文档内容
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第 31 讲 图形的轴对称、平移、旋转
目 录
一、考情分析
二、知识建构
考点一 轴对称
题型01 轴对称图形的识别
题型02 根据成轴对称图形的特征进行判断
题型03 根据成轴对称图形的特征进行求解
题型04 轴对称中的光线反射问题
题型05 折叠问题
类型一 三角形折叠问题
类型二 四边形折叠问题
类型三 圆的折叠问题
类型四 抛物线与几何图形综合
题型06 求对称轴条数
题型07 画轴对称图形
题型08 设计轴对称图案
题型09求某点关于坐标轴对称点的坐标
题型10 与轴对称有关的规律探究问题
题型11 轴对称的综合问题
考点二 图形的平移
题型01 生活中的平移现象
题型02 利用平移的性质求解
题型03 利用平移解决实际生活问题
题型04 作平移图形
题型05 求点沿x轴、y轴平移后的坐标
题型06 由平移方式确定点的坐标
题型07 由平移前后点的坐标判断平移方式
题型08 已知图形的平移求点的坐标
题型09 与平移有关的规律问题
题型10 平移的综合问题
考点三 图形的旋转
题型01 找旋转中心、旋转角、对应点
题型02 根据旋转的性质求解
题型03 根据旋转的性质说明线段或角相等
题型04 画旋转图形
题型05 求旋转对称图形的旋转角度
题型06 旋转中的规律问题
题型07 求绕原点旋转90°点的坐标
题型08 求绕某点（非原点）旋转90°点的坐标
题型09 求绕原点旋转一定角度点的坐标
题型10 旋转综合题
类型一 线段问题
类型二 面积问题
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类型三 角度问题
题型11 判断中心对称图形
题型12 画已知图形关于某点的对称图形
题型13 根据中心对称的性质求面积、长度、角度
题型14 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案
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考点
新课标要求 命题预测
要求
通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质:成轴对称的 该板块知识以考查平面几
两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分. 何的三大变换的基本运用为
能画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形等)关于给定对称 主，年年都有考查，分值在
轴对
轴的对称图形. 8-12分左右．预计2024年各
称
理解轴对称图形的概念;探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边 地中考还将继续考查这些知识
形、圆的轴对称性质. 点，考查形式主要有选填题、
认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形. 作图题、也可能综合题结合出
现．在三种变换中，平移相对
通过具体实例认识平移，探索它的基本性质:一个图形和它经过平
较为简单，多以选择题形式考
移所得的图形中，两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等.
平移 察，偶尔也会考察作图题:对
认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用.
称和旋转则难度较大，通常作
运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计.
为选择、填空题的压轴题出
通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转.探索它的基本性
现，在解答题中，也会考察对
质:一个图形和旋转得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应
称和旋转的作图，以及与特殊
点分别与旋转中心连线所成的角相等.
几何图形结合的综合压轴题，
旋转 了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它们的基本性质:成中
此时常需要结合几何图形或问
心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分.
题类型去分类讨论.
探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质.
认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形.
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考点一 轴对称
轴对称与轴对称图形
轴对称 轴对称图形
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图形 A D A
B C
B C E F
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的
够与另一个图形重合，那么就说这两个图形 部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称
定义
关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴. 图形.这条直线就是它的对称轴.
1）轴对称是指两个图形折叠重合. 1）轴对称图形是指本身折叠重合.
区别 2）轴对称对称点在两个图形上. 2）轴对称图形对称点在一个图形上.
3）轴对称只有一条对称轴. 3）轴对称图形至少有一条对称轴.
1) 定义中都有一条直线,都要沿着这条直线折叠重合.
联系 2) 如果把轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形；反过来, 如果把轴对
称图形沿对称轴分成两部分(即看成两个图形),那么这两个图形就关于这条直线成轴对称.
性质 1）关于某条直线对称的两个图形是全等形.
2）两个图形关于某直线对称那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.
判定 1）两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称.
2）两个图形关于某条直线成轴对称,那么对称轴是对折重合的折痕线.
常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形等.
做轴对称图形的一般步骤：
1）作某点关于某直线的对称点的一般步骤：
①过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足，并延长；
②在延长线上从垂足出发截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称
点.
2）作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤：
①找.在原图形上找特殊点（如线段的端点、线与线的交点）
②作.作各个特殊点关于已知直线的对称点
③连.按原图对应连接各对称点
折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．
【解题思路】凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要
求几何量相关的条件量．解决折叠问题时，首先清楚折叠和轴对称能够提供我们隐含的且可利用的条件，
分析角之间、线段之间的关系，借助勾股定理建立关系式求出答案，所求问题具有不确定性时，常常采用
分类讨论的数学思想方法．
1. 对称轴是一条直线，不是一条射线，也不是一条线段.
2. 轴对称图形的对称轴有的只有一条，有的存在多条对称轴（例：正方形有四条对称轴，圆有无数条
5 对称轴等）.
3. 成轴对称的两个图形中的任何一个都可以看作由另一个图形经过轴对称变换得到的，一个轴对称图
形也可以看作以它的一部分为基础,经轴对称变换得到的.1. 对称轴是一条直线，不是一条射线，也不是一条线段.
2. 轴对称图形的对称轴有的只有一条，有的存在多条对称轴（例：正方形有四条对称轴，圆有无数条
对称轴等）.
3. 成轴对称的两个图形中的任何一个都可以看作由另一个图形经过轴对称变换得到的，一个轴对称图
形也可以看作以它的一部分为基础,经轴对称变换得到的.
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题型01 轴对称图形的识别
【例1】（2022·江苏盐城·校联考一模）北京2022年冬奥会会徽如图所示，组成会徽的四个图案中是轴对
称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2022·广东深圳·南山实验教育麒麟中学校联考模拟预测）下列图形中，是轴对称图形的是（
）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2022·广东·统考模拟预测）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可
以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
题型02 根据成轴对称图形的特征进行判断
【例2】（2023·天津·校联考一模）如图，△ABC与△A B C ，关于直线MN对称，P为MN上任一点（P
1 1 1
不与A A 共线），下列结论不正确的是（ ）
1
A．AP=A P B．△ABC与△A B C 的面积相等
1 1 1 1
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C．MN垂直平分线段A A D．直线AB,A B 的交点不一定在MN上
1 1 1
【变式2-1】（2023·广东深圳·统考二模）如图，这条活灵活现的“小鱼”是由若干条线段组成的，它是一
个轴对称图形，对称轴为直线l，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．点C和点D到直线l的距离相等 B．BC=BD
C．∠CAB=∠DAB D．四边形ADBC是菱形
【变式2-2】（2019·湖北武汉·统考模拟预测）每个网格中均有两个图形，其中一个图形关于另一个图形轴
对称的是（ ）
A． B． C． D．
题型03 根据成轴对称图形的特征进行求解
【例3】（2021·山东临沂·统考一模）如图，在锐角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°， BD平分
∠ABC，交AC于点D，M、N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是（ ）
A．√3 B．2 C．2√3 D．4
【变式3-1】（2023·山东枣庄·统考三模）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中点，线
段EF在边AB上左右滑动；若EF=1，则¿+CF的最小值为 ．
【变式3-2】（2022·山东聊城·统考一模）如图，在菱形ABCD中，BC=2，∠C=120°，Q为AB的中点，
P为对角线BD上的任意一点，则AP+PQ的最小值为 ．
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【变式3-3】（2020·新疆乌鲁木齐·校考一模）如图，在矩形ABCD中，BC=10，∠ABD=30°，若点
M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为 ．
题型04 轴对称中的光线反射问题
【例4】（2023·河北廊坊·校考一模）通过光的反射定律知道，入射光线与反射光线关于法线成轴对称（图
1）．在图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【变式4-1】（2022·陕西咸阳·统考三模）如图，在水平地面AB上放一个平面镜BC，一束垂直于地面的
光线经平面镜反射，若反射光线与地面平行，则平面镜BC与地面AB所成的锐角α为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【变式4-2】（2022·浙江台州·统考一模）根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜
所夹的角相等．如图，α,β是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面α反射后的光线为n，再通过
镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面α的夹角的度数为x°，光线n与光线k的夹角的度数为y°．则x
与y之间的数量关系是 ．
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题型05 折叠问题
类型一 三角形折叠问题
【例5】（2023·新疆·统考一模）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片
ABC，第1次折叠使点B落在BC边上的点B'处，折痕AD交BC于点D；第2次折叠使点A落在点D处，
折痕MN交AB'于点P．若BC=12，则MP+MN= ．
【变式5-1】（2022·浙江衢州·统考模拟预测）如图，三角形纸片ABC中，点D，E，F分别在边AB，
AC，BC上，BF＝4，CF＝6，将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合．若DE∥BC，AF＝EF，则四
边形ADFE的面积为 ．
【变式5-2】（2022·广东珠海·珠海市文园中学校考三模）如图所示，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点
B落在点B′处，若EB′恰好与BC平行，且∠B＝80°，则∠CDE＝ °．
【变式5-3】（2020·浙江丽水·统考模拟预测）如图，在△ABC中，AB=4√2，∠B=45°，∠C=60°．
（1）求BC边上的高线长．
（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．
①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．
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②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长．
【变式5-4】（2023·新疆和田·统考一模）如图，在ΔABC巾，∠ABC=30°，AB=AC，点O为BC的
中点，点D是线段OC上的动点（点D不与点O，C重合），将△ACD沿AD折叠得到ΔAED，连接
BE．
(1)当AE⊥BC时，∠AEB=___________°；
(2)探究∠AEB与∠CAD之间的数量关系，并给出证明；
(3)设AC=4，△ACD的面积为x，以AD为边长的正方形的面积为y，求y关于x的函数解析式．
类型二 四边形折叠问题
【例6】（2019·山东菏泽·统考三模）如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于
点F，若∠ABD=48°，∠CFD=40°，则∠E为( )
A．102° B．112° C．122° D．92°
【变式6-1】（2022·山东枣庄·统考一模）如图，在四边形纸片ABCD中，AD//BC，AB=10，
∠B=60°．将纸片折叠，使点B落在AD边上的点G处，折痕为EF．若∠BFE=45°，则BF的长为
（ ）
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√3
A．5 B．3√5 C．5√3 D．
5
【变式6-2】（2022·浙江台州·模拟预测）如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到
△ECF．若BC＝1，则△ECF的周长为（ ）
√2+1 √5+1 4
A．√2 B． C． D．
2 2 3
【变式6-3】（2021·广东深圳·校联考一模）如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落
在D'，C'的位置．若∠AED'=50°，则∠EFC等于（ ）
A．65° B．110° C．115° D．130°
【变式6-4】（2022·河南郑州·一模）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图
①，在▱ABCD中，BE⊥ AD，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，
并加以证明；
独立思考：（1）请解答老师提出的问题；
实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将▱ABCD沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图
②，点C的对应点为C'，连接DC'并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明；
问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将▱ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为A'，使
A'B⊥CD于点H，折痕交AD于点M，连接A'M，交CD于点N．该小组提出一个问题：若此
▱ABCD的面积为20，边长AB=5，BC=2√5，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积．请你思考此
问题，直接写出结果．
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【变式6-5】（2021·江苏常州·统考二模）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．将矩形折叠，使点A落在点P
处，折痕为DE．
AP
（1）如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP，求 的值；
DE
（2）如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．
类型三 圆的折叠问题
【例7】（2023·山东济宁·校考二模）将一个半径为1的圆形纸片，如下图连续对折三次之后，用剪刀沿虚
线①剪开，则虚线①所对的圆弧长和展开后得到的多边形的内角和分别为（ ）
π π π π
A． ，540° B． ，720° C． ，1080° D． ，2160°
2 4 4 3
【变式7-1】（2023·广东广州·统考一模）如图，AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，∠BAC=20°，将
劣弧AC沿弦AC所在的直线翻折，交AB于点D，则∠ACD的度数等于( )．
A．40° B．50° C．80° D．100°
【变式7-2】（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校联考二模）如图，AC、AD是⊙O中关于直径AB对称
的两条弦，以弦AC、AD为折线将弧AC，弧AD折叠后过圆心O，若⊙O的半径r=4，则圆中阴影部分
的面积为 ．
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【变式7-3】（2023·河北邯郸·统考一模）如图所示，在扇形AOB中，半径OA=4，点P在OA上，连接
PB，将△OBP沿PB折叠得到△O BP．若∠O=75°，且BO 与弧AB所在的圆相切于点B．
1 1
(1)求∠APO 的度数；
1
(2)求AP的长．
【变式7-4】（2023·安徽合肥·校考一模）如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰
好落在A´B上的点C处，图中阴影部分的面积为（ ）
9√3 9√3
A．3π−3√3 B．3π− C．2π−3√3 D．6π−
2 2
类型四 抛物线与几何图形综合
1
【例8】（2021·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝− x2+
3
2√3
x+3的图象与x轴交于点A、点B．与y轴交于点C．
3
（1）求抛物线与x轴的两交点坐标．
（2）连接AC、BC．判断△ABC的形状，说明理由．
（3）过点C作直线l//x轴，点P是抛物线上对称轴右侧一动点，过点P作直线PQ//y轴交直线l于点
Q，连接CP．若将△CPQ沿CP对折，点Q的对应点为点M．是否存在这样的点P，使点M落在坐标轴上？
若存在，求出此时点Q的坐标．若不存在，请说明理由．
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【变式8-1】（2021·江苏常州·常州实验初中校考二模）如图，二次函数y=−x2+bx+2的图象与y轴交于
点C，抛物线的顶点为A，对称轴是经过点H（2，0）且平行于y轴的一条直线．点P是对称轴上位于点A
下方的一点，连接CP并延长交抛物线于点B，连接CA、AB．
（1）填空：b=______，点A的坐标是______；
（2）当∠ACB=45°时，求点P的坐标；
（3）将△CAB沿CB翻折后得到△CDB（点A的对应点为点D），问点D能否恰好落在坐标轴上?若能，
请直接写出点P的坐标，若不能，请说明理由．
1
【变式8-2】（2023·江苏苏州·校考二模）如图，二次函数y= x2+bx+c与x轴交于O(0,0)，A(4,0)两点，
2
顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A'
的位置，线段A'C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．
(1)求二次函数的表达式；
DB
(2)① 求证：△OCD∽△A'BD；② 的最小值；
BA
(3)当S =8S 时，求直线A'B的解析式．
△OCD △A'BD
【变式8-3】（2023·陕西渭南·统考二模）如图，抛物线y=ax2+bx−6与x轴正半轴交于点A(6,0)，与y
轴交于点B，点C在直线AB上，过点C作CD⊥x轴于点D(2,0)，将△ACD沿CD所在直线翻折，点A恰
好落在抛物线上的点E处．
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(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点P是抛物线上的点，是否存在点P，使∠PEA=∠BAE？若存在，求出P点坐标；若不存在，请
说明理由．
题型06 求对称轴条数
【例9】（2023·广东广州·统考一模）图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【变式9-1】（2022·山东青岛·统考一模）下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】（2020·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）下列图形：
其中是轴对称图形且有两条对称轴的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【变式9-3】（2023·北京海淀·校联考模拟预测）下列图形中，对称轴条数最少的是（ ）
A． B． C． D．
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题型07 画轴对称图形
【例10】（2021·广东中山·校联考一模）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点和线
段EF的端点均在小正方形的顶点上．
(1)在方格纸中面出△ADC，使△ADC与△ABC关于直线AC对称（点D在小正方形的顶点上）；
(2)在方格纸中画出以线段EF为一边的平行四边形EFGH（点G，点H均在小正方形的顶点上），且平行
四边形EFGH的面积为4．连接DH，请直接写出线段DH的长．
【变式10-1】（2023·陕西西安·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标为
A(2，4)，B(1，2)，C(4，1)，△≝¿各顶点的坐标为D(4，−4)，E(5，−2)，F(2，−1)．
(1)在图中作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'；
(2)若△ABC与△≝¿关于点P成中心对称，则点P的坐标是___．
【变式10-2】（2022·福建莆田·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB中点．
(1)尺规作图：求作一点E，使得点B，E关于直线CD对称；（不要求写作法，保留作图痕迹）
(2)连接DE，求证：∠CDE=2∠A．
【变式10-3】（2022·广西南宁·统考二模）如图，在直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为
A(3,3)，B(4,0)，C(0,2)．
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(1)请画出与△ABC关于x轴对称的△A B C ．
1 1 1
1
(2)以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的 ，得到△A B C ，请在y轴的右侧画出△A B C ．
2 2 2 2 2 2 2
(3)在y轴上存在点P，使得△OA P的面积为6，请直接写出满足条件的点P的坐标．
1
题型08 设计轴对称图案
【例11】（2020·河北·模拟预测）如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂
黑n个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为
（ ）
A．10 B．6 C．3 D．2
【变式11-1】（2022·安徽合肥·统考二模）如图，在4×4正方形网络中，选取一个白色的小正方形并涂黑，
使构成的黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是 ．
【变式11-2】（2020·山东枣庄·统考二模）在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方
格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图
2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）
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请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，
例图除外）
【变式11-3】（2022·山西大同·统考二模）阅读理解，并解答问题：
观察发现：
如图1是一块正方形瓷砖，分析发现这块瓷砖上的图案是按图2所示的过程设计的，其中虚线所在的直线
是正方形的对称轴．
问题解决：
用四块如图1所示的正方形瓷砖按下列要求拼成一个新的大正方形，并在图3和图4中各画一种拼法．
(1)图3中所画拼图拼成的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形；
(2)图4中所画拼图拼成的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形．
【变式11-4】（2022·浙江宁波·统考一模）在4×4的方格中，选择6个小方格涂上阴影，请仔细观察图1
中的六个图案的对称性，按要求回答．
(1)请在六个图案中，选出三个具有相同对称性的图案．选出的三个图案是 （填写序号）；它们都是 图形
（填写“中心对称”或“轴对称”）；
(2)请在图2中，将1个小方格涂上阴影，使整个4×4的方格也具有（1）中所选图案相同的对称性．
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题型09求某点关于坐标轴对称点的坐标
【例12】（2022·湖南岳阳·统考一模）在平面直角坐标系xOy中，点M(−4,2)关于x轴对称的点的坐标是
（ ）
A．(−4,2) B．(4,2) C．(−4,−2) D．(4,−2)
【变式12-1】（2023·浙江湖州·模拟预测）在平面直角坐标系中，将点A(-3，-2)向右平移5个单位长度得
到点B，则点B关于y轴对称点B'的坐标为（ ）
A．(2，2) B．(-2，2) C．(-2，-2) D．(2，-2)
【变式12-2】（2019·四川成都·校联考一模）若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则
m+n的值是（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．1
题型10 与轴对称有关的规律探究问题
【例13】（2022·云南·云大附中校考一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A
（﹣1，3）、B（1，1）、C（5，1）．规定“把▱ABCD先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变
换．如此这样，连续经过2022次变换后，▱ABCD的顶点D的坐标变为（ ）
A．（3，﹣2019） B．（﹣3，﹣2019）
C．（3，﹣2018） D．（﹣3，﹣2018）
【变式13-1】（2022·河南商丘·校考一模）如图，等边△ABC的顶点A(1,1)，B(3,1)，规定把△ABC“先
沿x轴翻折，再向右平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2022次变换后，等边△ABC的顶点C的坐
标为（ ）
A．(2023,√3+1) B．(2023,−√3−1)
C．(2024,√3+1) D．(2024,−√3−1)
【变式13-2】（2021·河北·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，
若原来点A坐标是(1,2)，则经过第2021次变换后点A的对应点的坐标为（ ）
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A．(1,−2) B．(−1,−2) C．(−1,2) D．(1,2)
【变式13-3】（2021·山东青岛·山东省青岛实验初级中学校考模拟预测）如图，已知正方形ABCD的对角
线AC,BD相交于点M，顶点A、B、C的坐标分别为(1,3)、(1,1)、(3,1)，规定“把正方形ABCD先
沿x轴翻折，再向右平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2020次变换后，点M的坐标变为
（ ）
A．(2022,2) B．(2022,−2)
C．(2020,2) D．(2020,−2)
题型11 轴对称的综合问题
【例14】（2023·广西玉林·一模）如图，已知直线y=kx+2k交x、y轴于A、B两点，以AB为边作等边
△ABC(A、B、C三点逆时针排列)，D、E两点坐标分别为(−6,0)、(−1,0)，连接CD、CE，则
CD+CE的最小值为（ ）
A．6 B．5+√3 C．6.5 D．7
【变式14-1】（2022·江苏镇江·统考模拟预测）△ABC是边长为4的等边三角形，其中点P为高AD上的
一个动点，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转60°得到BE，连接PE、DE、CE，则△BDE周长的最小值是
（ ）
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A．2+2√3 B．2+√3 C．4+√3 D．4+2√3
【变式14-2】（2022·广东·校联考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝6，点P
1
是线段AC上一动点，点M在线段AB上，当AM＝ AB时，PB＋PM的最小值为（ ）
3
A．3√3 B．2√7 C．2√3＋2 D．3√3＋3
【变式14-3】（2022·福建厦门·福建省厦门第二中学校考模拟预测）如图，在正五边形ABCDE中，点F
是CD的中点，点G在线段AF上运动，连接EG，DG，当△DEG的周长最小时，则∠EGD=（ ）
A．36° B．60° C．72° D．108°
【变式14-4】（2023·安徽蚌埠·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点Q是
直线y=√3x上的一个动点，以AQ为边，在AQ的右侧作等边△APQ，使得点P落在第一象限，连接OP，
则OP+AP的最小值为（ ）
A．6 B．4√3 C．8 D．6√3
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考点二 图形的平移
平移的概念：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．平移
不改变图形的形状和大小．
平移的三大要素：1）平移的起点，2）平移的方向，3）平移的距离．
平移的性质：
1）平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置，因此平移前后的两个图形全等.
2）平移前后对应线段平行且相等、对应角相等.
3）任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等，对应点之间的距离就是平移的距离.
作图步骤：
1）根据题意，确定平移的方向和平移的距离；
2）找出原图形的关键点；
3）按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点；
4）按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形．
题型01 生活中的平移现象
【例1】（2022·贵州贵阳·统考二模）下列现象中属于平移的是（ ）
①方向盘的转动；②打气筒打气时，活塞的运动；③钟摆的摆动；④汽车雨刷的运动
A．①② B．②③ C．①②④ D．②
【变式1-1】（2023·江苏宿迁·统考三模）数学来源于生活，下列图案是由平移形成的是（ ）
A． B． C． D．
题型02 利用平移的性质求解
【例2】（2022·福建·统考模拟预测）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中∠ABC=90°，
∠CAB=60°，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到
△A'B'C'，点A'对应直尺的刻度为0，则四边形ACC' A'的面积是（ ）
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A．96 B．96√3 C．192 D．160√3
【变式2-1】（2023·河北廊坊·统考二模）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形
相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形
A'B'C'D'，形成一个“方胜”图案，则点D，B'之间的距离为（ ）
A．1cm B．2cm C．(√2－1)cm D．(2√2－1)cm
【变式2-2】（2023·湖北孝感·校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2cm．
把△ABC沿AB方向平移1cm，得到△A'B'C'，连结CC'，则四边形AB'C'C的周长为 cm．
【变式2-3】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，
4），B（3，4），将△ABO向右平移到△CDE位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数
k
y= (k≠0)的图像经过点C和DE的中点F，则k的值是 ．
x
【变式2-4】（2023·江苏徐州·统考一模）如图， ABC的边BC长为4cm．将 ABC平移2cm得到
A′B′C′，且BB′⊥BC，则阴影部分的面积为
△
cm2．
△
△
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题型03 利用平移解决实际生活问题
【例3】（2023·山东淄博·统考二模）如图，在长为37米，宽为26米的长方形地块上，有纵横交错的几条
小路，宽均为1米，其它部分均种植花草，则种植花草的面积 平方米．
【变式3-1】（2023·河北沧州·校考模拟预测）在长方形ABCD中，放入6个形状，大小都相同的长方形，
所标尺寸如图所示，则图中阴影部分面积是 cm2；若平移这六个长方形，则图中剩余的阴影部分面
积 （填“有变化”或“不改变”）．
【变式3-2】（2022·河北秦皇岛·统考一模）某景区有一座步行桥（如图），需要把阴影部分涂刷油漆．
(1)求涂刷油漆的面积；
(2)若a=901，b=1，请用科学记数法表示涂刷油漆的面积．
【变式3-3】（2023·贵州遵义·统考一模）如图1，计划在长为30米、宽为20米的矩形地面上修筑两条同
样宽的道路①、②（图中阴影部分），设道路①、②的宽为x米，剩余部分为绿化．
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(1)道路①的面积为___________平方米；道路②的面积为___________平方米（都用含x的代数式表示）．
(2)如图2，根据实际情况，将计划修筑的道路①、②改为同样宽的道路③（图中阴影部分），若道路的宽
依然为x米，剩余部分为绿化，且绿化面积为551平方米，求道路的宽度．
题型04 作平移图形
【例4】（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，在2×6的方格纸中，已知格点P，请按要求画格点图形（顶点
均在格点上）．
(1)在图1中画一个锐角三角形，使P为其中一边的中点，再画出该三角形向右平移2个单位后的图形．
(2)在图2中画一个以P为一个顶点的钝角三角形，使三边长都不相等，再画出该三角形绕点P旋转180°后
的图形．
【变式4-1】（2022·安徽·二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B
（4，4），C（2，1）．
（1）把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△ABC ，请画出平移后的△ABC ；
1 1 1 1 1 1
（2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△ABC ，请画出旋转后的△ABC ；
2 2 2 2 2 2
（3）观察图形可知，△ABC 与△ABC 关于点（ ， ）中心对称．
1 1 1 2 2 2
【变式4-2】（2023·陕西铜川·统考一模）如图，△ABC的顶点坐标分别为
A(−2，3)，B(−3，0)，C(−1，−1)．将△ABC平移后得到△A'B'C'，且点A的对应点是
A' (2，3)，点B、C的对应点分别是B'，C'．
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(1)点A、A'之间的距离是__________；
(2)请在图中画出△A'B'C'．
题型05 求点沿x轴、y轴平移后的坐标
【例5】（2023·湖南长沙·校考二模）在平面直角坐标系中，将点A(a,b)向右平移3单位长度，再向上平
移2个单位长度正好与原点重合，那么点A的坐标是（ ）
A．(3,2) B．(3,−2) C．(−3,−2) D．(−3,2)
【变式5-1】（2022·河北秦皇岛·统考一模）将点A（-3，-2）沿水平方向向左平移5个单位长度得到点
A'，若点A'在直线y=x+b上，则b的值为（ ）
A．6 B．4 C．-6 D．-4
题型06 由平移方式确定点的坐标
【例6】（2023·广西·模拟预测）如图，点A(0,3)、B(1,0)，将线段AB平移得到线段DC，若
∠ABC=90°,BC=2AB，则点D的坐标是（ ）
A．(7,2) B．(7,5) C．(5,6) D．(6,5)
【变式6-1】（2021·江西·统考一模）如图，P（m，n）为△ABC内一点，△ABC经过平移得到△A′B′C′，
平移后点P与其对应点P'关于x轴对称，若点B的坐标为（﹣2，1），则点B的对应点B′的坐标为（ ）
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A．（﹣2，1﹣2n） B．（﹣2，1﹣n） C．（﹣2，﹣1） D．（m，﹣1）
【变式6-2】（2021·广东中山·校联考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(1,2)，将线
段OA向右平移4个单位长度，得到线段BC，点A的对应点C的坐标是 ．
【变式6-3】（2023·山东德州·统考一模）如图，四边形ABCD为平行四边形，则点B的坐标为 ．
【变式6-4】（2023·山东临沂·统考一模）如图，平面直角坐标系中，线段AB端点坐标分别为A(−5,0)，
B(0,−3)，若将线段AB平移至线段A B ，且A (−3,m)，B (2,1)，则m的值为 ．
1 1 1 1
题型07 由平移前后点的坐标判断平移方式
【例7】（2022·山东淄博·统考二模）四盏灯笼的位置如图．已知A，B，C，D的坐标分别是 (−1，b)，
(1，b)，(2，b)，(3.5，b)，平移y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是（
）
A．将B向左平移4.5个单位 B．将C向左平移4个单位
C．将D向左平移5.5个单位 D．将C向左平移3.5个单位
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【变式7-1】（2022·浙江台州·统考二模）如图，平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(1,1)，
B(4,1)，D(2,3)，要把顶点A平移到顶点C的位置，则其平移方式可以是：先向右平移 个单位，再
向上平移 个单位．
题型08 已知图形的平移求点的坐标
【例8】（2021·河北·模拟预测）如图，在ΔABC中，∠ACB=90°．边BC在x轴上，顶点A,B的坐标分
别为(−2,6)和(7,0)．将正方形OCDE沿x轴向右平移当点E落在AB边上时，点D的坐标为（ ）
(3 ) (11 )
A． ,2 B．(2,2) C． ,2 D．(4,2)
2 4
【变式8-1】（2023·辽宁大连·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△ABC 的位置．若
1 1 1
顶点A（﹣3，4）的对应点是A（2，5），则点B（﹣4，2）的对应点B 的坐标是 ．
1 1
【变式8-2】（2023·吉林长春·校联考一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B的坐标分别
是A(0,2)，B(2,−1)．平移△ABC得到△A'B'C'，若点A的对应点A'的坐标为(−1,0)，则点B的对应点B'
的坐标是 ．
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题型09 与平移有关的规律问题
【例9】（2019·河南新乡·校联考二模）如图，等边△ABC的顶点A(1,1)，B(3,1)，
规定把△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过
2019次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为（ ）
A．(−2016,√3+1) B．(−2016,√3−1)
C．(−2017,√3+1) D．(−2017,−√3−1)
【变式9-1】（2023·湖南娄底·校联考一模）定义：在平面直角坐标系中，一个图形先
向右平移a个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫作图形的γ(a,θ)变换．如图，等
边△ABC的边长为1，点A在第一象限，点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上，△A B C 就是
1 1 1
△ABC经γ(1,180°)变换后所得的图形，若△ABC经γ(1,180°)变换后得到△A B C ，△A B C 经
1 1 1 1 1 1
γ(2,180°)变换后得到△A B C ，△A B C 经γ(3,180°)变换后得到△A B C ，依此类推••••••，
2 2 2 2 2 2 3 3 3
△A B C 经γ(n,180°)变换后得到△A B C ，点A 的坐标为 ．
n−1 n−1 n−1 n n n 2023
【变式9-2】（2018·青海·统考一模）如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边
△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如果这样连续经过2018次变换后，等边△ABC
的顶点C的坐标为 ．
题型10 平移的综合问题
【例10】（2022·内蒙古呼和浩特·统考三模）如图，△ABC和△A'B'C'是边长分别为5和2的等边三角
形，点B'、C'、B、C都在直线l上，△ABC固定不动，将△A'B'C'在直线l上自左向右平移．开始时，
点C'与点B重合，当点B'移动到与点C重合时停止．设△A'B'C'移动的距离为x，两个三角形重叠部分
的面积为y，请写出y与x之间的函数关系式 ．
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【变式10-1】（2023·天津·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6,0），点B在y轴的正半
轴上，∠ABO=30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD=2.．
（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；
（Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C'O'D'E'，点C，O，D，E的对应点分别为
C'，O'，D'，E'．设OO'=t，矩形C'O'D'E'与ΔABO重叠部分的面积为S．
①如图②，当矩形C'O'D'E'与ΔABO重叠部分为五边形时，C'E'，E'D'分别与AB相交于点M，F，试
用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当√3⩽S⩽5√3时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．
【变式10-2】（2023·吉林长春·东北师大附中校考三模）如图①，直线y=−x−1交x轴于点A，经过点A
的抛物线y =−x2+bx+c交直线y=−x−1于另一点B(4,−5)，交x轴于点C．点P是抛物线
1
y =−x2+bx+c对称轴上的点．
1
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标．
(2)当PA=PB时，求点P的纵坐标m的值．
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(3)过点P作x轴的平行线，交抛物线y =−x2+bx+c于点E、F，交线段AB于点Q，当点Q将线段AB分
1
得的两段线段长度比为2：3时，直接写出点P的纵坐标的值．
(4)将线段AC先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，若抛物线
y =a(−x2+bx+c)(a≠0)与线段MN只有一个交点，请直接写出a的取值范围．
2
【变式10-3】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A，B(1，0)两
点，与y轴交于C点，其对称轴为直线x=−1．
(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)如图1，D为线段AC上的点，过点D的直线EF∥OC，交抛物线于E点，交AO于F点，设点D的横
坐标为t，且−30)沿y轴翻折得到直线l'，平移直线l与抛物线相交于N，P两点，平移直线l'
与抛物线相交于N，Q两点，M为PQ的中点，设点N的横坐标为n，点M的横坐标为m，求n与m的数量
关系．
考点三 图形的旋转
定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋
转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角．
三大要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度．
性质：
1）对应点到旋转中心的距离相等；
2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
3）旋转前后的图形全等．
作图步骤：
1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角；
2）找出原图形的关键点；
3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；
4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形．
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1. 图形的旋转由旋转中心、旋转方向与旋转的角度所决定.
2. 旋转中心可以是图形外的一点，也可以是图形上的一点，还可以是图形内的一点.
3. 对应点之间的运动轨迹是一段圆弧，对应点到旋转中心的线段就是这段圆弧所在圆的半径.
4. 旋转是一种全等变换，旋转改变的是图形的位置，图形的大小关系不发生改变，所以在解答有关旋
转的问题时，要注意挖掘相等线段、角，因此特殊三角形性质的运用、锐角三角函数建立的边角关系
起着关键的作用．
中心对称与中心对称图形：
中心对称 中心对称图形
D
A
图形
C
B
如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图 如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自
定义 形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对 身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图
称. 形，这个点叫做它的对称中心.
区别 中心对称是指两个图形的关系 中心对称图形是指具有某种特性的一个图形
两者可以相互转化，如果把中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这“一个图
联系 形”就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形相互对称的两部分看成两个图形，
那么这“两个图形”中心对称.
中心对称的性质：1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；
2） 中心对称的两个图形是全等图形.
作与已知图形成中心对称的图形的一般步骤：
1）作已知图形各顶点（或决定图形形状的关键点）关于对称中心的对称点——连接关键点和对称中心，
并延长一倍确定关键点的对称点.
2）把各对称点按已知图形的连接方式依次连接起来，则所得到的图形就是已知图形关于对称中心对称的
图形.
找对称中心的方法和步骤：
方法1：连接两个对应点，取对应点连线的中点，则中点为对称中心.
方法2：连接两个对应点，在连接两个对应点，两组对应点连线的交点为对称中心.
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题型01 找旋转中心、旋转角、对应点
【例1】（2019·山东·山东省青岛第二十六中学校考中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶
点都在方格线的格点上，将三角形ABC绕点P旋转90°，得到△A′B′C′，则点P的坐标为（ ）
A．（0，4） B．（1，1） C．（1，2） D．（2，1）
【变式1-1】（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图，△ADE是由△ABC绕点A旋转得到的，若∠C=40°，
∠B=90°，∠CAD=10°，则旋转角的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．10°
【变式1-2】（2022·四川泸州·统考一模）如图，△ABC绕点C旋转，点B转到点E的位置，则下列说法
正确的是（ ）
A．点B与点D是对应点 B．∠BCD等于旋转角
C．点A与点E是对应点 D．△ABC≌△DEC
【变式1-3】（2023·江苏镇江·统考一模）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪
花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角α(0°<α<360°)后能够与它本身重合，则角α可以为
度．（写出一个即可）
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题型02 根据旋转的性质求解
【例2】（2023·辽宁沈阳·模拟预测）如图，△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到
△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC、ED交于点F．若∠BCD=α，则∠EFC的度数是
（用含α的代数式表示）（ ）
1 1 3 3
A．90°+ α B．90°− α C．180°− α D． α
2 2 2 2
【变式2-1】（2023·辽宁沈阳·统考三模）如图，在 ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将
ABM绕点A逆时针旋转得到 ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（ ）
△
△ △
A．AB=AN B．AB∥NC C．∠AMN=∠ACND．MN⊥ AC
【变式2-2】（2023·山东菏泽·统考二模）如图，在ΔABC中，ABb)的两个等边三角形纸片△ABC和
△CDE叠放在一起（C与C'重合）的图形．
(1)操作：固定△ABC，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转20°，连结AD，BE，如图2，则∠ECA=
______度，并直接写出线段BE与AD的数量关系____．
(2)操作：若将图1中的△CDE，绕点C按顺时针方向旋转120°，使点B、C、D在同一条直线上，连结
AD、BE，如图3．
①线段BE与AD之间是否仍存在（1）中的结论？若是，请证明；若不是，请直接写出BE与AD之间的数
量关系；
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②求∠APB的度数．
(3)若将图1中的△CDE，绕点C按逆时针方向旋转一个角α(0<α<360°)，当α等于多少度时，△BCD的
面积最大？请直接写出答案．
【变式12-3】（2022·山东烟台·统考二模）问题背景：
如图，已知△ABC中，AB=AC=m，BC=n，∠BAC=α(0°<α<180°)，点P为平面内不与点A，C重
合的任意一点，连接CP，将线段CP绕点P顺时针旋转α，得线段PD，连接CD，AP．点E，F分别为
EF
BC，CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探究 的值AB和β的度数．
AP
EF
(1)【问题发现】如图1，α=60°时， = ，β= ；
AP
EF
(2)如图2，α=90°时， = ，β= ．
AP
EF
(3)【类比探究】如图3，α=120°时，请探究出 的值和β的度数并证明；
AP
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EF
(4)【拓展延伸】通过以上的探究请直接写出你发现的规律： = （用含m、n的式子表示）；β= （用
AP
含α的式子表示）．
题型11 判断中心对称图形
【例13】（2023·河南焦作·统考一模）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺
利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度下列航天图标，其文字上方的图案是中
心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式13-1】（2023·四川绵阳·统考一模）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式13-2】（2021·北京丰台·统考二模）下列交通标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． 禁止驶入B． 靠左侧道路行驶
C． 向左和向右转弯D． 环岛行驶
题型12 画已知图形关于某点的对称图形
【例14】（2021·浙江宁波·统考模拟预测）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上，请仅用无刻
度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作△ABC关于点O对称的△A'B'C'；
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（2）在图2中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△A'B'C'．
【变式14-1】（2022·安徽安庆·校考一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给
出了格点△ABC（顶点是网格线的交点)．
(1)画出△ABC关于点C成中心对称的△A'B'C（其中A'是点A的对应点，B'是点B的对应点）；
(2)用无刻度的直尺作出一个格点O，使得OA=OB．
【变式14-2】（2017·山东枣庄·统考一模）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），
C（3，4）．
(1) 请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A B C ；
(2) 请画出△ABC关于原点对称的△A B C ；
(3) 在 轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标．
题型13 根据中心对称的性质求面积、长度、角度
【例15】（2022·河北秦皇岛·统考一模）如图，已知点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对
称，若BC=3，OD=4．则AB的长可能是（ ）
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A．3 B．4 C．7 D．11
【变式15-1】（2019·山东德州·校联考二模）点O是平行四边形ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F分别
1 1
是AB边上的点，且EF＝ AB；G、H分别是BC边上的点，且GH＝ BC；若S,S 分别表示∆EOF和
2 3 1 2
∆GOH的面积，则S,S 之间的等量关系是
1 2
【变式15-2】（2022·陕西·校联考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E，F分别
为AD，BC上的点，AE＝2，且EF过矩形ABCD的对称中心O．若点P，Q分别在AB，CD边上，且
EF，PQ将矩形ABCD的面积四等分，则BP的长为 ．
【变式15-3】（2022·广西·统考二模）如图，四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的交点，过点O的
三条直线将菱形分成阴影和空白部分，当菱形的两条对角线长分别为12和16时，则阴影部分面积为
．
题型14 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案
【例16】（2022·吉林长春·校考一模）如图，在4×4的方格纸中，ΔABC的三个顶点都在格点上．
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图1 图2 图3
(1)在图1中，画出一个与ΔABC成中心对称的格点三角形；
(2)在图2中，画出一个与ΔABC成轴对称且与ΔABC有公共边的格点三角形；
(3)在图3中，选择格点D，画出以A，B，C，D为顶点的平行四边形．
【变式16-1】（2022·山西大同·统考二模）阅读理解，并解答问题：
观察发现：
如图1是一块正方形瓷砖，分析发现这块瓷砖上的图案是按图2所示的过程设计的，其中虚线所在的直线
是正方形的对称轴．
问题解决：
用四块如图1所示的正方形瓷砖按下列要求拼成一个新的大正方形，并在图3和图4中各画一种拼法．
(1)图3中所画拼图拼成的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形；
(2)图4中所画拼图拼成的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形．
【变式16-2】（2023·浙江金华·校联考模拟预测）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的
角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个
图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图
1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题：
（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________；
A．矩形 B．正五边形 C．菱形 D．正六边形
（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：________（填序号）；
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（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称
图形，其中真命题的个数有（ ）个；
A．0 B．1 C．2 D．3
（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完
整．
51
