重难点专题2-1函数与方程10类常考压轴小题（原卷版）-2025届高考数学热点题型归纳与重难点突（新高考专用）_2025年新高考资料_二轮复习

专题 2-1 函数与方程 10 类常考压轴小题 模块一 热点题型解读（目录） 【题型1】分段函数零点个数问题 【题型2】分段函数等高线（方程根之间的数量关系） 【题型3】嵌套（复合）函数求值问题 【题型4】反函数对称性的应用 【题型5】不等式恒成立与能成立问题 【题型6】存在，任意双变量问题 【题型7】关于的f(x)的方程根的个数问题 【题型8】以分段函数为背景的嵌套函数零点个数问题 【题型9】2个函数存在对称点问题 【题型10】隐零点问题初步 模块二 核心题型·举一反三 【题型1】分段函数零点个数问题 先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，首先要准确 绘制分段函数的图像，确保每个分段的图像都正确无误。在绘制过程中，特别注意分段连接点处的 图像变化 1．已知函数 ，若实数 ，则函数 的零点个 数为（ ） A．0或1 B．1或2 C．1或3 D．2或3 2．（2024·高三·北京通州·期末）已知函数 （1）若 ，则 的零点是 . （2）若 无零点，则实数 的取值范围是 .【巩固练习1】（2024·北京西城·一模）设 ，函数 若 恰有一个零点， 则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知函数 若函数 有3个零点，则 的取值范围 是（ ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（23-24高三上·陕西西安·期末）已知函数 若 ，且 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【巩固练习4】（2024·山西·模拟预测）已知函数 若函数 有三 个零点，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【巩固练习5】已知函数 ， 令 ，则下列说法正确的（ ） A．函数 的单调递增区间为 B．当 时， 可能有3个零点 C．当 时， 的所有零点之和为 D．当 时， 有1个零点【题型2】分段函数等高线（方程根之间的数量关系） 解决分段函数等高线（方程根之间的数量关系）问题，首先要明确分段函数的定义和各分段上的表 达式。接着，对于每个分段，分别令函数值等于某个常数，以构造等高线方程。然后，解这些等高 线方程，找出它们的根，并关注这些根之间的数量关系。特别地，要注意分段连接点处等高线的行 为，以及可能存在的多重根情况。最后，综合所有分段的信息，得出等高线方程根之间的数量关系。 在解题过程中，数形结合的方法往往能提供直观的帮助。 3．已知函数 ，若 有四个不同的解 且 ， 则 的取值范围是 ． 4．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数 ，若方程 有四个根 ，且 ，则下列说法错误的是（ ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·广东·阶段练习）设 ，若方程 恰有三个不相 等的实根，则这三个根之和为 ；若方程 有四个不相等的实根 ， 且 ，则 的取值范围为 .【巩固练习1】（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数 ，若关于 x的方程 有四个不同的根 （ ），则 的最大值是 （ ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（23-24高三上·甘肃平凉·阶段练习）（多选）已知函数 ，若 ，且 ，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【巩固练习3】已知函数 ，若方程 恰有四个不同的 实数解，分别记为 ， ， ， ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（23-24高三上·湖北·开学考试）（多选）设函数 ，若 ，且 ，则 的值可以是（ ）A．3 B．4 C．5 D． 【巩固练习4】已知函数 ，函数 有四个不同的零点 ， ， ， 且 ， ，则实数 的取值范围是 ． 【巩固练习5】（22-23高三上·四川内江·阶段练习）设 ，若方程 有四个不相等的实根 ，则 的取值范围为 . 【题型3】嵌套（复合）函数求值问题 嵌套（复合）函数求值问题的解题思路主要在于分层求解和逐步代入。首先，需要明确嵌套函数的 构成，即确定内层函数和外层函数。其次，根据题目给定的自变量值，先求解内层函数的值，这个 值将作为外层函数的输入。接着，将内层函数的输出值代入外层函数，进行求解，得到最终的函数 值。在求解过程中，需要注意函数的定义域，确保每一步的求解都在函数的定义域内进行。最后， 根据求解结果，给出问题的答案。  2  1 f f x  6．已知 f x 是定义域为 R的单调函数，且对任意实数 x，都有   2x 1   3， 则 f log 3 2 的值为________. 1 f[f(t) ]2 【巩固练习1】任意tR 时， t 恒成立，且函数y＝f(t)单调，则 1 f( ) 2019 _________.【巩固练习2】已知函数f(x)是定义域内的单调函数，且满足 f[f x－ln(x＋1)]＝ln3＋2 f x f x＝ ，则函数 的解析式 _______，若不等式 f x＞m－ex x[0，＋) 对任意 恒成立，则实数m的取值范围是_______. 【题型4】反函数对称性的应用 反函数对称性在高三题型中主要体现在其图像关于直线 y=x对称的性质。分析这类题型时，首先要 明确反函数与原函数图像的这种对称性。其次，通过观察或计算原函数的图像，可以推断出其反函 数的图像特征，如增减性、极值点等。再者，利用对称性，可以解决一些涉及反函数图像的问题， 如求唯一公共点坐标、定值问题、参数问题等。最后，结合具体题目，灵活运用反函数的对称性， 可以有效简化解题过程，提高解题效率。 7．（2024·云南昆明·模拟预测）已知 是函数 的一个零点， 是函数 的一个零点，则 的值为（ ） A．1012 B．2024 C．4048 D．8096 8．已知函数 ， ， 的零点分别为a，b，c，则 ． x 2x2x=5 x 2x2log (x1)5 x x = 若 1满足 ， 2满足 2 ,则 1 2 ______. 9．（2024·山东淄博·一模）设方程 ， 的根分别为p，q，函数 ，令 则a，b，c的大小关系为 .【巩固练习1】已知 分别是方程 与 的根，则 的值为 . 【巩固练习2】（2024·湖南怀化·二模）（多选）已知函数 的零点为 的零点 为 ，则（ ） A． B． C． D． 【巩固练习3】(多选)已知函数 f x2x x2的零点为a,函数g(x)log xx2的零 2 点为b, 则（ ） A.ab  2 B.2a log 2 b2 C.a2 b2 3 D.0ab1 【巩固练习4】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 方程 有两个不同的根，分别是 则 （ ） A． B．3 C．6 D．9 【巩固练习5】（23-24高三下·重庆·阶段练习）（多选）已知函数 的零点为 ， 的零点为 ，则（ ） A． B． C． D． 【巩固练习5】（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知函数的零点分别为 ，则 的值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型5】不等式恒成立与能成立问题 （1）若函数 在区间D上存在最小值 和最大值 ，则 不等式 在区间D上恒成立 ； 不等式 在区间D上恒成立 ； 不等式 在区间D上恒成立 ； 不等式 在区间D上恒成立 ； （2）若函数 在区间D上不存在最大（小）值，且值域为 ，则 不等式 在区间D上恒成立 ． 不等式 在区间D上恒成立 ． （3）若函数 在区间Ｄ上存在最小值 和最大值 ，即 ，则对不等式 有解问题有以下结论： 不等式 在区间D上有解 ； 不等式 在区间D上有解 ； 不等式 在区间D上有解 ； 不等式 在区间D上有解 ； （4）若函数 在区间D上不存在最大（小）值，如值域为 ，则对不等式有解问题有以 下结论： 不等式 在区间D上有解 不等式 在区间D上有解 10．已知函数 ，若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围 ．11．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数 ，若 恒成立，则 的取值范围是 . 【巩固练习1】已知函数 ，若 在 上有解，实数 的取值范围为 ________． 【巩固练习2】已知函数 ，若存在 ，使得 成立， 求实数 的取值范围是________． 【巩固练习3】（2024·浙江·模拟预测）已知函数 ， ，若关于 的不 等式 有解，则 的最小值是 . 【巩固练习4】已知函数 满足 ，若关于 的不等式 在 上恒成立，实数 的取值范围为________． 【巩固练习5】（2024高三下·全国·专题练习）若关于 的不等式 恒成立， 则实数 的最大值为 ． 【题型6】存在，任意双变量问题 存在任意双变量问题 （1） ， 成立 （2） ， 成立 （3） ， 恒成立 （4） ， 恒成立 （5） 成立（6） 成立 （7）若 ， 的值域分别为A，B，则有： ① ， ，使得 成立，则 ； ② ， ，使得 成立，则 . 12．已知函数 ， ．若 ， ，使 成立，则实数 的取值范围为 ． 13．（2024·重庆·模拟预测）已知函数 ，若存在 使得 ，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 14．已知函数 ， ， ， ．对 ，都 ，使 得 成立，则 的范围是 ． 【巩固练习1】已知 ， ，若 ， ，使得 成立， 则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知函数 ， ，对于存在的 ，存在 ，使 ，则实数 的取值范围为（ ）A． B． C． D． 【巩固练习3】（23-24高三上·山东德州·阶段练习）若对任意的 ，总存在唯一的 ， 使得 成立，则实数a的取值范围是 ． 【巩固练习4】（2024·山东泰安·二模）已知函数 . (1)若 的极大值为 ，求 的值； (2)当 时，若 使得 ，求 的取值范围. 【题型7】关于的f(x)的方程根的个数问题 复合函数零点个数问题，要先画出函数图象，然后适当运用换元法，将零点个数问题转化为二次函 数或其他函数根的分布情况，从而求出参数的取值范围或判断出零点个数. 15．设 ，若关于x的方程 有三个不同的实数根，则实数t的取值 范围为（ ） A． B． C． D． 16．（2024·高三·河南·期末）已知函数 ，若方程 有三个不同的实数解，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数 ，若关于 的方程 恰有3个不同的实数解，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知函数 ， ，若 关于x的方程 有三个不同实数根，则实数t的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【题型8】以分段函数为背景的嵌套函数零点个数问题 在高考数学命题中，嵌套函数问题常以考察数学思维能力的题型出现，常出现在选择或填空的 压轴题中。对于嵌套问题，具有抽象程度高，综合性强的特点，是函数理解的一个难点，但却可以 很好地考查学生对于数学抽象、逻辑推理、数学建模及直观想象等数学核心素养，是高考数学的高 频热门考点。这类题典型的特点就是很绕，烧脑，需要慢慢悟，仔细体会。主打就是一个数学逻辑 推理。 这类题要做对，必须对函数有深刻的理解。函数实际上就是自变量与函数值在一定的法则下 的对应关系。只要遵循对应法则，那么自变量和函数值可以通过换元化归变化成不同的形式（当然 转化的形式要对解题目标有效，即不做无效变换）17．定义在 上的 满足对 ，关于 的方程 有7个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 18．设函数 ，若关于x的函数 恰好有五个零点.则 实数a的取值范围是 . 19．（多选）已知函数 ，若函数 恰好有4个不同的零点，则 实数 的取值可以是（ ） A．-3 B．-2 C．0 D．2 【巩固练习1】（23-24高三上·山东滨州·期末）设函数 若关于 的方程 有5个不相等的实数根，则实数 的取值范围是 ． 【巩固练习2】设函数 ，若方程 有6个不同的实数解， 则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【巩固练习3】已知函数 若方程 有5个不同的实数解，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【题型9】2个函数存在对称点问题 20．已知函数 ，若 的图象上存在两个点 关于原点对称，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的图象上存在点 ，函数 的图象上存在点 ，且 ， 关于 轴对称，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2024·四川内江·一模）已知函数 ， ， ，若 与 的图象上分别存在点 ､ ，使得 ､ 关于直线 对称，则实数 的取值范围 是（ ）A． B． C． D． 【巩固练习2】（2024·河北邯郸·二模）若直角坐标平面内 两点满足条件： ①点 都在 的图像上； ②点 关于原点对称，则对称点对 是函数的一个“兄弟点对”（点对 与 可看作一个“兄弟点对” ． 已知函数 ，则 的“兄弟点对”的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【巩固练习3】）已知函数 ，函数 与 的图象关于直线 对称，若 无零点，则实数k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【题型10】隐零点问题初步 1、解题感悟 隐零点指对于超越方程或者是一些带参数的方程，无法直接求得确切的零点，但是零点确实存 在的问题。特别是在求导的过程，求函数极值点，对原函数求导后，令导函数等于零，就导函数零 点进一步探寻原函数极值点或最值时会经常遇到“隐零点”问题 隐零点问题本质上还是函数的零点问题，只不过这个零点的值我们没有办法用一个确定的值来 表示而已，也就是说我们明知道这个函数有一个零点，但就是没办法给出这个零点的具体数值，不 可描述，这时候我们就称为这个零点为隐零点，虽然我们没办法给出具体值，但我们可以给出这个零点的大致范围，它在中学数学最大的用处就是把这个存在但没办法具体描述的数，当成一个确定 的常数来用，然后瞒天过海完成运算. 2、解决办法 往往是“虚设零点”，设而不求，结合零点存在定理来初步确定零点的所在区间。往往这样的 零点都与某个参数相关联，相互依赖。在使用零点存在定理确定区间时往往存在困难，必要时使用 放缩法取含参的特殊值来确定零点存在区间。特别是针对导函数的“隐零点”，求解取值范围时， 需要根据导函数零点代入方程，把参数表示成含隐零点的函数，再来求原函数的极值或者最值问题， 或证明不等式。构建关于隐零点作为自变量的新函数，求函数值域或者证明不等式恒成立问题。 确定隐性零点范围的方式是多种多样的，可以由零点的存在性定理确定，也可以由函数的图象 特征得到，甚至可以由题设直接得到等等，至于隐性零点的范围精确到多少，由所求解问题决定， 因此必要时尽可能缩小其范围．进行代数式的替换过程中，尽可能将目标式变形为整式或分式，那 么就需要尽可能将指、对数函数式用有理式替换，这是能否继续深入的关键，最后值得说明的是， 隐性零点代换实际上是一种明修栈道，暗渡陈仓的策略，也是数学中“设而不求”思想的体现. 22．已知函数 ，若 在 有实数解，则实数 的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2024·广东·二模）已知函数 的最小值为0，则a的值为 .