文档内容
专题 08 导数的综合应用
（核心考点精讲精练）
1. 近几年真题考点分布
导数的概念、运算及简单应用近几年考情
考题示例 考点分析 关联考点
1、求切线方程
2022年全国乙（理科），第21题,12分 分类讨论思想
2、根据零点求参
2022年全国乙（理科），第16题,5分 求切线，根据极值点求参
1、函数不等式恒成立求参数取值范围
2022年全国甲（理科），第21题,12分
2、双变量问题、极值点偏移问题
2022年全国甲（理科），第6题,5分 求某点处的导函数值 已知最值求参
2023年全国甲（文科），第8题,5分 求切线方程
2023年全国乙（文科），第8题,5分 利用导数研究函数的零点
1、判断函数的单调性
2023年全国甲（理科），第21题,12分 三角函数
2、函数不等式恒成立求参数取值范围
1、求切线方程
2023年全国乙（理科），第21题,12分 2、根据函数的性质求参
3、根据极值求参数取值范围
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】1.本节内容为高考必考内容，各种题型都有涉及，且多年来均出现解答题压轴位置；
2.常考题型：求一点处的切线；判断函数的单调性；判断函数的极值和最值；通过导函数研
究函数的零点等；解答题常有：函数不等式恒成立求参、极值点偏移、隐零点、双变量、数
列不等式、与三角函数的综合问题等。
【备考策略】1.了解导数的概念,掌握基本初等函数的导数；
2.通过函数图象,理解导数的几何意义；
3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数,能求简单
的复合函数(形如f(ax+b))的导数；
4.利用导函数判断函数的单调性；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 15.利用导函数判断函数的极值与最值；
6.利用导函数研究函数的零点；
7.利用导函数研究函数不等式恒成立问题。
【命题预测】1.求一点处的切线问题；通过导函数判断函数的单调性（含参与不含参）；
2.根据导函数判断函数的极值和最值、通过极值、最值求参；通过导函数研究函数的零点；
3.通过导函数研究函数的零点问题；
4.根据函数不等式恒成立问题求参、极值点偏移、隐零点、双变量、数列不等式、与三角函
数的综合问题等
知识讲解
一、利用导数证明不等式
1、利用导数证明不等式的基本步骤
（1）作差或变形；
（2）构造新的函数 ；
（3）利用导数研究 的单调性或最值；
（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值
问题．
二、导数中分离参数问题
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2分离参数法基本步骤为：
第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参
数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，
第二步：先求出含变量一边的式子的最值，通常使用导函数或基本不等式进行求解.
第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论.
三、利用导数研究不等式恒成立问题
1、导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若
恒成立，转化为 .
2、本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数 ，
（1）若 ，总有 成立，故 ；
（2）若 ，总有 成立，故 ；
（3）若 ，使得 成立，故 ；
（4）若 ，使得 ，故 .
3、对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构
造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和
放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
四、利用导数研究数列不等式问题
利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
五、利用导数研究函数零点问题
已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
（1）直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值
范围；
（2）分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
结论拓展：与 和 相关的常见同构模型
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3① ，构造函数 （或 ，构造函数
）；
② ，构造函数 （或 ，构造函数 ）；
③ ，构造函数 （或 ，
构造函数 ）.
六、利用导数研究隐零点问题
1、隐零点是指一个函数在某个区间上有一个零点，但是这个零点具体等于多少却无法计算。隐零点问题
指的是一个函数的零点存在但无法直接求解出来的问题。
2、隐零点问题的8种解决策略如下
（1）直接观察
（2）虚设零点
（3）分类讨论
（4）拆分函数
（5）等价转化
（6）降次代换
（7）巧妙放缩
（8）反客为主
这些解决策略可以帮助我们解决导函数存在隐零点的情况，其中包括形式上虚设、运算上代换、数值上估
算、策略上等价转化、方法上分离函数(参数)、技巧上反客为主等方法。通过这些方法，我们可以更好地
解决隐零点问题。
七、利用导数研究双变量问题
关于同一函数中的两个变量的问题，又可以分成两类题型，一是求参数取值范围类问题，二是没有参数的
双变量证明问题，这两类题型在解法上不同，但是思想上均为构造函数的范畴。
方法一：构造函数，转化为单调性问题
在高中数学基础概念里面涉及双变量的有两个地方，一是函数专题中关于单调性的介绍，而是双参数引出
导数的概念，由于导数概念仅作为理解的参考，因此我们解决很多双变量问题的时候用到最多的是单调性：
如果让证明 ，我们可以构造函数 ，并且令 ，若能判断出函数 是单调增函数，
则根据同增异减原则就可以证明出 ，这是解决问题最基础最核心的东西。
若证明 ，同理我们可以根据单调性同增异减，构造新函数 ，若令
，若能证明出 是增函数，则也能得证，因此此类问题的关键在于能够构造出所需要的函数并
且能证明的出来单调性。
解读：注意分子正负未定，因此做题之前要人为设定出两变量的大小，变成多项式之后就能看出需要构造
的函数。
总结：无论是证明题还是求参数范围问题，解题思路均相同，设定两个未知量的大小关系，然后构造出所
需要的函数，进而使用单调性来判断不等式成立或将单调性转化为参数恒成立问题。
方法二：构造函数，转化为函数的最值问题
如果函数无法用单调性来求解，则两个变量显然不能直接求最值，因此最常见的做法是找两个变量之间的
关系，然后将双变量转化为单变量即可，另外还有一种可以转化为单变量的方法就是虽不知道两变量之间
的关系，但是可以试着用其中一个变量作为自变量而另外一个变量作为常数来用，这样题目也可以转化为
单变量问题，另外也可以试着将两个变量的和或商作为一个新的变量，方法大致有三种，如下：
类型一：可以找到两个未知量的关系，从而转化为一个变量。
类型二：可将两变量的和，差，积，商作为一个整体设为新变量的。
类型三：将双变量指定主变量
双变量指定主变量即把其中一个设为自变量，另外一个看成常数，然后构造新函数就可以将双变量函数转
化为一元函数。
解读：至于把谁看作自变量都可，题目转化为恒成立问题，即新函数的最小值大于零即可，这里需要注意
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4将其中一个变量设为自变量，另外一个设为常数之后需要注意新的自变量的取值范围。
八、利用导数研究极值点偏移问题
1、极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数的图像不具有对称性。
2、极值点偏移问题包括含参数的和不含参数的两种情况。
（1）对于含参数的情况，可以通过消去参数或构造新函数来转化为不含参数的问题。常用的解法有换元、
构造、化齐次、使用对数平均不等式和构造对称函数等方法。其中，构造对称函数是最常用的方法之一，
可以从指数或对数的角度出发，利用单调性来解决问题。
（2）对于不含参数的情况，可以通过求导数方程的根来求得极值点，并判断其是否在定义域内。同时，
需要注意端点位置的点，以及比较各值的函数值的大小来确定最大值和最小值
3、证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法：
（1）证明 （或 ）：
①首先构造函数 ，求导，确定函数 和函数 的单调性；
②确定两个零点 ，且 ，由函数值 与 的大小关系，得
与零进行大小比较；
③再由函数 在区间 上的单调性得到 与 的大小，从而证明相应问题；
（2）证明 （或 ）（ 、 都为正数）：
①首先构造函数 ，求导，确定函数 和函数 的单调性；
②确定两个零点 ，且 ，由函数值 与 的大小关系，得
与零进行大小比较；
③再由函数 在区间 上的单调性得到 与 的大小，从而证明相应问题；
（3）应用对数平均不等式 证明极值点偏移：
①由题中等式中产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到 ；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题.
九、导数在情景中的运用
1、利润最大问题
2、面积、体积最大问题
3、成本最小问题
4、用料最省问题
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5考点一、 利用导数证明不等式
1．已知函数 ，证明： .
【答案】证明见解析
【分析】由 得 设 ，可证明 ，从而可得结论；
【详解】由 得： 设 ，
因为 ，函数 的定义域为 .
所以 时， ， 在 单调递减；
时， ， 在 单调递增.
故 ，从而 即 .
2．已知函数 ，当 时，证明： .
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）由导数求出 的最小值，与 的最大值比较可证不等式成立；
【详解】（1）当 时， ， ，
令 ，得 ，令 ，得 ，所以 在 上为减函数，在 上为增函数，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，而当 时， ，当 且 时， ，
所以 .
3．已知函数 ， ，设函数 ，证明： 的图象在 的图象的上方．
【答案】证明见解析
【分析】令 ， ，将问题转化为证明对任意的 ， 恒成立，等价于证明
当 ， 的最小值大于零，然后利用导数求 的最小值即可.
【详解】令 ， ， 证明 的图象在 图象的上方，
等价于证明对任意的 ， 恒成立， 等价于证明当 ， 的最小值大于零．
由 ，得 ， ，令 ，则 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6且当 时， ．所以 在区间 上单调递增，
因为 ， ，所以 在区间 上存在唯一零点 ，
所以 ，即 ．当 时， ，当 时， ，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， 所以 ．
因为 ，且 ，
所以 ．
因为 ，所以 ．故 ．
所以 ． 故对任意的 ， 恒成立，
即 的图象在 图象的上方．
1．设函数 ， ，求证： ．
【答案】证明见解析
【分析】作差构造函数，利用导数证明即可；
【详解】（1）设 ， ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上为减函数，在 上为增函数，
所以 ，即 .
2．函数 ， ，当 时，证明： ．
【答案】证明见解析
【分析】当 时求出函数解析式，即可求出导函数，从而求出函数的单调性，即可得到函数的最小值，
即可得证；
【详解】当 时 ，则 ，
所以当 时 ，当 时 ，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
所以 在 处取得极小值即最小值，即 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 7所以 恒成立.
3．设函数 ， ，其中e是自然对数的底数，若 ，求证： ．
【答案】证明见详解
【分析】分析可得 ，构建 ，利用导数结合零点存在性定理以及
隐零点问题可得 ，进而可得结果.
【详解】因为 ， ，可得 ，
构建 ，可知 的定义域为 ，且 ，
构建 ，可知 的定义域为 ，且 ，
因为 在 内单调递增，则 在 内单调递增，且
，
所以 在 内存在唯一零点 ，
当 时， ，则 在 内单调递减；
当 时， ，则 在 内单调递增；
且 ，
所以 在 内存在两个零点 ，且 ，
当 时， ，则 在 内单调递增；
当 时， ，则 在 内单调递减；且x趋近于0时， 趋近于 ，
又因为 ，即 ，
可得 ，
构建 ，则 ，
可知 在 内单调递减，且 ，
所以 在 内单调递减，且 ，即 ，
所以 在 内恒成立，
故 ，即 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8考点 二 、 导数中的分离参数
1．已知函数 ，设 ，若 在区间 内恒成立，求k的最小值．
【答案】1
【分析】设 ，利用函数的导数，在区间 求解函数的最值，推出k的最小值．
【详解】设 ，若 在区间 内恒成立，即： ，令 ，
可得 ，当 时， ，函数 是增函数，
当 时， ，函数 是减函数，所以 时，函数取得最大值： ，
可得 ，k的最小值为1．
2．（2023·山东省德州市名校模拟）任给两个正数x，y，使得不等式 恒成立，则实数a
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先参变分离为 ，再构造函数 ，转化为求函数的最值问题，即可求解.
【详解】不等式 恒成立，整理为 恒成立，
设 ， ， ，令 ，得 ，
当 ， ，当 ， ，
所以函数的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ，函数的最小值 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 9所以 ，得 .
3．（2023·北京市名校模拟）已知函数 ，若存在 ，使 ，则m的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将题意转化为 ， ，令 ，即 ，对 求导，求出
在 的最大值即可得出答案.
【详解】若存在 ，使 ，即 ，
所以 ，令 ， ， ，令 ，解得： ，
令 ，解得： ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以
所以 .
1．已知 ，且 恒成立，则k的值不可以是（ ）
A．－2 B．0 C．2 D．4
【答案】D
【分析】先对不等式 变形得 ，发现是 与双变量 之间的关系，然后再根据已知的
等式把双变量转化为单变量，从而构造新函数，然后利用导数求出新函数的最小值即可得出结果.
【详解】由 知 ， ，
，令 ，则 ，
令 ，则 ，导函数单调递增，且 ，
所以存在 使得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 10所以 可取 ，
2．已知函数 ，若 ，求c的取值范围.
【答案】
【分析】 ，求出 的最大值即
可.
【详解】函数 的定义域为： ，
，
设 ，则有 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增.
所以当 时，函数 有最大值，即 ，
要不等式 在 上恒成立，只需 .
3．若 在 上恒成立，则实数a的取值范围是为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将不等式变形为 ，易知函数 在 上单调递增，即原不等式可等价
于 ，在任意 上恒成立，再利用导函数求出 在 上的最小值即可.
【详解】因为 ，所以 ，
记 ，则 恒成立，即 在 上单调递增，
即原不等式等价于 ，在任意 上恒成立，
所以等价于 ，在任意 上恒成立，记 ， ，则 ，
令 ，解得 ，当 时， ，当 时，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以 ，即 ，
【点睛】易错点点睛：本题在化简不等式时，一定注意到 在区间 上有意义，必有 .
考点 三 、 利用导数研究不等式恒成立问题
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 111．（2023·江苏省苏州名校模拟）已知函数 ，若 恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】
【分析】将恒成立问题转化为 恒成立，构造函数 求导得单调性，结合对 的
讨论即可求解.
【详解】 即 ，
令 ，
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
所以 ，又当 时， 时， ，所以
(i)若 ，不等式 恒成立;
(ii)若 ，不等式 等价于 ，因为 ，
所以 ，故 ，
(iii)若 ，不等式 等价于 ，因为 没有最大值，所以不存在 的
值，使得不等式恒成立;
综上，实数 的取值范围为
【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问
题，同时注意数形结合思想的应用.
2．（2023·甘肃省宁夏回族自治州名校模拟）设函数 ， ．若当
时， 恒成立，求 的取值范围．
【答案】 .
【分析】作差构造函数 ，求导后分三种情况① ，② ，③ ，讨论
求解即可得解.
【详解】
（2）设 ，
当 时， ，即 恒成立， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 12当 时，因为 ， ， ，所以 ，
在 上为增函数， 恒成立， 当 时，设 ， ，
若 ，即 时，因为 ，所以 ， 在 上为增函数，
，即 在 上恒成立，故 在 上为增函数，所以 恒成立，
若 ，即 时，令 ，得 ，则 在 上为减函数，
所以当 时， ，即 ， 在 上为减函数，
可得 ，不符合题意.
综上所述： .
3．（2023·河北省石家庄名校模拟）已知函数 ，若 恒成立，求 的取值范围.
【答案】
【分析】将问题转化为 恒成立，对参数 进行分类讨论，根据函数的单调性，即可求
解；
【详解】 ，可得 .
令 ，其中 ，则 .
①当 时， ，合乎题意；
②当 时，由基本不等式可得 ，
当且仅当 时，等号成立， ，当且仅当 时，等号成立，
所以， ，
所以， 不恒成立，不合乎题意；
③当 时， ，当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，所以
可得 ，解得 .
综上所述，实数 的取值范围是 ；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 131．设 ， ， ．证明：当 时， 恒成立．
【答案】证明见解析
【分析】构造函数 ，分类讨论实数 的取值范围，利用导数求解函数 在区间
上的单调性，进而得到函数 在区间 上的最值，只需证明 即可.
【详解】设 ，若证 成立，即证 ，
， ，
当 时， ，所以 ，当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，所以 恒成立．
当 时， ，令 ，
则 对称轴为直线 ，
所以当 时，函数 单调递增，当 时，取最小值 ，
所以 ，所以当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，所以 恒成立，
综上：当 时， 恒成立．
即 恒成立．
2．已知函数 若不等式 对一切 恒成
立，则正整数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将不等式整理为 ，由此构造函数 ，将不等式恒成立问题转
化为求函数的最值问题，即 恒成立；令 ，利用导数判断其单调性，求
得其恒大于0时m的范围，即得答案.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 14【详解】由题意不等式 对一切 恒成立，
即 对一切 恒成立，令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，则 需恒成立；
令 ，当 时， ，当 时， ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
且 ，当 时， ，
取 ，（ ），
取 ，
即 在 存在唯一的零点 ，且 ，
故 时， ， 时， ，
故正整数 的最大值为7，
【点睛】方法点睛：关于不等式恒成立求参数的范围问题，一般解决方法是转化为函数的最值问题，即将
不等式整理，构造函数，利用导数求函数最值；另外有时也可以参变分离，构造函数，利用导数解决.
3．已知函数 （ ）．当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围．
【答案】
【分析】先由 时， ，得 .再验证当 时，不等式 在 上恒成立即可，
构造函数 ，得其导函数，分析函数的单调性和最值，即可得解.
【详解】因为当 时，不等式 恒成立，所以 ，所以 ，
所以要证 ，只需证 ，即证 ．
构建函数 ， ，
所以 ，
所以当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增；当 时， ，函数 单调递减．
所以当 时，函数 取得极大值 ．因为 ，所以 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 15所以当 时， ，所以当 时，不等式 恒成立．
综上所述， 的取值范围为 ．
考点 四 、 利用导数研究数列不等式
1．（2023·河南省南阳市名校模拟）已知 ，证明： 时， .
【答案】证明见解析
【分析】由题知 ，从而 ， ， ，…，
，相加即可得证.
【详解】由题意知， 的定义域为 ， ，
令 ，解得 ：令 ，解得 .所以 在 上单调递增，
在 上单调递减，所以 的最大值为 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ， ， ，…， ，
所以
.
2．已知函数 ，对任意的 ，求证： .
【答案】证明见解析.
【分析】由题意得 ，求导后可判断 在 上递增，则
，令 （ ），则 ，（ ），然后利用累加法可证得结
论.
【详解】
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 16，则 ，
当 时， ，所以 在 上递增，
所以 ，所以 ，所以 ，
令 （ ），则 （ ），即 （ ），
所以 ，（ ），所以 ，即 ，
同理得 ， ，…， ，
所以 ，
所以 .
【点睛】关键点睛：解题的关键是利用导数判断出 在 上递增，则可得
，然后令 ，转化为 ，（ ），再给 依次增加1，得
到 个不等式相加可得结论，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.
3．（2023·广东省广州市名校模拟）已知函数 ，证明：对任意的 且 ，都有：
.
【答案】证明见解析
【分析】根据 得 ，结合放缩法和累加法即可证明.
【详解】令 ， ，
在 上单调递增，在 上单调递减， ，
所以 ，（当且仅当 时等号成立），令 ， ，
则 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 17所以 ，
即 ， 所以 .
【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究含参函数单调性，以及构造函数利用导数证明不等式，以及数
列和导数的综合，要善于运用转化法，整体代换转化进行放缩证明不等式.
1．设 在 上恒成立，证明：当 时， ．
【答案】证明见解析
【分析】 ，令 ， ，令 ，化简得到
，进而证得结论.
【详解】 在 上恒成立，当且仅当 时，等号成立，
因为 ，令 ，代入得到 ，
即 ，且 ，令 ， ，即 ，
代入化简得到 ，
所以 成立．
2．已知函数 .
(1)若 在 上单调递增，求 的值；
(2)证明： （ 且 ）.
【答案】(1)1；(2)证明见解析.
【分析】（1）求出函数 的导数 ，根据给定条件可得 恒成立，再利用导数分类讨论求解
作答.
（2）利用（1）的结论得当 时， ，取 ，利用不等式的性质结合裂项相消法求和作
答.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 18【详解】（1）函数 ，求导得 ，
由于函数 在R上单调递增，则 恒成立，
令 ，则 ，当 时， ，当 时， ，不满足条件；
当 时， ， 在R上单调递增，
又 ，即 ，不满足条件；
当 时，令 ，得 ，则当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，于是当 时， 取得最小值
，于是 ，即 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增； 时， ， 单调递减，
则 ，由于 恒成立，因此 ，则有 ，
所以 单调递增时， 的值为1.
（2）由（1）知，当 时， ，即有 ，当且仅当 时取等号，即当 时，
，
因此当 且 时，
，
而当 时， ，
所以 ，
则 ，所以， .
【点睛】关键点睛：函数不等式恒成立求参数范围问题，结合已知，利用换元法构造新函数，用导数探讨
函数的性质，借助数形结合的思想推理求解.
3．已知函数 ，当 时，证明： .
【答案】证明见解析
【分析】 时， ，结合 ，可得 ，再利用不等式进行适度放缩，结
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 19合裂项求和，即可证明.
【详解】当 时， ，所以 .
令 ， ，
在 上单调递增，在 上单调递减， ，
所以 ，即 ，所以 .
令 ，得 ，即 ，所以 .
当 时， ，则 ，显然 ，结论成立；
当 时，
，
结论成立.因此，当 时， 成立.
【点睛】思路点睛：本题第二小问考查的是证明不等式，综合了导数与数列的知识，基本方法应使用不等
式适度放缩，使得左边的和能求出，进而得出结果.
考点 五 、 利用导数研究函数的零点
1．（2023·陕西省榆林市名校模拟）已知函数 的图象与 轴有且仅有两个交点，则实数
的值是（ ）
A． B． C．-1 D．0
【答案】A
【分析】根据函数的导数判断函数的单调性，利用函数单调性结合交点个数列方程求解.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 20【详解】 ， ，
当 时， ， 单调递增，至多与 轴有一个交点，故不符合题意；
当 时，由 可得 ，
所以 或 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
所以函数 的图象与 轴有且仅有两个交点，
则需要 或 ，如图，
因为 ，
所以 ，
解得 .
2．（2023·四川省眉山市名校模拟）已知函数 ， 其中 为自然对
数的底数，当 时，求函数 零点个数．
【答案】2.
【分析】把 代入，利用导数探讨函数单调性，求出函数最小值，再借助零点存在性定理求解作答.
【详解】当 时， ， ，求导得 ，
当 时， ，则 ，当 时， ，则 ，
当 时，函数 都递增，即函数 在 上单调递增，
而 ，因此存在 ，使得 ，
当 时， ，当 时， ，
从而当 时， ，当 时， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 21即有函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ，
而 ，于是函数 在 ， 各存在一个零点，
所以函数 零点个数是2.
【点睛】思路点睛：涉及函数零点个数问题，可以利用导数分段讨论函数的单调性，结合零点存在性定理，
借助数形结合思想分析解决问题.
3．（2023·湖南省名校模拟）已知函数 ，若方程 有3个零点，求实数
的取值范围．
【答案】
【分析】将问题转化为 与 有三个不同的交点，利用导数研究函数 的性质，从而结
合图象即可求得实数 的范围；
【详解】令 ，即得 ，即 方程有三个零点，
即直线 与曲线 有三个不同的交点，
可得 ，
所以当 或 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递
增，
所以当 时， 有极小值为 ，当 时， 有极大值为 ，
当 时， ，且当 时， ，所以作出函数 的图象如图所示，
所以数形结合可知 ，即实数 的取值范围为 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 221．已知函数 ， ，当 时，判断 的零点个数.
【答案】 的零点个数为0
【分析】求导得函数的单调性，即可由单调性求解最值，进而可判断，
【详解】当 时， ，
则 ，
当 ， ，函数 在 上单调递增，
当 ， ，函数 在 上单调递减，
所以 ， 所以 的零点个数为0.
2．给定函数 ，若函数 恰有两个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由函数与方程的思想将函数 恰有两个零点转化成函数 与函数 图象有两
个交点，画出图像数形结合即可得 .
【详解】若函数 恰有两个零点，即方程 有两个不相等的实数根，
即函数 与函数 图象有两个交点，易知 ，
令 ，解得 ，所以当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
所以 在 取得最小值 ，易知当 时， ，且 时 ，
在同一坐标系下分别画出两函数图象，如下图所示：
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 23由图可知当 时，函数 与函数 图象有两个交点.
3．已知函数 ，若 存在零点，求a的取值范围．
【答案】 ．
【分析】解法1：令 ，可得 ，令函数 ，求得
，令 ，求得 在 上单调递增，得到 的单调性，进而
求得实数a的取值范围；
解法2：求得 ，转化为关于x的方程 有唯一正根，设 的唯
一正根为m，求得 的单调性，得到 ，设 ，结合单调
性，即可求解.
【详解】解法1：令 ，可得 ，
令函数 ，可得 ．
令函数 ，则 ，所以 在 上单调递增，
又因为 ，所以当 时， ；当 时， ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ．
当 时， ；当 时， ，
因为 存在零点，所以 ，故实数a的取值范围为 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 24解法2：由函数 ，可得 ，
由 ，可得 ，其判别式 ，
由一元二次方程根与系数的关系知，关于x的方程 有唯一正根，
设 的唯一正根为m，则有 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
当 时， ；当 时， ．因为 存在零点，所以 ，
设 ，则 ，则 ，所以 在 上是增函数，
所以 ，即 ，由 ，可得 ，
由 ，得 ，故a的取值范围为 ．
考点 六 、 利用导数研究隐零点问题
1．（2023·河北省沧州市名校模拟）已知函数 ，当 时，证明：不等式
恒成立．
【答案】证明见解析
【分析】依题意 恒成立，令 ， ，利用导数说明函数的单调性，
只需证明 即可.
【详解】当 时 ，则不等式 恒成立，即 恒成立，
令 ， ，则 ，
令 ， ，则 ，所以 在 上单调递增，
又 ， ，所以存在唯一实数 使得 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 25所以当 时 ，即 ，所以 在 上单调递减，
当 时 ，即 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，又 ，即 ，所以 ，则 ，
所以 ，
令 ， ，则 ,
所以 在 上单调递减，所以 ，
所以 ，
即 ，所以 恒成立，即不等式 恒成立.
2．（2023·贵州省铜仁市名校模拟）已知函数 ，若 恒
成立，求 的取值范围．
【答案】
【分析】当 ，取 判断不成立；当 时，三次求导结合隐零点进行判断
不成立；当 时， ，可得 ，即 .
【详解】（1）当 时， ，可得 .
（I） ，所以在 处的切线方程为 ，即 .
（II） ，
设 ，则 单调递增，所以 ，即 ，
所以当 时， 单调递增.
（2）设 ，由题意 恒成立.
①当 时， 不恒成立，不合题意；
②当 时，设 ， ，
， ， ，
设 ， ， ， 单调递增，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 26由零点存在定理得 ，使得 . 在 上 ， ，即 ，
所以 在 上单调递减， ， 不恒成立，不合题意；
③当 时， ，则 ，
当 时， ，即 ，则 ，所以当 时， 单调递增.
可得： ，即 ，所以 .
综上， 的取值范围为 ．
3．（2019·新课标Ⅰ高考真题（文科））已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2） .
【分析】（1）求导得到导函数后，设为 进行再次求导，可判断出当 时， ，当
时， ，从而得到 单调性，由零点存在定理可判断出唯一零点所处的位置，证得结
论；（2）构造函数 ，通过二次求导可判断出 ，
；分别在 ， ， 和 的情况下根据导函数的
符号判断 单调性，从而确定 恒成立时 的取值范围.
【详解】（1）
令 ，则
当 时，令 ，解得： 当 时， ；当 时，
在 上单调递增；在 上单调递减
又 ， ，
即当 时， ，此时 无零点，即 无零点
，使得
又 在 上单调递减 为 ，即 在 上的唯一零点
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 27综上所述： 在区间 存在唯一零点
（2）若 时， ，即 恒成立
令 ，则 ，
由（1）可知， 在 上单调递增；在 上单调递减且 ， ，
，
①当 时， ，即 在 上恒成立 在 上单调递增
，即 ，此时 恒成立
②当 时， ， ， ，使得
在 上单调递增，在 上单调递减
又 ，
在 上恒成立，即 恒成立
③当 时， ， ，使得
在 上单调递减，在 上单调递增
时， ，可知 不恒成立
④当 时， 在 上单调递减 ，
可知 不恒成立
综上所述：
【点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值
恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，
进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.
1．已知函数 ，证明：当 时， ．
【答案】证明见解析.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 28【分析】隐零点讨论，证得结果.
【详解】因为 ，所以 在区间 内单调递增．设 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在区间 内单调递减，在区间 内单调递增且 ，
所以 ．
设 ，则 ．
所以 在区间 内单调递减，故 ，即 成立．
2．设函数 ．
(1)求 的单调区间
(2)若 ，k为整数，且当 时 ，求k的最大值
【答案】(1)答案见解析；(2)2
【分析】(1)求函数的单调区间，可先求出函数的导数，由于函数中含有字母 ，故应按照 的取值范围进
行分类讨论研究函数的单调性，给出单调区间.
(2)由题设条件结合(1)，将不等式成立转化为 ，由此将转化为求 在给定区间的
最值问题.
【详解】（1）函数 的定义域是 ， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，
当 时， 时， ，当 ，
所以，函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）由于 ，所以 ，故当 ， ，
等价于 令 ，①，则 ，
由(1)可知，当 时，函数 在 上单调递增，
而 ，所以 在 存在唯一零点，
故 在存在唯一零点，设此零点为 ，则有 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上的最小时为 ，又由 ，可得 ，
所以 ，由于①等价于 ，故整数 的最大值为2.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 29【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成
立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极
(最)值问题处理．
3．设函数 .
（Ⅰ）讨论 的导函数 的零点的个数；
（Ⅱ）证明：当 时 .
【答案】（Ⅰ）当 时， 没有零点；当 时， 存在唯一零点.（Ⅱ）见解析
【详解】试题分析：（Ⅰ）先求出导函数，分 与 考虑 的单调性及性质，即可判断出零点个
数；（Ⅱ）由（Ⅰ）可设 在 的唯一零点为 ，根据 的正负，即可判定函数的图像与性质，
求出函数的最小值，即可证明其最小值不小于 ，即证明了所证不等式.
试题解析：（Ⅰ） 的定义域为 ， .
当 时, ， 没有零点；
当 时，因为 单调递增， 单调递增，所以 在 单调递增.又 ,当b满足
且 时， ,故当 时， 存在唯一零点.
（Ⅱ）由（Ⅰ），可设 在 的唯一零点为 ，当 时， ;
当 时， .故 在 单调递减，在 单调递增，
所以当 时， 取得最小值，最小值为 .
由于 ，所以 .
故当 时， .
考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；
运算求解能力.
考点 七 、 利用导数研究双变量问题
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 301．（2023·黑龙江省哈尔滨市名校模拟）已知 ，函数 ，当 时，
若 ，求证： .
【答案】见解析
【分析】首先将函数零点代入函数，变形为 ，不等式转化为 ，再利用换
元，构造函数 ， ，利用导数证明不等式 成立，即可证明.
【详解】当 时， ，
由题意可知， ，两式相减得 ，整理为 ，
要证明 ，即证明 ，
不妨设 ，即证明 ，即 ，设 ，即证明 ，
设 ， ，
所以函数 在区间 单调递减，且 ，
即 在区间 恒成立，即 ,
即 ，得证.
2．（上海师范大学附属外国语中学2023届试题）已知函数 ，若函数 有三个
不同的极值点 、 、 ，且 ，求实数a的取值范围.
【答案】
【分析】首先根据 有 个不同的极值点求得 的一个范围，然后化简不等式
，利用构造函数法，结合导数求得 的取值范围.
【详解】 ，
设曲线 图象上任意一点 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
将 代入得 ，故切点为 ，过 的切线方程为 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 31所以直线 和曲线 相切，并且切点坐标为 ，
所以当且仅当 时，方程 有两个不相等的实根 ， ，并且 ，
从而当 时， 有三个极值点 ， ， ，并且 ， ， ，
取对数知： ， ，即 ， ，
则
．
构造 ，
在 时恒成立，
则 在区间 上单调递增，且 ，
从而 的解为 ，
综上所述 ．
3．（2023·福建省福州名校模拟）已知函数 ，若 ，且 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用导数讨论函数 的单调性，设 、 且 ，结合图象得
，再利用导数研究函数 的性质得 ，结合
变形、基本不等式，即可判断各项正误.
【详解】 ，则 ，令 ，
当 时 ， 单调递减，当 时 ， 单调递增，
在 上 ，且 ， ， ，即 .
综上， 的图象如下：结合 ， ，令 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 32如上图，若 且 ，则 ，则 不一定成立，A错误；
又 ，故 ，则 不一定成立，B错误；
令 ，则 ，
当 时， ，得 ，则 ；
当 时， ，得 ，则 ，所以函数 在R上单调递增，且 ，
所以 在R上恒成立，得 ，
即 ，又 ，所以 ，
由 ，且函数 在 单调递减，得 ，即 ，D正确.
又 ，则 ，即 ，故 ，C错误.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：先由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参
的不等式；进而巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，求出函数的最值；最后回归双参的不等式
的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.
1．已知函数 ，对任意 ，存在 ，使 ，则 的最小值
为（ ）．
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】令 ，将 都用 表示，从而可将 构造出关于 的函数，再利用导数
求出函数的最小值即可.
【详解】解：由题意，令 ，则 ， ，
所以 ， ， ，
令 ，所以 ，令 ，得 ，
所以当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
所以当 时， 有最小值 ，即 的最小值为 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 332．已知函数
(1)求 的单调区间；
(2)若函数 有两个不同的零点 ， ，证明： ．
【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，分 、 两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；
（2）由（1）可得 ， ， ，显然 ， ，
令 ，设 ，则 ，依题意只需证明 ，即证 ，即
证 ，令 ， ，利用导数说明函数的单调性，即可得证.
【详解】（1） 定义域为 ，且 ，
当 时， ， 在 上单调递减．
当 时，令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
综上，当 时， 的单调递减区间为 ，无单调递增区间．
当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
（2）因为 ， 是函数 的两个不同的零点，所以 ， ， ，
显然 ， ，因为 ， ，
所以 ， ，即 ， ，
所以 ．不妨令 ，设 ，
则 ， ， 所以 ， ．
又 ，所以要证 ，只需证 ，即 ．
因为 ，所以只要证 ，即 ，即 ．
令 ， ，则 ，
所以 在 上单调递减，所以 ，所以 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 343．已知函数 （a为常数），设函数 的两个极值点分别为 ， （ ），
求 的范围．
【答案】
【分析】根据函数有两个不相等的极值点得到 ，故 ，
变形得到函数 ，求导得到其单调性，得到 的值域为 ，得到答案.
【详解】若 在定义域内有两个极值点，则 是方程 ，即 的两个不相等的实
数根，
从而得到 ，即 ，又 ，故 ，
，
令 ，则 ，
，所以 在 上单调递增，
所以 ，即 的值域为 ，
所以 的范围是 .
考点 八 、 利用导数研究极值点偏移问题
1．（2023·广东省广州市名校模拟）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性：
(2)若 是方程 的两不等实根，求证： ；
【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的定义域和导数，再根据 和 分类讨论，即可得出函数的单调性；
（2）由 可得， 是方程 的两不等实根，从而可将问题转化
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 35为 是方程 的两不等实根，即可得到 和 的范围，原不等式等价于 ，即极值点偏
移问题，根据对称化构造（解法1）或对数均值不等式（解法2）等方法即可证出．
【详解】（1）由題意得，函数 的定义域为 .
由 得： ，
当 时， 在 上单调递增；
当 时，由 得 ，由 得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）因为 是方程 的两不等实根， ，
即 是方程 的两不等实根，
令 ，则 ，即 是方程 的两不等实根.
令 ，则 ，所以 在 上递增，在 上递减， ，
当 时， ；当 时， 且 .
所以0 ，即0 .
令 ，要证 ，只需证 ，
解法1（对称化构造）：令 ，
则 ，
令 ，
则 ，
所以 在 上递增， ，
所以h ，所以 ，
所以 ，所以 ，
即 ，所以 .
解法2（对数均值不等式）：先证 ，令 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 36只需证 ，只需证 ，
令 ，
所以 在 上单调递减，所以 .
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 .
【点睛】方法点睛：本题第二问解题关键是合理转化，将问题变成熟悉的极值点偏移问题，从而根据对称
化构造及对数均值不等式等方法证出．
2．（新疆维吾尔自治区名校模拟）已知函数 ， ，其中 为自然对数的底数．
(1)若 有两个极值点，求 的取值范围；
(2)记 有两个极值点为 、 ，试证明： ．
【答案】(1) ；(2)证明见解析
【分析】（1）求得 ，令 ，分析可知 有 个变号零点，对实数 的取
值进行分类讨论，利用导数分析函数 的单调性，结合已知条件可得出关于 的不等式，解之即可；
（2）欲证 ，即证 ，由已知条件得出 ，令
，解得 ， ，将所证不等式变形为 ，然后令
，其中 ，利用导数证得 即可.
【详解】（1）解：因为 ， ， ，
设 ，则 ，若 有两个极值点，则 有 个变号零点．
当 时， ， 在 上递增， 至多有一个零点，不符合题意，舍去；
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
若使得 有 个变号零点，则 ，即 ，即 ，
解得 ，此时， ，
，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 37令 ，其中 ，所以， ，
所以，函数 在 上单调递增，
所以， ，故 ，
由零点存在定理可知，函数 在 、 上各有一个变号的零点，
设函数 在 、 上的零点分别为 、 ，
当 或 时， ；当 时， .
此时函数 有两个极值点，合乎题意.
综上所述， .
（2）证明：欲证 ，即证 ，
由于 、 为 的零点，
则 ，可得 ，
令 ，则 ，解得 ， ，
所以只需证明： ，即证： ，
构造函数 ，其中 ，
则 ，
所以，函数 在 上单调递减，则 ，
所以 ，即 得证，故 .
3．（2023·河北省石家庄名校模拟）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若函数 有两个零点 、 ，证明 .
【答案】(1)单调减区间为 ，单调增区间为 ；(2)证明见解析
【分析】（1）利用函数单调性与导数的关系可求得函数 的增区间和减区间；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 38（2）设 ，由（1）可得 ，先证 ，即证 ，构造函数
，其中 ，利用导数分析函数 在 上的单调性，可证得
成立；其次证明出 ，令 ，则 ，将所证不等式变形为即证
，
令 ， ，利用导数分析函数 的单调性，可证得 ，综合可得结论.
【详解】（1）解：因为 的定义域为 ，则 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 的单调减区间为 ，单调增区间为 .
（2）证明：不妨设 ，由（1）知：必有 .
要证 ，即证 ，即证 ，
又 ，即证 .
令 ，其中 ，则 ，
令 ，则
在 时恒成立，所以 在 上单调递减，即 在 上单调递减，
所以 ，所以 在 上单调递增，所以 ，
即 ，所以 ；
接下来证明 ，
令 ，则 ，又 ，即 ，所以 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 39要证 ，即证 ，有 ，
不等式 两边取对数，即证 ，
即证 ，即证 ，
令 ， ，则 ，
令 ，其中 ，则 ，
所以， 在 上单调递增，则当 时， ，
故当 时，
可得函数 单调递增，可得 ，即 ，所以 ，
综上， .
1．已知函数 ，若 ， ， ，证明： ．
【答案】证明见解析
【分析】将已知不等式化为 ，令 ，利用导数可求得 单调性，易知
时成立，当 时，采用分析法可知只需证得 即可，构造函数
， ，利用导数可说明 ，由此可得结论.
【详解】由 得： ，
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增；由 得： ；
， ，当 时，由 得： ， ；
当 时，要证 ，只需证 ，
， ，则只需证 ，
又 ， 只需证 ；令 ， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 40则 ，
在 上单调递减， ， ，
即 ，即 得证， ；
综上所述： 成立.
【点睛】关键点点睛：本题证明不等式的关键是能够采用同构法将所给不等式化为 的形式，
结合极值点偏移的分析思想将问题转化为证明 ，从而通过构造函数来进行证明.
2．已知 ，若存在 ， ，使 ，求证： ．
【答案】证明见解析
【分析】）由 可得 （*），通过证明
单调递增，（*）转化为 ，接着证明 成立，
即可求解
【详解】；由 知 ，
整理得， （*），
不妨令 ，则 ，故 在 上单调递增，
当 时，有 ，即 ，
那么 ，因此，（*）即转化为 ，
接下来证明 ，等价于证明 ，
不妨令 （ ），
建构新函数 ， ，则 在 上单调递减，
所以 ，故 即 得证，
由不等式的传递性知 ，即 ．
【点睛】思路点睛：应用对数平均不等式 证明极值点偏移：
①由题中等式中产生对数；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 41②将所得含对数的等式进行变形得到 ；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题.
3．已知函数 ，a为实数．
(1)求函数 的单调区间；
(2)若函数 在 处取得极值， 是函数 的导函数，且 ， ，证明：
．
【答案】(1) 递减区间为 ，递增区间为 ；(2)证明见解析
【分析】（1）求导，由导函数的正负即可确定 的单调区间，
（2）构造函数 ，求导得 的单调性，即可证明 ，构造函数
求导，利用单调性即可求证 .
【详解】（1）函数 的定义域为 ，
令 ，所以 ，得 ， 当 ， ，当 ， ，
故函数 递减区间为 ，递增区间为 .
（2）因为函数 在 处取得极值，所以 ，得 ，
所以 ，得 ，
令 ，因为 ，当 时， ，
所以函数 在 单调递减，在 单调递增，
且当 时, ,当 时, ,
故 .
先证 ，需证 .
因为 ，下面证明 .
设 ,则 ,
故 在 上为增函数,故 ,所以 ,则 ,
所以 ,即得 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 42下面证明：
令 ，当 时 ，所以 成立,
所以 ，所以 .
当 时，记 ,
所以 时 ，所以 为减函数得 ,
所以 ,即得 .所以 得证，
综上， .
【点睛】思路点睛：求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，
往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调
性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，
构造有效的函数往往是解题的关键.
考点 九 、 导数在情景中的应用
1．现有一个帐篷，它下部分的形状是高为 的正六棱柱，上部分的形状是侧棱长为 的正六棱锥（如
图所示）当帐篷的体积最大时，帐篷的顶点O到底面中心 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 为 ，则 ，根据题意，可得正六边形的面积为S的表达式，进而可得帐篷的体积
为V 的表达式，利用导数，即可求得V的单调性和极值点，即可求得答案.
【详解】设 为 ，则 ，
设底面正六边形的面积为 ，帐篷的体积为 .
则由题设可得，正六棱锥底面边长为 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 43于是 ，所以
，则 .
令 ，解得 或 （舍去）.当 时， ，V单调递增；
当 时， ，V单调递减.所以当 （m）时，V最大.
2．（2023·广东省汕尾市名校模拟）某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，一个瓶子的制造成本是
分，其中 （单位： ）是瓶子的半径．已知每出售 的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商
能制作的瓶子的最大半径为 ，则使得每瓶饮料的利润最大时的瓶子的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】写出利润关于 的函数，利用导函数求出利润最大时的 的取值.
【详解】设每瓶饮料获得的利润为 ，依题意得， ，
，
于是 ， 递减； ， 递增，
所以 是极小值点，于是在 ，只可能 使得 最大.
3．（2023·河南省南阳市名校模拟）给出新定义：设 是函数 的导函数， 是 的导函数，
若方程 有实数解 ，则称点 为 的“拐点”，已知函数
的一个拐点是 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】二次求导，根据拐点定义求得 ，然后代入函数 可得.
【详解】由题可知 ， ，
结合题意知 ，即 ，
又 ，所以 ，所以 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 441．已知正三棱锥的高为 ，且 ，其各个顶点在同一球面上，且该球的表面积为 ，则该三棱锥
体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设底面三角形的边长为a，在 中，利用勾股定理得到h和a的关系，得到三棱锥的体积，
再利用导数法求解最值.
【详解】解：因为外接球的表面积为 ，
所以外接球的半径为 ，
如图所示：
设底面三角形的边长为a，且 为等边三角形 的中心，则 ，
在 中， ，解得 ，
所以 ，则 ，
令 ，得 ，当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以当 时， 取得最大值为 ，
2．如图所示，ABCD是边长为 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，
再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F
在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设 ，当 cm时，
包装盒的容积最大，最大容积为 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 45【答案】 10
【分析】利用 可分别表示出包装盒侧面高和底边长，进而将容积表示出来，通过导数研究其最大值即可.
【详解】因为 ， ， ，
所以 ，包装盒底边长为 ，因为阴影部分为等腰直角三角形，
所以包装盒侧面高为 ，
所以包装盒容积 ，
所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， 取得最大值 .
【点睛】实际问题要善于转化为数学问题，本题通过将实际问题转化为函数问题，进而利用导数研究函数
的单调性，得到函数的最大值，从而得到答案.
3．定义方程 的实数根 叫做函数 的“奋斗点”.若函数 ， 的“奋
斗点”分别为 ， ，则 ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求导，根据“奋斗点”的定义可得 ， ，构造函数，利用导数及零点存在定理
求出 的范围，由 求出 的范围，从而可比较大小.
【详解】函数 ，得 ，由题意可得， ，即 .
设 ， ，因为 ，所以 ，
易得 在 上单调递减且 ， ，故 .
由 ， ，由题意得： ，易知 ，所以 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 46因为 ，所以 .
【基础过关】
1．证明： .
【答案】证明见解析
【分析】构造函数 ，求导，根据函数的单调性求解最值，即可求证.
【详解】令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，且 ，
故当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
故当 时， 取极小值也是最小值，
故 ，因此 .
2．已知 ．
（1）若对任意 ，有 ，求实数a的取值范围；
（2）当 时， 的值域为 ，求实数a的取值范围；
（3） ， ，使得 成立，求实数a的取值范围．
（4） ，使得 成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1) ；(2) ；(3) ；(4)
【分析】（1）方法一：由 ，分类讨论 的范围，求出 时 的最小值，列出不等式，求解
即可；方法二：根据 和 ，分析得出分子 在 上恒成立，求解即可；
（2）方法一：对 求导，分类讨论 的范围，求出 的最小值，令最小值等于0即可；方法二：将
转化为 ，分类讨论 的范围，求出最小值，令最小值等于0即可；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 47（3）设 ， ，由条件得出 在 有解，求出 在 上的最小值 ，
得出 ，求解不等式即可；
（4）设 ， ，由已知分析出 在 上恒成立，求出 在 的最大值 ，
令 ，求解不等式即可．
【详解】（1）方法一： ，
当 时，由 得 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，所以 ；
当 时，令 ，解得 或 ，
则 在 单调递减，在 和 单调递增；
①当 ，即 时， ，所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，所以 ；
②当 ，即 时， 在 单调递减，在 单调递增，
所以 ，所以 ，
综上所述， ．
方法二：因为 ，有 ，所以 在 上恒成立，
因为 在 上单调递增，所以当 时， ，即 ，
故 ．
（2）方法一： ，
当 时，由 得 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，即 ，
当 时，令 ，解得 或 ，
则 在 单调递减，在 和 单调递增；
①当 ，即 时， ，所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，舍去，
②当 ，即 时， 在 单调递减，在 单调递增，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 48所以 ，无解，
综上所述， ．
方法二： ，
当 时， ，无解；
当 时， ，当 ， ，不合题意，舍去；
当 时，因为 和 在 上单调递增，所以 在 上单调递增，
所以 ，解得 ，
所以 ．
（3）设 ， ，
由 ， ，使得 成立，则 在 有解，
，因为 时， ，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 在 恒成立，
因为 在 单调递增，所以当 时， ，即 ，
故 ．
（4）设 ， ，由（3）得 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
因为 ，使得 成立，所以 在 恒成立，
所以 ，即 ，所以当 时， ，
所以 在 恒成立，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 49因为 在 上单调递增，所以当 时， ，即 ，
故 ．
3．设实数 ，若对 不等式 恒成立，则m的取值范围为 ．
【答案】
【分析】构造函数 判定其单调性得 ，分离参数根据恒成立求 即可.
【详解】由 ，
构造函数 ，
在 为增函数，则
即对 不等式 恒成立，则 ，
构造函数 令 ，得 ；令 ，得 ；
在 上单调递增，在 上单调递减， ，即 .
4．若函数 有两个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出导函数，排除 ，当 时得到函数的单调性以及函数的取值范围，再列不等式组求解即
可.
【详解】因为 所以
若 时 恒成立，
在 上单调递增，函数 不可能有两个不同的零点，不合题意；所以，只有
时， ，函数 递减，此时
时， ，函数 递增，此时 ，
因为函数 有两个不同的零点，所以
解得
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 505．已知，如图是一张边长为 的正方形硬纸板，先在它的四个角上裁去边长为 的四个小正方形，再折叠
成无盖纸盒．
(1)试把无盖纸盒的容积 表示成裁去边长 的函数；
(2)当 取何值时，容积 最大？最大值是多少？（纸板厚度忽略不计）
【答案】(1)
(2)当 时，容积 最大，最大值为
【分析】（1）根据长方体的体积公式即可得解；
（2）求导，再利用导数求出函数的单调区间，进而可得出答案.
【详解】（1）由题意，长方体的高为 ，底面是正方形，正方形的边长为 ，
则 ，所以 ，则 ；
（2）由（1）得 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时，容积 最大，最大值为 .
6．（2023·浙江省丽水市名校模拟）已知函数 ．
(1)求函数 的单调递减区间；
(2)若函数 有三个零点，求 的取值范围．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）对函数直接求导，根据导数正负与原函数单调性关系直接求解即可；
（2）根据（1）中单调性得到函数极大值与极小值，通过变化趋势列出不等式组求解即可.
【详解】（1）函数 的导数 ，
当 时， ；当 时， .所以 的单调递减区间为 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 51（2）由（1）得：当 时， 取得极大值 ；
当 时， 取得极小值 .
由三次函数性质知：当 时， ；当 时， .
所以若 有三个零点，则 ，解得 .
所以 的取值范围为 .
7．已知函数 及其导函数 ，若存在 使得 ，则称 是 的一个“巧值点”，
下列选项中没有“巧值点”的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用新定义：存在 使得 ，则称 是 的一个“巧点”，对四个选项中的函数
进行一一的判断即可．
【详解】对于A： ，则 ，令 ，则 ，故 有“巧值点”；
对于B， ，则 ，令 ，故方程有解，故 有“巧值点”；
对于C， ，则 ，令 ，
则 .
∴方程 有解，故函数 有“巧值点”．
对于D： 定义域为 ，则 ，而 ，
显然 无根，故 没有“巧值点”.
8．已知函数 ， ．当 ， 时，求证： ．
【答案】证明见解析
【分析】根据要证 ，构造新函数 ，利用导数研究在 上单调性，证明
所以 ，即可得出结论.
【详解】证明：要证 ，即证 ，只需证 ，
因为 ，也就是要证 ，令 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 52因为 ，所以 ，
所以 在 上为减函数，
所以 ，所以 得证．
9．已知函数 ．
(1)若 是函数 的极值点，求 的值；
(2)若函数 有两个零点，求 的取值范围．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）求导，利用导数研究函数的单调性、极值.
（2）利用导数研究函数的单调性、图象，根据函数 有两个零点求解.
【详解】（1）函数 的定义域为 ，
，因为 ，所以 ，
若 是函数 的极值点，则 ，所以 ．
当 时，若 则 ，函数 在 上单调递增，
若 则 ，函数 在 上单调递减，
所以 是函数 的极小值点，此时 .
（2）由（1）知，
若 ，则 ，函数 在区间 上单调递增，
若 ，则 ，函数 在区间 上单调递减，
所以 是函数 的极小值点， ，
当 时， ，当 时， ，
所以若函数 有两个零点，则仅需 ，
所以 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5310．（2023·安徽省名校模拟）已知函数 为函数 的导函数．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)已知函数 ，存在 ，证明： ．
【答案】(1)函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增；(2)证明见解析
【分析】（1）运用导数研究函数单调性即可.
（2）由 可得 ，结合（1）可得
，联立两者可得 ，运用比值代换法，设 ，转化为求证
, 即可证明.
【详解】（1） 的定义域为 ， ，
令 ，则 ，所以函数 在 单调递增，
又因为 ，所以 ， ，即： ， ，
所以函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.
（2）由（1），得 ，
又 ，即 ，
所以 ．
不妨设 ，所以 ．
由（1）得当 ，函数 单调递增，所以 ，
故 ，所以 ，
所以 ，故 ．
下证 ．即证： ，
设 ，则 ，所以函数 在区间 上单调递增，
所以 ，故 ，即 ，所以 ，即 ，
所以 ，得证．
11．（2023·河南省洛阳市名校模拟）已知函数 （a为常数）．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 54(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设函数 的两个极值点分别为 ， （ ），求 的范围．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）由导数的几何意义求解，
（2）根据函数有两个不相等的极值点得到 ，故 ，变形得到函
数 ，求导得到其单调性，得到 的值域，得到答案.
【详解】（1）当 时， ， ，所以 ， ，
故曲线 在点 处的切线方程为 ．
（2）若 在定义域内有两个极值点，则 是方程 即 的两个不相
等的正根，从而得到 ，即 ，又 ，故 ，且
令 ，则 ，
，所以 在 上单调递减，
所以 ，即 的值域为 ，
所以 的范围是 .
【能力提升】
1．已知正三棱锥的外接球半径R为1，则该正三棱锥的体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 55【分析】设该正三棱锥的高为 ，底面外接圆的半径为 ，根据球的截面圆的性质，求得 ，得到
，进而得到锥体的体积为 ，设 ，求得 ，
得出函数 单调性与最大值，即可求解.
【详解】如图所示，设该正三棱锥的高为 ，底面外接圆的半径为 ，底面面积为 ，
由球的截面圆的性质，可得 ，即 ，
解得 ，即 ，解得 ，
由锥体的体积公式，正四棱锥的体积为：
，
设 ，可得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以当 时，函数 取得最大值，最大值为 ，
所以正三棱锥体积的最大值为 .
2．（2023·四川省自贡市名校模拟）已知函数 ， ， ， 恒
成立，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令 ，其中 ，分析可知，存在 ，使得
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 56，可得出 ，由题意可得出 ，可得出 ，由此
可得出 ，令 ，其中 ，利用导数求出函数
的最大值，即为 的最大值.
【详解】令 ，其中 ，则 ，
令 ，其中 ，则 ，
故函数 在 上为增函数，
①当 时， ， ，则 ，
所以， ，
所以，存在 ，使得 ；
②当 时， ，则 ， ，
所以，存在 ，使得 ；
③当 时，令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，
所以， ，即 ，当且仅当 时，等号成立，
所以， ，
所以存在 ，使得 ，即 .
由上可知，对任意的 ，存在 ，使得 ，
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 57所以，
，则 ，
所以， ，
令 ，其中 ，
所以， ，
当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，
所以， ，即 的最大值为 .
故选：A.
【点睛】方法点睛：求函数 在区间 上的最值的方法：
（1）若函数 在区间 上单调，则 与 一个为最大值，另一个为最小值；
（2）若函数 在区间 内有极值，则要求先求出函数 在区间 上的极值，再与 、
比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；
（3）若函数 在区间 上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数
的实际应用中经常用到.
3．（2023·陕西省咸阳市名校模拟）已知函数 ，若方程 恰有
四个不等的实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】运用导数研究 单调性及图象趋近，进而画出其图象观察即可.
【详解】因为当 时， ，则 ， ， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
， ，当 时， ，
当 时， ，则 在 上单调递增， ，当 时， ，
综上， 的图象如图所示，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 58因为 ，所以 或 ，
又因为 恰有4个不等的实根，且 ，
所以 恰有3个不等的实根，即 恰有3个不同的交点，
所以由图象可知， .
4．若关于 的方程 有两个解，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先变形构造函数 ，讨论 和 两种情况，利用导数判断函数的
单调性，再结合函数的最值，并结合零点存在性定理，求实数 的取值范围.
【详解】依题意，有 ，
令 ，则 .
当 时， 在 上恒成立， 在 上单调递增，
故 至多只有1个零点；
当 时，令 ，设 为该方程的解，
故当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
则函数 的最大值为 ；
而 ，故 ，故 ，
故 ，解得 ，可知 ，故 ，
所以 在 上仅有1个零点，
当 时， ，故 在 上也有1个零点，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 59故实数 的取值范围为 .
【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质和零点问题，涉及构造函数，分类讨论，以及隐零点问题，本
题的一个关键是根据 ，变形求 ，再结合函数零点存在性定理说明存在两个零点.
5．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并
构成了一般不动点定理的基石.简单来说就是对于满足一定条件的连续函数 ，存在一个点 ，使得
，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合“不动点”函数的概念，转化为方程有根的问题，对于选项A、C，构造新函数，求导，研究
函数的单调性，求函数最值，即可判断，对于选项B，利用零点存在性定理判断，对于选项D，直接根据
方程无根判断.
【详解】对于A：令 ，即 ，令 ，
则 ，令 ，得 ，当 时， ， 在 单调递增，当 时，
， 在 单调递减，
所以 ，所以方程 无根，所以函数 不是“不动点”函数，故A不
正确；
对于B：令 ，即 ，
令 ，函数 的图象连续不断，且
，由零点存在性定理知，函数 在 上有零
点，即 有根，所以函数 是“不动点”函数，故B正确；
对于C：令 ，即 ，令 ，则 ，得 ，当 时，
， 在 单调递减，当 时， ， 在 单调递增，所以
，所以方程 无根，所以函数 不是“不动点”函数，故C不正确；
对于D：令 ，即 ，而 ，所以方程 无根，所以函数 不是“不动点”函数，
故D不正确；
【点睛】思路点睛：方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可直接求方程的根，或者利用零点存
在性定理判断，也可构造新函数，把问题转化为研究新函数的零点问题，有时还可以转化为两函数交点问
题.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 606．已知函数 有两个零点 ，且 ，
(1)求 的取值范围；
(2)证明： .
【答案】(1) ；(2)证明见解析
【分析】（1）利用导函数与单调性的关系结合零点的存在性定理，确定两个零点 所在的区间范围，
再结合 ，构造函数 ， ，求出最值即可求解 的取值范围；
（2）根据函数的零点可得 ，设 ， ，进一步解得 ，
，从而可得 ，进一步得到 ，利用基本不等式
即可证明原不等式.
【详解】（1）因为 的定义域为 ，所以 .
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增，
故 不可能有两个零点，故舍去；
当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，要使 有两个零点，则 ，解得 ，
又 ，设 ， ，
所以 在 单调递减，所以 ，所以 ，
所以 ,
所以当 时， 在 和 上各有一个零点 ,
且 ，所以 ，由 单调性知：
当 时， ；当 时， ；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 61因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，而 ，所以 ，所以 ，
令 ， ，则 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 .
（2）只需证 ，
由题意： ，设 ， .所以 ，即 ，所以
，
，即 ，所以
∴ ，
令 ， ，令 ， ，
设 ，
所以函数 在 单调递增， ，∴ 在 单调递增，
∴ ，∴ 在 单调递增，∴ .
∴ ，∴ ，
∴ ，（由于 ，此处无法取得等号），得证.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键在于列出方程组 ，并假设 ， ，进一步解
出 ，从而可得 ，巧妙地将双变量问题转化为单变量问题，进而
利用导数与最值的关系可得 ，进一步利用不等式即可证明原命题.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 627.（2023·河南省开封市名校模拟）已知函数 ，其中 为自然对数的底数.
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若函数 有两个零点 ，证明： .
【答案】(1)单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；(2)证明见解析
【分析】（1）将 代入后得 ，对其求导，利用导数与函数的单调性即可得解；
（2）由题意得 ，从而利用分析法将 变形为 ，构造函数
，利用导数证得 ，由此得证.
【详解】（1）当 时， 的定义域为 ，
则 ，因为 ，则 ，所以 ，
当 时， ，则 单调递增；当 时， ，则 单调递减；
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2）若函数 有两个零点，则 ，
即 ，两式相减，可得 ，两式相加得 ，
要证 ，只要证 ，即证 ，即证 ，
只须证 ，即证 ，即证 ，
令 ，则由 得 ，故须证 ，
令 ，则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 63所以当 时， ，即 成立，
故原不等式 成立.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．
8．（2023·广西邕衡名校模拟）已知函数 ．
(1)若 ，求 在 处的切线方程；
(2)若 有两个不同零点 ， 证明： ．
【答案】(1) ；(2)证明见解析
【分析】（1）求出切线斜率 ，根据点斜式可得.
（2）由 得 ，故考虑构造函数 ，先证 ，
利用 的单调性去证明即可.
【详解】（1）当 时， ，故 ， ，
故在 处的切线方程为 ，即 .
（2）证明：不妨设 ，设 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 单调递减， 在 单调递增，
可知 ， 也是 的两个零点，且 ， ，于是 ，
设 ，因为 ．
设 ，当 时， ，
故 在 单调递增，所以 ，从而 ，
因此 在 单调递增，又 ，故 ，故 ，于是 ．
又 在 单调递减，故
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 64即 ，故
【点睛】关键点点睛：第一个关键点是从结论分析，由 得 ，
故构造函数 ；第二个关键点是能利用 函数的最值得到 ，进
而证明 .
9．已知函数 ；
(1)若 无零点，求a的取值范围；
(2)若 有两个相异零点 ，证明： ．
【答案】(1) ；(2)见解析
【分析】（1）在定义域内，根据函数求导判断函数单调性，找出定义域内最小值，当满足 时
即可求 的取值范围.
（2）根据（1）中求导结果得出零点 的取值范围，根据零点性质可知 ，据此利用函
数单调性定义得出 和 的大小关系，从而证明出 .
【详解】（1） ， ， ，得 ，
当 时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增，所以函数的最小值是 ，
因为函数 无零点， ，得 ，所以 的取值范围是 ；
（2）证明：不妨设 ，
由（1）得， 在 上单调递减，在 上单调递增， ，故 ，
，
，设 ， ，
因为 ， ，所以函数 在区间 单调递增，且 ，
所以 在区间 上恒成立，故 ，即 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 65又 在 上单调递减， ， .
【点睛】本题考查利用导数研究函数的形状，以及双变量问题，综合性较强，本题第二问的关键是利用
，结合函数的单调性，判断 的正负.
10．（2023·甘肃省酒泉市名校模拟）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若函数 有两个极值点 ，且 ，求 的取值范围．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而根据点斜式即可得出结果；
（2）求出 ，可得 ，化简 ，构造函数
，利用 单调性即可求得答案.
【详解】（1） ，
曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
（2） ，
则函数 的定义域为 ，
若函数 有两个极值点 ，且 ．
则方程 的判别式 ，且 ， ．
．
设 ，
则 在 上恒成立．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 66故 在 单调递减，从而 ．
因此， 的取值范围是 ．
11．（2023·湖南省常德市名校模拟）已知函数 （ ）.
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 两个极值点 ， ，且 ，求 的取值范围.
【答案】(1)当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，
在 ， 上单调递增
(2)
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，先对函数 求导得 （ ），再
结合二次函数的图像与性质分类讨论 ， ， 时， 的符号，从而得到函数 的单调
性；
（2）根据（1）和韦达定理得到 ， ，结合 化简得到
， ，再构造函数 ，利用导数求得
的值域，即可求解.
【详解】（1）函数 的定义域为 ，又 ， ，
令 ，得 ，
当 时， 时， ，所以 在 单调递增；
当 时，方程 的 ，
①当 时， ，则 ，所以 在 单调递增；
②当 时， ，令 ，得 ， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 67当 时， ；当 时， ；
所以 在 上单调递减，
在 ， 上单调递增；
综上所述：
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，
在 ， 上单调递增；
（2）由（1）得，若 有两个极值点 ， ，
则 ，且 ， ，即 ， ；
故
， ，
令 ，
则 ，所以 在 上单调递减；
即 ，故 ，
综上所述： 的取值范围为： .
【点睛】关键点睛：破解含双参不等式证明题的3个关键点
（1）转化：即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；
（2）巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值或值域；
（3）回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.
12．已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 在定义域内有两个极值点 ，求证： .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 68【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析
【分析】（1）求导，分类讨论 的值，由导数得出单调性；
（2）由极值点的性质以及韦达定理得出 ，构造函数，利用导数证明不等式.
【详解】（1）由题意得： 的定义域为 ，
令 ， ，当 ，即 时， 恒成立，
即： ， 在 上单调递减，
当 ，即 时，
令 ，解得： ，
当 时， ，即 ；当 时， ，即 ，
在 上单调递减；在 上单调递增，
（2） 在定义域上有两个极值点
由（1）知 且 是方程 的两个不等实根，
则 ，
，
设 ，则 ，
， ， ，则 在 上为减函数，
，则 成立.
【点睛】关键点睛：在问题二中，关键在于由极值点的性质结合韦达定理将双变量问题，转化为单变量问
题，从而由导数证明不等式.
13．已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)设函数 ，若 恒成立，求 的最大值；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 69(3)已知 ，证明： .
【答案】(1)递减区间为 ，递增区间为 ；(2) (3)证明见解析
【分析】（1）求导函数，解导数不等式既得单调区间；
（2）利用导数研究含的单调性，找到函数的极值点，从而得到最小值，然后利用导数研究最值函数的范
围即可求解；
（3）由（1）可得 ，变形得 .借助数列的裂项求和的方法
和对数的运算性质即可证明.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
当 ， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增.
所以 单调递减区间为 ，单调递增为 ；
（2） ，则 ，
所以 ，所以 在 上单调递增，
又 ， ，
故存在唯一的实数 ，使得 即 成立.
故 时 ； 时 .
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 ，
其中 ，令 ， ，
因为 ， ，
所以 在 上单调递减，所以 即 ，
故 ，故所求 的最大值为
（3）由（1）可得 ，则 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 70可得 ，即 ，即 ，
令 ，所以 ，所以 ，即 ，
所以 ， ，
令 ，则 ，且 不恒为零，
所以，函数 在 上单调递增，故 ，则 ，
所以 ， ，
所以
.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：
（1）构造差函数，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不
等式；
（2）根据条件，寻找目标函数，一般思路为利用条件将所求问题转化为对应项之间大小关系，或利用放
缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
【真题感知】
1．（2023年全国甲卷理数）已知函数
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；(2)
【分析】（1）求导,然后令 ,讨论导数的符号即可;
（2）构造 ,计算 的最大值,然后与0比较大小,得出 的分界点,再对 讨论即可.
【详解】（1）
令 ,则
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 71则
当
当 ,即 .
当 ,即 .
所以 在 上单调递增,在 上单调递减
（2）设
设
所以 .
若 ,
即 在 上单调递减,所以 .
所以当 ,符合题意.
若
当 ,所以 .
.
所以 ,使得 ,即 ,使得 .
当 ,即当 单调递增.
所以当 ,不合题意.
综上, 的取值范围为 .
【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性 在定义域内是减函数,若 ,当
,对应当 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 722．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 ，求 的取值范围．
【答案】(1) 在 上单调递减；(2)
【分析】（1）代入 后，再对 求导，同时利用三角函数的平方关系化简 ，再利用换元法判
断得其分子与分母的正负情况，从而得解；
（2）法一：构造函数 ，从而得到 ，注意到 ，从而得到 ，进而
得到 ，再分类讨论 与 两种情况即可得解；
法二：先化简并判断得 恒成立，再分类讨论 ， 与 三种情况，利用零点存在
定理与隐零点的知识判断得 时不满足题意，从而得解.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
则
，
令 ，由于 ，所以 ，
所以 ，
因为 ， ， ，
所以 在 上恒成立，
所以 在 上单调递减.
（2）法一：
构建 ，
则 ，
若 ，且 ，
则 ，解得 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 73当 时，因为 ，
又 ，所以 ， ，则 ，
所以 ，满足题意；
当 时，由于 ，显然 ，
所以 ，满足题意；
综上所述：若 ，等价于 ，
所以 的取值范围为 .
法二：
因为 ，
因为 ，所以 ， ，
故 在 上恒成立，
所以当 时， ，满足题意；
当 时，由于 ，显然 ，
所以 ，满足题意；
当 时，因为 ，
令 ，则 ，
注意到 ，
若 ， ，则 在 上单调递增，
注意到 ，所以 ，即 ，不满足题意；
若 ， ，则 ，
所以在 上最靠近 处必存在零点 ，使得 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 74此时 在 上有 ，所以 在 上单调递增，
则在 上有 ，即 ，不满足题意；
综上： .
【点睛】关键点睛：本题方法二第2小问讨论 这种情况的关键是，注意到 ，从而分类讨论
在 上的正负情况，得到总存在靠近 处的一个区间，使得 ，从而推得存在
，由此得解.
3．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线 关于直线 对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若 在 存在极值，求a的取值范围.
【答案】(1) ；(2)存在 满足题意，理由见解析；(3) .
【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求
解切线方程即可；
(2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数 的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可
得关于实数 的方程，解方程可得实数 的值，最后检验所得的 是否正确即可；
(3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数 ，然后对函数求导，
利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论 ， 和 三中情况即可求得实数 的取值范围.
【详解】（1）当 时， ，
则 ，
据此可得 ，
函数在 处的切线方程为 ，
即 .
（2）由函数的解析式可得 ，
函数的定义域满足 ，即函数的定义域为 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 75定义域关于直线 对称，由题意可得 ，
由对称性可知 ，
取 可得 ，
即 ，则 ，解得 ，
经检验 满足题意，故 .
即存在 满足题意.
（3）由函数的解析式可得 ，
由 在区间 存在极值点，则 在区间 上存在变号零点;
令 ，
则 ，
令 ，
在区间 存在极值点，等价于 在区间 上存在变号零点，
当 时， ， 在区间 上单调递减，
此时 ， 在区间 上无零点，不合题意;
当 ， 时，由于 ，所以 在区间 上单调递增，
所以 ， 在区间 上单调递增， ，
所以 在区间 上无零点，不符合题意；
当 时，由 可得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 76故 的最小值为 ，
令 ，则 ，
函数 在定义域内单调递增， ，
据此可得 恒成立，
则 ，
令 ，则 ，
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
故 ，即 (取等条件为 )，
所以 ，
，且注意到 ，
根据零点存在性定理可知: 在区间 上存在唯一零点 .
当 时， ， 单调减，
当 时， ， 单调递增，
所以 .
令 ，则 ，
则函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 ，
所以
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 77，
所以函数 在区间 上存在变号零点，符合题意.
综合上面可知:实数 得取值范围是 .
【点睛】(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等
函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
(2)根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利
用待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.
4．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程．
(2)若函数 在 单调递增，求 的取值范围．
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最
后求解切线方程即可；
（2）原问题即 在区间 上恒成立，整理变形可得 在区间
上恒成立，然后分类讨论 三种情况即可求得实数 的取值范围.
【详解】（1）当 时， ，
则 ，
据此可得 ，
所以函数在 处的切线方程为 ，即 .
（2）由函数的解析式可得 ，
满足题意时 在区间 上恒成立.
令 ，则 ，
令 ，原问题等价于 在区间 上恒成立，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 78则 ，
当 时，由于 ，故 ， 在区间 上单调递减，
此时 ，不合题意;
令 ，则 ，
当 ， 时，由于 ，所以 在区间 上单调递增，
即 在区间 上单调递增，
所以 ， 在区间 上单调递增， ，满足题意.
当 时，由 可得 ，
当 时， 在区间 上单调递减，即 单调递减，
注意到 ，故当 时， ， 单调递减，
由于 ，故当 时， ，不合题意.
综上可知：实数 得取值范围是 .
【点睛】方法点睛：
（1）求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数
的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
（2）由函数的单调性求参数的取值范围的方法
①函数在区间 上单调，实际上就是在该区间上 (或 )恒成立．
②函数在区间 上存在单调区间，实际上就是 (或 )在该区间上存在解集．
5．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， ．
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析
【分析】（1）先求导，再分类讨论 与 两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；
（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为 的恒成立问题，构造函数
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 79，利用导数证得 即可.
方法二：构造函数 ，证得 ，从而得到 ，进而将问题转化为
的恒成立问题，由此得证.
【详解】（1）因为 ，定义域为 ，所以 ，
当 时，由于 ，则 ，故 恒成立，
所以 在 上单调递减；
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ，则 在 上单调递减；
当 时， ，则 在 上单调递增；
综上：当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递增.
（2）方法一：
由（1）得， ，
要证 ，即证 ，即证 恒成立，
令 ，则 ，
令 ，则 ；令 ，则 ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，则 恒成立，
所以当 时， 恒成立，证毕.
方法二：
令 ，则 ，
由于 在 上单调递增，所以 在 上单调递增，
又 ，
所以当 时， ；当 时， ；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 80所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，
因为 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以要证 ，即证 ，即证 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ；令 ，则 ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，则 恒成立，
所以当 时， 恒成立，证毕.
6．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）（1）证明：当 时， ；
（2）已知函数 ，若 是 的极大值点，求a的取值范围．
【答案】（1）证明见详解（2）
【分析】（1）分别构建 ， ，求导，利用导数判断原函
数的单调性，进而可得结果；
（2）根据题意结合偶函数的性质可知只需要研究 在 上的单调性，求导，分类讨论 和
，结合（1）中的结论放缩，根据极大值的定义分析求解.
【详解】（1）构建 ，则 对 恒成立，
则 在 上单调递增，可得 ，
所以 ；
构建 ，
则 ，
构建 ，则 对 恒成立，
则 在 上单调递增，可得 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 81即 对 恒成立，
则 在 上单调递增，可得 ，
所以 ；
综上所述： .
（2）令 ，解得 ，即函数 的定义域为 ，
若 ，则 ，
因为 在定义域内单调递减， 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 是 的极小值点，不合题意，所以 .
当 时，令
因为 ，
且 ，
所以函数 在定义域内为偶函数，
由题意可得： ，
（i）当 时，取 ， ，则 ，
由（1）可得 ，
且 ，
所以 ，
即当 时， ，则 在 上单调递增，
结合偶函数的对称性可知： 在 上单调递减，
所以 是 的极小值点，不合题意；
（ⅱ）当 时，取 ，则 ，
由（1）可得 ，
构建 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 82则 ，
且 ，则 对 恒成立，
可知 在 上单调递增，且 ，
所以 在 内存在唯一的零点 ，
当 时，则 ，且 ，
则 ，
即当 时， ，则 在 上单调递减，
结合偶函数的对称性可知： 在 上单调递增，
所以 是 的极大值点，符合题意；
综上所述： ，即 ，解得 或 ，
故a的取值范围为 .
【点睛】关键点睛：
1.当 时，利用 ，换元放缩；
2.当 时，利用 ，换元放缩.
7．（2023年北京高考数学真题）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为
．
(1)求 的值；
(2)设函数 ，求 的单调区间；
(3)求 的极值点个数．
【答案】(1) ；(2)答案见解析；(3)3个
【分析】（1）先对 求导，利用导数的几何意义得到 ， ，从而得到关于 的方程组，
解之即可；
（2）由（1）得 的解析式，从而求得 ，利用数轴穿根法求得 与 的解，由此求
得 的单调区间；
（3）结合（2）中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间 ， ， 与 上
的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得 的极值点个数.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 83【详解】（1）因为 ，所以 ，
因为 在 处的切线方程为 ，
所以 ， ，
则 ，解得 ，
所以 .
（2）由（1）得 ，
则 ，
令 ，解得 ，不妨设 ， ，则 ，
易知 恒成立，
所以令 ，解得 或 ；令 ，解得 或 ；
所以 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，
即 的单调递减区间为 和 ，单调递增区间为 和 .
（3）由（1）得 ， ，
由（2）知 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，
当 时， ， ，即
所以 在 上存在唯一零点，不妨设为 ，则 ，
此时，当 时， ，则 单调递减；当 时， ，则 单调递增；
所以 在 上有一个极小值点；
当 时， 在 上单调递减，
则 ，故 ，
所以 在 上存在唯一零点，不妨设为 ，则 ，
此时，当 时， ，则 单调递增；当 时， ，则 单调递减；
所以 在 上有一个极大值点；
当 时， 在 上单调递增，
则 ，故 ，
所以 在 上存在唯一零点，不妨设为 ，则 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 84此时，当 时， ，则 单调递减；当 时， ，则 单调递增；
所以 在 上有一个极小值点；
当 时， ，
所以 ，则 单调递增，
所以 在 上无极值点；
综上： 在 和 上各有一个极小值点，在 上有一个极大值点，共有 个极值点.
【点睛】关键点睛：本题第3小题的解题关键是判断 与 的正负情况，充分利用 的单调
性，寻找特殊点判断即可得解.
8．（2023年新高考天津数学高考真题）已知函数 ．
(1)求曲线 在 处切线的斜率；
(2)当 时，证明： ；
(3)证明： ．
【答案】(1) ；(2)证明见解析；(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义求斜率；
（2）问题化为 时 ，构造 ，利用导数研究单调性，即可证结论；
（3）构造 ， ，作差法研究函数单调性可得 ，再构造
且 ，应用导数研究其单调性得到 恒成立，对
作放缩处理，结合累加得到 ，即可证结论.
【详解】（1） ，则 ，
所以 ，故 处的切线斜率为 ；
（2）要证 时 ，即证 ，
令 且 ，则 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 85所以 在 上递增，则 ，即 .
所以 时 .
（3）设 ， ，
则 ，
由（2）知： ，则 ，
所以 ，故 在 上递减，故 ；
下证 ，
令 且 ，则 ，
当 时 ， 递增，当 时 ， 递减，
所以 ，故在 上 恒成立，
则 ，
所以 ， ，…， ，
累加得： ，而 ，
因为 ，所以 ，
则 ，
所以 ，故 ；
综上， ，即 .
【点睛】关键点点睛：第三问，作差法研究 单调性证右侧不等关系，再构造
且 ，导数研究其函数符号得 恒成立，结合放缩、累加得到
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 86为关键.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 87
