文档内容
重难点 04 函数的奇偶性（7 种考法）
【目录】
考法1：函数奇偶性的定义与判断
考法2：由奇偶性求函数解析式
考法3：函数奇偶性的应用
考法4：抽象函数的奇偶性
考法5：由奇偶性求参数
考法6：由函数奇偶性解不等式
考法7：奇偶函数对称性的应用
二、命题规律与备考策略
一、奇函数
解题方法点拨：
①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③已知奇函数大于 0的部分的函数表达式，求它的小于 0的函数表达式，如奇函数f
（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x
那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x f（x）＝﹣
x2+x
⇒
命题方向：
奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题
方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式．
二、偶函数
解题方法点拨：
①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？
②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f
（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．
命题方向：
与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查
对偶函数性质的灵活运用．
三．函数奇偶性的性质与判断
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
学科网（北京）股份有限公司③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
【命题方向】函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，
确保答题的正确率．
四．奇偶函数图象的对称性
【解题方法点拨】
由函数图象的对称性可知：①奇函数的定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函
数的单调性相反．
eg：若奇函数f（x）在区间[1，3]内单调递增，且有最大值和最小值，分别是7和4，求
函数f（x）在区间[﹣3，﹣1]内的最值．
解：由奇函数的性质可知，f（x）在[﹣3，﹣1]上位单调递增函数，
那么最小值为f（﹣3）＝﹣f（3）＝﹣7；最大值为f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣4
【命题方向】
本知识点是高考的一个重点，同学首先要熟悉奇偶函数的性质并灵活运用，然后要多多总
结，特别是偶函数与周期性相结合的试题，现在的一个命题方式是已知周期偶函数某一小
段内与x轴交点的个数，求在更大范围内它与x轴的交点个数，同学们务必多多留意．
五．奇偶性与单调性的综合
【解题方法点拨】
参照奇偶函数的性质那一考点，有：
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反
【命题方向】奇偶性与单调性的综合．
不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总
结，一定要重视这一个知识点．
六．抽象函数及其应用
【解题方法点拨】
①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它
的原型就是y＝kx；
②可通过赋特殊值法使问题得以解决
例：f（xy）＝f（x）+f（y），求证f（1）＝f（﹣1）＝0
令x＝y＝1，则f（1）＝2f（1）⇒f（1）＝0
令x＝y＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0
③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的奇偶性；
【命题方向】抽象函数及其应用．
抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种．高考
学科网（北京）股份有限公司中一般以中档题和小题为主，要引起重视．
三、题型方法
考法1：函数奇偶性的定义与判断
一、单选题
1．（2023·广西·校联考模拟预测）果树的负载量，是影响果树产量和质量的重要因素.苹果
树结果期的负载量y（单位：kg）与干周x（树干横截面周长，单位：cm）可用模型
模拟，其中 ， ， 均是常数.则下列最符合实际情况的是（ ）
A． 时，y是偶函数 B．模型函数的图象是中心对称图形
C．若 ， 均是正数，则y有最大值 D．苹果树负载量的最小值是
2．（2023·河南新乡·统考三模）函数 的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·北京丰台·统考二模）已知函数 ， 是 的导函数，则下列
结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若 ，则
D．若 ，则
4．（2023·新疆乌鲁木齐·统考二模）已知x， ，且 ，则
（ ）
A．0 B． C．1 D．
二、多选题
学科网（北京）股份有限公司5．（2023·江苏·统考二模）已知函数 ，则（ ）
A． 是偶函数，也是周期函数 B． 的最大值为
C． 的图像关于直线 对称 D． 在 上单调递增
6．（2023·湖南长沙·长郡中学校考一模）已知函数 ，则下列说法正确的有
（ ）
A． 是偶函数
B． 是周期函数
C．在区间 上， 有且只有一个极值点
D．过 作y= 的切线，有无数条
三、填空题
7．（2023·安徽合肥·二模）若定义域为 的奇函数 满足 ，且
，则 ________．
8．（2023·江西上饶·统考二模）关于函数 ，有如下四个命题：
①函数 的图像关于 轴对称；
②函数 的图像关于直线 对称；
③函数 的最小正周期为 ；
④函数 的最小值为2．其中所有真命题的序号是_________________．
9．（2023·陕西渭南·统考二模）若函数 的关系式由方程 确定.
则下述命题中所有真命题的序号为_____________.
①函数 是减函数；
②函数 是奇函数；
③函数 的值域为
④方程 无实数根：
⑤函数 的图像是轴对称图形.
四、解答题
10．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知函数 满足
．
学科网（北京）股份有限公司(1)讨论 的奇偶性；
(2)设函数 ，求证： ．
考法2：由奇偶性求函数解析式
一、单选题
1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数 是偶函数，当 时， ．
若曲线 在点 处的切线方程为 ，则实数a的值为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
2．（2023·江苏南通·二模）已知函数 的定义域为 ， 是偶函数，
是奇函数，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）若函数 的图象关于原点对称，
且 ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
4．（2023·宁夏中卫·统考二模）设 是定义在R上的函数，若 是奇函数，
是偶函数，函数 ，则下列说法正确的个数有（ ）
（1）当 时，
（2）
（3）若 ，则实数 的最小值为
（4）若 有三个零点，则实数
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
学科网（北京）股份有限公司5．（2021·全国·统考高考真题）设函数 的定义域为R， 为奇函数，
为偶函数，当 时， ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2023·北京朝阳·二模）已知函数 是 上的奇函数，当 时， .若
关于x的方程 有且仅有两个不相等的实数解则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数 是定义在R上的奇函
数，当 时， ，则（ ）
A．当 时， B． ，都有
C． 的解集为 D． 的单调递增区间是 ，
8．（2023·江苏·二模）已知定义域为R的奇函数 ，当 时，
,下列叙述正确的是（ ）
A．存在实数k，使关于x的方程 有7个不相等的实数根
B．当 时，有
C．当 时， 的最小值为1，则
D．若关于x的方程 和 的所有实数根之和为零，则
三、填空题
9．（2023·广东湛江·统考二模）已知奇函数 则 __________．
10．（2023·全国·模拟预测）已知函数 是定义在 上的奇函数，且在定义域内有且只
有三个零点，则 可能是______．（本题答案不唯一）
四、双空题
11．（2023·河南·校联考模拟预测）已知 是定义R在上的奇函数，当 时，
，当 时， ，则 ________；若方程
学科网（北京）股份有限公司有两个不同的实数根，则a的取值范围是________．
12．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知定义在 上的奇函数 满足 ，
且当 时， ，则当 时， ___________；若对
都有 ，则实数 的取值范围为___________.
五、解答题
13．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）若函数
为奇函数，且在 上单调递增，在 上单调递减．
(1)求函数 的解析式；
(2)若过点 可作曲线 的三条切线，求实数 的取值范围．
考法3：函数奇偶性的应用
一、单选题
1．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考二模）已知函数 ，记等差
数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A． B． C．2023 D．4046
2．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）已知 是定义在 上的奇函数，若 为偶
函数且 ，则 （ ）
A． B．0 C．2 D．4
3．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）已知函数 及其导函数 定义域均为R，
记函数 ，若函数 的图象关于点(3，0)中心对称， 为偶函数，且
， ，则 （ ）
A．672 B．674 C．676 D．678
4．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知函数 满足 ，且 是
学科网（北京）股份有限公司偶函数，当 时， ，则 （ ）
A． B．3 C． D．
5．（2022·天津·统考高考真题）函数 的图像为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域为R，且
，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
二、多选题
7．（2023·山东菏泽·山东省东明县第一中学校联考模拟预测）已知函数 的定义域为
R， 为奇函数，且对 ， 恒成立，则（ ）
A． 为奇函数 B． C． D．
8．（2023·海南海口·校联考模拟预测）已知定义在 上的函数 是奇函数，函数
为偶函数，当 时， ，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．（2023·上海松江·统考二模）已知函数 为 上的奇函数；且 ，
学科网（北京）股份有限公司当 时， ，则 ______．
10．（2023·全国·模拟预测）已知函数 及其导函数 的定义域均为R，且满足
时， ．若不等式 在 上
恒成立，则a的取值范围是__________,
考法4：抽象函数的奇偶性
一、单选题
1．（2023·新疆乌鲁木齐·统考二模）已知 ， 都是定义在 上的函数，对任意x，
y满足 ，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．函数 的图象关于点 对称
C． D．若 ，则
2．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）已知函数 及其导函数 的定义域
均为 ，记 ．若 为奇函数， 为偶函数，且 ，
，则 （ ）
A．670 B．672 C．674 D．676
3．（2023·安徽淮南·统考二模）定义在 上的函数 满足 ，
当 时， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·广西玉林·统考三模）函数 对任意x， 总有 ，
当 时， ， ，则下列命题中正确的是（ ）
A． 是偶函数 B． 是R上的减函数
C． 在 上的最小值为 D．若 ，则实数x的取值
范围为
5．（2023·四川成都·成都实外校考模拟预测）已知定义在R上的函数 满足
学科网（北京）股份有限公司，且函数 是偶函数，当 时， ，则
（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·贵州黔西·校考一模）已知函数 是定义在 上的奇函数，且 的图象关
于 对称．若 ，则 （ ）
A．3 B．2 C．0 D．50
二、多选题
7．（2023·辽宁·辽宁实验中学校联考模拟预测）已知函数 的定义域为 ，
，且 ．当 时， ，则（ ）
A．
B． 是偶函数
C． 为增函数
D．当 ，且 ， 时，
8．（2023·山西太原·太原五中校考一模）已知定义域为 的函数 对任意实数 都有
，且 ，则以下结论一定正确的有（ ）
A． B． 是偶函数
C． 关于 中心对称 D．
9．（2023·重庆万州·重庆市万州第二高级中学校考模拟预测）已知函数 的定义域为
，对任意的 ，都有 ，且 ，当 时，
，则（ ）
A． 是偶函数
B．
C．当 ， 是锐角 的内角时，
学科网（北京）股份有限公司D．当 ，且 ， 时，
10．（2023·福建莆田·统考二模）已知函数 的定义域为R，且
为偶函数，则（ ）
A． B． 为偶函数
C． D．
11．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）已知函数 的定义域为 ， 为奇
函数，且对于任意 ，都有 ，则（ ）
A． B．
C． 为偶函数 D． 为奇函数
三、填空题
12．（2023·浙江台州·统考二模）若定义在 上的函数 满足： ，
，且 ，则满足上述条件的函数 可以为
___________.（写出一个即可）
13．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数 与 的定义域均为 ，
，且 为偶函数，则
___________．
考法5：由奇偶性求参数
一、单选题
1．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）若抛掷两枚骰子出现的点数分别为a，b，则在函数
的值域为R的条件下，满足“函数 为偶函数”的概率
为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·山东潍坊·校考模拟预测）若 为奇函数，则 的值为
（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．-1或1
学科网（北京）股份有限公司3．（2023·江西·统考模拟预测）已知函数 为 上的奇函数，且 ，
当 时， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·广东汕头·金山中学校考模拟预测）已知 是定义在R上的奇函数，当
时， ，若函数 是偶函数，则下列结论不正确的为
（ ）
A． B． 的最小正周期
C． 有4个零点 D．
二、多选题
5．（2023·河北张家口·统考二模）将函数 的图象向左平
移 个单位长度，得到函数 的图象，若 恒成立，则（ ）
A．函数 的最小正周期为
B．函数 的图象的对称中心为
C．函数 在 上的最小值为1，最大值为
D．函数 的极小值点为
三、双空题
6．（2022·全国·统考高考真题）若 是奇函数，则 _____，
______．
四、填空题
7．（2021·全国·统考高考真题）已知函数 是偶函数，则 ______.
8．（2023·辽宁·校联考二模）已知函数 是奇函数，则曲线 在
点 处的切线方程为______．
学科网（北京）股份有限公司五、解答题
9．（2023·云南昆明·云南省昆明市第十中学校考模拟预测）对于函数 .
(1)若 ，且 为奇函数，求a的值；
(2)若方程 恰有一个实根，求实数a的取值范围；
(3)设 ，若对任意 ，当 时，满足 ，求实数
a的取值范围．
考法6：由函数奇偶性解不等式
一、单选题
1．（2023·贵州遵义·校考模拟预测）已知函数 的定义域为R，其导函数为 ，若
，且当 时， ，则
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·四川成都·校考三模）已知函数 ,则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·广东广州·统考二模）已知偶函数 与其导函数 的定义域均为 ，且
也是偶函数，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
学科网（北京）股份有限公司4．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知 是定义在 上的奇函数，
，且 在 上单调递增，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知 是定义在 上的奇函数，
，若 ， 且 满足 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·重庆九龙坡·统考二模）已知偶函数 的定义域为 ，其导函数为
，当 时，有 成立，则关于x的不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·江西·统考模拟预测）定义在区间 上的可导函数 关于 轴对称，当
时， 恒成立，则不等式 的解集为
（ ）
AB
⊥¿¿
A． B． C． D．
8．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）已知函数 ，则
不等式 的解集为（ ）
A． B．
学科网（北京）股份有限公司C． D．
二、填空题
9．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知 是定义在 上的偶函数，且当 时，
，则满足 的x的取值范围是______________．
10．（2023·河南周口·统考模拟预测）已知函数 是定义在 上的偶函数， 在
上单调递减，且 ，则不等式 的解集为______.
考法7：奇偶函数对称性的应用
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）已知函数 的定义域为 ， ， 是
偶函数， ，则 （ ）
A．0 B．1 C．-1 D．2
2．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）设函数 在定义域 上满足 ，若
在 上是减函数，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·青海西宁·统考二模）已知图1对应的函数为 ，则图2对应的函数是
（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·陕西渭南·统考一模）已知函数 满足：①定义域为 ，② 为偶函数，
③ 为奇函数，④对任意的 ，且 ，都有
，则 的大小关系是（ ）
A． B．
学科网（北京）股份有限公司C． D．
5．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）设函数 定义域为 ， 为奇函数，
为偶函数，当 时， ，则下列结论错误的是（ ）
A． B． 为奇函数
C． 在 上是减函数 D．方程 仅有6个实数解
二、多选题
6．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ， 的定义域均为R， 是奇函数，
是偶函数，且 ， ，则（ ）．
A． 为奇函数 B．4为 的一个周期
C． D．
三、填空题
7．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）某函数 满足以下三个条件：
① 是偶函数；② ；③ 的最大值为4．
请写出一个满足上述条件的函数 的解析式______．
学科网（北京）股份有限公司
