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专题 06 等差数列与等比数列
一、核心先导
二、考点再现
【考点1】等差数列
1、等差数列的判断方法：定义法6 或7
2、等差数列的通项：11 或 4 。
{a }
①当 时，等差数列的通项公式 n 是关于 的一次函数，且斜率为公差
；
3、等差数列的前 和： ， 。
①前 和 是关于 的二次函数且常数项为0.
4、等差中项：若 成等差数列，则A叫做 与 的等差中项，且 。
a +a =a +a
①当 时,则有 m n p q，特别地，当 时，则有 .
5、若 是等差数列 ， ，…也成等差数列.
【考点2】等比数列
1.等比数列的定义--------（证明或判断等比数列） ，
2.等比数列的通项公式： 或 。
3．等比数列的前 和：①当 时， ；②当 时， 。
4、等比中项：
⑴、若 成等比数列，那么A叫做 与
的等比中项，A2=ab。
⑵、当 时，则有a ∙a =a ∙a 。
m n p q
5、若 是等比数列 ， ，…也成等比数列.
三、解法解密
等差数列与等比数列作为两种基本的数列,是高考中数列考查的重中之重,值得关注 . 考查的形式主
要有等差数列、等比数列的实际应用以及等差数列、等比数列与其他知识的综合 . 在复习中,要紧抓以下
几个方面 :
方法1. 关注两种基本方法:研究等差数列、等比数列的基本方法就是“基本量法”及活用好它们的
“对称性”;
方法2. 领悟等差数列、等比数列的两类本质:等差数列、等比数列是两类特殊数列,又是两类特殊的
函数,这种双重身份,注定它们必然是高考中的重点、难点,故而,学习中,要从“函数”及“数列”这两个
方面来认识它们;
方法3. 两类数学思想:分类讨论思想以及函数与方程的思想是解决数列问题所经常使用的两类数学思
想
四、考点解密
题型一:等差数列与等比数列基本量的计算
例1．（1）、（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（文））若 为等差数列， 是数列 的前 项
和， ， ，则 等于（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4（2）、（2022·福建福州·高二期末）（多选题）已知等差数列 的公差为d，前n项和为 ，
．则（ ）
A． B．
C． D． 取得最大值时，
【变式训练1-1】、（2022·四川·宜宾市叙州区第二中学校模拟预测（文））已知等比数列 中， ，
，则 ______．
【变式训练1-2】、（2021·云南·模拟预测（文））已知 为等差数列， 为其前n项和．若
，则 ______．
题型二:等差中项与等比中项的应用
例2．（1）、（2022·山东泰安·模拟预测）若等差数列 满足 ，则它的前13项和为（ ）
A． B． C． D．
（2）．（2022·河南焦作·一模（文））设 和 都是等差数列，前 项和分别为 和 ，若
， ，则 （ ）
A． B． C． D．【变式训练2-1】、（2022·安徽黄山·一模（文））在等比数列 中， ， 是方程 的两
根，则 的值为（ ）
A． B．3 C． D．
【变式训练2-2】、（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）正项等比数列 中， 成等差数列，且
存在两项 使得 ，则 的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．不存在
题型三:求数列的前n项和
例3．（1）、（2022·山西运城·模拟预测（文））已知数列 中， ， ，数列
的前n项和为 ，则（ ）
A． B． C． D．
（2）．（2022·安徽·合肥市第七中学高二期末）已知数列 的前n项和 ，则其通项公式
______．【变式训练3-1】、（2022·四川绵阳·一模（理））已知等比数列 的各项均为正数，设 是数列
的前 项和，且 ， ，则 ______．
【变式训练3-2】、（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知数列 满足
，则数列 的前2022项的和为___________.题型四:判断或证明等差、等比数列
例4、（2022·吉林长春·模拟预测）已知数列 满足： ， ．
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
【变式训练4-1】、（2022·河南·模拟预测（理））若数列 满足 , ．
(1)证明: 是等比数列；
(2)设 的前n项和为 ,求满足 的n的最大值．题型五:综合应用
例5．（1）、（2022·河南省叶县高级中学模拟预测（文））中国公民身份号码编排规定，女性公民的顺
序码为偶数，男性为奇数，反映了性别与数字之间的联系；数字简谱以1，2，3，4，5，6，7代表音阶中
的7个基本音阶，反映了音乐与数字之间的联系，同样我们可以对几何图形赋予新的含义，使几何图形与
数字之间建立联系.如图1，我们规定1个正方形对应1个三角形和1个正方形，1个三角形对应1个正方形，
在图2中，第1行有1个正方形和1个三角形，第2行有2个正方形和1个三角形，则在第9行中的正方形
的个数为（ ）
A．53 B．55 C．57 D．59
（2）、（2021·全国·模拟预测）在流行病学中，基本传染数 是指在没有外力介入，同时所有人都没有
免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数． 一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每
次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数 （注：对于 的传染病，要隔离
感染者，以控制传染源，切断传播途径），那么由1个初始感染者经过六轮传染被感染（不含初始感染
者）的总人数为______（注：初始感染者传染 个人为第一轮传染，这 个人每人再传染 个人为第二
轮传染……）【变式训练5-1】、（2022·浙江宁波·一模）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面
积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法•商功》中，杨辉将堆垜
与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，
第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个 第n层放 个物体堆成的堆垛，则
__________．
【变式训练5-2】、（2021·河南郑州·三模（文））1967年，法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸
线有多长？》标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.1977年他正式将具有分数维的图形成为“分形”，
并建立了以这类图形为对象的数学分支——分形几何．分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实
表明它们是描述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，
如图1，线段AB的长度为1，在线段AB上取两个点C，D，使得 ，以CD为一边在线段
AB的上方做一个正三角形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的线段EC、ED作相同的操
作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：
记第n个图形（图1为第一个图形）中的所有线段长的和为 ，对任意的正整数n，都有 ，则a的最
小值为__________．五、分层训练
A组 基础巩固
1．（2022·全国·安阳市第二中学模拟预测（理））我国《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，如图
所示，将1，2，3，…，9填入 的方格内，使得三行、三列、对角线的三个数之和都等于15，便得到
一个3阶幻方；一般地，将连续的正整数1，2，3，…， 填入 个方格中，使得每行、每列、每条对
角线上的数的和都相等，这个正方形叫作n阶幻方．记n阶幻方的数的和（即方格内的所有数的和）为 ，
如 ，那么10阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为（ ）
A．555 B．101 C．505 D．1010
2．（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（理））设数列 是等差数列， 是数列 的前n项和，
， ，则 等于（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
3．（2022·四川绵阳·一模（理））已知 是等差数列 的前 项和，若 ，则
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
4．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））在等差数列 中 为前 项和， ，则
（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·云南云南·模拟预测）设等差数列 的前 项和为 ， ，则 （ ）
A．56 B．63 C．67 D．72
6．（2022·北京·北师大实验中学模拟预测）设等差数列 的前n项和为 ，若 ， ，则当
取最大值n等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．（2022·山东淄博·三模）已知正项等比数列 的前 项和为 ，且 成等差数列．若存在两项
使得 ，则 的最小值是（ ）A． B． C． D．
8．（2022·全国·模拟预测（文））在数列 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
9．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））已知数列 的前n项和 满足 ，
若数列 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
10．（2022·辽宁·模拟预测）如图是美丽的“勾股树”，将一个直角三角形分别以它的每一条边向外作正
方形而得到如图①的第1代“勾股树”，重复图①的作法，得到如图②的第2代“勾股树”，…，以此类
推，记第n代“勾股树”中所有正方形的个数为 ，数列 的前n项和为 ，若不等式 恒成
立，则n的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
11．（2022·河南·模拟预测（文））已知数列{an}的前n项和Sn满足 ，记数列 的前n项和
为Tn，n∈N*.则使得T 的值为（ ）
20
A． B． C． D．
12．（2022·山东济南·模拟预测）设 是首项为 的等比数列， 是其前 项和，若 ，则
______．
13．（2022·四川省南充高级中学模拟预测（文））记 为正项等比数列 的前 项和，若 ，
，则 的值为__________．
14．（2022·山东泰安·二模）已知数列 是公差大于0的等差数列， ，且 ， ， 成等
比数列，则 ______．15．（2022·新疆石河子一中模拟预测（理））等差数列 的公差为2，前n项和为 ，若 ， ， 构
成等比数列，则 ___________.
16．（2022·广东·模拟预测）已知数列 是首项为1的等差数列，其前 项和为 ，且 ，
记 ，则数列 的前 项和 ______．
17．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））在等差数列 中， ，若数列 的
前n项之和为 ，则 __________．
18．（2022·内蒙古·赤峰二中模拟预测（理））如图所示，是毕达哥拉斯（Pythagoras）的生长程序：正方
形上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形，…，如此继续，若一共能得
到1023个正方形.设初始正方形的边长为 ，则最小正方形的边长为_____.
19．（2022·河南·模拟预测（理））已知数列 为等比数列，公比 ，首项 ，前三项和为7，
，则n＝______．
20．（2022·湖南益阳·模拟预测）在单调递增数列 中，已知 ， ，且 ， ， 成等比
数列， ， ， 成等差数列 ，那么 __________．
21．（2022·上海交大附中模拟预测）已知各项均为正数的等比数列 ，若 ，则 的值为
___________．
22．（2022·黑龙江·哈九中三模（文））设函数 ， ，
．则数列 的前n项和 ______．
23．（2022·四川·宜宾市叙州区第二中学校模拟预测（文））已知数列 的前 项和 满足
．
(1)求 ，并证明数列 为等比数列；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．24．（2022·贵州·模拟预测（理））已知数列 ，满足 ， .
(1)证明：数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项积 .B组 能力提升
25．（2022·山东青岛·一模）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关
二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持
金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的 ，第2关收税金为剩余金的 ，第3
关收税金为剩余金的 ，第4关收税金为剩余金的 ，第5关收税金为剩余金的 ，5关所收税金之和恰好
重1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为 斤，设 ，则 （ ）
A． B．7 C．13 D．26
26．（2020·安徽·寿县第一中学模拟预测（文））右面的数表为“森德拉姆筛”，其特点是表中的每行每
列上的数都成等差数列，则第n行第n个数字是（ ）
2 3 4 5 …
3 5 7 9 …
4 7 10 13 …
5 9 13 17 …
… … … … …
A． B． C． D．
27．（2022·全国·安阳市第二中学模拟预测（文））已知数列 的前n项和为 ，且 ，若
恒成立，则实数 的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
28．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二二中学校三模（文））公比为q的等比数列 ，其前n项和为 ，
前n项积为 ，满足 ．则下列结论正确的是（ ）
A． B． 的最大值为
C． 的最大值为 D．
29．（2022·全国·武功县普集高级中学模拟预测（理））记 为各项均为正数的等比数列 的前n项和，
， ，则 （ ）A． B． C．1 D．2
30．（2022·安徽·芜湖一中模拟预测）已知正项等比数列 的前n项和为 ，前n项积为 ，满足
，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
31．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校模拟预测）（多选题）意大利数学家列昂纳多•斐波那契提出的
“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34， ，在现代生物及化学等领域有着广泛的
应用，它可以表述为数列 满足 .若此数列各项被3除后的余数构成一个
新数列 ，记 的前 项和为 ，则以下结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
32．（2022·广东·肇庆市外国语学校模拟预测）（多选题）将数列 中的所有项排成如下数阵：
已知从第二行开始每一行比上一行多两项，第一列数 、 、 、 成等差数列，且 ， .从第
二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成以 为公比的等比数列，则（ ）
A． B． 位于第 列
C． D．C组 真题实战练
33．（2021·全国·高考真题（文））记 为等比数列 的前n项和.若 ， ，则 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
34．（2021·北京·高考真题）已知 是各项均为整数的递增数列，且 ，若 ，则
的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
35．（2021·北京·高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗
面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长 (单位:cm)成等差数列，
对应的宽为 (单位: cm),且长与宽之比都相等，已知 ， ， ，则
A．64 B．96 C．128 D．160
36．（2020·全国·高考真题（理））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心
有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一
层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多
729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
37．（2020·全国·高考真题（文））设 是等比数列，且 ， ，则
（ ）
A．12 B．24 C．30 D．32
38．（2020·全国·高考真题（文））记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a–a=12，a–a=24，则 =
5 3 6 4
（ ）
A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1
39．（2020·全国·高考真题（文））记 为等差数列 的前n项和．若 ，则
__________．
40．（2020·全国·高考真题（文））数列 满足 ，前16项和为540，则______________.
41．（2021·全国·高考真题）记 是公差不为0的等差数列 的前n项和，若 ．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）求使 成立的n的最小值．
42．（2021·浙江·高考真题）已知数列 的前n项和为 ， ，且 .
（1）求数列 的通项；
（2）设数列 满足 ，记 的前n项和为 ，若 对任意 恒成立，
求实数 的取值范围.43．（2021·全国·高考真题）已知数列 满足 ，
（1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
（2）求 的前20项和.
44．（2021·全国·高考真题（文））设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ．已知 ， ，
成等差数列．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和．证明： ．
