文档内容
重难点 03 函数的单调性（6 种考法）
【目录】
考法1：定义法判断或证明函数的单调性
考法2：根据函数的单调性求参数值
考法3：复合函数的单调性
考法4：根据函数的单调性解不等式
考法5：比较函数值的大小
考法6：根据函数的解析式直接判断函数的单调性
二、命题规律与备考策略
一．函数的单调性
【解题方法点拨】
判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应
用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．
单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能
用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．
设任意x，x∈[a，b]且x≠x，那么
1 2 1 2
① ⇔f（x）在[a，b]上是增函数；
f（x）在[a，b]上是减函数．
②（x﹣x）[f（x）﹣f（x）]＞0 f（x）在[a，b]上是增函数；
1 2 1 ⇔ 2
（x
1
﹣x
2
）[f（x
1
）﹣f（x
2
）]＜0 f⇔（x）在[a，b]上是减函数．
函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间．
⇔
【命题方向】
函数的单调性及单调区间．是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，
课改地区单调性定义证明考查大题的可能性比较小．从近三年的高考试题来看，函数单调
性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答
题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题
在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类
讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单
调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
二、函数单调性判断
【解题方法点拨】
学科网（北京）股份有限公司证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．
利用函数的导数证明函数单调性的步骤：
第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、
指数函数可不考虑定义域．
第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．
第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小
开区间，并列表．
第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、
最值．
第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的
取值范围．
第六步：明确规范地表述结论
【命题方向】
从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热
点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调
性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考
查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数
求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重
点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
三、复合函数的单调性
【解题方法点拨】
求复合函数y＝f（g（x））的单调区间的步骤：
（1）确定定义域；
（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；
（3）分别确定两基本初等函数的单调性；
（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间．
【命题方向】
理解复合函数的概念，会求复合函数的区间并判断函数的单调性．
四．函数奇偶性
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
【命题方向】函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，
确保答题的正确率．
五、奇偶性与单调性的综合
【解题方法点拨】
学科网（北京）股份有限公司参照奇偶函数的性质那一考点，有：
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反
【命题方向】奇偶性与单调性的综合．
不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总
结，一定要重视这一个知识点．
三、题型方法
考法1：定义法判断或证明函数的单调性
一、单选题
1．（2023·北京顺义·统考一模）下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递增的是
（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江台州·统考二模）已知函数 同时满足性质:① ;②当
时, ,则函数 可能为( )
A． B．
C． D．
3．（2023·宁夏银川·银川一中校考一模）已知函数 ，对任意 ，
都有 成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·辽宁大连·统考一模）已知对于每一对正实数 ， ，函数 满足：
，若 ，则满足 的 的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、多选题
5．（2023·山东·校联考二模）若定义在 上的函数 同时满足：① ；②对
， 成立；③对 ， ， ， 成立；
则称 为“正方和谐函数”，下列说法正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． ， 是“正方和谐函数”
B．若 为“正方和谐函数”，则
C．若 为“正方和谐函数”，则 在 上是增函数
D．若 为“正方和谐函数”，则对 ， 成立
6．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知函数 的定义域D关于原点对称，
且 ，当 时， ；且对任意 且
，都有 ，则（ ）
A． 是奇函数 B．
C． 是周期函数 D． 在 上单调递减
三、填空题
7．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知实数 ， 满足 ，
，则 ________.
8．（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）已知函数 ，
若对定义域内两任意的 （ ），都有 成立，则a的取值范围是
________．
9．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）设奇函数 的定义域为 ，且对任意
，都有 ．若当 时， ，且 ，则
不等式 的解集为__________．
四、解答题
10．（2023·吉林·东北师大附中校考二模）已知函数 ，其中 ．
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)已知 在区间 上存在唯一的极小值点．
（ⅰ）求实数 的取值范围；
（ⅱ）记 在区间 上的极小值为 ，讨论函数 的单调性．
学科网（北京）股份有限公司考法2：根据函数的单调性求参数值
一、单选题
1．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）命题 在 上为
增函数，命题 在 单调减函数，则命题q是命题p的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2023·北京丰台·统考一模）已知函数 的定义域为 ，存在常数 ，使得对
任意 ，都有 ，当 时， ．若 在区间 上单调
递减，则t的最小值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
3．（2023·河南洛阳·校联考三模）若对任意的 ， ，且 ，
，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·天津河东·统考二模）已知奇函数 在 上是增函数，若 ，
， ，则 的大小关系为
A． B． C． D．
5．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）已知函数 的导函数 满足
对 恒成立，则下列判断一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·天津河西·统考二模）函数 在 的图像大致为
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
7．（2023·陕西汉中·统考二模）已知函数 的定域为 ，图象恒过点 ，对任意
，当 时，都有 ，则不等式 的
解集为（ ）．
A． B． C． D．
8．（2023·甘肃兰州·兰州五十九中校考模拟预测）设函数
，则使得 成立的 的取值范围是
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数 ，则下列说法正确的是
（ ）
A． 的定义域为
B． 在 上的值域为
C．若 在 上单调递减，则
D．若 ，则 在定义域上单调递增
三、填空题
10．（2023·山东日照·山东省日照实验高级中学校考模拟预测）已知正实数 满足
，则 的最小值为___________.
11．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）函数f（x），g（x）的定义域都是D，
直线x=x （x ∈D），与y=f（x），y=g（x）的图象分别交于A，B两点，若|AB|的值是不等
0 0
于0的常数，则称曲线y=f（x），y=g（x）为“平行曲线”，设f（x）=ex-alnx+c（a>0，
学科网（北京）股份有限公司c≠0），且y=f（x），y=g（x）为区间（0，+ ）的“平行曲线”，g（1）=e，g（x）在
区间（2，3）上的零点唯一，则a的取值范围是_________.
四、解答题
12．（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知函数
.
(1)若 且函数 在 上是单调递增函数，求 的取值范围；
(2)设 的导函数为 ，若 满足 ，证明：
.
13．（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知函数 .
(1)若函数 在区间 上单调递减，求实数 的取值范围；
(2)若方程 有两个实根 ， ，且 ，求证： .
参考数据： ， .
考法3：复合函数的单调性
一、单选题
1．（2023·福建厦门·厦门双十中学校考模拟预测）已知函数 ，若
成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·山东菏泽·统考一模）定义在实数集 上的函数 ，如果 ，使得
学科网（北京）股份有限公司，则称 为函数 的不动点.给定函数 ， ，已知函数
， ， 在 上均存在唯一不动点，分别记为 ，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）函数 的定义域为 ，若满足：(1)
在 内是单调函数；(2)存在 ，使得 在 上的值域为 ，那么就
称函数 为“梦想函数”.若函数 是“梦想函数”，则
的取值范围是
A． B． C． D．
二、多选题
4．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）定义在 上的函数 满足
，且当 时， ，则（ ）
A． B． 的一个周期为3
C． 在 上单调递增 D．
考法4：根据函数的单调性解不等式
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）定义在 上的函数 满足 ，则关于
的不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知 是定义在 上的偶函数， 是定义在
上的奇函数，且 ， 在 单调递减，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·新疆·统考二模）设 是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间 上单
调递减，且满足 ， ，则不等式组 的解集为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
二、多选题
4．（2023·云南昆明·昆明市第三中学校考模拟预测）已知函数 的定义域为R，且
对任意 ，都有 ，且当 时， 恒成立，则（ ）
A．函数 是R上的减函数 B．函数 是奇函数
C．若 ，则 的解集为 D．函数 ( )+ 为偶函数
5．（2023·山东聊城·统考一模）已知奇函数 的定义域为 ， ，对于任意的正
数 ，都有 ，且 时，都有 ，则（ ）
A．
B．函数 在 内单调递增
C．对于任意 都有
D．不等式 的解集为
三、填空题
6．（2023·陕西咸阳·统考三模）已知 是定义在R上的偶函数，当 时，
，则不等式 的解集是________．
7．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知函数 的定义域 为
， 在 上单调递减，且对任意的 ，都有
，若对任意的 ，不等式 恒成
立，则实数 的取值范围是______．
考法5：比较函数值的大小
一、单选题
1．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）已知函数 ，若 ，
， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·福建宁德·统考模拟预测）已知
学科网（北京）股份有限公司，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·海南海口·校联考一模）设 ， ， ，则 ， ， 的
大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·河南新乡·统考三模）已知 ， ， ，则下列关系正确的为
（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．（2023·全国·模拟预测）已知 ，若正数 满足 ，则下列不
等式可能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·江苏·校联考模拟预测）若函数 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A． B． 的图象关于直线 对称
C． D． 仅有一个极值点
学科网（北京）股份有限公司三、填空题
9．（2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）定义在 上的偶函数 满足
，且在 上是减函数，若 ､ 是钝角三角形的两个锐角，对
（1） ， 为奇数；（2） ；（3） ；
（4） ；（5） .则以上结论中正确的有
______________.(填入所有正确结论的序号).
10．（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）已知 ， ， ，则 的大
小关系是___________.
四、解答题
11．（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）已知曲线 .从点
向曲线 引斜率为 的切线 ，切点为 .
（1）求切点 坐标和切点 的坐标；
（2）已知 在 上是递减的，求证： .
考法6：根据函数的解析式直接判断函数的单调性
一、单选题
1．（2022·天津·统考高考真题）函数 的图像为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
2．（2023·贵州毕节·统考二模）已知函数 ，则 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·北京朝阳·统考一模）已知函数 ，则“ ”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2023·江西·统考模拟预测）已知函数 ，则函数
的图象与两坐标轴围成图形的面积是（ ）
A．4 B． C．6 D．
5．（2023·山东潍坊·校考模拟预测）已知三个互异的正数 ， ， 满足 ，
学科网（北京）股份有限公司，则关于 ， ， 下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．（2023·浙江·校联考二模）已知函数 ，则
（ ）
A．f（x）是单调递增函数 B．
C． D．
三、填空题
7．（2023·全国·模拟预测）已知关于x的方程 有解，则实数a的
取值范围为___________.
学科网（北京）股份有限公司
