面爬行了10米，而当他追到乌龟爬行的10米时，乌龟又向前爬行了1米，就这样，乌龟
会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，只要乌龟不停地向前爬
行，阿喀琉斯就永远追不上乌龟．“试问在阿喀琉斯与乌龟的竞赛中，当阿喀斯与乌龟相距0.01米时，乌龟共爬
行了（ ）
A．11.1米 B．10.1米 C．11.11米 D．11米
29．（2022春·新疆·高三校考阶段练习）北京 年冬奥会开幕式用“一朵雪花”的故事连接中国与世界，传递
了“人类命运共同体”的理念．“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是由等边三角形三边生成的科赫曲线组成的，
是一种分形几何．图1是长度为 的线段，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，
再将中间部分的线段去掉得到图2，这称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到
图3，这称为“二次分形”； ．依次进行“ 次分形 ”．规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度．若要得到一个长度不小于 的分形图，则 的最小值是（ ）（参考数据 ，
）
A． B． C． D．
30．（2022秋·湖南永州·高三永州市第一中学校考阶段练习）如图是标准对数远视力表的一部分．最左边一列
“五分记录”为标准对数视力记录，这组数据从上至下为等差数列，公差为 ；最右边一列“小数记录”为国际
标准视力记录的近似值，这组数据从上至下为等比数列，公比为 ．已知标准对数视力 对应的国际标准视力
准确值为 ，则标准对数视力 对应的国际标准视力精确到小数点后两位约为（ ）
（参考数据： ）
A． B． C． D．【高考必刷】
一、单选题
31．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）等差数列 中， ，则数列 的前9项之和为（ ）
A．24 B．27 C．48 D．54
32．（2023·河南·校联考模拟预测）记公差不为0的等差数列 的前 项和为 .若 成等比数列，
，则 （ ）
A．17 B．19 C．21 D．23
33．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均
七十七文，戊己庚均七十五文，问乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人，所分到的钱
数成等差数列，甲、乙两人共分到77文，戊、己、庚三人共分到75文，问乙、丁两人各分到多少文钱？则下列说
法正确的是（ ）
A．乙分到37文，丁分到31文 B．乙分到40文，丁分到34文
C．乙分到31文，丁分到37文 D．乙分到34文，丁分到40文
34．（2023·广东深圳·统考一模）将一个顶角为120°的等腰三角形（含边界和内部）的底边三等分，挖去由两个等
分点和上顶点构成的等边三角形，得到与原三角形相似的两个全等三角形，再对余下的所有三角形重复这一操作．
如果这个操作过程无限继续下去…，最后挖剩下的就是一条“雪花”状的Koch曲线，如图所示已知最初等腰三角
形的面积为1，则经过4次操作之后所得图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
35．（2023·四川绵阳·统考二模）已知等比数列 的各项均为正数，前 项和为 ， ， ，则使得成立的最小正整数 的值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
36．（2023·上海·统考模拟预测）已知数列 的各项均为实数， 为其前n项和，若对任意 ，都有
，则下列说法正确的是（ ）
A． 为等差数列， 为等比数列
B． 为等比数列， 为等差数列
C． 为等差数列， 为等比数列
D． 为等比数列， 为等差数列
37．（2023·广东梅州·统考一模）某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列
重新编辑，编辑新序列为 ，它的第 项为 ，若序列 的所有项都是
2，且 ， ，则 （ ）
A． B． C．. D．
38．（2023·福建漳州·统考二模）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中
国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华
传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题．已知该数列 的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，
40，50，记 ， ，则数列 的前20项和是（ ）
A．110 B．100 C．90 D．80
二、多选题39．（2023·广东梅州·统考一模）设 是公差为 （ ）的无穷等差数列 的前 项和，则下列命题正确的
是（ ）
A．若 ，则 是数列 的最大项
B．若数列 有最小项，则
C．若数列 是递减数列，则对任意的： ，均有
D．若对任意的 ，均有 ，则数列 是递增数列
40．（2023·福建漳州·统考二模）已知数列 是首项为 的正项等比数列，若A，B，C是直线l上不同的三点，
O为平面内任意一点，且 ，则（ ）
A． B．数列 的前6项和为
C．数列 是递减的等差数列 D．若 ，则数列 的前n项和的最大值为1
41．（2023·全国·模拟预测）已知函数 且 有三个不同的零点 ， ， ，若
，则（ ）
A．
B．当 为 ， 的等比中项时， 为 ， 的等差中项
C．当 为 ， 的等差中项时，
D．实数a的取值范围为
42．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）数列 满足 ， ，数列 的前n项和为 ，且 ，则下列正确的是（ ）
A．
B．数列 的前n项和
C．数列 的前n项和
D．
