重难点专题1-2抽象函数的赋值计算与模型总结15类题型（解析版）-2025届高考数学热点题型归纳与重难点突（新高考专用）_2025年新高考资料_二轮复习

重难点专题 1-2 抽象函数的赋值计算与模型总结 近5年考情（2020-2024） 考题统计 考点分析 考点要求 （1）熟悉常见函数的抽 2023年新高考1卷，第11题 赋值法判断抽象函数的奇偶 象表达式 性，周期性 （2）用赋值法判断抽象 函数性质 2022年新高考2卷，第8题 模块一 热点题型解读（目录） 【题型1】抽象函数的赋值计算求值 【题型2】抽象函数的奇偶性 【题型3】抽象函数的单调性 【题型4】抽象函数的最值与值域 【题型5】抽象函数的对称性 【题型6】抽象函数的周期性 【题型7】一次函数的抽象表达式 【题型8】对数型函数的抽象表达式 【题型9】指数型函数的抽象表达式 【题型10】幂函数的抽象表达式 【题型11】正弦函数的抽象表达式 【题型12】余弦函数的抽象表达式【题型13】正切函数的抽象表达式 【题型14】二次函数的抽象表达式 【题型15】其它函数的抽象表达式 模块二 核心题型·举一反三(讲与练) 【题型1】抽象函数的赋值计算求值 赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解 2024·长沙市第一中适应性训练 1．已知定义域为 的函数 ，满足 ，且 ， ，则 ________. 【答案】0 【详解】由 ， 令 ，则 2．（2024·福建龙岩·一模）已知函数 的定义域为 ，且 ， ，则 ________ 【答案】2 【详解】令 ， 得 得 或 ， 当 时，令 得 不合题意， 故 【巩固练习1】定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x,y∈R)，f(1)＝2，则f(3)= ， f(-3)= . 【详解】f(1+1)= f(1)+ f(1)+2=6，f(2+1)= f(2)+ f(1)+4=12 易知f(0)=0，f(-1+1)= f(-1)+ f(1)-2 f(-1)=0 f(-2)=2 f(-1)+2=2 f(-3)= f(-2)+ f(-1)+4=6 【巩固练习2】已知对所有的非负整数 均有 ，若 ，则 ______．【答案】31 【解析】令 ，则 ，可得 ， 当 时 ，令 ，令 ， 令 ， ，则 ，可得 ， 所以 ， 令 ， ，则 ，可得 【 巩 固 练 习 3 】 （ 2024· 安 徽 合 肥 · 一 模 ） 已 知 函 数 的 定 义 域 为 ， 且 ，记 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数 满足的表达式以及 ，利用赋值法即可计算出 的大小. 【详解】由 可得， 令 ，代入可得 ，即 ， 令 ，代入可得 ，即 ， 令 ，代入可得 ，即 ； 由 可得 ， 显然可得 . 【题型2】抽象函数的奇偶性 证明奇偶性：利用定义和赋值的方法找到 与 的关系 2024·福建莆田·二模 3．已知定义在 上的函数 满足： ，证明： 是奇 函数 【详解】 定义域为 ，关于原点对称； 对原式，令 ，可得 ，解得 ；对原式，令 ，可得 ，即 ， 故 是奇函数 2024·长沙市第一中适应性训练 4．已知定义域为 的函数 ，满足 ，且 ， ，证明： 是偶函数 【详解】令 ，则 ①， 知函数 关于点 成中心对称， 令 ，则 ， 令 ，则 ②， 由①可得： ③，由①②可知： ， 且函数 的定义域为 ，则函数 是偶函数 【巩固练习1】（多选）定义在 上的函数 满足：对任意的 ， 则下列结论一定正确的有（ ） A． B． C． 为 上的增函数 D． 为奇函数 【答案】ABD 【思路点拨】对于A：令 ，结合题意运算求解；对于D：令 ，根据题意结合奇函数 的定义分析判断；对于B：根据奇函数的定义分析判断；对于C：举反例分析判断. 【详解】因为对任意的 ， 对于选项A：令 ，则 ，解得 ，故A正确； 对于选项C：令 ，则 ，可得 ， 且 的定义域为 ，所以 为奇函数，故D正确； 对于选项B：因为 为奇函数， 所以 ，故B正确； 对于选项C：例如 满足题意，但 为常函数，不具有单调性，故C错误； 故选：ABD 【巩固练习2】（多选）已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，则（ ）A． B． C． D． 【答案】ABD 【思路点拨】由已知，利用赋值法计算判断得解. 【详解】定义在 上的函数 满足 ， 令 ，得 ，而 ，则 ，A正确； 令 1，得 ，而 ，则 ， 令 ， 得 ，即 ，而 ，即 ，则 ， B正确； 令 ，得 ， 即有 ，因此 ，C错误，D正确. 【巩固练习3】（2024·全国·模拟预测）（多选）已知函数 的定义域为 ，满足 ，则（ ） A． B． C． 为偶函数 D． 为奇函数 【答案】AD 【分析】令 ， 或 ，分类讨论可求 ，判断 A；令 ，可得 ，进而可求 ，判断B；由B可得 ，可判断CD； 【详解】对于 A：令 ，得 ，即 ，所以 或 ． 当 时， 不恒成立，故 ，故A正确． 对于B：令 ，得 ，又 ，所以 ， 故 ，故B错误． 对于C、D：由B选项可知 ，则 ，所以 为奇函数，故C错误，D正 确． 【巩固练习4】（2024届韶关市一模）已知 是定义在 上且不恒为零的函数，对于任意实数满足 ，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对 取特殊值 代入已知表达式，结合奇偶性即可求解. 【详解】当 时， ， 当 时， ，可得 ， 则 ， 当 时， ，则 ， 函数 的定义域为R， 令 时， ， 所以得 ，所以函数是奇函数， 令 得 ， 又函数是奇函数， . 【题型3】抽象函数的单调性 判断抽象函数单调性的方法： （1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论; （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. ①若给出的是“和型”抽象函数 fx y ，判断符号时要变形为： fx  fx  f(x x ) x  fx  或 fx  fx  fx  f(x x ) x  ; 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 ②若给出的是“积型”抽象函数 fxy ，判断符号时要变形为：  x   x  fx  fx  fx  2  fx  fx  fx  fx  fx  1    或  . 2 1  1 x  1 2 1 2  2 x  1 2 5．函数 的定义域为 ，对于 ， ， ，且当 时， ，证明： 为减函数.【详解】（1）设 ，且 ，则 ， ， 因为 ，所以 ，即 为减函数 6．已知函数 是定义在R上的函数.对任意 ，总有 ， ， 且 时， 恒成立. （1）求 （2）判断 的奇偶性并证明 （3）证明 在 上单调递减 【答案】（1） ，（2）奇函数;(3)在 上单调递减 【详解】（1）由对任意 ，总有 ， 令 ，则 ，则 ， 又由 ，可得 ， 则 ，故选项A判断正确； （2）令 ，则 ， 则有 ，故 ，则 是奇函数 （3）设任意 ， ， 则 ， 又 ，则 ，则 ， 则 在 上单调递减. 【巩固练习1】（多选）定义在 上的函数 ，对于任意的 都有 ；且 ；当 时， ；则下列结论正确的是（ ） A． B． 是奇函数 C． 在 上单调递增 D． 的解集为【答案】ACD 【思路点拨】对于A：利用赋值法求出 ； 对于B：借助于赋值法，利用奇偶性的定义直接证明； 对于C：利用单调性的定义进行证明； 对于D：利用赋值法求出 ，把 化为 ，即可解得. 【 详 解 】 对 于 A ： 对 于 任 意 的 都 有 ， 令 ， 则 有 ，所以 .故A正确； 对于B：对于任意的 都有 ，令 ，则有 ， 所以 ；令 ，则有 ，所以 ，故 是偶函数.故 B错误； 对 于 C ： 任 取 ， 不 妨 令 ， 则 有 ，因为当 时， ，所以 ，即 ，所以 在 上单调递增.故C正确； 对于D：由B的判断过程，可知 是偶函数；由C的推导过程， 在 上单调递增. 对 于 任 意 的 都 有 ， 且 ， 令 可 得 ： ，令 可得： . 所以 可化为： ，即 解得： ，即 的解集为 .故D正确 【巩固练习2】若定义在R上的函数f(x)对任意x,x∈R,都有f(x＋x)＝f(x)＋f(x)－1成立，且当x 1 2 1 2 1 2 ＞0时，f(x)＞1. (1)求证: y＝f(x)－1为奇函数; (2)求证: f(x)是R上的增函数; (3)若f(4)＝5，解不等式f(3m－2)＜3. [解] (1)证明：因为定义在R上的函数f(x)对任意x，x∈R，都有f(x＋x)＝f(x)＋f(x)－1成立． 1 2 1 2 1 2 所以令x＝x＝0，则f(0＋0)＝f(0)＋f(0)－1.即f(0)＝1. 1 2 令x ＝x，x ＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)－1.所以[f(x)－1]＋[f(－x)－1]＝0，故y＝f(x)－1为奇函 1 2 数． (2)证明：由(1)知y＝f(x)－1为奇函数，所以f(x)－1＝－[f(－x)－1]． 任取x，x∈R，且x＜x，则x－x＞0. 1 2 1 2 2 1 所以f(x－x)＝f(x)＋f(－x)－1＝f(x)－[f(x)－1]＝f(x)－f(x)＋1. 2 1 2 1 2 1 2 1 因为当x＞0时，f(x)＞1.所以f(x－x)＝f(x)－f(x)＋1＞1，即f(x)＜f(x)，故f(x)是R上的增函数． 2 1 2 1 1 2 (3)因为f(x＋x)＝f(x)＋f(x)－1，且f(4)＝5，所以f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝5，即f(2)＝3， 1 2 1 2 由不等式f(3m－2)＜3，得f(3m－2)＜f(2)．由(2)知f(x)是R上的增函数， 所以3m－2＜2，即3m－4＜0，即m＜.故不等式f(3m－2)＜3的解集为.【巩固练习3】（2023·湖南师大附中校考）已知连续函数 满足：① ，则有 ，②当 时， ，③ ，则以下说法中正确的是 （ ） A． B． C． 在 上的最大值是10 D．不等式 的解集为 【答案】ACD 【思路点拨】依题意令 ，求出 ，从而判断A；令 得到 ，再令 ， ，即可判断B；再利用定义法证明函数的单调性即可判断 C；依题意原不等式等价 于 ，再根据函数的单调性转化为自变量的不等式，即可判断D. 【详解】因为 ，则有 ， 令 ，则 ，则 ，故A正确； 令 ，则 ， 令 代 ， 则 ， 即 ，即 ，故B错误； 设 且 ，则 ，由 ， 令 ，则 ，即 ， 令 ， ， 则 ， 即 ， 因为 时， ，又 ，故 ， 所以 ，所以 ，即 在 上单调递减， 又 ，所以 ， ， 又 ，所以 ， 故 在 上的最大值为 ，故C正确； 由 ，即 ，即 ，即 ， 又因为 ，即 ， 所以 ，即 ， 故 ，即 ，解得 ， 即原不等式的解集为 ，故D正确 【题型4】抽象函数的最值与值域 结合奇偶性与单调性来判断最值或值域 7．已知函数 对任意的 ，总有 ，若 时， ，且 ，则当 时， 的最大值为（ ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】令 ，则 ，得 ， 令 ，则 ，所以 ，所以 为奇函数， 任取 ，且 ，则 ， ， 所以 ， 所以 ，所以 在 上递减， 所以当 时， 的最大值为 ， 因为 ，所以 ， 所以 ，故选：D 【巩固练习1】已知连续函数 满足：① ，则有 ，②当 时， ，③ ，则 在 上的最大值是________【答案】10 【解析】设 且 ，则 ，由 ， 令 ，则 ，即 ， 令 ， ， 则 ， 即 ， 因为 时， ，又 ，故 ， 所以 ，所以 ，即 在 上单调递减， 又 ，所以 ， ， 又 ，所以 ，故 在 上的最大值为 【巩固练习2】已知连续函数 对任意实数x恒有 ，当 时， ， ，则f(x)在[－3，3]上的最大值是________ 【答案】6 【详解】令 ，可得 ，所以 ， 所以 是奇函数； 令 ，则 ， 因为当x＞0时，f(x)＜0， 所以 ，即 ， 所以 在 均递减， 因为 ，所以 在 上递减； ，可得 ； 令 ，可得 ， ； ， 在 ， 上的最大值是6 【题型5】抽象函数的对称性 抽象函数的对称性常有以下结论 （1） 关于 轴对称， （2） 关于 中心对称，2024·江苏南通·二模 8．（多选）已知函数 ， 的定义域均为R， 的图象关于点(2，0)对称， ， ，则（ ） A． 为偶函数 B． 为偶函数 C． D． 【答案】ACD 【分析】 由赋值法，函数奇偶性，对称性对选项一一判断即可得出答案. 【详解】令 ，则 ，注意到 不恒为 ， 故 ，故A正确； 因为 的图象关于点(2，0)对称，所以 ， 令 ，得 ， 故 ，故B错误； 令 ，得 ， 令 ，得 ，故 ， 从而 ，故 , 令 ，得 ，化简得 ，故C正确； 令 ，得 ，而 ，故D正确. 故选：ACD. 【巩固练习1】已知对任意实数x，y，函数 满足 ，则 （ ） A．有对称中心 B．有对称轴 C．是增函数 D．是减函数 【答案】B 【分析】依题意取特值即可求解. 【详解】令 ，得 ，∴ ； 令 ，得 ，∴ ； 令 ，得 ， ∴ 的图象关于直线关于 对称 【巩固练习 2】（2024·重庆八中校考）（多选）已知函数 的定义域为 R，且 ，当 时， ，且满足 ，则下列说法正确的是（ ）A． 为奇函数 B． C．不等式 的解集为 D． 【答案】AB 【详解】对于A中，令 ，可得 ，所以 ， 令 ，得到 ，即 ， 所以 为奇函数，故A正确； 对于B中，因为 为奇函数，所以 ，故B正确； 对于C中，设 ，可得 ， 所以 ， 又因为 ，所以 ，所以 ，即 ， 所以 在 R 上单调递增，因为 ，所以 ，由 ，可得 ， 所以 ，所以 ，得到 ， 所以 的解集为 ，所以C错误； 对于D中，因为 为奇函数，所以 ， 所以 ， 又 ，故 ，所以D错误 【 巩 固 练 习 3 】 （ 多 选 ） 已 知 定 义 域 为 的 函 数 对 任 意 实 数 都 有 ，且 ，则以下结论一定正确的有（ ） A． B． 是偶函数 C． 关于 中心对称 D． 【答案】BC 【分析】根据赋值法，可判断 或 ，进而判断A，根据赋值法结合奇偶性的定义可 判断C，根据偶函数即可判断对称性，根据对称性以及奇偶性可得函数的周期性，进而可判断CD. 【详解】令 ，则 或 ，故A错误，若 时，令 ，则 ，此时 是偶函数，若 时，令 ，则 ，此时 既是偶函数又是奇函 数；因此B正确， 令 ， 则 ， 所 以 关 于 中心对称，故C正确， 由 关 于 中 心 对 称 可 得 ， 结 合 是 偶 函 数 ， 所 以 ，所以 的周期为2， 令 ，则 ，故 ， 进而 ，而 ，由 A选项知 或 ，所以 或 ，故D错误. 【题型6】抽象函数的周期性 抽象函数周期问题一般先求对称性 2024山东青岛·统考三模 9．设 为定义在整数集上的函数， ， ， ，对任意的整数 均有 ．则 ______． 【答案】 【分析】采用赋值的方式可求得 ，令 和 可证得 的对称轴和奇偶性，由 此可推导得到 的周期性，利用周期性可求得函数值. 【详解】令 ，则 ， ； 令 ， ，则 ，又 ， ； 令 ，则 ， 关于直线 对称； 令 ，则 ， 不恒成立， 恒成立， 为奇函数， ， ， 是周期为 的周期函数， .10．函数 的定义域为 ，且 ， ， ，则 . 【答案】2 【分析】根据给定条件，探讨函数 的周期，再结合 求出 即可求 解作答. 【详解】函数 的定义域为 ，由 ， 得 ， 因此函数 是以3为周期的周期函数，且 ，即 ， 由 ， 得 ， 又 ， ， 从 而 ， 所以 . 11．（2024 届厦门一中校考）若定义域为 的奇函数 满足 ，且 ，则 ． 【答案】2 【分析】利用赋值法及奇函数的定义，结合函数的周期性即可求解. 【详解】由 ，得 ， 所以 ，即 ，于是有 ， 所以 ，即 . 所以函数 的周期为 . 因为 是定义域为 的奇函数， 所以 ，即 . 令 ，则 ，解得 ， 所以 . 【巩固练习1】2024·山东青岛·一模 ， ， ，则 的值为（ ） A．2 B．1 C．0 D．－1 【答案】B 【分析】利用赋值法求出 的值，将 变形为 ， 即可推出 ，可得函数周期，由此即可求得答案. 【详解】由题意知 ， ， ， 令 ，则 显然 时， 不成立，故 ，故 ，则 ， 即6为函数 的周期，则 【巩固练习2】（2024·福建龙岩·一模）已知函数 的定义域为 ，且 ， ，则（ ） A． B． 为奇函数 C． D． 的周期为3 【答案】C 【分析】令 ，则得 ，再令 即可得到奇偶性，再令 则得到其周期性， 最后根据其周期性和奇偶性则得到 的值. 【详解】令 ， 得 得 或 ， 当 时，令 得 不合题意， 故 ， 所以 A错误 ； 令 得 ， 且 的定义域为 ，故 为偶函数， 所以B错误 ； 令 ， 得 ， 所以 ， 所以 ， 则 ，则 ， 所以 的周期为 6 ， 所以 D错误 ； 令 ， 得 ， 因为 所以 ，所以 ， 故C正确. 【巩固练习 3】（2024·福建厦门·一模）已知函数 的定义域为 ， ， ， ，若 ，则 （ ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】利用赋值法对 进行赋值结合函数的周期可得答案. 【详解】令 ，得 ，即 ， 令 ，得 ，得 ，所以函数 为偶函数， 令 ，得 ， 令 ，得 ， ， 或 ， 若 ，解得 与已知 矛盾， ，即 ，解得 ， ，令 ，得 ， ， ， ， ，所以函数 的周期为4. 【巩固练习4】函数 的定义域为 ，对任意 ，恒有 ， 若 ，则 ， ． 【答案】 , 【 分 析 】 取 特 殊 值 可 得 ； 取 特 殊 值 可 得 是 周 期 为 函 数 ， 计 算 出 的值可得答案. 【详解】令 ，则 ，解得 ， 令 ，则 ， 因为 ，所以 ； 令 ，则 ， ， 令 ，则 ， ， 令 ，则 ， ， ， 令 ，则 ，即 ， 可得 ， 令 ，则 ， 令 ，则 ， 可得 ，从而 ， 所以 ，可得 ， 所以 ， 是周期为 的函数， . 故答案为：① ；②0. 【巩固练习5】深圳市宝安区2024届高三上学期10月调研数学试题 （多选）已知函数 的定义域为 ，且 ， ，为偶函数，则（ ） A． 为偶函数 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】A选项，赋值法得到 ，进而得到 ， 为奇函数，A错误；B选 项，由 为偶函数得到 关于 对称，所以 ；C 选项，由 结合函数为奇函数，得到 ，C正确；D选项，推导出 的一个周期为6，利用关系式得到 ，结合函数周期 得到 . 【详解】对于A，因为 的定义域为R，关于原点对称， 令 ，则 ，故 ，则 ， 令 ，则 ，又 不恒为0，故 ， 所以 为奇函数，故A错误； 对于B，因为 为偶函数，所以 ， 所以 关于 对称，所以 ，故B正确； 对于C，因为 为偶函数，所以 ， 令 ，则 ，故 ， 令 ，则 ，故 ，又 为奇函数，故 ， 所以 ，即 ，故C正确； 对于D，由选项C可知 ，所以 ， 故 的一个周期为6，因为 ，所以 ， 对于 ，令 ，得 ，则 ， 令 ，得 ，则 ，令 ，得 ， 令 ，得 ，令 ，得 ， 所以 ，又 ，所以由 的周期性可得： ，故D正确. 故选：BCD 【题型7】一次函数的抽象表达式 一次函数的抽象表达式 （1） 对于正比例函数 ，与其对应的抽象函数为 . （2） 对于一次函数 ，与其对应的抽象函数为 . （3） 对于一次函数 ，与其对应的抽象函数为 . 12．已知函数 的定义域为 ，且 的图像是一条连续不断的曲线，则同时满足下列三个条 件的一个 的解析式为 . ① ， ；② 为奇函数；③ 在 上单调递减. 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据函数的性质直接得解. 【详解】由题意 为奇函数，且 在 上单调递减， 可假设 ，此时 ， ，即①成立 13．（2023-2024学年重庆一中高一期中）（多选）已知定义在区间 上的函数 满足：对 任意 均有 ；当 时， ．则下列说法正确的是 A． B． 在定义域上单调递减 C． 是奇函数 D．若 ，则不等式 的解集为【答案】ACD 【 简 析 】 即 考 虑 一 次 函 数 模 型 ，故AC对，B错，而 ，则 ， ，解得 【巩固练习1】(2024·安徽安庆·二模)（多选）已知定义在R上的函数 f(x)，满足对任意的实数 x，y，均有 f xy f x f y1，且当x0时， f(x)1，则（ ） A． f(0)1 B． f(1) f(1)1 C．函数 f(x)为减函数 D．函数y f(x)的图象关于点 0,1 对称 【答案】ACD 【详解】 法一 对A：令x y0，则有 f 0 f 0 f 01，故 f(0)1，故A正确； 对B：令x1，y1，则有 f 0 f 1 f 11，故 f 1 f 12，故B错误； 对C：令y0，则有 f(xy) f(x) f(y)1，其中xyx， f(y)10， 令x  x y，x x，即有对x 、x R，当x x 时， f(x ) f(x )0恒成立， 1 2 1 2 1 2 1 2 即函数 f(x)为减函数，故C正确； 对D：令yx，则有 f xx f x f x1，又 f(0)1， 故 f x f x2，故函数y f(x)的图象关于点 0,1 对称，故D正确. 法二：令 ， ，故选ACD 【巩固练习2】(2024·山东泰安·一模)（多选）已知函数 的定义域为R，且 ，若 ，则下列说法正确的是（ ） A． B． 有最大值 C． D．函数 是奇函数 【答案】ACD 【详解】法一：赋值法 对于A中，令 ，可得 ，令 ， 则 ，解得 ，所以A正确； 对于B中，令 ，且 ，则 ， 可得 ， 若 时， 时， ，此时函数 为单调递增函数；若 时， 时， ，此时函数 为单调递减函数， 所以函数 不一定有最大值，所以B错误； 对于C中，令 ，可得 ，即 ， ，C正确 对于D中，令 ，可得 ，可得 ， 即 ，所以函数 是奇函数，所以D正确 法二：构造函数 因为 ，设 ，又 ，故 ，故ACD正确 【题型8】对数型函数的抽象表达式 对数函数的抽象表达式（重要） 对数函数 ， 其对应的抽象函数为 或 补充：对于对数函数 ，其抽象函数还可以是 奇偶性证明：只需构造 即可 14．已知函数f（x）满足：①对 ， ， ；② ．请写出一个符 合上述条件的函数f（x）＝______． 【答案】 （答案不唯一，符合条件即可） 【解析】因为对 ， ， ； 所以 在 上可能为对数函数， 故 满足条件①，又 ， 所以 ，故符合上述条件的函数可能为： 15．（2024·安徽·二模）已知函数 满足 ，当 时， ， 则（ ）A． 为奇函数 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】C 【详解】法一：赋值法 令 ， ， ，所以 ； 令 ， ， 则 ． 令 ，得 ，故 为偶函数．A错误， 任取 ， ， ，则 ， 则 ，故 在 上为减函数． 由已知 ，可得 ，故 ，解得 ，且 ．B错误， 若 ，则 ，C正确， 若 ，则 ， ， ，所以 ，故D错误 法二：由 ，可以令 ，又 时， ，故 ， 故C正确 【巩固练习1】已知定义在 上的函数 ，满足 ，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】法一：令 ，则 ，解得 ， 令 ，则 ，解得 ， 令 ，则 ，解得 ， 令 ，则 ，解得 ，，依次类推可得 法二：因为 ，考虑对数函数模型 ，代入 ，得 ，故 f x 0, x, x 【巩固练习2】已知函数 的定义域是 ，对定义域内的任意 1 2都有 f xx  f x  f x  f x0 1 2 1 2 ，且当 0x1 时， . f x0 x1 (1)证明：当 时， ； f x (2)判断 的单调性并加以证明； 1 1 【答案】(1) f(1) f(1) f(1) f(1)0 ； f(1) f(x) f( x )0；当 x0,1时， x 1, ； 1 f x0 f( )0； 当 时， f x0. x  x1 x  x x  (2)单调递减.证明： f x  f x  f  2   2 1f  2 0 x,x 0,,且x x 2 1  x  x x x  x  1 2 1 2 1  1 2 1 1 即 f x 1  f x 2   f(x)单调递减 【题型9】指数型函数的抽象表达式 对于指数函数 ，与其对应的抽象函数为 或 . 奇偶性证明：由 得 ，判断 和1的大小关系 16．已知函数 的定义域为 ，且 的图像是一条连续不断的曲线，则同时满足下列二个条 件的一个 的解析式为 . ① ， ；② 在 上单调递减. 【答案】 （答案不唯一）【分析】根据函数的性质直接得解. 【详解】由题意 为指数型函数，且 在 上单调递减， 17．（2023上·浙江·高一校联考）（多选）已知定义在 上的函数 满足：① 是偶 函数；②当 时， ；当 ， 时， ，则（ ） A． B． 在 上单调递增 C．不等式 的解集为 D． 【答案】AB 【思路点拨】方法一：对于A，由条件③令 ， ，结合条件②可得 ；对于B，结合 条件与单调性定义求解；对于C，不等式 等价于 ，结合 的单调性及 奇偶性求解；对于D，令 判断即可． 方法二：构造函数 判断即可． 【详解】方法一：对于A，由条件③当 ， 时， ， 令 ， ，得： ， 又由条件②得 ，∴ ，A正确； 对于B，取 ， ，且 ，则 ， ∵ ，∴ ， ，∴ ， ∴ ，即 ，∴ 在 上单调递增，B正确； 对于C，∵ ， ， ∴不等式 等价于 ， 又 在 上单调递增，且由条件①得 是偶函数， ∴ ，∴解集为 ，C错误； 对于D，令 ，则 ， ， 此时 不成立，D错误． 方法二：构造函数 ，符合条件①②． ，故A正确；时， ，在 上单调递增，故B正确； ，则 即为 ，则 ，解集为 ，故C错误； 令 ，则 ， ， 此时 不成立，D错误 【巩固练习1】如果 且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】法一： ， ， ， ， ， ， ， ， 法二：设 ， ，则 【巩固练习2】已知函数 满足， ，则 的值为（ ） A．15 B．30 C．60 D．75 【答案】B 【解析】 因此 【巩固练习3】已知定义在R上的函数 满足：对任意的实数x，y均有 ，且，当 且 . (1)判断 的奇偶性； (2)判断 在 上的单调性，并证明； 【答案】(1)奇函数(2)单调递增，证明见详解 【 详 解 】 （ 1 ） 根 据 题 意 ， 令 ， 得 ， 因 为 ， 所 以 ，故结合定义域可知， 为奇函数. （2） 在 上单调递增.证明：由题意，可知 ， 假设 ，使得 ，则 ， 而当 时，由题意知 ，因此矛盾，故 ， 恒成立. 设 ，且 ，则 ， 因此 ， 因为 ，且当 时， ，所以 ， 又因为 ，所以 ，即 ，又因为 ，所以 在 上单调递增. 【题型10】幂函数的抽象表达式 对于幂函数 ，与其对应的抽象函数为 或 18．（2024·河北·模拟预测）已知定义在 上的函数 满足 ，则（ ） A． 是奇函数且在 上单调递减B． 是奇函数且在 上单调递增 C． 是偶函数且在 上单调递减 D． 是偶函数且在 上单调递增 【答案】A 【解析】令 ，则 ，所以 ， 令 ，则 ，所以 ， 令 ，则 ， 所以 ， 令 ，则 ，所以 ， 因为 ，且定义域关于原点对称，所以函数 是奇函数， 由反比例函数的单调性可得函数 在 上单调递减. 【巩固练习】已知函数 的定义域为 ，且 ，则（ ） A． B． C． 是偶函数 D． 没有极值点 【答案】D 【解析】令 ，则 ， 所以 ，且 为定义域内任意值，故 为常函数. 令 ，则 ，为奇函数且没有极值点，C错，D对； 所以 不恒成立， 不一定成立，A、B错. 【题型11】正弦函数的抽象表达式 三角函数注意系数的配凑， ， ，以下均以 为例 对于正弦函数 ，与其对应的抽象函数为注： 此抽象函数对应于正弦平方差公式： 2024·广东江门·一模 π  π  19．函数 f x的定义域为 R ，对任意的 x ， y ，恒有 f(xy) f(x)f  2 y   f  2 x  f(y)成立. 请写出满足上述条件的函数 f x 的一个解析式 . 【答案】 fxsinx（答案不唯一） 【分析】 本题属于开放性问题，只需找到符合题意的函数解析式即可，不妨令 fxsinx，根据两角和的正 弦公式及诱导公式证明即可. 【详解】依题意不妨令 fxsinx， 则 f xysinxysinxcosycosxsiny， π  π  π  π  又 f(x)f  y f  x f(y)sinxsin ysin xsiny 2  2  2  2  sinxcosycosxsiny， π  π  所以 f(xy) f(x)f  2 y   f  2 x  f(y)，故 fxsinx 符合题意. 同理可证明 f xsin5x， f xsin9x，L ，也符合题意. 故答案为： fxsinx（答案不唯一） 【巩固练习1】（多选题）（2024·辽宁·模拟预测）已知函数 的定义域为R，且 ，则下列说法中正确的是（ ） A． 为偶函数 B． C． D． 【答案】BD 【解析】法一：赋值法 令 ，则 . 另令 ，则 ，由 ，所以 不成立， 所以 ，所以函数 为奇函数，故A错误； 令 ， ，则 ，故B正确； 令 ， ，则 ， 又 ，所以 ，故C错； 令 得 .且 ， ， .所 以 ； ； 所以 ，又 ， ， 所以 ； 所以 ； 所 以 所以 ，故D正确. 法二：利用函数模型 ∵ ，设 又∵ ，故 ，即 【巩固练习2】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且 ，则下列说法中正确的是（ ） A． 为偶函数 B． C． D． 【答案】BC 【解析】方法一：先介绍正弦平方差公式： ． 证明过程如下： ． 由题意，可以令 ，因为 为奇函数，故选项A错误． 因为 ，故选项B正确． 因为 ，故选项C正确．因为 ，故 ，故选项D错误． 方法二：对于选项A，因为 的定义域为 ， 令 ，则 ，故 ，则 ， 令 ，则 ， 又 不恒为0，故 ， 所以 为奇函数，故A错误． 对于选项B，令 ，则 ． 而 ，所以 ，故选项B正确． 对于选项C，由选项B可知， ， 令 ，则 ，所以 ． 又因为 为奇函数，所以 ，故C正确． 对于选项D，由选项B以及 ，可得 ， 所以 ，同理可得 ． 因为 ，故 ，故D错误． 故选：BC 【题型12】余弦函数的抽象表达式 三角函数注意系数的配凑， ， ，以下均以 为例 （1） 对于余弦函数 ，与其对应的抽象函数为 注： 此抽象函数对应于余弦和差化积公式： （2） 对于余弦 函数 ，其抽象函数还可以是 注：余弦积化和差公式： ，2022新高考2卷T8用的就是这个模型 2024·吉林白山·一模 20．已知函数 f x 的定义域为 ，且 f xy f xy f x f y ， f 11，请写出满足条件 R的一个 f x （答案不唯一）， f 2024 ． π 【答案】 2cos x（答案不唯一）； 3 1 【分析】应用赋值法可得 f x 为偶函数及 f x 以6为周期，进而可求. 【详解】令x y0，则 f202f 0 ，解得 f 02或 f 00， 若 f 00，令x1，y0，则2f 1 f 1 f 00，即 f 10与已知矛盾, ∴ f 02，令x0，则 f y f y2f y ， 则 f y f y ，∴ f x 为偶函数； 令y1，则 f x1 f x1 f x ， 则 f x1 f x f x1 f(x1) f(x2) f(x1)f(x2)， 则 f(x6)f(x3) f(x)， 所以 f x 以6为周期， π 结合以上特征，找到满足条件的一个函数为 f x2cos x， 3 结合 f x 以6为周期，则 f 2024 f 21． π 故答案为：（答案不唯一） f x2cos x； 3 1 2024·重庆一中3月月考 21．（多选）函数 的定义域为R，且满足 ， ，则 下列结论正确的有（ ） A． B． C． 为偶函数 D． 的图象关于 对称 【答案】BC 【详解】 法一：利用赋值法求出函数的周期（通性通法） 令 ， ，则 ， 即 ，可得 ，故A错； 令 ，则 ，即 ， 又因为 ， ，可得 ，故B正确； 令 ，可得 ，故C正确； 若 的图象关于 对称，则函数 满足 ， 而 ， ，显然 ，故D错， 令 ，可得 ， 的图象关于 对称.法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化（优解） 联想到余弦函数和差化积公式 ， ，易知 ，又 ，故 ， 即 ，则 ，故BC对 【巩固练习 1】已知函数 满足： ，则 . 【答案】 【 分 析 】 由 已 知 等 式 联 想 到 三 角 公 式 ， 构 造 函 数 求解. 【详解】由已知等式联想到三角公式 ， 注意它们结构相似，通过尝试和调整，构造函数 ，则 ， 故函数 满足题意，而函数 是周期 的函数， . 【 巩 固 练 习 2 】 （ 2022 新 高 考 2 卷 T8 ） 已 知 函 数 的 定 义 域 为 R ， 且 ，则 （ ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】法一：根据题意赋值即可知函数 的一个周期为 ，求出函数一个周期中的 的值，即可解出． 【详解】[方法一]：赋值加性质 因为 ，令 可得， ，所以 ，令 可得， ，即 ，所以函数 为偶函数，令 得， ， 即 有 ， 从 而 可 知， ，故 ，即 ，所以函 数 的一个周期为 ．因为 ， ， ， ， ，所以 一个周期内的 ．由于22除以6余4， 所以 ．故选：A． [方法二]：【最优解】构造特殊函数 由 ，联想到余弦函数和差化积公式 ， 可 设 ， 则 由 方 法 一 中 知 ，解得 ，取 ， 所以 ，则 ， 所 以 符 合 条 件 ， 因 此 的 周 期 ， ， 且 ，所以 ， 由于22除以6余4， 所以 ．故选：A． 【巩固练习3】（2024·河北·模拟预测）（多选）已知定义在 上的连续函数 满足 ， ， ，当 时， 恒成立，则下列说法正确的是 A． B． 是偶函数 C． D． 的图象关于 对称 【答案】BCD 【分析】根据所给关系式，利用赋值法一一计算可得. 【详解】法一：赋值法 因为 ， ， 令 可得 ，解得 或 ， 又当 时， 恒成立，所以 ，故A错误；令 ， ，则 ，即 ， 所以 为偶函数，故B正确； 令 ， ，则 ，所以 ， 令 ， ，则 ，所以 ，故C正确； 令 可得 ， 令 ，可得 ，又 ， 所以 ，即 ， 所以 ， 所以 的图象关于 对称，故D正确. 法二：令 ，因为 ，故 ， 又因为 ，故 ，即 ，故选BCD 【题型13】正切函数的抽象表达式 对于正切函数 ，与其对应的抽象函数为 注： 此抽象函数对应于正切函数和差角公式： 22．已知函数 满足 ， ，则（ ） A． B． C． 的定义域为R D． 的周期为4 【答案】ABD 【分析】赋值，令 ，即可判断A；令 ，可判断C；令 ，结合函数奇偶性定 义可判断B；令 ，推出 ，即可推出函数的周期，判断D. 【详解】令 ，则 ，即 ，A正确，令 ，则 无意义，即 的定义域不为R，C错误； 由 可知 ， 令 ，则 ，即 ， 故 ，B正确； ， 故 ，即 的周期为4，D正确 【巩固练习1】（2024·广西贺州·一模）（多选）已知函数 的定义域为 ，且当 时， ，则下列说法正确的是（ ） A． 是奇函数 B． 为增函数 C．若实数a满足不等式 ，则a的取值范围为 D． 【答案】ABD 【分析】先令 ，求出 ，再令 ，即可判断A；令 ，结合已知判断 的符号，即可判断B；根据函数的奇偶性和单调性解不等 式即可判断C；根据函数的奇偶性和单调性即可判断D. 【详解】对于A，令 ，则 ，所以 ， 令 ，则 ，所以 ， 所以 是奇函数，故A正确； 对于B，令 ，则 ， 因为 ，所以 ， 所以 ， ， 所以 ， 又因为当 时， ， 所以 ，即 ， 所以函数 在 上单调递增， 又 是奇函数，且 ， 所以函数 为增函数，故B正确； 对于C，由 ，得 ， 所以 ，解得 ，故C错误； 对于D， ， 即 ，故D正确.  1 1  1 1  ,  x,y ,  【巩固练习2】定义在 2 2上的函数 f(x)满足：对任意的  2 2都有 f(x)+f(y) 1 f(x+y)= ，且当0x 时， ． 1- f(x)f(y) 2 f(x)0  1 0,  （1）判断 f(x)在 2上的单调性并证明；  1   1 1 （2）求实数t的取值集合，使得关于x的不等式 f t x f(x)0在 , 上恒成立．  2   2 2 1 【答案】（1）单调递增；证明见解析；（2） . 4  1 【解析】（1）首先判断 f 00 ，再令 yx ，判断函数的奇偶性，再设任意x 1 x 2   0, 2   ，利 f x  f x  f x  f x  用已知条件列式 f x x  1 2  1 2 ，判断符号，证明函数的单调性； 1 2 1 f x  f x  1 f x  f x  1 2 1 2 1  （2）不等式转化为 f t xf(x) f(x)，再利用函数的单调性，去掉“ ”后，求 的取值  2  f t 范围. 2f(0) 【详解】解：（1）令 ，则 f(0) ，得 ， x y0 1 f2(0) f(0)0 f(x) f(x) 再令 ，则 f(0) 0，∴ ，∴ 为奇函数， yx 1 f(x) f(x) f(x) f(x)0 f(x) 对任意x 1 x 2     0, 1 2    ，令 xx ， yx ，则 f x 1 x 2  1 f  f x  1  x   f f     x x 2    1 f  f x  1  x   f f   x x 2   ， 1 2 1 2 1 2 1 ∵当0x 2 时， f(x)0 ，∴ f x 1 x 2 0 ，1 f x 1  f x 2 0，  1 从而 f x 1  f x 2 0 ，∴ f(x) 在  0, 2   上的单调递增.  1   1 （2）∵ 为奇函数，∴ f t xf(x) f(x)，∵ 在0, 上的单调递增，且 ， f(x)  2  f(x)  2 f(0)0  1 1 1 1 1 1  1 1 ∴ 在 , 上单调递增，由题意得： t x 及t xx在x , 上恒成立， f(x)  2 2 2 2 2 2  2 2 1 1 1 1  1 1 ∴ x  t  x ，得 t ①； 2 2 2 2  4 4 max min  1   1 1 1 1 t x ，x , ，得t ②，由①②可知， 的取值集合是 .  2   2 2 4 t 4 max 【题型14】二次函数的抽象表达式 二次函数 对于二次函数 ，与其对应的抽象函数为 23．（2024·浙江杭州·模拟预测）对于每一对实数 ， ，函数 满足函数方程 ，如果 ，那么满足 的 的个数是 （ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数多个 【答案】A 【分析】根据题意，令 可得 ，由累加法可得 ，然后考 虑负整数的情况，代入计算，即可求解.【详解】令 ，则 ， ①， 分别令 ， 可得 ， ， ， 并将诸式相加得 整理可得 ②， 从而对所有自然数 ，②式成立. 若 ，可得 ， ， . 于是，对 且 时， 无解. 对公式①取 得 . 再取 得 . 进而得 ， ， . 再由①式， 时， . 从而， 时，有 . 所以，只有 时， . 24．（2024·高三·河北保定·期末）已知函数 满足： ， ， 成立，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令 ，则 ，所以 ， 令 ，则 ， 所以 ， 令 ，则 ，所以 ， 令 ，则 ， 所以 ， 则当 时， ，则 ， 当 时，上式也成立， 所以 ， 所以 . 【巩固练习1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且满足 ，则下列结论正确的是（ ） A． B．方程 有解 C． 是偶函数 D． 是偶函数 【答案】C 【解析】对于A，因为函数 的定义域为 ，且满足 ， 取 ，得 ，则 ， 取 ，得 ，则 ，故 错误； 对于B，取 ，得 ，则 ， 所以 ， 以上各式相加得 ， 所以 ， 令 ，得 ，此方程无解，故B错误. 对于CD，由 知 ， 所以 是偶函数， 不是偶函数，故C正确， 错误.故选：C. 【巩固练习2】（2024·河南·三模）已知函数 满足： ，且 ， ，则 的最小值是（ ） A．135 B．395 C．855 D．990 【答案】C 【解析】由 ，得 ，令 ，得 ， 令 ，得 ， 故 ，又 ， 所以 ， 所以 ，因为 ，当 时， 的 最小值为855． 【题型15】其它函数的抽象表达式 理论上，有多少种原函数就有多少种抽象函数与之对应，但也不乏一种原函数可以与多种抽象函数 对应，以及一个抽象函数可以表示多种原函数。这时，就会有同学问了：既然一个抽象函数可能表 示多种原函数，那么不就导致一道题可能出现多种答案了吗？是的，这种这样想是没有错的，但是， 有多种原函数的抽象函数题，除了给出抽象函数模型 ，往往还会给出一个限制条件，比如 等等，这样就限制了原函数的唯一性 25．（2023新高考1卷12题）（多选）已知函数 的定义域为 ， ，则（ ）． A． B． C． 是偶函数 D． 为 的极小值点 【答案】ABC 【思路点拨】方法一：利用赋值法，结合函数奇遇性的判断方法可判断选项ABC，举反例 即可排除选项D. 方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数 进行判断即 可. 【详解】方法一： 因为 ， 对于A，令 ， ，故 正确. 对于B，令 ， ，则 ，故B正确. 对于C，令 ， ，则 ， 令 ， 又函数 的定义域为 ，所以 为偶函数，故 正确， 对于D，不妨令 ，显然符合题设条件，此时 无极值，故 错误. 方法二： 两边同时除以 ，得到 ， 联想到 ，设 ，即 又函数 的定义域为 ， 为偶函数，故可以设 ，则 ， 当 肘， ，则 ， 令 ，得 ；令 ，得 ； 故 在 上单调递减，在 上单调递增， 因为 为偶函数，所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 显然，此时 是 的极大值，故D错误.【巩固练习】（江苏省G4联盟联考）（多选）定义在 上的函数 满足如下条件：① ；②当 时， .则（ ） A． B． 在 上是增函数 C． 是周期函数 D． 【答案】ABD 【详解】 两边同时除以 ，得到 ， 联想到 ，设 ，即 ， 满足条件②，依次代入可得ABD