重难点专题2-2三次函数图像与性质10类题型（解析版）-2025届高考数学热点题型归纳与重难点突（新高考专用）_2025年新高考资料_二轮复习

专题 2-2 三次函数图像与性质 近5年考情（2020-2024） 考题统计 考点分析 考点要求 考查频率：三次函数图像与性质的考查在近五年高 2024 年 甲 卷 考中保持一定频率，尤其在新课标全国卷中较为常 （ 文 ） ， 第 16 见。 题,5分 考点内容：主要考查三次函数的图像特征（如中心 （1）理解三次函数的定义 对称性、开口方向）、单调性（通过导数分析）、 域、值域和图像特点。 2024 年新高考 I 极值点（一阶导数为零的点）以及图像与性质的综 （2）掌握三次函数的导数 卷，第10题,6分 合应用。 与单调性关系。 题型分布：常以选择题、填空题或解答题的形式出 （3）判断三次函数的极值 现，涉及三次函数的零点、最值、极值、单调区间 点及其个数。 2024 年新高考 II 等具体问题。 （4）探究三次函数图像与 卷，第11题,6分 难度变化：随着高考改革的深入，对三次函数图像 x轴的交点个数。 与性质的考查更加注重学生的综合分析能力和解题 （5）熟练运用三次函数的 技巧，难度可能略有提升。 对称中心性质。 备考建议：考生应熟练掌握三次函数的基本性质， 2022年新高考I 灵活运用导数工具进行分析，同时注重题目类型的 卷，第10题,5分 多样性和综合应用能力的培养。 模块一 热点题型解读（目录） 【题型1】求三次函数的解析式 【题型2】三次函数的单调性问题 【题型3】三次函数的图像 【题型4】三次函数的最值、极值问题 【题型5】三次函数的零点问题 【题型6】三次函数图像，单调性，极值，最值综合问题 【题型7】 三次函数对称中心 【题型8】三次函数的切线问题 【题型9】三次函数根与系数的关系 模块二 核心题型·举一反三(讲与练)【题型1】求三次函数的解析式 （1）一般式： （a≠0） （2）交点式： （a≠0） 1．若三次函数 满足 ，则 （ ） A．38 B．171 C．460 D．965 【解析】待定系数法，求函数解析式 设 ，则 ， 由题意可得： ，解得 ， 则 ，所以 . 【题型2】三次函数的单调性问题 三次函数是高中数学中的一个重要内容，其考点广泛且深入，主要涉及函数的性质、图像、最值、 零点以及与其他函数的综合应用等方面。以下是对三次函数常见考点的详细分析： 1. 三次函数的定义与形式  定义：形如 f(x)=ax3+bx2+cx+d（其中 a≠=0）的函数称为三次函数。  形式：注意系数 a,b,c,d 的作用，特别是 a 的正负决定了函数的开口方向（a>0 开口向上， a<0 开口向下）。 2. 函数的单调性  导数应用：利用导数 f′(x)=3ax2+2bx+c 判断函数的单调性。解不等式 f′(x)>0 和 f′(x)<0 得到 函数的单调递增和递减区间。  极值点：导数等于0的点（f′(x)=0）可能是极值点，需结合单调性判断是否为极大值或极小 值点。 2024·广东茂名市·一模1 1 2．（多选）若 f x x3  x2 2x1是区间m1,m4上的单调函数，则实数 的值可 3 2 m 以是（ ） 4 3 A. B. C. 3 D. 4 【答案】CD 【详解】由题意， fxx2 x2x2x1 ， 令 fx0，解得1 x2，令 fx0，解得x1或x2， 所以 f x 在 1,2 上单调递减，在 ,1 ， 2, 上单调递减， 1 1 若函数 f x x3  x2 2x1在区间m1,m4上单调， 3 2 m11 则 或 或 ，解得 或 或 ， m41 m12 m42 m 5 m3 m 即m 5或m3. 【巩固练习】三次函数 在 上是减函数，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对函数 求导，得 因为函数 在 上是减函数，则 在 上恒成立， 即 恒成立， 当 ，即 时， 恒成立； 当 ，即 时， ，则 ，即 ， 因为 ，所以 ，即 ； 又因为当 时， 不是三次函数，不满足题意， 所以 . 【题型3】三次函数的图像图像 三次函数的定义域和值域均为R。对于值域，可以借助极限的思想。根据函数的解析式可知， 影响其值域范围的主要是“ax3”这一项，因此可得： 当a＞0时，x趋近于+∞，则f(x)趋近于+∞；x趋近于-∞，则f(x)趋近于-∞。 当a＜0时，x趋近于+∞，则f(x)趋近于-∞；x趋近于-∞，则f(x)趋近于+∞。 又因为f(x)是连续的函数，且x∈R，所以f(x)的值域为R。 由于三次函数的值域为R，则它的函数图像与x轴至少有一个交点，换句话说三次方程至少有一个 根。 3．设 ，若 为函数 的极大值点，则（ ） A． B． C． D． 【解析】数轴穿根法，根据解析式画出图象 若 ，则 为单调函数，无极值点，不符合题意，故 . 有 和 两个不同零点，且在 左右附近是不变号，在 左右附近是变号的.依题意， a为函数 的极大值点， 在 左右附近都是小于零的. （1）当 时，由 ， ，画出 的图象如下图所示： 由图可知 ， ，故 . （2当 时，由 时， ，画出 的图象如下图所示： 由图可知 ， ，故 .综上所述， 成立. 4．（2024·全国一卷真题）（多选）设函数 ，则（ ） A． 是 的极小值点 B．当 时， C．当 时， D．当 时， 【答案】ACD 【分析】求出函数 的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函 数 在 上的值域即可判断C；直接作差可判断D. 【详解】对A，因为函数 的定义域为R，而 ， 易知当 时， ，当 或 时， 函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，故 是函数 的极小值点，正确； 对B，当 时， ，所以 ， 而由上可知，函数 在 上单调递增，所以 ，错误； 对C，当 时， ，而由上可知，函数 在 上单调递减， 所以 ，即 ，正确； 对D，当 时， ， 所以 ，正确 【巩固练习1】（多选题）（2024·湖北武汉·模拟预测）设函数 ，则下列结论 正确的是（ ） A．存在实数 使得 B．方程 有唯一正实数解 C．方程 有唯一负实数解 D． 有负实数解 【答案】ABC 【分析】求导，分析函数 的图象与性质，对个选项逐一验证即可. 【详解】因为 ， . 由 ， 设 ，因为函数定义域为 ，且 ， ， 可知方程 一定有实数根，故A正确；由 或 . 所以函数在 ， 上单调递增，在 上单调递减. 且 为极大值， 为极小值. 做出函数草图如下： 观察图象可知：方程 有唯一正实数解， 有唯一负实数解， 故BC正确； 又 ，结合函数的单调性，当 时， ，所以 无负实数解.故D错误. 故选：ABC 【巩固练习2】（2024·全国甲卷(文)真题）曲线 与 在 上有两个不 同的交点，则 的取值范围为 ． 【答案】 【 分 析 】 将 函 数 转 化 为 方 程 ， 令 ， 分 离 参 数 ， 构 造 新 函 数 结合导数求得 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解. 【详解】令 ，即 ，令 则 ，令 得 ， 当 时， ， 单调递减， 当 时， ， 单调递增， ， 因为曲线 与 在 上有两个不同的交点， 所以等价于 与 有两个交点，所以 .【题型4】三次函数的最值、极值问题 三次函数的极值与最值  极值：通过导数等于0找到可能的极值点，并判断其类型（极大值或极小值）。  最值：在闭区间上，最值可能出现在端点或极值点处。需比较这些点的函数值来确定全局 最值。 5．已知三次函数 无极值，且满足 ，则 . 【答案】 【解析】由题设 ，则 ，即 ， 所以 ，当且仅当 时等号成立， 又 ，故 ，可得 ， 所以 . 6．已知三次函数f(x)＝ x3－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在定义域R上无极值点，则m的取值 范围是（ ） A．m＜2或m＞4 B． 或 C． D．2＜m＜4 【答案】C 【详解】 ， 由题意得导函数 无变号零点 ， 所以 恒成立， ， 解得 【巩固练习1】已知三次函数 ，其导函数为 ，存在 ，满足 ．记 的极大值为 ，则 的取值范围是 ．【答案】 【解析】因为 ， 所以 是 的零点也是极值点， 也是 的零点， 不妨设 ， 故 ， 因为 ，所以 ， 故当 或 时， ， 单调递增， 当 时， ， 单调递减， 可得 的极大值 ， 因为 ，所以 ． 【巩固练习2】（2024·全国·模拟预测）已知三次函数 的极小值点为 ，极 大值点为 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，得 ，关于x的一元二次方程 的两根为b， 2b， 又极小值点为 ，极大值点为 ，所以 ，即 ， 由韦达定理得到 ，所以 ， ，得到 ． 【题型5】三次函数的零点问题 三次方程 的实根个数 设三次函数 其导函数为二次函数: ， 判别式为：△= ，设 的两根为 、 ，结合函数草图易得：图像 (1) 若 ，则 恰有一个实根； (2) 若 ,且 ，则 恰有一个实根； (3) 若 ,且 ，则 有两个不相等的实根； (4) 若 ,且 ，则 有三个不相等的实根. 说明:(1)(2) 含有一个实根的充要条件是曲线 与 轴只相交一次，即 在R上为 单调函数（或两极值同号），所以 （或 ，且 ）; (5) 有两个相异实根的充要条件是曲线 与 轴有两个公共点且其中之一为切点，所 以 ，且 ; (6) 有三个不相等的实根的充要条件是曲线 与 轴有三个公共点，即 有一个极 大值，一个极小值，且两极值异号.所以 且 . 7．（2023·全国·高考真题）函数 存在3个零点，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出 ，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可. 【详解】 ，则 ， 若 要存在3个零点，则 要存在极大值和极小值，则 ， 令 ，解得 或 ， 且当 时， ， 当 ， ， 故 的极大值为 ，极小值为若 要存在3个零点，则 ，即 ，解得 8．已知三次函数 有三个零点 ， ， ，且在点 处切线的斜率为 ，则 . 【答案】0 【解析】令 ，其中 ， ， ， 互不相等. 则 . . 9．已知 ， ， ，若三次函数 有三个零点 ， ， ，且满足 ， ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵ ， ，即 ， 得 ，代入得 ， ∵ ， ，解得 ， 设三次函数的零点式为 ，比较系数得 ， ， 故 【巩固练习1】已知三次函数 的零点从小到大依次为m，0，2，其图象在 处的切线l经 过点 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可设 ， 则 ， 可得 ， 即切点坐标为 ，切线斜率 ， 则切线方程为 ， 代入点 得 ， 且 ，得 ，解得 . 【巩固练习2】（2024·全国·一模）已知三次函数 ， ，且 有三个零点.若三次函数 和 均为 上的单调函数，且这两个函数的导函数均有零点，则 零点的个数为 （ ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个或 个 【答案】A 【解析】由 可得 ， 因为三次函数 和 均为 上的单调函数，且这两个函数的导 函数均有零点， 所以这两个函数的导函数必为完全平方式， 设 ， ， ，有三个零点， 不单调，即 必有两个不相等的实数根， ， ，且 与 同号， 不可能有两 个不相等的实数根，故 单调， 由于当 趋向于正无穷时， 趋向于正无穷的增长速率远远大于 和 趋向于正无穷的 增长速率；当 趋向于负无穷时， 趋向于负无穷的增长速率远远大于 趋向于正无穷和 趋向于负无穷的增长速率； 故当 趋向于正无穷和负无穷时，三次函数两侧都趋向于无穷，且异号， 所以三次函数 必有零点，故 有唯一零点 【巩固练习3】已知 ， 为三次函数，其图象如图所示.若 有9个零点，则 的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题设 ，其图象如下， 当 ， 与 只有一个交点且 ；当 ， 与 有两个交点且 或 ； 当 ， 与 有三个交点且 ； 当 ， 与 有两个交点且 ； 由题图，要使 ， 有 9 个零点，则 ， ，且 有 ， 根据 解析式： ， 综上， ， 可得 ，故 . 【巩固练习4】已知三次函数 有两个零点，若方程 有四 个实数根，则实数a的范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 一定有两零点 与 ，所以只需 或 共有四 个根即可．结合 有两个零点，所以必有 或 ．然后分两种情况结合函数图象 讨论即可.由 ，则 得 或 三次函数 有两个零点，且程 有四个实数根， 所以只需 或 共有四个根即可， 所以 或 . 又方程 有四个实数根，则 或 共有四个根. 在 , 上单调递增，在 单调递减. 当 时， ，要满足条件，作出函数的大致图像.(如图①) 则 ，即 ，解得 . 当 ，得 ，要满足条件，作出函数的大致图像.(如图②)则 ，即 ，解得 . 综上所述，当 时，方程 有四个实数根. 故选：C 【题型6】三次函数图像，单调性，极值，最值综合问题 10．（24-25高三上·云南·阶段练习）（多选）已知函数 ，则（ ） A． 有两个极值点 B．点 是曲线 的对称中心 C． 有三个零点 D．直线 是曲线 的一条切线 【答案】ABD 【分析】根据极值点的定义可判断 A；由 为奇函数，根据平移变换可判断 B；由 的单调性和最值可判断C；利用导数的几何意义可判断D. 【详解】由题意， ，令 得 或 ，令 得 ，所以 在 上单调递增， 上单调递减， 所以 是极值点，故A正确； 令 ，该函数的定义域为 ， 则 是奇函数， 是 的对称中心， 将 的图象向上移动两个单位得到 的图象， 所以点 是曲线 的对称中心，故B正确； 因为 ，所以，函数 在 上有一个零点， 当 时， ，即函数 在 上无零点， 综上所述，函数 有两个零点，故C错误； 令 ，可得 ，又 ， 当切点为 时，切线方程为 ，当切点为 时，切线方程为 ，故D正确， 故选：ABD. 11．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数 下列结论中正确的是 （ ） A．若 ，则 是 的极值点 B． ，使得 C．若 是 的极小值点，则 在区间 上单调递减 D．函数 的图象是中心对称图形 【答案】BD 【分析】求出函数的导数，当 时， 有两解，列表表示出导数值的正负以及 函数的单调情况，当 时， ，即可判断 A，B，C；证明等式 成立即可判断D. 【详解】A：因为 ，所以 ， 当 时， ，则 在R上单调递增， 不是极值点，故 A错误； B：由选项A的分析知，函数 的值域为 ，所以 ，使得 ，故B正确； C：由选项A的分析知，当 时， 在 上单调单调递增，在 上单调递减， 所以若 为 的极小值点时， 在 上先递增再递减，故C错误； D：， 而 ， 则 ， 所以点 为 的对称中心，即函数 的图象是中心对称图形，故D正确. 【巩固练习1】函数 的图像如图所示，则 的取值范围 是 ． 【答案】 【分析】由图可知 ， ，列式求解可得a、b、c的关系，再结合 可得. 【详解】 ， 由题图可知， ， ， ， 则 ， …①， …②， ②-①得 ，即 ． ①+②得 ，则 ， 所以 ，则 ． 则 ， 所以 的取值范围为： 故答案为： ． 【巩固练习2】（23-24高三·广东清远·期末）（多选）已知函数 ，则下 列选项中正确的是（ ） A． 的值域为 B． 在 处取得极小值为2C． 在 上是增函数 D．若方程 有2个不同的根，则 【答案】AB 【分析】根据题意，求导可得 ，即可得到函数 的单调性以及值域，即可判断ABC，再 结合函数图像即可判断D 【详解】因为函数 ，则 ， 令 ，即 ，解得 或 （舍）， 当 时， ，则函数 单调递减， 当 时， ，则函数 单调递增，故C错误； 则 时，函数有极小值即最小值，即 ，故B正确； 且 ， ，则函数值域为 ，故A正确； 由函数 的单调性以及值域可得函数的大致图像，如图所示， 结合图像可知，若方程 有2个不同的根，则 ，故D错误 1 【巩固练习3】2024·金华联考模拟（多选题）已知函数 f(x) x34x4(x[0,3])，则（ ） 3 A．函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减 B．函数 f(x)在区间[0,3]上的最大值为1 10 C．函数 在点 处的切线方程为y3x f(x) (1, f(1)) 3  4  D．若关于 的方程 在区间 上有两解，则a ,4 x f(x)a [0,3]  3  【答案】AC 【分析】利用导数分析函数 f(x)的单调性，进而判断AB选项；结合导数的几何意义可判断C选项； 画出函数 f(x)大致图象，结合图象即可判断D选项. 1 【详解】因为 f(x) x34x4， ， 3 x[0,3] 所以 f(x)x24x2x2 ， 令 f(x)0，即x2；令 f(x)0，即0x2，所以函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减，在 2,3 上单调递增，故A正确； 因为 f 04， f 31， 所以函数 f(x)在区间[0,3]上的最大值为4，故B错误； 1 因为 ， f(1) ， f(1)3 3 1 所以函数 在点 处的切线方程为y 3x1 ， f(x) (1, f(1)) 3 10 即y3x ，故C正确； 3 4 因为 f 2 ，函数 大致图象如图， 3 f(x) 要使方程 f(x)a在区间[0,3]上有两解， 4 则 a1，故D错误. 3 【题型7】 三次函数对称中心 二阶导数的零点即为对称中心横坐标，即 则 为函数 的对称中心 设三次函数 ，则对称中心是； 三次函数f(x)的对称中心为 ，则 12．已知三次函数 的极小值点为 ，极大值点为 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】由题意，得 ，关于x的一元二次方程 的两根为b， 2b， 又极小值点为 ，极大值点为 ，所以 ，即 ， 由韦达定理得到 ，所以 ， ，得到 ． 13．人们在研究学习过程中，发现：三次整式函数 都有对称中心，其对称中心为 （其中 ）.已知函数 .若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得, , ,令 ，解得： ， 所以函数 的对称中心为： ，又 ，所以 . 14．已知一元三次函数对称中心的横坐标为其二阶导函数的零点．若 ，则 （ ） A．0 B．4 C． D． 【答案】B 【解析】二级结论：三次函数对称中心的 横坐标是其二阶导数的零点。由题， ，故二阶导函数的零点为 ，即对称中心的横坐标为1， 设对称中心为 ，则 ，可解得 ， 由 ，故 15．（2024·全国2卷·高考真题）（多选）设函数 ，则（ ） A．当 时， 有三个零点 B．当 时， 是 的极大值点 C．存在a，b，使得 为曲线 的对称轴D．存在a，使得点 为曲线 的对称中心 【答案】AD 【分析】A选项，先分析出函数的极值点为 ，根据零点存在定理和极值的符号判断出 在 上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项， 假设存在这样的 ，使得 为 的对称轴，则 为恒等式，据此计算判断；D 选项，若存在这样的 ，使得 为 的对称中心，则 ，据此进行计 算判断，亦可利用拐点结论直接求解. 【详解】A选项， ，由于 ， 故 时 ，故 在 上单调递增， 时， ， 单调递减， 则 在 处取到极大值，在 处取到极小值， 由 ， ，则 ， 根据零点存在定理 在 上有一个零点， 又 ， ，则 ， 则 在 上各有一个零点，于是 时， 有三个零点，A选项正确； B选项， ， 时， ， 单调递减， 时 ， 单调递增， 此时 在 处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的 ，使得 为 的对称轴， 即存在这样的 使得 ， 即 ， 根据二项式定理，等式右边 展开式含有 的项为 ， 于是等式左右两边 的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的 ，使得 为 的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的 ，使得 为 的对称中心， 则 ，事实上， ， 于是 即 ，解得 ，即存在 使得 是 的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ， ， ， 由 ，于是该三次函数的对称中心为 ，由题意 也是对称中心，故 ， 即存在 使得 是 的对称中心，D选项正确. 故选：AD 16．对于三次函数 ，给出定义： 是函数 的导数， 是函数 的导数，若方程 有实数解 ，则称 为函数 的 “拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称 中心，且“拐点”就是对称中心.若函数 ，则下列说法正确的是 （ ） A． 的极大值为 B． 有且仅有2个零点 C．点 是 的对称中心 D． 【答案】ACD 【分析】求得 ，得出函数单调性，结合极值的概念，可判定A正确；根据极 大值为 ，极小值 ，进而得到函数 有 3 个零点，可判定 B 错误；求得 ，令 ，求得 ，得出 ，可判定 C 正确；根据对称性，得到 ，结合倒序相加法，可判定D正确. 【详解】由函数 ，可得 ， 令 ，解得 或 ；令 ，解得 ， 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 单调递增， 当 时， 取得极大值，极大值为 ，所以A正确； 又由极小值 ，且当 时， ，当 时， ，所以函数 有3个零点，所以B错误； 由 ，可得 ，令 ，可得 ， 又由 ，所以点 是函数 的对称中心， 所以C正确； 因为 是函数 的对称中心，所以 ， 令 ， 可得 ， 所 以 ， 所以 ，即 ， 所以D正确. 【巩固练习1】已知三次函数 ，若 ，则 . 【答案】 【详解】由题意， ， ，令 解得 ，又 ，故 的对称中心为 .故当 时， . 【巩固练习2】已知所有的三次函数 的图象都有对称中心 ， ，若函数 ，则 . 【答案】8090 【解析】 ， 则 ， 即函数 的图象的对称中心为 ， 则 ，故 . 【巩固练习3】（2024·四川成都·模拟预测）（多选）已知函数 ，则（ ） A． 有两个极值点 B． 有一个零点 C．点 是曲线 的对称中心 D．直线 是曲线 的切线 【答案】BC 【分析】利用导数y与零点存在性定理求解三次函数的极值点，零点，对称中心，切线问题. 【详解】选项A： 则 恒成立，故 单调递增，故 不存在两个极值点， 故选项A错误. 选项B: 又 单调递增，故 有一个零点，故选项B正确， 选项C： 故点 是曲线 的对称中心，故选项C正确， 选项D：令 ，即 ， 令 ，则令 ， 则 当 则 当 切 线 斜 率 为 切 点 为 则 切 线 方 程 为 ： 与 不相等， 当 时同样切线方程不为 ，故选项D错误. 【巩固练习4】（多选题）（2024·江苏·模拟预测）已知三次函数 ，若函数 的图象关于点（1，0）对称，且 ，则（ ） A． B． 有3个零点C． 的对称中心是 D． 【答案】ABD 【解析】由题设， ，且 ， 所以 ，整理得 ， 故 ，可得 ，故 ， 又 ，即 ，A正确； 有3个零点，B正确； 由 ，则 ，所以 关于 对称， C错误； ，D正确. 【题型8】三次函数的切线问题 一般地，过三次函数 图象的对称中心作切线 ，则坐标平面被切线和函数的图象分割为四个 区域，有以下结论： （1）过区域 内的点作 的切线，有且仅有3条； （2）过区域Ⅱ、Ⅲ内的点以及对称中心作 的切线，有且仅有1条； （3）过切线 或函数 图象（除去对称中心）上的点作 的切线，有且仅有2条. 17．已知函数 在点 处的切线方程为 ．若经过点 可以作出曲线 的三条切线，则实数 的取值范围为 ． 【答案】【解析】∵ ，∴ ， 根据题意得 ，解得 ， ∴函数的解析式为 ， 设切点为 ，则 ， ，故切线的斜率为 ， 由题意得 ，即 ， ∵过点 可作曲线 的三条切线， ∴方程 有三个不同的实数解， ∴函数 有三个不同的零点． 由于 ， ∴当 时， 单调递增， 当 时， 单调递减， 当 时， 单调递增． ∴当 时， 有极大值，且极大值为 ； 当 时， 有极小值，且极小值为 ． ∵函数 有3个零点，∴ ，解得 ． ∴实数 的取值范围是 ． 18．（多选题）（2024·山西晋中·二模）对于三次函数 ，给出定义： 设 是函数 的导数， 是函数 的导数，若方程 有实数解 ， 则称 为函数 的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有 “拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若函数 ，则（ ） A． 一定有两个极值点 B．函数 在R上单调递增 C．过点 可以作曲线 的2条切线D．当 时， 【答案】BCD 【解析】由题意知 ， ， 恒成立， 所以 在R上单调递增，没有极值点，A错误，B正确； 设切点为 ，则 ， 切线方程为 ， 代入点 得 ， 即 ，解得 或 ， 所以切线方程为 或 ，C正确； 易知 ，令 ，则 ． 当 时， ， ，所以点 是 的对称中心， 所以有 ，即 ． 令 ， 又 ， 所 以 ， 所以 ，D正确． 【巩固练习1】（2022·新高考一卷真题）（多选）已知函数 ，则（ ） A． 有两个极值点 B． 有三个零点 C．点 是曲线 的对称中心 D．直线 是曲线 的切线 【答案】AC 【分析】利用极值点的定义可判断A，结合 的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利 用导数的几何意义判断D.【详解】由题， ，令 得 或 ， 令 得 ， 所以 在 ， 上单调递增， 上单调递减，所以 是极值点， 故A正确； 因 ， ， ， 所以，函数 在 上有一个零点， 当 时， ，即函数 在 上无零点， 综上所述，函数 有一个零点，故B错误； 令 ，该函数的定义域为 ， ， 则 是奇函数， 是 的对称中心， 将 的图象向上移动一个单位得到 的图象， 所以点 是曲线 的对称中心，故C正确； 令 ，可得 ，又 ， 当切点为 时，切线方程为 ，当切点为 时，切线方程为 ，故D错误. 【巩固练习2】（多选题）（山东省枣庄市2024届高三第二次模拟考试数学试题）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ） A．当 时，若 有三个零点，则b的取值范围为 B．若 满足 ，则 C．若过点 可作出曲线 的三条切线，则 D．若 存在极值点 ，且 ，其中 ，则 【答案】ACD 【 解 析 】 对 于 A ， ， 当 时 ， ， ， 令 ，解得 或 ，在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增； 当 时 取得极大值 ，当 时 取得极小值 ， 有三个零点， ，解得 ，故选项A正确； 对于B ， 满足 ，根据函数的对称可知 的对称点为 ，将其代入 ，得 ， 解得 ，故选项B错误； 对于C ， ， 设切点为 ，则切线的斜率 化简 ， 得 由条件可知该方程有三个实根， 有三个实根， 记 ， 令 ，解得 或 ， 当 时 取得极大值 ，当 时， 取得极小值 ， 因为过点 可作出曲线 的三条切线， 所以 ，解得 ，故选项C正确； 对于D ， ， ， 当 ， 在 上单调递增； 当 ， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调 递增； 存在极值点 ， 由 得 令 ， ，于是 ， 所以 ，化简得： ， ， ，于是 ， .故选项D正确 【巩固练习3】（多选题）下列关于三次函数 叙述正确的是 （ ） A．函数 的图象一定是中心对称图形 B．函数 可能只有一个极值点 C．当 时， 在 处的切线与函数 的图象有且仅有两个交点 D．当 时，则过点 的切线可能有一条或者三条 【答案】AC 【解析】对于A， ， 故 为定值，故函数 的图象一定是中心对称图形. 对于B， ， 若 有极值点，则 有变号零点，而 的图像为抛物线， 故 ，故 有两个变号零点， 故 有两个极值点，故B错误. 对于C， 在 处的切线方程为 ， 令 ， 则 ，当 时， ， 所以 ， 因为 ，故 ，不妨设 ，若 ，则当 或 时， ，当 时， ， 故 在 上为增函数，在 上为减函数， 而 ，故 ， 而 时， ，故 有两个不同的零点， 故 的图像与切线 有且只有两个不同交点， 同理可得当 时，故 的图象与切线有且只有两个不同的交点，故C正确. 对于D，过点 的切线的切点为 ， 由（2）的切线方程可得 ， 故 ， 整理得到： ， 故 或 ， 下面考虑 的解， 整理得到： ， ， 而 ， 故方程 有且只有一个异于 的实数根， 过点 的切线有且只有两条，故D错误. 【题型9】三次函数根与系数的关系 三次函数根与系数关系：对于 ，若 有3个交点 ，则 方程 可以写为 ， 展开后得 比对系数，则有： ， ， ， 2024届·广东省“六校”高三上学期9月联合摸底 19．（多选）已知三次函数 有三个不同的零点 ，若函数也有三个不同的零点 ，则下列等式或不等式一定成立的有 （ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对于A，由题意可得 有两个不同的实根，则 ，从而可进行判断，对于B， 根据图象分析判断，对于CD，由零点的定义结合方程化简变形进行判断. 【详解】 ，因为原函数有三个不同的零点，则 有两个不同的实根， 即 ，则 ，即 ，所以A错误； 因为三次函数 有三个不同的零点 ， 所以 ， 所以 ， 同理 ， 所以 ，故C正确，D错误； 由 的图象与直线 的交点可知 ，B正确． 故选：BC． 20．（2024·衢州、丽水、湖州·统考一模）（多选）已知函数 ，若 ，其中 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】 根据函数 ，求导后可判断原函数的单调性，根据数形结合思想，令 ，则 ，可判断出 ， ， ，由三次方程 的韦达定理为 ， ， ，凑出选 项，利用不等式的性质或者函数的单调性求出范围即可.【详解】因为 ， ， 所以 ， 所以当 时， ，当 时， 或 ， 所以当 时， 单调递减， 当 或 时， 单调递增， 且当 时， ， 当 时， ， 且 时， 或 ， ， ， 整理得： ， 所以 的对称中心为 ， 如图所示： 令 ， 则由图可知： ， ， ，所以A错误； B选项中， ， 又因为 ，所以 ，且 ， 所以 ， 所以 ， 因为 在 上单调递减，故 ，所以 ，B正确； C选项中，根据三次方程的韦达定理知， ， 所以 ，所以C正确； D选项中，因为 ， ， ， 所以 ，由 ， 知， ， 由B知， ，所以 ， 故 ，又 ，所以 ，所以D正确.【巩固练习1】（2023届·深圳一模）（多选）已知函数 ，若 ，其 中 ，则（ ） A． B． C． D． 的取值范围为 【答案】BCD 【分析】对 求导，利用导数判断函数的单调区间，从而可得函数的大致图象．设 ，由图象可得知 ， ， 的取值范围，从而可判断 A；又根据 ，对照系数可得 的值，可得 得取值范围，从而可判断C， D；结合A和C即可判断B． 【详解】因为 ，所以 ， 令 ，解得 或 ， 当 时， 或 ，所以 单调递增区间为 和 ； 当 时， ，所以 单调递减区间为 ， 的图象如右图所示， 设 ，则 ， ，故A错误； 又 ，所以 ， 即 ， 对照系数得 ，故选项C正确； ，故选项D正确； 因为 ，所以 ，解得 ，故选项B正确 【巩固练习2】（2024·重庆育才中学·阶段练习）（多选）已知三次函数 有三个不同的零点 ，函数 .则（ ） A． B．若 成等差数列，则 C．若 恰有两个不同的零点 ，则 D．若 有三个不同的零点 ，则 【答案】ABD 【分析】对于A，由题意可得 有两个不同实根，则由 即可判断；对于B，若 成等差数列，则 ，从而结合 即可判断；对于C，若 恰 有两个零点，则 或 必为极值点，分类讨论即可判断；对于D，由韦达定理即可判断. 【详解】 ， ， ，对称中心为 ，对 A：因为 有三个零点，所以 必有两个极值点，所以 ， ，A正确； 对B，由 成等差数列，及三次函数的中心对称性可知 ， 所以 ， 又 ，故 ，所以 ，所以 ，故B正确； 对C： ，即 ， 若 恰有两个零点，则 或 必为极值点； 若 为极值点，则该方程的三个根为 ， ， ，由一元三次方程的韦达定理可知： ； 若 为极值点，同理可得 ，故C错； 对D：由韦达定理 ， 得 ， 即 ，故D正确.