文档内容
重难点 02 五种导数及其应用中的数学思想（核心考点讲与
练）
能力拓展
题型一：函数与方程思想
一、单选题
1．（2022·广西柳州·三模（理））若曲线 在点 处的切线方程为 ，则
的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，结合题设可得 ，再根据目标式构造
，利用导数求其最大值即可.
【详解】由题设， ，则 ，而 ，
所以 处的切线方程为 ，
则 ，故 ，
令 ，则 ，
当 时， ，即 递增；当 时， ，即 递减；
所以 ，故 的最大值 .
故选：A
2．（2022·浙江·宁波市鄞州高级中学高三开学考试）已知实数 ， 函数 ， 满足， 则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 是 的两个零点且 ，应用根与系数关系求得 ， ，进
而代换目标式得到以 为参数、 为自变量的二次函数，由二次函数的性质可得 ，构造
函数并应用导数研究单调性，即可求最大值.
【详解】令 是 的两个零点，由题设若 ，
由根与系数关系有： ， ，
所以 ，
由 且 ，即 ，
所以 ，
令 ，则 ，在 上 ，
所以 在 上递增，则 .
综上， ，此时 ，
所以 时， 的最大值 .
故选：B.
【点睛】关键点点睛：设 的零点并注意 ，由根与系数关系用零点表示m、n，进而转化为以 为自变量的二次函数形式，根据其开口方向及其最值得到不等关系，最后构造函数并应用导数求不
等式中关于 表达式的值域.
二、多选题
3．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标相等的点称之为“完美点”，下列
函数的图象中存在完美点的是（ ）
A．y=﹣2x B．y=x﹣6 C．y= D．y=x2﹣3x+4
【答案】AC
【分析】横纵坐标相等的函数即 ，与 有交点即存在完美点，依次计算即可.
【详解】横纵坐标相等的函数即 ，与 有交点即存在完美点，
对于A, ，解得 ，即存在完美点 ，
对于B, ，无解，即不存在完美点，
对于C, ，解得 或 ，即存在完美点 ，
对于D, ， ,即 ，解得 ，即不存在完美点，
故选：AC.
三、双空题
4．（2022·云南师大附中高三阶段练习（文））如图，某城市公园内有一矩形空地 ， ，
，现规划在边 上分别取点E，F，G，且满足 ，在△ 内建造
喷泉瀑布，在△ 内种植花卉，其余区域铺设草坪，并修建栈道 作为观光路线（不考虑宽度），则
当 ______时，栈道 最短，此时 _______．【答案】
【分析】由题设有 △ △ ，设 ，根据图形中边角关系，结合三角函数
可得 ，注意 的范围，进而应用换元法并构造函数，利用导数求最值.
【详解】由题意， △ △ ，
设 ，则 ．
在 △ 中 ，得 ，则 ．
由于 ，解得 .
令 ， ，则 ．
令 ，则 ，
当 时 ， 递增；当 时 ， 递减；
所以 ， 有最大值，则 .
故答案为： ， ．
【点睛】关键点点睛：注意根据 ， 的长度判断 对应三角函数值的范围.
四、解答题5．（2021·全国·模拟预测） ．
（Ⅰ）若函数 在定义域内有两个极值点，求实数 的取值范围；
（Ⅱ）若函数 有三个不相同的零点，求证： ．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）证明见解析.
【分析】（Ⅰ）利用导数与函数单调性的关系及零点的性质，即可求解；
（Ⅱ）构造函数，利用零点存在性定理及导数与函数单调性的关系即可得证．
【详解】（Ⅰ）由题得 定义域为 ， ．
∵ 有两个极值点，
∴ 在 内有两个零点．
设函数 ，
则 ，
当 时， ，
则 在 上单调递减；
当 时， ，
则 在 上单调递增，
可得 的最小值为 ，
∴ ．
（Ⅱ）证明： ，设 的两根为 ， ，且 ，
∴ ， ，
可得 ，
当 时， ，
∴ ，
当 时 ，
依题意有三个不同的零点，
∴ ， ，
构造函数 ，
则 ，
当 时， ，
所以 在 上单调递增；
当 时， ，
所以 在 上单调递减，
且 ， ，
， ，根据零点存在性定理得 ，使 ； ，使 ．令 ， ，
则 ， ，
又 ， ， ，
∴ ．
6．（2021·河南平顶山·高三阶段练习（理））已知函数 在 处的切线与直线
平行
（1）求实数 的值，并求 的极值；
（2）若方程 有两个不相等的实根 ， ，求证： .
【答案】（1） ，极小值为 ；（2）证明见解析.
【分析】（1）求出函数的导数，利用切线的斜率求出 的值，解关于导函数的不等式，分析函数的单调区
间即可得到极值；
（2）令 ， ，构造函数 ，原题转化为 有两个实数根 ， ，利
用导数可得 ，再构造函数 ，利用导数可得
，利用单调性，可得 转化为 即可求证.
【详解】（1）函数 的定义域为 ， ，
由题意知 ，
，令 ，则 ，当 时， ； 时， .
的极小值为
（2）由（1）知 ，由 得，
即 ，
所以 .
，不妨设
令 ， ，
则原题转化为 有两个实数根 ， ，
又 ，令 ，得 ；令 ，得 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
又 时， ， ， ，
由 图象可知， ， .
设 ，
则 .
当 时， ，则
在 上单调递减.又
时， ，得到 ，即 ，
又 ， ，
又 ，则 ，且 ， 在 上单调递增，
，即 ，即 .
7．（2022·全国·高三专题练习）某地打算修建一条公路，但设计路线正好经过一个野生动物迁徙路线，为
了保护野生动物，决定修建高架桥，为野生动物的迁徙提供安全通道.若高架桥的两端及两端的桥墩已建好，
两端的桥墩相距1200米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经预测，一个桥墩的工程费用
为500万元，距离为x米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为 万元，假设桥墩等距离分
布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素，记余下工程的费用为y万元.
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)需新建多少个桥墩才能使y最小？并求出其最小值.参考数据： ，
【答案】(1)
(2)需新建 个桥墩才能使y最小，最小值为 万元.
【分析】（1）利用题中的已知条件设出需要建设桥墩的个数，进而表示出工程的费用即可；
（2）利用（1）的结果，再利用导数研究函数的单调性即可求出最值.
(1)由已知两端的桥墩相距1200米，且相邻两桥墩相距x米，故需要建桥墩 个，
则所以y关于x的函数关系式为 ，
(2)由（1）知
令 ，即 ，解得 （舍）或
当 时， ，函数单调递减；当 时， ，函数单调递增；
所以当 时，y有最小值，
且
又
（万元）
所以需新建 个桥墩才能使y最小，最小值为 万元.
题型二：数形结合思想
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，已知直线 与曲线 相切于两点，函数
，则对函数 描述正确的是（ ）
A．有极小值点，没有极大值点 B．有极大值点，没有极小值点
C．至少有两个极小值点和一个极大值点 D．至少有一个极小值点和两个极大值点
【答案】C
【分析】由题设 ，令 与 切点横坐标为 且 ，由图存在 使，则 有三个不同零点 ，结合图象判断 的符号，进而确定 单调性，即
可确定答案.
【详解】由题设， ，则 ，
又直线 与曲线 相切于两点且横坐标为 且 ，
所以 的两个零点为 ，由图知：存在 使 ，
综上， 有三个不同零点 ，
由图： 上 ， 上 ， 上 ， 上 ，
所以 在 上递减， 上递增， 上递减， 上递增.
故 至少有两个极小值点和一个极大值点.
故选：C.
2．（2021·河南·西南大学附中高三期中（文））已知函数 ，若存在实数
当 时，满足 则 的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由正弦函数的性质可知， ， ， ，所以
，令 ，利用导数得到函数 的单调性和极值，
求出 在 时的值域，从而得到 的取值范围．【详解】由正弦函数的性质可知， ， ， ，
，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
又 当 时， ，且 ，
，
，
的取值范围为 ，
故选：D．
3．（2022·全国·高三专题练习）如图，函数 的图象 上任取一点 ，过点 作其切
线 ，交 于点 ，过点 作其切线 ，交 于点 ，过点 作其切线 ，交 于点 ，则 的取值
（ ）
A．与 有关，且存在最大值 B．与 有关，且存在最小值
C．与 有关，但无最值 D．与 无关，为定值
【答案】D【分析】先证明一个结论：函数 的图象 上任取一点 ， .
过点 作其切线 交于点 ，过点 作 交 于另两个点 ，则 ；利用
该结论即可求出 的横坐标关于 的表达式，进而求出直线 与 的方程，联立直线 与 的方
程，即可求出点 的横坐标，再根据 ，即可求出结果.
【详解】先证函数 的图象 上任取一点 ， .
过点 作其切线 交于点 ，过点 作 交 于另两个点 ，则 .
证明:设过点 的直线为 ，联立得: ，得方程
则方程 必有一根 ，于是方程 可改写为 ，其中 ，
当 与 相切于 点时，方程 有重根 ，韦达定理知 ；
当 与相交 于 点时，方程 有另两个根 ，
韦达定理知 .
故 .由于函数 的图象 关于原点 对称，
设 ，连结 ，交 于另一点 ，由对称性，则 ，由上述结论，则 ，所
以 ；
设 ，连结 交 于另一点 由对称性，则 ，由上述结论，则 ，所以
.
于是直线 为 ，直线 为 ，
联立得: ，解得 ，
所以 ，故 的取值与 无关，为定值 .
故选：D.
二、多选题
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，下列说法正确的有（ ）A．函数 是周期函数 B．函数 有唯一零点
C．函数 有无数个极值点 D．函数 在 上不是单调函数
【答案】CD
【分析】根据 不是周期函数，从而可判断选项A错误；
令 ， ， ，
作出 与 的图象，由图象可判断选项B；
作出 与 的图象，由图可判断选项C；
通过图象可判断 在 不单调，从而可判断选项D.
【详解】 ，
因为 不是周期函数，则 不是周期函数，A错；
令 ， ， ，
令 ，则 ，
作出 与 的图象，由图可知， 与 的图象至少有两个交点，至少有两个零点， 至少有两个零点，B错误；
作出 与 的图象，由图可知， 有无数个零点
有无数个极值点，即 有无数个极值点，C正确；
因为 在 有零点，所以 在 不单调，
在 不单调，D正确；
故选：CD.
三、双空题
5．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知函数 ，则方程 的根为________．
若函数 有三个零点，则实数a的取值范围是________．【答案】 或2； .
【分析】（1）当 时，运用导数求得函数单调区间，可得 ，可得一根，当 时，直
接求解可得.
（2）先运用导数求得函数单调区间，并作出函数的图象，再根据图象列出函数有3个零点所需要的条件，
即可求得结果.
【详解】解：（1）当 时， ，所以 ，
令 ，得 ，并且当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，故当 时， 有唯一根 ，
当 时， ，令 ，解得 （舍去）或2，
故当 时， 的根为2，
综上， 根为 或2；
（2）因为 ，
当 时，由（1） ，则 ，
当 时， ，
则函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
且仅当 ，且 ，
因为当 时，则有 或 ，
即 或 ，由图象得，要使函数 有三个零点，且 ，
则 或 或
解得实数 的取值范围是
故答案是： 或2； .
6．（2022·广东·金山中学高三阶段练习）已知函数 则函数 的最小值为
________；若关于 的方程 有四个不同的实根，则实数 的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据导数求出函数在每段上的最小值，比较大小即可；求出过点 且与 相切的直线的斜
率，再由数形结合可得出 与 有4个交点时的斜率取值范围，即可得解.
【详解】令 ， 表示过定点 ，斜率为 的动直线，
当 时 ，当 时， ；当 ， ， 在 上单调
递减，在 上单调递增，当 时， ，故 在 上单调递减，在 上单调递增，又 ，
，
，
在同一坐标系内作出函数 图象与直线 ，如图所示，
关于 的方程 有四个不同的实根，等价于函数 的图象与直线 有四个不同的
交点，
当 时， 的图象在点 处切线斜率为 ，
该切线过点 时， 满足 ，解得 ，
的图象过点 的切线斜 ，
当 时， ， 的图象在点 处的切线斜率为 ，该切线过点 时，
，
，解得 ，
的图象过点 的切线斜率为2，
由函数图象知，当动直线 在直线 与 所夹不含 轴的对顶角区域内转动（不含
边界直线）时，函数 的图象与直线 有四个不同的交点，此时 的取值范围是 ．
故答案为： ；
四、填空题7．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数 ， ，若关于x的方程
在区间 上恰有四个不同的实数根，则实数 的取值范围是______.
【答案】
【分析】将问题转化为 在区间 上恰有四个不同的实数根，进而设 ，
然后先通过导数的方法探讨函数 的图象和性质，再讨论关于t的方程 的根的分
布，最后求得答案.
【详解】问题 即 在区间 上恰有四个不同的实数根.
设 ， ，则 时， ，函数单调递增， 时， ，函数单调
递减.
当 时， ；当 时， ；当 时， 且 .如示意图：
由图可知，当 时，函数 有2个零点，于是问题 关于t的的方程 即
在 上有2个不等实根.
设 的两个零点为 ，易知 .于是， .
故答案为： .
【点睛】本题较难，首先直接处理较为麻烦，因此对原方程进行恒等变形，进而采用“换元法”降低试题
的难度.另外，我们经常采用“数形结合法”进行辅助解题，这样更加形象和直观.
题型三：分类与整合思想
一、多选题
1．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知函数 ，其中常数 ， ，则下列说法正
确的有（ ）
A．函数 的定义域为
B．当 ， 时，函数 有两个极值点
C．不存在实数 和m，使得函数 恰好只有一个极值点
D．若 ，则“ ”是“函数 是增函数”的充分不必要条件
【答案】BC
【分析】A判断 时的定义域情况即可；B利用导数研究 的单调性，判断是否有两个变号零点即
可；C、D对 求导，构造 结合二次函数性质讨论 和m，应用零点存在性定
理判断 变号零点的个数，进而判断 极值点个数及单调性.
【详解】A：当 时定义域为 ，错误；
B： 且定义域为 ，则 ，而 在 上递减， 上递增，且 ， ，
所以 在 上各有一个变号零点，则 有两个极值点，正确；
C： ，则 ，
令 ，则图象开口向上，对称轴 且 ，
要使 有极值点， 必有变号零点，则 ，所以 或 ，
当 时，则 定义域为 ，又 ，
此时 则 ，故 在 上递增，又 ，即 ，无极值点；
此时 则 ，则 在 递减， 递增，
故 、 各有一个零点，即 有两个变号零点；
当 时，则 定义域为 ，且 ， ，
则 在 上递增，又 ，即 ，无极值点；
当 时， 定义域为 ， ，
此时 则 ，故 在 上递减， 递增，
又 ， ， 趋向正无穷 趋于正无穷，故 在 、 各有
一个变号零点，即 有两个变号零点；
此时 则 ，则 在 递增，又 ，即 ，无极值点；
综上，不存在实数 和m，使得函数 恰好只有一个极值点，正确；
D：结合C分析：当 且 时有 ，则 在 上恒正，即 ，此时是增函数；
当 且 时有 ，则 在 ， 各有一个零点，易得
有两个变号零点，此时 不单调，
命题的充分性不成立，错误.
故选：BC
【点睛】关键点点睛：C、D首先对 求导，构造 ，结合二次函数性质讨论参
数判断 变号零点的个数及 单调性.
二、解答题
2．（2022·四川南充·三模（理））已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时， ，若 ，求证：对于任意 ，函数 有唯一零
点．
【分析】（1）求导，通过讨论 的范围研究导函数的符号变化，进而研究函数的单调区间；
（2）求导，构造函数 ，再次求导研究. 的单调性，再利用放缩法进行转化求证.
(1)解： 的定义域为 ，
且 ，
当 时， ，则 在 单调递减， 单调递增；
当 时，由 得 ， ，所以 在 单调递减， 单调递增；
当 时，
①当 时， 在 单调递减；
②当 时，当 时，
即 时， 在 单调递减；
当 时，
即 时，
由 得 ，
所以 在 、 单调递减，
在 单调递增；
综上所述：
①当 时， 在 单调递减，
在 单调递增；
②当 时， 在 单调递减，在 单调递增；
③ 时， 在 单调递减；
④当 时， 在 、单调递减，在 单调递增；
(2)解：当 时， ，
，
令 ，则 ．
则 在 单调递增， 单调递减．
所以
所以
在 单调递减．
当 时，由
得
当 时，
由
得
存在唯一 ，使得函数 ．
所以对于任意 ，函数 有唯一零点．3．（2022·云南·二模（文））已知e是自然对数的底数， ，常数a是实数.
(1)设 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2) ，都有 ，求a的取值范围.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）先求出 ，再求导得到 ，即可求出切线方程；
（2）令 ，求导后令 ，通过 得到 在 单调递
增，当 时， 在 单调递增，符合题意，当 时，说明 ，使 ，不
合题意，即可求解.
(1)设 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴曲线 在点 处的切线方程头 ，即 ．
∴曲线 在点 处的切线方程为 ．
(2)设 ,
则 ．
设 ，则 ．
∴函数 在 单调递增．
当 时， ．∴ ，故 在 单调递增．
又∵ ，故 对任意 都成立．
即当 时， ，都有 ,即 ．
当 时， ，
，
∴ ，使 ．
∵函数 在 单调递增，
∴ ，都有 ．
∴ 在 单调递减．
∴ ，使 ，即 ，使 ，与 ，都有 矛盾．
综上所述，a的取值范围为 ．
【点睛】本题关键点在于构造函数 ，求导后令 ，通过
得到 的单调性，求得 的最小值，再讨论当 时，得到 在 单调递增，符合题意，
当 时，说明 ，使 ，不合题意，即可求解.
4．（2022·湖南师大附中二模）已知函数 .
(1)若 ，比较 与 的大小；
(2)讨论函数 的零点个数.
【答案】(1)(2)当 时， 有1个零点；当 时， 有3个零点
【分析】（1）利用导数判断函数 在 上的单调性，根据函数的单调性即可得出答案；
（2）求出函数的导函数 ，再利用导数可求得 ，再分 和 两种情况讨论，
结合零点的存在性定理，从而可得出结论.
(1)解：当 时， ，
，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
因为 ，
所以 ；
(2)解： ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递减，在 上递增，
所以 ，
即 ，
①若 ，即 ，则 ， 在 上递增，
因为 ，则 为 的唯一零点；
②若 ，即 ，则 ，
因为 ， ，则 在 内仅有个零点，记为n，因为 ，
设 ，则当 时， ，
所以 在 内单调递增，
从而 ，即 ，
所以 在 内仅有一个零点，记为m，
于是，当 或 时， ，当 时， ，
所以函数 在 和 上递增，在 上递减，
因为 ， ，则 ， ，
故 在 内有唯一零点，
因为 ，
则 在 内有唯一零点，
因为 ，
则 在 内有唯一零点，
所以 在 内有3个零点.
综上所述，当 时， 有1个零点；当 时， 有3个零点.
【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间及最值问题，考查了利用导数研究函数的零点的问题，考
查了二次求导，考查了学生的数据分析能力及分类讨论思想，属于难题.
5．（2022·河北唐山·二模）已知函数 ， ，曲线 和 在原点处有相
同的切线l．
(1)求b的值以及l的方程；(2)判断函数 在 上零点的个数，并说明理由．
【答案】(1) ， 的方程： .
(2) 在 上有1个零点，理由见解析.
【分析】（1）根据曲线 和 在原点处有相同的切线l，则可知斜率相等，进一步求出b的
值以及l的方程；
（2）函数零点即是图象与 轴的交点，需要用导数的方法研究函数 ，其中要进行二次求导，运用零
点存在性定理说明函数 的零点情况.
(1)依题意得： ， .
，
， 的方程： .
(2)当 时， ， ，此时 无零点.
当 时，
令
则 ，显然 在 上单调递增，
又 ， ，所以存在 使得 ，
因此可得 时， ， 单调递减；
时， ， 单调递增；又 ，
所以存在 ，使得 ，即 时， ， ， 单调递减；
时， ， ， 单调递增；
又 ， ，所以 在 上有一个零点.
综上， 在 上有1个零点.
【点睛】本题考查导数几何意义、函数的零点、用导数研究函数的单调性以及零点存在性定理，知识考查
较为综合，对学生是一个挑战，属于难题.
6．（2022·湖北·武汉市武钢三中高三阶段练习）已知函数
(1)讨论 的单调性；
(2)若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析(2)
【分析】（1）求出函数导数后对a分类讨论，解不等式得出函数单调区间即可；
（2）由题意转化为 对任意 恒成立，记 ，利用导数可得
，再利用导数及零点的性质求出 即可得解.
(1)
①当 时， 时， 在 上单调递增；
当 ，即 时， 在 上递减；
②当 时，令 ，得 或 ，函数递增；
令 ，得 ，函数递减③当 时， 恒成立，函数在R上递增
④当 时，令 ，得 或 ，函数递增；
令 ，
得 ，函数递减.
(2)不等式 在 上恒成立，
即 对任意的 恒成立，
对任意的 恒成立
记 ，则 ，
记 ，则 ，易知 在 上恒成立，
在 上单调递增，且 ，
存在 ，使得 ，且当 时 ，即 ，
∴函数 在 上单调递减；
当 时 ，即 ，故 在 上单调递增，
，即 ，
又 ，故 ，即 ，
令
在 上恒成立，
∴函数 在 上单调递增，且值域为 ，.
综上，实数a的取值范围是 .
【点睛】关键点点睛：求出函数 后，需要再次利用导数及零点存在性定理，确
定 的单调性及极值是解题的关键，需要较强的运算及思维能力，当得到 后，再
根据零点的定义及函数单调性求出 ，属于难题.
7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)若 存在唯一极值点，且极值为0，求a的值；
(2)讨论函数 在区间 上的零点个数．
【答案】(1)
(2)当 或 时， 在 上无零点；
当 或时， 在 上有1个零点；
当 时， 在 上有2个零点．
【分析】（1）求出 ，分 、 两种情况讨论 的单调性，然后可得答案；
（2）分类讨论 在区间 上的单调性，每种情况下结合 的函数值的符号判断其零点个数.
(1)（1）由已知，可得 ．
①当 时，则当 时， ，∴ 在 上单调递增，
此时 不存在极值点，不符合题意；②当 时，则由 得 或 （舍）．
∴当 时， ，函数 单调递增；当 时， ，函数 单调递减；
∴ 存在唯一极大值点 ．
∴ ，解得
(2)（1）当 时， 在 上恒成立，∴ 在 上单调递增．
∵ ， ，
由零点存在性定理知函数 在区间 上无零点.
（2）当 时， ，由（1）知 在 上单调递增，
∵ ， ，
由零点存在性定理知函数 在区间 上有一个零点.
（3）当 时， ，知 在 上单增，在 上单减，
①当 时，∵ ， ， ，
由零点存在性定理知函数 在区间 上有一个零点.
②当 时，∵ ， ， ，
由零点存在性定理知函数 在区间 上有两个零点.③当 时，∵ ， ， ，
由零点存在性定理知函数 在区间 上没有零点.
（4）当 时， ，由（1）知 在 上单调递减，
∵ ， ，
由零点存在性定理知函数 在区间 上没有零点.
综上，当 或 时， 在 上无零点；
当 或时， 在 上有1个零点；
当 时， 在 上有2个零点．
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是要掌握分类讨论的思想，利用函数的单调性和函数值的符号讨论函
数的零点个数.
题型四：转化与划归思想
一、单选题
1．（2022·广西南宁·二模（理））设大于1的两个实数a，b满足 ，则正整数n的最大值为
（ ）．
A．7 B．9 C．11 D．12
【答案】B
【分析】将已知条件变形为 ，构造两个函数，对函数求导，根据函数的单调性求出 的最大值
即可.
【详解】解：易知 等价于 ．
令 ，则 ．令 得 ．
当 时 ；当 时 ．
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 有最大值 ．
令 ，则 ．
当 时不符合，舍去，所以 ．
则 ， ．
当 时 ；当 时 ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 有最小值 ．
若 成立，只需 ，
即 ，即 ．
两边取自然对数可得 ．
当 时等式成立；当 时有 ．
令 ，本题即求 的最大的正整数．
恒成立，则 在 上单调递减．因为 ， ， ，
所以 的最大正整数为9．
故选：B．
【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，同时也考查转化与
化归的数学思想，对解题能力有一定的挑战性，是难题.
2．（2022·山东·夏津第一中学高三阶段练习）已知不等式 恰有2个整数解，求实数k的
取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】原不等式 等价于， ，设 ， ，然后转化
为函数的交点结合图象可求.
【详解】原不等式 等价于， ，
设 ， ，所以 ，得 ．
当 时， ，所以在 上单调递增，
当 时， ，所以在 上单调递减，
又 ，且 时， ，
因此 与 的图象如下，当 时，显然不满足条件，
当 时，只需要满足 ，即 ，解得 ．
故选：D．
3．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）若不等式 对任意 ， 恒成
立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将问题转化为直线 与曲线 上的点的距离最小值 ，利用导数的几何意义求
上斜率为1的切线上切点坐标，再应用点线距离公式求最小距离，即可得m的范围.
【详解】设 ，则T的几何意义是直线 上的点 与曲线 上的点
的距离，
将直线 平移到与面线 相切时，切点Q到直线 的距离最小．
而 ，令 ，则 ，可得 ，此时，Q到直线 的距离 ，故 ，
所以 ．
故选：B
【点睛】关键点点睛：将题设不等式关系转化为求直线与曲线上点的最小距离 且 ，结合导数的几
何意义、点线距离公式求m的范围.
二、多选题
4．（2022·广东广州·二模）我们常用的数是十进制数，如 ，表示十进
制的数要用10个数码．0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；而电子计算机用的数是二进制数，只需两个数码
0和1，如四位二进制的数 ，等于十进制的数13．把m位n进制中的最大
数记为 ，其中m， ， 为十进制的数，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据问题背景的介绍，可以得到m位n进制中的最大数的书写方法，进而得到选项中最大数的式
子，再进行大小比较即可.
【详解】对于A： 即是： ，A正确；
对于B： 即是：
即是： ，B正确；
对于C、D：， 即是：
， 即是：
构造函数： ，求导得：
， ， 单调递增；
， ， 单调递减；
代入得：
即是： ，
，D正确.
故选：ABD
【点睛】本题考查背景知识的从特殊到一般的转化过程，对获取信息从而抽象成数学问题的能力有一定的
要求，随后需要用数列求和得出需要的结果，再从构造函数的角度考查了导数在函数中的应用，
运用函数的性质进行大小比较，对学生来说是一个挑战，属难题.5．（2022·江苏·高三阶段练习）若正整数 只有1为公约数，则称 互质.对于正整数 ， 是小于
或等于 的正整数中与 互质的数的个数，函数 以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：
， ， ，则（ ）
A．数列 为等比数列 B．数列 单调递增
C． D．数列 的前 项和为 ，则 .
【答案】AC
【分析】根据定义结合对数的运算性质和错位相减求和，依次判断各选项即可得出结果.
【详解】因为与 互质的数为1，2，4，5，7，8，10，11，…， ， ，共有 个，
所以 ，则数列 为等比数列，故A正确；
因为 ，所以数列 不是单调递增数列，故B错误；
因为7为质数，所以与 不互质的数为7，14，21，…， ，共有 个，
所以 ，故C正确；
因为 ，所以
设 ，则
所以 ，
所以 ，从而数列 的前 项和为 ，故D错误.
故选：AC.
三、填空题6．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，则 __________．
【答案】3
【分析】根据已知条件进行同构，研究同构函数单调性得到 再转化求解即可.
【详解】因为 ，
所以 ，
令 ，则 ，
因为当 时， ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ．
故答案为：3
7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，若关于x的不等式 在 上恒成立，
则实数 的取值集合是_________．
【答案】
【分析】通过同构与换元的转化，将原题转化为求 恒成立时 的取值集合，通过观察
可知 是函数的极大值点，所以 ，得到 ，再验证 对 恒成立的充分性
即可.
【详解】因为 对 恒成立，两边同时除以 得 ，即 ，
所以 ，令 ， ，
则 对 恒成立，
令 ，则 ，
显然 ，所以 是函数的极大值点，
所以 ，得 ，
下面验证 对 恒成立的充分性，
当 时， ， ，
令 ，得 ，此时 单调递减，
令 ，得 ，此时 单调递增，
所以当 时， ，即 是 恒成立的充要条件.
所以 .
故答案为：
四、解答题
8．（2022·山西晋中·模拟预测（理））已知函数 （其中 为自然对数的底数）.
(1)当 时，讨论函数 的单调性；
(2)若 为函数 的极大值点，求实数 的取值范围.
【答案】(1)当 ， 时， 单调递增；当 ， 时， 单调递减；
(2) .【分析】（1）首先求其定义域，根据导数与函数的单调性的关系即可求其单调区间；
（2）对函数求导并将其表示成二次函数与另一个函数乘积形式，分段讨论函数的单调性，再根据极大值
点求得 的取值范围.
(1)函数 的定义域为
当 时， ，
，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
综上所述，
当 ， 时， 单调递增；
当 ， 时， 单调递减.
(2)
令 ，
当 时，由（1）知， 为函数 的极大值点，成立；
当 时， 的图象开口向上，，方程 有两根，设为 ，且 ，
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减；
为函数 的极大值点，成立；
当 或 时， 的图象开口向下，
对称轴 ， ， ，
方程 有两正根，设为 ，且 ，
当 时， 在 上单调递增；
令 ，当 时， 在 上单调递减；
为函数 的极大值点，成立；
当 时， 的图象开口向下， ，对称轴 ，
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减；
为函数 的极大值点，成立；
当 时， 在 上 恒成立，
不是函数 的极值点，舍去；
当 即 时， 的图象开口向下，
，方程 有两根，设为 ，且 ，当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增；
为函数 的极小值点，舍去；
综上，实数 的取值范围是 .
【点睛】本题用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性以及极值问题时应注意如下几方面：
(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；
(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；
(3)可导函数y＝f(x)在点x 处取得极值的充要条件是f′(x)＝0，且在x 左侧与右侧f′(x)的符号不同；
0 0 0
(4)本题研究极值点的关键是将 转化成 和 两个函数；
(5)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨
论和数形结合思想的应用；
(6)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极
值．
9．（2022·江西·临川一中高三期中（文））设m为实数，函数 .
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若方程 有两个实数根 ，证明： .（注：
是自然对数的底数）
【答案】(1)在 上单调递增，在 上单调递减(2)证明见解析
【分析】（1）首先求出定义域，再对函数求导，利用导数与函数的单调性的关系求解即可；
（2）首先把 代入化简方程，然后根据方程有两个实数根，得出两根的取值范围，利用换元法得出两
根的表达式，接着运用分析法从构造函数的角度，利用函数的单调性，极值和最值情况证明不等式.
(1) ，令 解得： ；令 解得：
函数 在 上单调递增，在 上单调递增.
(2)证明： ，
令 ， ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
则 的极大值为： ，
，不妨设 ，则 ，故 ，
令 ，所以 ，
要证 ，只要证： ，
只要证： ，
令 ，
设 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
∵ ，
则存在 ，使得 ，
在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，，
在 上恒成立，
即证得： .
【点睛】本题考查函数零点问题，零点存在性定理，用导数研究双变量问题以及用导数证明不等式成立问
题，对分析问题和解决问题的能力有一定的要求，学生应从基础入手，层层深入，各个击破.
10．（2022·广东·高三阶段练习）若 ，且直线 与曲线 相切.
(1)求 的值；
(2)证明：当 ，不等式 对于 恒成立.
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）设切点为 ，则有 ，解之即可的解；
（2）要证当 ，不等式 对于 恒成立，只需证当 ，不
等式 对于 恒成立，令 ，只需证
明 即可，利用导数求出函数 的最小值，即可得证.
(1)解：设切点为 ， ，
则 ，解得： ，
；
(2)
证明：要证当 ，不等式 对于 恒成立，
只需证当 ，不等式 对于 恒成立，
令 ，令 ，
，
令 ，
则 ，
所以函数 在 上递增，
所以 ，
所以 ，
故 ，
，
则 ，
所以函数 在 上递增，
所以 ，
所以 ，
所以函数 在 上递增，
即函数 在 上递增，
又 ，
所以 ，所以 在 上递增，
又因为 ，故 恒成立，
即当 ，不等式 对于 恒成立.
【点睛】本题考查了导数的几何意义，还考查了利用导数证明不等式问题，考查了放缩及转换思想，考查
了学生的数据分析能力、计算能力及逻辑推理能力，难度很大.题型五：特殊与一般思想
一、单选题
1．（2020·全国·高三专题练习（文））若曲线 在 处的切线也是 的切线，则
（ ）
A．-1 B．-2
C．2 D．
【答案】B
【分析】求出曲线 在 处的切线，设切线与曲线 切于点 ，根据导数的几何意义
求出切点坐标，确定 值．
【详解】由 得 ， ，又
∴曲线 在 处的切线方程为
设直线 与曲线 切于点
由 得 ，
∴ ， ，即
∴ ，解得
故选：B
【点睛】本题考查导数的几何意义，注意区分函数在某点处的切线与过某点的切线．过某点的切线问题一
般设切点坐标为 ，由导数几何意义求出切线方程（或切线斜率），利用所过点求出切点坐标，得出
结论
2．（2020·全国·高三专题练习）已知 ，则下列结论中错误的是
A． ， ，
B． ， ，
C． ， ，D． ， ，
【答案】C
【分析】A选项令 ，进行验证即可；B选项令 ，通过验证结论成立；C选项当 时，举反例
时，不满足条件；D选项求函数的导数，判断函数存在极值进行判断．
【详解】当 ，则 ，函数的定义域为 ，
此时函数的导数 ，
由 得， ，
则当 时，则 ，此时函数递增，当 时，则 ，此时函数递减，
故当 时，函数 取得极小值同时也是最小值 ，
则对 ， ；故A正确，
当 ，则 ，则 ，
故 ， ， ，故B正确．
当 时， ，满足 ，但 ，
故 ， ， 不成立，故C错误．
函数的导数 ．
由 ，则 ，即 ，
即 ，函数 都存在极值点，又 ，即 ， 成立，故D正确，
故选：C．
【点睛】本题主要考查命题的真假判断，利用特殊值法和排除法是解决本题的关键．难度较大．
3．（2020·全国·高三专题练习（理））已知函数 ，其导函数记为 ，则
的值为（ ）A．2 B．1 C．0 D．−2
【答案】A
【解析】求函数的导数，并计算 和 的值.
【详解】因为 ，所以 ，所以
，
，
所以 ．
故选：A．
【点睛】本题考查函数的导数，重点考察计算，化简，变形能力，属于中档题型.
二、填空题
4．（2020·全国·高三专题练习）有如下结论：若无穷等比数列 的公比 满足 ，则它的各项和
．已知函数 ，则 的图象与 轴围成的所有图形
的面积之和为__．
【答案】4
【解析】由已知可得,函数 与 轴围成的所有图形的面积构成一个首项为 ，公比为 的无穷等比
数列,代入公式 求解即可.
【详解】当 时， ，与 轴围成的封闭图形面积为： ；
当 时， ，故当 时，函数 图象与 轴围成的封闭图形长扩大2倍，高缩小到 ,故面积为： ；
同理，当 时，函数 图象与 轴围成的封闭图形面积为： ；
依次类推可得,函数 的图象与 轴围成的所有图形的面积构成一个首项为 ，公比为 的无穷等比
数列，
根据题中的公式得,函数 的图象与 轴围成的所有图形的面积之和 .
故答案为：4
【点睛】本题考查利用定积分求函数与 轴围成的封闭图形的面积和无穷等比数列的求和公式;通过计算,得
出函数 的图象与 轴围成的所有图形的面积构成一个首项为 ，公比为 的无穷等比数列是求解
本题的关键;属于中档题.
