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专题 08 数列
1．（2021·全国高考真题（文））记 为等比数列 的前n项和.若 ， ，则 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】根据题目条件可得 ， ， 成等比数列，从而求出 ，进一步求出答案.
【详解】∵ 为等比数列 的前n项和，
∴ ， ， 成等比数列
∴ ，
∴ ，
∴ .
故选：A.
2．（2021·北京高考真题） 和 是两个等差数列，其中 为常值， ， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知条件求出 的值，利用等差中项的性质可求得 的值.
【详解】由已知条件可得 ，则 ，因此， .
故选：B.3．（2021·北京高考真题）数列 是递增的整数数列，且 ， ，则 的最大值
为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式即可得解.
【详解】若要使n尽可能的大，则 ，递增幅度要尽可能小，
不妨设数列 是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为 ，
则 ， ， ，
所以n的最大值为11.
故选：C.
4．（2021·浙江高考真题）已知 ，函数 .若
成等比数列，则平面上点 的轨迹是（ ）
A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线
【答案】C
【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.
【详解】由题意得 ，即 ，
对其进行整理变形：
，
，
，
，
所以 或 ，其中 为双曲线， 为直线.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形，提现了核心
素养中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题.
5．（2021·浙江高考真题）已知数列 满足 .记数列 的前n项和为
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】显然可知， ，利用倒数法得到 ，再放缩可得
，由累加法可得 ，进而由 局部放缩可得 ，然后
利用累乘法求得 ，最后根据裂项相消法即可得到 ，从而得解．
【详解】因为 ，所以 ， ．
由
，即根据累加法可得， ，当且仅当 时取等号，
，
由累乘法可得 ，当且仅当 时取等号，
由裂项求和法得：
所以 ，即 ．
故选：A．
【点睛】本题解题关键是通过倒数法先找到 的不等关系，再由累加法可求得 ，由
题目条件可知要证 小于某数，从而通过局部放缩得到 的不等关系，改变不等式的方向得到
，最后由裂项相消法求得 ．
6．（2021·全国高考真题）设正整数 ，其中 ，记
．则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD【分析】利用 的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误.
【详解】对于A选项， ， ，
所以， ，A选项正确；
对于B选项，取 ， ， ，
而 ，则 ，即 ，B选项错误；
对于C选项， ，
所以， ，
，
所以， ，因此， ，C选项正确；
对于D选项， ，故 ，D选项正确.
故选：ACD.
7．（2021·江苏高考真题）已知等比数列 的公比为 ，且 ， ， 成等差数列，则 的值是
___________.
【答案】4
【分析】根据三数成等差数列列等式，再将 ， 用含 和 的式子表示，代入等式求解.
【详解】因为 为等比数列，且公比为 ，
所以 ， 且 ， .
因为 ， ， 成等差数列，
所以 ，
有 ， ，解得 .
故答案为： .
8．（2021·全国高考真题）记 是公差不为0的等差数列 的前n项和，若 ．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）求使 成立的n的最小值．
【答案】(1) ；(2)7.
【分析】(1)由题意首先求得 的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
【详解】(1)由等差数列的性质可得： ，则： ，
设等差数列的公差为 ，从而有： ，
，
从而： ，由于公差不为零，故： ，
数列的通项公式为： .
(2)由数列的通项公式可得： ，则： ，
则不等式 即： ，整理可得： ，
解得： 或 ，又 为正整数，故 的最小值为 .
【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数
列的有关公式并能灵活运用.
9．（2021·浙江高考真题）已知数列 的前n项和为 ， ，且 .（1）求数列 的通项；
（2）设数列 满足 ，记 的前n项和为 ，若 对任意 恒成立，
求 的范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）由 ，结合 与 的关系，分 讨论，得到数列 为等比数列，
即可得出结论；
（2）由 结合 的结论，利用错位相减法求出 ， 对任意 恒成立，分
类讨论分离参数 ，转化为 与关于 的函数的范围关系，即可求解.
【详解】（1）当 时， ，
，
当 时，由 ①，
得 ②，① ②得
，
又 是首项为 ，公比为 的等比数列，
；
（2）由 ，得 ，所以 ，
，
两式相减得
，
所以 ，
由 得 恒成立，
即 恒成立，
时不等式恒成立；
时， ，得 ；
时， ，得 ；
所以 .
【点睛】易错点点睛：（1）已知 求 不要忽略 情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正
负零讨论，如（2）中 恒成立，要对 讨论，还要注意时，分离参数不等式要变号.
10．（2021·全国高考真题（文））记 为数列 的前n项和，已知 ，且数列 是
等差数列，证明： 是等差数列.
【答案】证明见解析.
【分析】先根据 求出数列 的公差 ，进一步写出 的通项，从而求出 的通项公
式，最终得证.
【详解】∵数列 是等差数列，设公差为
∴ ，
∴ ，
∴当 时，
当 时， ，满足 ，
∴ 的通项公式为 ，
∴
∴ 是等差数列.
【点睛】在利用 求通项公式时一定要讨论 的特殊情况.
11．（2021·全国高考真题（文））设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ．已知 ，
， 成等差数列．
（1）求 和 的通项公式；（2）记 和 分别为 和 的前n项和．证明： ．
【答案】（1） ， ；（2）证明见解析.
【分析】利用等差数列的性质及 得到 ，解方程即可；
利用公式法、错位相减法分别求出 ，再作差比较即可.
【详解】因为 是首项为1的等比数列且 ， ， 成等差数列，
所以 ，所以 ，
即 ，解得 ，所以 ，
所以 .
（2）证明：由（1）可得 ，
，①
，②
① ②得 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
【点晴】
本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，
是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看
如何消项化简的更为简洁.
12．（2021·江苏高考真题）已知数列 满足 ，且 .
（1）求证：数列 为等比数列；
（2）求数列 的通项公式；
（3）求数列 的前 项和 .
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）
【分析】（1）计算得到 ，得到答案.
（2） ，得到数列通项公式.
（3）根据分组求和法计算得到答案.
【详解】（1）由 ，得 ，∴ ，又 ，
∴ 是首项为3，公比为3的等比数列.
（2） ，∴ .
（3） .【点睛】本题考查了等比数列的证明，分组求和法，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.
13．（2021·全国高考真题）已知数列 满足 ，
（1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
（2）求 的前20项和.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）根据题设中的递推关系可得 ，从而可求 的通项.
（2）根据题设中的递推关系可得 的前 项和为 可化为 ，利用
（1）的结果可求 .
【详解】（1）由题设可得
又 ， ，
故 ，即 ，即
所以 为等差数列，故 .
（2）设 的前 项和为 ，则 ，
因为 ，
所以
.
【点睛】方法点睛：对于数列的交叉递推关系，我们一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项
的递推关系，再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题.14．（2021·北京高考真题）定义 数列 ：对实数p，满足：① ， ；②
；③ ， ．
（1）对于前4项2，-2，0，1的数列，可以是 数列吗？说明理由；
（2）若 是 数列，求 的值；
（3）是否存在p，使得存在 数列 ，对 ？若存在，求出所有这样的p；若不存在，
说明理由．
【答案】（1）不可以是 数列；理由见解析；（2） ；（3）存在； ．
【分析】(1)由题意考查 的值即可说明数列不是 数列；
(2)由题意首先确定数列的前4项，然后讨论计算即可确定 的值；
(3)构造数列 ，易知数列 是 的，结合(2)中的结论求解不等式即可确定满足题意的实数
的值.
【详解】(1)由性质③结合题意可知 ，
矛盾，故前4项 的数列，不可能是 数列.
(2)性质① ，
由性质③ ，因此 或 ， 或 ，
若 ，由性质②可知 ，即 或 ，矛盾；
若 ，由 有 ，矛盾.
因此只能是 .又因为 或 ，所以 或 .
若 ，则 ，
不满足 ，舍去.
当 ，则 前四项为:0，0，0，1，
下面用纳法证明 ：
当 时，经验证命题成立，假设当 时命题成立，
当 时：
若 ，则 ，利用性质③：
，此时可得： ；
否则，若 ，取 可得： ，
而由性质②可得： ，与 矛盾.
同理可得：
，有 ；
，有 ；
，又因为 ，有
即当 时命题成立，证毕.
综上可得： ， .
(3)令 ，由性质③可知：，
由于 ，
因此数列 为 数列.
由（2）可知:
若 ；
， ，
因此 ，此时 ， ，满足题意.
【点睛】本题属于数列中的“新定义问题”，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新
法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助
于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是
“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
1．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（文））执行如图所示的程序框图，则输出的 （ ）A．1002 B．1001 C．1000 D．999
【答案】B
【分析】根据框图，结合裂项相消相消法可知跳出循环结构时 的取值.
【详解】由程序框图知， ，
所以 ，
所以 ，
解得 ，
即当 时，满足 ，
此时由 知， ，
故输出 ，
故选：B
2．（2021·河南高三其他模拟（文））已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则
的公差为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据等差数列的求和公式、通项公式，代入数据，即可得答案.
【详解】由 ，得 .
又 ，所以 .
故选：B3．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三其他模拟（文））已知数列 是等差数列，若
， ，则 （ ）
A．5 B．4 C．9 D．7
【答案】A
【分析】本题可设等差数列 的公差为 ，然后根据 、 求出 ，最
后通过 即可得出结果.
【详解】设等差数列 的公差为 ，
则 ， ，
故 ，
故选：A.
4．（2021·正阳县高级中学高三其他模拟（文））设等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，
则 （ ）
A．66 B．65 C．64 D．63
【答案】B
【分析】根据等比数列前 项和的片段和性质求解即可.
【详解】解：由题知： ， ，
，
所以 ， ， 成等比数列，即5，15， 成等比数列，
所以 ，解得 .
故选：B.
5．（2021·四川成都市·石室中学高三三模）“中国剩余定理”又称“孙子定理” ，讲的是关于整除的问题（如7被3除余1：1被2除余1）.现有这样一个整除问题：将1到100这100个正整数中能被2除余1
且被3除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 ，则数列 各项的和为（ ）
A．736 B．816 C．833 D．29800
【答案】C
【分析】根据给定信息确定出这个数列的通项公式，再由最大数不超过100，确定出项数即可作答.
【详解】被2除余1且被3除余1的整数即被6除余1，这些整数由小到大依次排成一列构成的数列
通项为 ，
由 得 ，而 ，即 ，于是得符合条件的数列 有17项，这17项和为
，
所以数列 各项的和为833.
故选：C
6．（2021·陕西高三其他模拟（文））已知数列 中， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分析出数列 为等差数列，确定该数列的首项和公差，利用等差数列的求和公式可求得结果.
【详解】在等式 中，令 ，可得 ，则 ，
所以，数列 为等差数列，且该数列的首项和公差均为 ，
因为 ，故 ，所以， ，则 ，因此， .
故选：C.
7．（2021·上海高三其他模拟）已知数列 的前 项和为 ，若 ， ， ，
则 可能的不同取值的个数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】D
【分析】依题意可知数列 是以3为周期的数列，且 ， ， 两两不同，且前100项和与最后一位
的取值有关，从而可得答案．
【详解】∵ ， ， ，
∴数列 是以3为周期的数列，且 ， ， 两两不同，
从0，1，2，3四个数中取3个，对应 ， ， (其和 与 ， ， 的顺序无关)共有
种方法，
又 ，前100项和与最后一位 的取值有关，故有3种情况，
故 可能的不同取值的个数为 个，
故选：D.
8．（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（文））设各项均为正项的数列 满足 ，
， 若 ，且数列 的前 项和为 ，则 （
）A． B． C．5 D．6
【答案】D
【分析】由 利用因式分解可得 ，即可判断出数列 是以 为首项，
为公差的等差数列，从而得到数列 ，数列 的通项公式，进而求出 ．
【详解】 等价于 ，而 ，
所以 ，即可知数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，即有
，所以 ，
故 ．
故选：D．
9．（2021·河南高三其他模拟（文））数列 满足递推公式 ，且 ，
，则 （ ）
A．1010 B．2020 C．3030 D．4040
【答案】B
【分析】已知条件可化为 左右两端同乘以 有 ，即
， ，…， ，通过累加求和，计算即可求得结果.
【详解】 左右两端同乘以 有 ，
从而 ， ，…， ，
将以上式子累加得 ．由 得 ．
令 ，有 ．
故选：B.
10．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·凯里一中高三三模（文））已知 为递增的等差数列，
， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据等差数列的性质列出方程组 ，从而求出 和公差 ，写出 的通项公式即可
求出答案.
【详解】因为 为等差数列， ，所以 ，
由 ，得 或 (舍)，所以 ，
所以 .
令 ，得 .
故选：D.
11．（2021·浙江高三其他模拟）设x，y＞1，z＞0，z为x与y的等比中项，则 的最小值为（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用等比数列的性质和对数的运算法则化简求解即可.【详解】 ，且z为x和y的等比中项，则 ，
，(当且仅当 即 时取等号)
故选：A
12．（2021·宁波中学高三其他模拟）已知等差数列 中， ，则 的取值范围是（
）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题可设 ，表示出公差，将 表示为关于 的函数，即可
求解.
【详解】设等差数列 的公差为 ，
，则可设 ，
于是 ，
，其中 ，，则 的取值范围是 .
故选：D.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用已知条件设 .
13．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）《张丘建算经》是我国古代的一部数学著作，现传本有92问，比
较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算､各种等差数列问题的解决､某些不定方程问题求解等.书中
记载如下问题：“今有女子善织，日增等尺，初日织五尺，三十日共织390尺，问日增几何？”那么此女
子每日织布增长（ ）
A． 尺 B． 尺 C． 尺 D． 尺
【答案】C
【分析】设每日织布增长x尺，根据题意，并利用等差数列的求和公式列出方程求解即可.
【详解】设每日织布增长x尺，则 ，
即 ，解得 .
故选：C.
14．（2021·重庆高三三模）我国古代著名的数学专著《九章算术》有一段叙述：今有良马与驽马发长安至
齐，行程一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日减半里；驽马初日行九十七里，日减半里，良马
先至齐，复还迎驽马，则二马（ ）日后相逢．
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【分析】根据题意通过已知条件转化为两个等差数列的前n项和为定值问题，进而计算可得结论．
【详解】由题可知，良马每日行程 构成一个首项为103，公差 的等差数列，
驽马每日行程 构成一个首项为97，公差为 的等差数列，
则 ， ，
则数列 与数列 的前n项和为 ，又 数列 的前n项和为 ，
数列 的前n项和为 ，
，
整理得： ，
当 时， ，
当 时， ，
所以大12日相逢．
故选:C．
15．（2021·辽宁铁岭市·高三二模）中国古代数学名著《张邱建算经》中有如下问题：今有十等人，每等
一人，宫赐金以等次差降之(等差数列)，上三人先人，得金四斤，持出；下四人后人得金三斤，持出；中
间三人未到者，亦依等次更给.则第一等人(得金最多者)得金斤数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意转化为等差数列，由等差数列的通项公式列出方程求解即可.
【详解】由题设知在等差数列 中， ， .
所以 ， ，解得 ，
故选：A
16．（2021·辽宁葫芦岛市·高三二模）英国著名数学家布鲁克·泰勒(TaylorBrook)以微积分学中将函数展开
成无穷级数的定理著称于世.在数学中，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，并建立了如下指数函数公式： 其中 ，
， ，特别地， .用上述公式估计 的近似值.下列最适合的为（ ）
(精确到0.01)
A．1.25 B．1.26 C．1.28 D．1.30
【答案】C
【分析】应用题设泰勒展开式可得 ，随着n的增大，数列递减且靠
后各项无限接近于0，即可估计 的近似值.
【详解】由题意知：
.
故选：C
17．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三三模（文））复利是指一笔资金产生利息外，在下一个计息
周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法，单利是指一笔资金只有本金计取利息，而
以前各计息周期内产生的利息在下一个计息周期内不计算利息的计息方法.小闯同学一月初在某网贷平台贷
款10000元，约定月利率为1.5%，按复利计算，从一月开始每月月底等额本息还款，共还款12次，直到
十二月月底还清贷款，把还款总额记为x元.如果前十一个月因故不还贷款，到十二月月底一次还清，则每
月按照贷款金额的1.525%，并且按照单利计算利息，这样的还款总额记为y元.则y-x的值为（ ）(参考数
据：1.01512≈1.2)
A．0 B．1200 C．1030 D．900
【答案】C【分析】设小闯同学每个月还款 元，则可依次求每次还款 元后，还欠本金及利息，由题意可得
，求出 ，从而可求出
的值，再利用单利求出 ，进而可求出 的值
【详解】解：由题意知，按复利计算，设小闯同学每个月还款 元，则小闯同学第一次还款 元后，还欠
本金及利息为 元，
第二次还款 元后，还欠本金及利息为 ，
第三次还款 元后，还欠本金及利息为 ，
依次类推，直到第十二次还款后，全部还清，即
，
即 ，解得 ，
故 元，
按照单利算利息，12月后，所结利息共 元，
故 元，
所以 ，
故选：C
18．（2021·广东揭阳市·高三其他模拟）已知等比数列 的公比为2，且 ， ， 成等差数列，
则下列命题正确的是（ ）
A． ； B． ， ， 成等差数列
C． 是等比数列； D． ， ， ， ， ， 成等差数列
【答案】BC
【分析】求出数列的通项公式，以及数列的和，判断选项的正误即可．【详解】由 ， ， 成等差数列，可得 ， ， ，所以 不正确；
， ， ， ， 成等差数列，所以 正确；
，所以 ，所以 是等比数列，所以 正确；
若 ， ， 即 ， ， 成等差数列，不妨设 ，则 ，
，
即 ，显然左边奇数，右边偶数，不相等， 错误；
故选： ．
19．（2021·河北高三其他模拟）数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类.螺
旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”.小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，连接嵌套的
各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案，其具体作法是：在边长为1的正方形 中，作
它的内接正方形 ，且使得 ；再作正方形 的内接正方形 ，且使得
；类似地，依次进行下去，就形成了阴影部分的图案，如图所示.设第n个正方形的边长为
(其中第1个正方形 的边长为 ，第2个正方形 的边长为 ，…)，第n个
直角三角形(阴影部分)的面积为 (其中第1个直角三角形 的面积为 ，第2个直角三角形 的
面积为 ，…)，则（ ）A．数列 是公比为 的等比数列 B．
C．数列 是公比为 的等比数列 D．数列 的前n项和
【答案】BD
【分析】先得到 ，即 可判断A，再求出 ，可判断B与C，最后求出
，可判断D.
【详解】如图：
由图知 ，
对于A： ，数列 是公比为 的等比数列，故A不正确；对于BC：因为 ，所以 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，故B正确，C不正确；
对于D：因为 ，故D正确，
故选：BD.
【点睛】关键点睛：本题考查数列的归纳推理，关键在于根据几何图形的性质得出数列的递推关系式.
20．（2021·陕西高三其他模拟（文））在等比数列 中， ， ， ，则
的公比为______.
【答案】
【分析】根据 ， ，得 ，再由 即可解得 的公比.
【详解】解：设公比为 ，
因为 ， ，
即 ，
所以 ，
又因 ，
所以 ，
解得： 或 （舍去），故答案为： .
21．（2021·河南高三其他模拟（文））设S 是等差数列{a}的前n项和，若S=2S-2，2a-a=7，则
n n 4 3 5 6
S=___________.
8
【答案】64
【分析】设{a}的公差为d.根据已知条件列出方程组，计算求解即可.
n
【详解】设{a}的公差为d.因为 ，即 所以 ，
n
所以 .
故答案为：64.
22．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·凯里一中高三三模（文））已知数列 满足： ，
， 为数列 的前 项和，则 ___________.
【答案】
【分析】依题意可得 ，即数列 为等比数列，再根据等比数列的通项公式计算可得；
【详解】解：因为 ，
，
.
故答案为：
23．（2021·山西高三三模（文））《九章算术》卷七“盈不足”有这样一段话：“今有良马与弩马发长安至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里．日增十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．”意
思是：今有良马与弩马从长安出发到齐国，齐国与长安相距3000里，良马第一日走193里，以后逐日增加
13里，弩马第一日走97里，以后逐日减少0.5里．则8天后两马之间的距离为___________里．
【答案】
【分析】由题意，良马与驽马日行里数分别构成等差数列，由等差数列通项公式可得.
【详解】良马日行里数构成以193为首项，13为公差的等差数列；驽马日行里数则构成以97为首项，-0.5
为公差的等差数列，
则两马同时出发后第8日，良马日行里数 里)，
而驽马日行里数 (里)，
所以良马较驽马日行里数多1908-762=1146里．
故答案为：1146.
【点睛】本题考查等差数列的应用，涉及等差数列的通项公式，属于基础题，理解题意是解题的关键.
24．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三三模（文））已知 表示不超过 的最大整数，例如：
， 在数列 中， ，记 为数列 的前 项和，则
___________.
【答案】4956
【分析】首先分别计算当 ， 时， ， 时 的数值，
再求 即可.
【详解】当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
.
故答案为：
25．（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）已知数列 满足 ，则 _____，
_______．
【答案】
【分析】利用 求通项公式，再求出 .
【详解】对于 ，
当n=1时，有 ，解得： 1；
当 时，有 ，所以 ，所以 ，所以数列
为等比数列， ，
所以 .
故答案为：1， .
【点睛】（1）数列求通项公式的方法：①观察归纳法；②公式法；③由 求 ；④由递推公式求通项公
式；
（2）数列求和常用方法：
①公式法； ②倒序相加法；③裂项相消法； ④错位相减法．
26．（2021·湖北荆州市·荆州中学高三其他模拟）已知数列 满足 ， ，则的值为___________， 的值为___________.
【答案】
【分析】令 ，求出 ，再令 求出 ，从而可求出 的值，由 可得
，然后利用累乘法可得 ，得 ，从而可求出 的值
【详解】解：令 ，则 ， ，令 ，则 ，所以
，所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
当 时，有 ，
，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
故答案为： ，
【点睛】关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的通项，解题的关键是将 转化为 ，然后利用累乘法可求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中档题
27．（2021·北京高三其他模拟）已知等比数列 中， ，则公比 __________，数列
的前 项和为__________.
【答案】
【分析】设等比数列 的公比为q，列方程组求出 和 ，判断出数列 为等比数列，直接套公式求
出其前 项和.
【详解】设等比数列 的公比为q， ，
由 得： ，解得： .
所以 ，数列 为等比数列
所以数列 的前 项和为 .
故答案为： ；
【点睛】等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换和灵活运用性质．
28．（2021·福建三明市·三明一中高三其他模拟）等差数列 的公差d不为0，其中 ， ， ，
成等比数列．数列 满足
（1）求数列 与 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】（1） ； ；（2） ．【分析】（1）根据 和 ， ， 成等比数列可列出关于公差的方程，求出公差 的值，再结合
，即可写出通项 .根据前 项和与第 项的关系，由
可求出 ，进而可求出 ；
（2）利用“错位相减法”，可求出数列 的前n项和 .
【详解】解：（1）由已知 ，又
故
解得 （舍去），或
∴
∵ ①
故当 时，可知
∴
当 时，可知 ②
① ②得
∴
又 也满足 ，故当 时，都有 ；
（2）由（1）知故 ③
∴ ④
由③—④得
解得 .
【方法点睛】
求数列的前 项和常用的方法有：
（1）公式法；（2）分组（并项）求和法；（3）倒序相加法；（4）错位相减法；（5）裂项相消法.
29．（2021·四川眉山市·仁寿一中高三其他模拟（文））已知数列 的前 项和为 ，且满足
.
（1）求证： 为等比数列
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，求证：
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用 可得 ，再利用等比数列定义可得；
（2）由裂项相消法求得 即可证明.
【详解】（1）当n=1时， ，∴ .
当 时，∵ ，∴ ，
两式相减得 ，∴
∴
∴ 是以 为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）知 ，
∴ ，
∴
= .
30．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三三模（文））设S 为等差数列{a}的前n项和．已知a＝5，S
n n 3 7
＝49．
（1）求数列{a}的通项公式；
n
（2）设 ，求数列{b}的前n项和T．
n n
【答案】（1）a＝2n﹣1；（2） ．
n
【分析】（1）利用已知条件建立等量关系式求出数列的通项公式．
（2）利用裂项相消法在数列求和中的应用求出数列的和．
【详解】（1）设等差数列{a}的公差为d，首项为a
n 1
由题意可得 ，
解得 ，
所以{a}的通项公式为a＝2n﹣1．
n n
（2）由（1）得 ，
从而 ．31．（2021·沙坪坝区·重庆一中高三其他模拟）在数列 中，已知 ， （
）．
（1）证明：数列 为等比数列；
（2）记 ，数列 的前 项和为 ，求使得 的整数 的最小值；
（3）是否存在正整数 、 、 ，且 ，使得 、 、 成等差数列？若存在，求出 、 、
的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）10；（3）不存在，证明见解析.
【分析】（1）证明数列 为等比数列，即转化变形方向为 与 的关系.首先分离 与
，然后两边同取倒数，再同减去1，即可得证；
（2）先由(1)结论求出 ，再化简 ，根据分式形式，裂项求和得 ，求解不等式，估值可得
整数 的最小值；
（3）假设存在正整数 、 、 ，使得 、 、 成等差数列，得到 、 、 的等量关系，根据整
数性质，等式左偶右奇不可能成立．
【详解】（1）证明：由 ，得 ，从而 ，
，
又 ，故数列 为等比数列；（2）解：由(1)得， ，故 ，
所以 ，
，
令 ，则 ，
解得 ， ， .
故使得 的整数 的最小值为10；
（3）解：假设存在正整数 、 、 满足题意，则 ，
即 ，
即
两边同除以 得，
(*)
由 得， ， ；
所以 为奇数，而 、 均为偶数，
故(*)式不能成立；
即不存在正整数 、 、 ，且 ，使得 、 、 成等差数列.
【点睛】数列常见裂项形式：
（1） ；（2） ；
（3） ；
（4） .
32．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（文））在数列 中， ， .
（1）求 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）利用递推关系得到 是以2为公差， 为首项的等差数列，再代入通项公式，即可
得到答案；
（2）利用错位相减法求和，即可得到答案；
【详解】（1） ，
，
是以2为公差， 为首项的等差数列，
，
.（2）由（1）知： ，
两边乘以3得：
，
两式相减得：
33．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三月考（文））已知等比数列 的公比 ， ，且 、 、
成等差数列.
（1）求出数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，任意 ， 恒成立，求实数 的最小值.
【答案】（1） ；（2）最小值为 .
【分析】（1）根据已知条件可得出关于 的方程，解出 的值，即可求得等比数列 的通项公式；
（2）利用等比数列的求和公式求出 ，可求得 的取值范围，由此可求得实数 的最小值.【详解】（1）因为 ，且 、 、 成等差数列，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 或 ，又 ，所以 ，所以 ；
（2）因为数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
因为 ，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，
因为任意 ， 恒成立，所以 ，即实数 的最小值为 .
【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于 结构，其中 是等差数列， 是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于 结构，利用分组求和法；
（4）对于 结构，其中 是等差数列，公差为 ，则 ，利用裂
项相消法求和.
34．（2021·广东高三其他模拟）设等差数列 的前n项和为 ．
（1）求数列 的通项公式及 ；
（2）若 ，求数列 的前n项和 ．在① ；② ；③ 这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其
求解．
（注意：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
【答案】（1） ；（2）答案不唯一，具体见解析．
【分析】（1）设等差数列 的首项为 ，公差为d，解方程组即得数列 的通项公式及 ；（2）
选①：利用错位相减法求和得解；选②：利用裂项相消法求和得解；选③：对 分两种情况讨论求和得解.
【详解】（1）设等差数列 的首项为 ，公差为d，
，所以 ，
．
（2）选①：
①
②
由①－②得，
选②： ，
所以 ，所以
选③：
当n为偶数时，
当n为奇数时，
所以 ．
