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重难点 03 函数性质的灵活运用【九大题型】
【新高考专用】
函数及其性质是高考数学的重要内容.从近几年的高考情况来看，本节是高考的一个热点内容，函数
的单调性、奇偶性、对称性与周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图
象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想，灵活求解．对于选
择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性、奇偶性、周期性等，主要考察方向是：判断函数单
调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小；对于解答题部分，一般与导数相结合，考查难度较
大，需要灵活求解.
【知识点1 函数的单调性与最值的求解方法】
1．求函数的单调区间求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.
2．函数单调性的判断
(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.
(2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的
原则.
(3)函数单调性的几条常用结论：
①若 是增函数，则 为减函数；若 是减函数，则 为增函数；
②若 和 均为增（或减）函数，则在 和 的公共定义域上 为增（或减）函
数；
③若 且 为增函数，则函数 为增函数， 为减函数；
④若 且 为减函数，则函数 为减函数， 为增函数．
3．求函数最值的三种基本方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
4．复杂函数求最值：
对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
【知识点2 函数的奇偶性及其应用】
1．函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关
系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.
(3)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的
函数，如 ．
对于运算函数有如下结论：奇 奇=奇；偶 偶=偶；奇 偶=非奇非偶；奇 奇=偶；奇 偶=奇；
偶 偶=偶．
(4)复合函数 的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇．
(5)常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数 或函数 ．②函数 ．
③函数 或函数
④函数 或函数 ．
2．函数奇偶性的应用
(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的
函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.
(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.
【知识点3 函数的周期性与对称性常用结论】
1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数)
(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；
(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a；
(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a；
(4)若f(x+a)= ，则T=2a；
(5)若f(x+a)= ，则T=2a；
(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);
2．对称性的三个常用结论
(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线 对称.
(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点 对称.
(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点 对称.
3．函数的的对称性与周期性的关系
(1)若函数 有两条对称轴 ， ，则函数 是周期函数，且 ；
(2)若函数 的图象有两个对称中心 ，则函数 是周期函数，且；
(3)若函数 有一条对称轴 和一个对称中心 ，则函数 是周期函数，且
．
【知识点4 抽象函数及其解题策略】
1．抽象函数及其求解方法
我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用 y=f(x)表示，
抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集
于一身，是考查函数的良好载体.解决这类问题一般采用赋值法解决.
【题型1 函数单调性的综合应用】
【例1】（2024·海南·模拟预测）已知 且 ，若函数 与 在
a>0 a≠1 f (x)=ax g(x)=log (x2+4ax+7)
2
[−1,+∞)上的单调性相同，则a的取值范围是（ ）
( 1] [1 )
A． 0, B． ,1 C．(1,2) D．(1,+∞)
2 2
【变式1-1】（2024·河北石家庄·模拟预测）已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且在[0,+∞)上单调递
减，满足f(log a)−f(log a)≤2f(3)，则实数a的取值范围为（ ）
2 1
2
( 1) [1 ]
A． 0, B． ,8 C．(0,8] D．[8,+∞)
8 8
【变式1-2】（2024·湖南郴州·模拟预测）已知函数f(x)=¿在R上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．(−∞,0] B．[−1,0]
C．[−1,1] D．[1,+∞)
【变式1-3】（2024·黑龙江牡丹江·一模）已知g(x)=x3f (x)是定义在R上的奇函数，且f (x)在区间(−∞,0]
上单调递减，若关于实数m的不等式f(log m)+f(log m)≥2f(3)恒成立，则m的取值范围是（ ）
2 0.5
( 1] 1 1
A． 0, B．[8,+∞) C．(0, ]∪[8,+∞)D．(0, ]∪[8,+∞)
3 3 8
【题型2 函数的最值问题】
【例2】（2024·江西鹰潭·三模）若f (x)=|x+2|+|3x−a|的最小值是4，则实数a的值为（ ）
A．6或−18 B．−6或18C．6或18 D．−6或−18
【变式2-1】（2024·福建·三模）定义在R上的偶函数f (x)和奇函数g(x)满足f (x)+g(x)=2x+1，若函数
ℎ(x)=g2(x)−2mf (x)(m∈R)的最小值为−12，则m=（ ）
A．1 B．3 C．2√2 D．−2√2
【变式2-2】（2024·安徽淮北·二模）当实数 变化时，函数 最大值的最小值为
t f (x)=|x2+t|,x∈[−4,4]
（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式2-3】（2024·山西·模拟预测）已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，若对于任意的x，y∈(0,+∞)，
都有f(x)+f(y)= f(xy)+2，当x>1时，都有f(x)>2，且f(3)=3，则函数f(x)在区间[1,27]上的最大
值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【题型3 函数奇偶性的综合应用】
【例3】（2024·宁夏吴忠·一模）已知函数 是偶函数，则 （ ）
f (x)=(x−a) 2+ln(ex+1) a=
1 1
A． B． C．0 D．1
4 2
【变式3-1】（2024·河北·模拟预测）已知函数f (x)的定义域为R，且f (2x+1)为奇函数，
f (2x+4)=f (2x)，则一定正确的是（ ）
A．f (x)的周期为2 B．f (x)图象关于直线x=1对称
C．f (x+1)为偶函数 D．f (x+3)为奇函数
ex+e−x
【变式3-2】（2024·四川雅安·一模）函数f (x)= ⋅sinπx在区间[−3,3]上的图象大致为（ ）
4
A． B．C． D．
【变式3-3】（2024·安徽·模拟预测）已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，若f(x−1)为偶函数，g(x)为
1
奇函数，且g(x)=f(x− )，则（ ）
2
3 1 1
A．f( )=1 B．f (x)=f (x+1) C．f(x+ )为奇函数 D．g(x+ )为奇函数
2 2 2
【题型4 利用对称性解决函数问题】
【例4】（2024·河南·模拟预测）函数 图象的对称中心是（ ）
f (x)=lg(√x2−2x+11+x−1)
( 1) ( 1)
A．(1,1) B． 1, C．(2,1) D． 2,
2 2
x+1
【变式4-1】（2024·海南·模拟预测）若函数f (x)=ln +2x的图象关于点( b ,4 )对称，且a≠1，则
x+a
a−b=（ ）
A．−7 B．−5 C．−3 D．−1
【变式4-2】（2024·河南·三模）设函数f (x)的定义域为R,y=f (x−1)+1为奇函数，y=f (x−2)为偶函数，
若f (2024)=1，则f (−2)=（ ）
A．1 B．−1 C．0 D．−3
【变式4-3】（2024·重庆·模拟预测）已知函数y=f(x)的定义域是(−∞,0)∪(0,+∞)，对任意的x ，
1
， ，都有 x f (x )−x f (x ) ，若函数 的图象关于点 成中心对称，
x ∈(0,+∞) x ≠x 2 2 1 1 >0 y=f (x+1) (−1,0)
2 1 2 x −x
2 1
4
且f (1)=4，则不等式f (x)> 的解集为（ ）
x
A．(−1,0)∪(0,1) B．(−1,0)∪(1,+∞)
C．(−∞,−1)∪(0,1) D．(−∞,−1)∪(1,+∞)【题型5 对称性与周期性的综合应用】
【例5】（2024·四川南充·三模）已知函数f (x)、g(x)的定义域均为R，函数f(2x−1)+1的图象关于原
点对称，函数g(x+1)的图象关于y轴对称，f(x+2)+g(x+1)=−1,f(−4)=0，则
f(2030)−g(2017)=（ ）
A．−4 B．−3 C．3 D．4
【变式5-1】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数f (x)满足：f (x)+f (x+2)+f (x)f (x+2)=1，f (−1)=0，
则下列说法正确的有（ ）
A．f (x)是周期函数
B．f (2024)=0
C．f (2+x)=f (2−x)
D．f (x)图象的一个对称中心为(0,1)
【变式5-2】（2024·湖南邵阳·三模）已知函数f (x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)=f′(x)，函数
f (2x+3)的图象关于点(−1,1)对称．若对任意x∈R，有f (x+3)=x+f (3−x)，则下列说法正确的是
（ ）
A．g(x)不为周期函数 B．f (x)的图象不关于点(1,1)对称
1
C．g(211)= D．f (985)=1
2
【变式5-3】（2024·四川绵阳·模拟预测）定义在R上的函数f (x)满足f (2−x)=f (x)，f (1)=2，f (3x+2)
为奇函数，有下列结论：
(2 )
①直线x=1为曲线y=f (x)的对称轴；②点 ,0 为曲线y=f (x)的对称中心；③函数f (x)是周期函数；④
3
2004
；⑤函数 是偶函数.
∑❑f (i)=0 f (x)
i=1
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型6 类周期函数】
1
【例6】（23-24高一下·重庆·阶段练习）设函数f (x)的定义域为R，满足f (x+2)= f (x)，且当x∈(0,2]
2
3
时，f (x)=x(x−2)，若对任意x∈[m,+∞)，都有f (x)≥− ，则m的取值范围是（ ）
16[9 )
A．[5,+∞) B． ,+∞
2
[21 ) [11 )
C． ,+∞ D． ,+∞
4 2
【变式6-1】（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数f (x)的定义域为R，且f (x)+x2是奇函数，f (x)−x是偶
函数，设函数g(x)=¿．若对任意x∈[0,m],g(x)≤3恒成立，则实数m的最大值为（ ）
13 17 9 13
A． B． C． D．
3 4 2 4
1
【变式6-2】（24-25高三上·湖北·开学考试）定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)= f(x)，且当
3
2
x∈[0,1)时，f(x)=1−|2x−1|.若对∀x∈[m,+∞)，都有f(x)≤ ，则m的取值范围是（ ）
81
[10 ) [11 )
A． ,+∞ B． ,+∞
3 3
[13 ) [14 )
C． ,+∞ D． +∞
3 3
【变式6-3】（2024·陕西西安·一模）设函数f (x)的定义域为R，满足f (x+2)=2f (x)，且当x∈(0,2]时，
f (x)=x(2−x).则下列结论正确的个数是（ ）
①f (7)=8；
( 13]
②若对任意x∈(−∞,m]，都有f (x)≤6，则m的取值范围是 −∞, ；
2
( 1)
③若方程f (x)=m(x−5)恰有3个实数根，则m的取值范围是 −1,− ；
4
④函数f (x)在区间[2n−2,2n](n∈N )上的最大值为a ，若∃n∈N ，使得λa <2n−7成立，则
+ n + n
( 3 ]
λ∈ −∞, .
16
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型7 抽象函数的性质及其应用】
【例7】（2024·甘肃庆阳·一模）已知函数 的定义域为R， ， ，则下列
f (x) f (f (x+ y))=f (x)+f (y) f (1)=1
结论错误的是（ ）
A．f (0)=0 B．f (x)是奇函数
(1 )
C．f (2024)=2024 D．f (x)的图象关于点 ,0 对称
21
【变式7-1】（2024·贵州遵义·二模）已知定义在R上的函数f (x)满足：f (1)= ，且
2
f (x+ y)+f (x−y)=2f (x)f (y)，则下列结论正确的是（ ）
1
A．f (0)=0 B．f (x)的周期为4 C．f (2x−1)关于x= 对称 D．f (x)在(0,+∞)单调递减
2
【变式7-2】（24-25高一上·宁夏石嘴山·阶段练习） 函数f (x)是定义在区间(0,+∞)上的减函数，且满足
f (xy)=f (x)+f (y)
(1)求f (1)
(x)
(2)证明:f =f (x)−f (y)
y
( 1 )
(3)若 f (4)=−4，求 f (x)−f ≥−12的解集
x−12
【变式7-3】（24-25高一上·重庆·阶段练习）函数f (x)对任意的实数a，b，都有f (a+b)=f (a)+f (b)−2，
且当x>0时，f (x)>2，
(1)求f (0)的值：
(2)求证：f (x)是R上的增函数；
(3)若对任意的实数x，不等式 都成立，求实数t的取值范围．
f (t⋅9−x)+f (1−2×3−x−1)>4
【题型8 函数性质的综合应用】
【例8】（2024·陕西西安·三模）已知y=f (x)是定义域为R的奇函数，若y=f (2x+1)的最小正周期为1，
则下列说法中正确的个数是（ ）
(1) (3) (1) (3)
①f +f =0 ②f +f =0
4 4 2 2
1
③f(x)的一个对称中心为(1,0) ④f(x)的一条对称轴为x=
2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式8-1】（2024·四川绵阳·一模）若函数f (x)的定义域为R，且f (2x+1)偶函数，f (x−1)关于点(3,3)
成中心对称，则下列说法正确的个数为（ ）
①f (x)的一个周期为2 ②f (22)=3
③ 的一条对称轴为 ④
19
f (x) x=5 ∑f (i)=57
i=1
A．1 B．2 C．3 D．4
x2−2
【变式8-2】（24-25高一上·北京·期中）已知函数f (x)= .
x
(1)判断f (x)的奇偶性并证明；
(2)当x∈(0,+∞)时，判断f (x)的单调性并证明；
(3)若实数 满足 ，求 的取值范围.
x f (2|x+1|)>f (3) x
【变式8-3】（24-25高一上·吉林长春·期中）已知定义域为 的函数 a−2x是奇函数.
R f (x)=
b+2x
(1)求实数a，b的值；
(2)判断f (x)的单调性并给出证明；
(3)若存在 ，使 成立，求实数 的取值范围.
t∈[0,4] f (k+t2)+f (4t−2t2)<0 k
【题型9 函数的新定义问题】
【例9】（2024·云南昆明·模拟预测）对于定义域为D的函数y=f (x)，若存在区间[a,b]⊂D，使得f (x)
同时满足：
①f (x)在区间[a,b]上是单调函数；②当f (x)的定义域为[a,b]时，f (x)的值域也为[a,b]，则称区间[a,b]为该函数的一个“和谐区间”
m 2
已知定义在(1,k)上的函数f (x)= − 有“和谐区间”，则正整数k取最小值时，实数m的取值范围是
2 x
（ ）
A． B． C． D．
(4,4√2) (4√2,6) (4,6) (6,8)
【变式9-1】（2024·上海闵行·二模）已知定义在R上的函数f (x)，对于给定集合A，若∀x ,x ∈R，当
1 2
时都有 ，则称 是“A封闭”函数.已知给定两个命题：
x −x ∈A f (x )−f (x )∈A f (x)
1 2 1 2
：若 是“ 封闭”函数，则 一定是“ 封闭”函数 ；
P f (x) {1} f (x) {k} (k∈N∗)
：若 是“ 封闭”函数 ，则 不一定是“ 封闭”函数.
Q f (x) [a,b] (a,b∈N∗) f (x) {ab}
则下列判断正确的为（ ）
A．P对，Q对 B．P不对，Q对 C．P对，Q不对 D．P不对，Q不对
【变式9-2】（2024·上海虹口·二模）若函数y=f (x)满足：对任意x ,x ∈R,x +x ≠0，都有
1 2 1 2
f (x 1 )+f (x 2 ) >0 ，则称函数 y=f (x) 具有性质 P .
x +x
1 2
(1)设f (x)=ex，g(x)=x3+x，分别判断y=f (x)与y=g(x)是否具有性质P？并说明理由；
(2)设f (x)=x+asin2x函数y=f (x)具有性质P，求实数a的取值范围；
(3)已知函数y=f (x)具有性质P，且图像是一条连续曲线，若y=f (x)在R上是严格增函数，求证：
y=f (x)是奇函数.
【变式9-3】（2024·上海金山·二模）已知函数y=f(x)与y=g(x)有相同的定义域D．若存在常数a(
a∈R)，使得对于任意的x ∈D，都存在x ∈D，满足f(x )+g(x )=a，则称函数y=g(x)是函数
1 2 1 2
y=f(x)关于a的“S函数”．
(1)若 ， ，试判断函数 是否是 关于 的“ 函数”，并说明理由；
f(x)=lnx g(x)=ex y=g(x) y=f(x) 0 S(2)若函数y=f(x)与y=g(x)均存在最大值与最小值，且函数y=g(x)是y=f(x)关于a的“S函数”，
y=f(x)又是y=g(x)关于a的“S函数”，证明：[f(x)] +[g(x)] =a；
min max
(3)已知f(x)=|x−1|，g(x)=√x，其定义域均为[0,t]．给定正实数t，若存在唯一的a，使得y=g(x)
是y=f(x)关于a的“S函数”，求t的所有可能值．
一、单选题
1．（2024·贵州六盘水·模拟预测）定义在R上的偶函数f(x)在(−∞,0]上单调递增，且f(2)=0，则“
xf(x)<0”是“x>2”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
1
2．（2024·山东·模拟预测）已知函数f(x)=x+ ，若正数a，b满足a+b=1，则f(a)f(b)的最小值是
x
（ ）
17 25
A．2 B． C．4 D．
4 4
3．（2024·广东韶关·一模）已知函数f (x)=¿在R上是单调函数，则a的取值范围是（ ）
A．(−∞,2] B．[1,2] C．(1,+∞) D．[2,+∞)
4．（2024·广东河源·模拟预测）已知定义在R上的函数f (x)满足f (x+1)为奇函数，且y=f (2x)的图象关
于直线 对称，若 ，则
50
（ ）
x=1 f (0)=−1 ∑f(i)=
i=1
A．−1 B．0 C．1 D．2
5．（2024·安徽合肥·一模）已知函数f (x)的定义域为(0,+∞)，且(x+ y)f (x+ y)=xyf (x)f (y),f (1)=e，
(1)
记a=f ,b=f (2),c=f (3)，则（ ）
2
A．a0)为奇函数，则a+b=
.
2x−b
13．（2024·四川遂宁·模拟预测）函数f(x)=x(|x|−2)在[m,n]上的最小值为−1，最大值为1，则
n−m的最大值为 .
14．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知f (x),g(x)是定义域为R的函数，且f (x)是奇函数，g(x)是偶函数，
满足 ，若对任意的 ，都有 g(x )−g(x ) 成立，则实数 的取值范
f (x)+g(x)=ax2+x+2 1−3 a
1 2 x −x
1 2
围是 .
四、解答题
15．（2024·山西·模拟预测）已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， ，且
f(x) R x≥0 f(x)=a⋅3x−3−x
8
f(−1)= .
3
(1)求a的值，并求出f(x)的解析式；(2)若 在 上恒成立，求 的取值范围.
λf(x)−9x−9−x−14≤0 x∈(0,+∞) λ
a
16．（2024·山东·模拟预测）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)= −3x ，且
3x
8
f(1)= ．
3
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)是否存在正实数m，n，使得当 时，函数 的值域为[ 7 7 ]．若存在，求出m，
x∈[m,n] f(x) 5− ,5−
3m 3n
n的值；若不存在，请说明理由．
2
17．（2024·福建宁德·模拟预测）已知函数f (x)=a− .
2x+1
(1)求f (0);
(2)探究f (x)的单调性，并用函数的单调性定义证明你的结论;
(3)若f (x)奇函数，求满足f (ax)2, >x2+x− .
e e
