文档内容
考点巩固卷 68 带电粒子在复合场中的运动
建议用时：50分钟
考点序号 考点 题型分布
考点1 带电粒子在电磁组合场中的运动 3单选+5多选+2解答
考点2 带电粒子在复合场（电磁+重力）中的运动 2单选+3多选+3解答
考点01：带电粒子在电磁组合场中的运动（3单选+5多选+2解答）
一、单选题
1．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）如图所示，在 的区域存在方向沿 轴正方向的匀强电场，场强大小
为 ，在 的区域存在方向垂直于 平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 。一个带负电的粒子
（重力不计）从 轴上的A点以大小为 的初速度沿 轴正方向射出，粒子在电场和磁场中运动后回到A
点。则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】设粒子类平抛的分运动匀速运动的位移为y，离开电场时瞬时速度与y轴的夹角 ，则有
粒子做圆周运动的半径为R，由几何关系可得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】联立可得
故选B。
2．（2023·山东日照·统考三模）如图所示，三个同心圆 、 、 的半径分别为 、 、 ，在圆 区
域内存在垂直纸面向外的匀强磁场 。在圆 和圆 间的环形区域存在背向圆心的辐向电场，在圆 和圆
间的环形区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为 。一质量为 、电荷量为 的粒子，
从圆 边界上的A点沿半径方向以速度 射入圆 内，第一次从圆 边界射出时速度方向偏转 ，经过辐
向电场加速后，从圆 边界上进入外环区域，粒子恰好不会从圆 飞离磁场。已知磁感应强度 ，
不计粒子的重力。则（ ）
A．圆 区域内匀强磁场的磁感应强度 大小为
B．圆 与圆 两边界间辐向电场的电势差为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C．粒子从电场回到入射点A，在磁场中运动的最短时间为
D．粒子从电场回到入射点A，在磁场中运动的最短时间为
【答案】B
【详解】A．如图
根据
由几何关系得，半径
联立解得
故A错误；
B．如图
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】根据几何关系，在圆 和圆 间的环形区域的匀强磁场偏转半径
又
联立解得
U=
故B正确；
CD．粒子运动轨迹如图
粒子圆 区域内匀强磁场运动的周期
粒子从电场回到入射点A，在磁场中运动的最短时间为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故CD错误。
故选B。
3．（2023·山东潍坊·统考三模）如图所示，在 轴下方宽度为 的区域中， 的区域有沿 轴正
方向的匀强电场，场强 ， 的区域无电场。在 和 的区域内存在垂直纸面
向里的匀强磁场，磁感应强度 。一比荷 的带正电粒子从 点由静止
释放，不计粒子重力，以下判断正确的是（ ）
A．粒子第一次经过 轴时速度大小为
B．粒子第三次经过 轴时速度方向与 轴垂直
C．粒子第三次经过 轴时的位置坐标为
D．粒子从开始释放到第五次经过 轴所用的时间为
【答案】D
【详解】A．粒子从M点由静止释放经过电场加速到第一次经过 轴过程中有
得
故A错误；
BC．根据题意画出粒子的运动轨迹如图所示
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设粒子经过电场加速一次后在磁场中的运动半径r，由洛伦兹力提供向心力得
1
得
同理可知，粒子经过电场加速两次后在磁场中的运动半径
由图可知，粒子第三次经过 轴时速度方向与 轴不垂直，粒子第三次经过 轴时的位置坐标不为
，故BC错误；
D．粒子在磁场中运动的周期为
粒子在电场中第一次加速的时间为
粒子在电场中第二次加速的时间为
粒子在无电场和磁场区域做匀速直线运动时间分别为
、
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则粒子从开始释放到第五次经过 轴所用的时间为
故D正确。
故选D。
二、多选题
4．（2023·河南开封·统考三模）如图所示，MN是半径为R的圆形磁场区域的直径，MN上方存在方向垂
直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，MN下方存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应
强度大小为2B。在M点有一质量为m、电荷量为+q（q＞0）的离子源，离子从N点射出时的速度大小不
同，但方向均与磁场方向垂直且与MN成30°角。不计离子重力及离子间的相互作用，则从N点射出磁场
的离子速度可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【详解】根据洛伦兹力提供向心力
离子在MN上方运动的半径为
离子在MN下方运动的半径为
若离子从MN上方通过N点有
解得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即
……
若离子从MN下方通过N点有
解得
即
……
AB正确，CD错误。
故选AB。
5．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）现代科学仪器中常利用电、磁场控制带电粒子的运动，如图甲所示，
纸面内存在上、下宽度均为L的匀强电场与匀强磁场，匀强电场竖直向下，匀强磁场垂直纸面向里，磁感
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】应强度大小为B．现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力）从电场的上边界的a点由静止
释放，运动到磁场的下边界的b点时正好与下边界相切．若把电场下移至磁场所在区域，如图乙所示，重
新让粒子从上边界c点由静止释放，经过一段时间粒子第一次到达最低点d，下列说法正确的是（ ）
A．匀强电场的场强大小为
B．a、b两点之间的距离为
C．粒子在d点的速度大小为
D．粒子从c点到d点的竖直位移为
【答案】BC
【详解】A．设粒子在磁场中的速率为 ，半径为 ，由动能定理可得
由洛伦兹力充当向心力可得
由几何关系可得 ，综合解得
故A错误；
B．由几何关系可得粒子从 到 的位移为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故B正确；
CD．把粒子从 到 的过程中的平均速度分别沿着水平方向和竖直方向分解，设两个平均分速度分别为
，把粒子受到的洛伦兹力分别沿水平方向和竖直方向分解，根据左手定则，两个分洛伦兹力分别为
设粒子在最低点 的速度为 ，水平方向由动量定理可得
由动能定理可得
结合
综合解得
故C正确，D错误。
故选BC。
6．（2023·湖北·模拟预测）如图所示，在xOy坐标系中，以（r，0）为圆心、r为半径的圆形区域内存在
方向垂直于纸面向里的匀强磁场。在 的足够大的区域内，存在沿y轴负方向的匀强电场。在xOy平面
内，从O点以相同速率、沿不同方向向第一象限发射质子，且质子在磁场中运动的半径也为r。不计质子
所受重力及质子间的相互作用力。则质子（ ）
A．在电场中运动的路程均相等
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】B．最终都从磁场边界与x轴的交点C处平行于发射速度方向离开磁场
C．在磁场中运动的总时间均相等
D．从进入磁场到最后离开磁场过程的总路程均相等
【答案】ABC
【详解】当质子沿与x轴正方向成夹角 的方向从第一象限射入磁场时，设质子将从A点射出磁场，如图
所示
其中O、O 分别为磁场区域圆和质子轨迹圆的圆心。由于轨迹圆的半径等于磁场区域圆的半径，所以
1 2
OO AO 为菱形，即AO 平行x轴，说明质子以平行y轴的速度离开磁场，也以沿y轴负方向的速度再次进
1 2 2
入磁场，则有
所以质子第一次在磁场中运动的时间
此后质子轨迹圆的半径依然等于磁场区域圆的半径，设质子将从C点再次射出磁场。如上图所示，其中
O、O 分别为磁场区域圆和质子轨迹圆的圆心，AO 平行x轴。由于OAOC为菱形，即CO 平行AO，即
1 3 3 1 3 1 3
平行x轴，说明C就是磁场区域圆与x轴的交点。这个结论与 无关。所以OO OC为平行四边形，则
2 3
质子第二次在磁场中运动的时间
则质子在磁场中运动的总时间
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故质子在磁场中运动的总时间为 。
A．进入电场的速度和方向相同，故在电场中的运动路程相同，A
正确；
B．最终都从磁场边界与 轴的交点C处离开磁场时的速度方向与OC垂直，平行于发射速度方向离开磁
3
场；B正确；
C．在磁场中运动的总时间均相等，为 ，C正确；
D．从不同位置第一次离开磁场时，在非场区的运动路程显然不同；在而磁场中总的圆心角相同，则在电
场和磁场中的路程相同，故总路程不同；D错误。
7．（2023·湖北·模拟预测）如图甲所示，两平行金属板与电路连接，电路中的电压与时间关系如图乙所示。
图甲中板长 ，板间距离 ，在金属板右侧有一足够大的匀强磁场区域，磁感应强度
，方向垂直纸面向里。磁场边界MN恰好与金属板边缘相接，MN与两板中线 垂直。现从
O点连续发射速率均为 ，比荷 的带正电的粒子流，粒子的重力忽略不计，粒子速
度很大，通过电场区域时电场可看成是恒定不变的，下列说法正确的是（ ）
A．不同时刻从电场射出的带电粒子，在MN上的入射点和出射点间的距离相等
B．不同时刻从电场射出的带电粒子，在MN上的入射点和出射点间的距离不相等
C．不同时刻从电场射出的带电粒子，离开电场时的最大速度为
D．不同时刻从电场射出的带电粒子，在磁场中运动的最长时间为
【答案】AD
【详解】AB．粒子轨迹如下图
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设粒子进入磁场时速度方向与 的夹角为 ，则速度大小
粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径
粒子从磁场中飞出的位置与进入磁场的位置之间的距离
代入数据解得
s与 无关，即射出电场的任何一个带电粒子进入磁场的入射点与出射点间距离恒为定值。故A正确，B错
误；
CD．设两板间电压为 时，带电粒子刚好从极板边缘射出电场，粒子轨迹如下图
故有
代入数据解得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在电压低于100V时，带电粒子才能从两板间射出，电压高于100V时，带电粒子打在极板上，不能从两板
间射出。粒子刚好从极板边缘射出电场时，速度最大，设最大速度为 ，则有
解得
设此时出射方向与 之间的夹角为 ，则
故
当粒子从下板边缘飞出电场再进入磁场时，在磁场中运动时间最长，此时轨迹对应的圆心角为 ，对应
的运动时间为
故C错误，D正确。
故选AD。
8．（2023·辽宁沈阳·统考三模）如图所示，在xOy平面内存在着磁感应强度大小为B的匀强磁场，第一、
二、四象限内的磁场方向垂直纸面向外，第三象限内的磁场方向垂直纸面向里。 、 为坐
标轴上的两个点。现有一电量大小为q、质量为m的带正电粒子（不计重力），以与x轴正向成45°角从P
点射出，恰好经原点O到达Q点，则下列对PQ段运动描述正确的是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．粒子运动的最短时间为
B．粒子运动的总路程可能为
C．粒子在Q点速度方向与y轴正向的夹角可能为45°
D．粒子从P到O的时间与从O到Q的时间之比可能为1：3
【答案】BCD
【详解】C．若粒子从P点出发恰好经原点O到达Q点，运动轨迹可能如图所示：
或
第一种情况粒子在Q点速度方向与y轴负向的夹角为45°；第二种情况粒子在Q点速度方向与y轴正向的
夹角为45°，选项C正确；
A．根据粒子的运动轨迹图可知第一种情况粒子运动的时间最短，为
选项A错误；
B．第一种情况粒子运动的总路程
第二种情况粒子运动的总路程粒子运动的总路程
选项B正确；
D．根据粒子的运动轨迹图可知第一种情况粒子从P到O的时间与从O到Q的时间之比为1∶1；
第二种情况粒子从P到O的时间为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】粒子与从O到Q的时间为
因此第二种情况粒子从P到O的时间与从O到Q的时间之比为
选项D正确。
故选BCD。
三、解答题
9．（2023·河南开封·统考一模）光滑水平桌面上 和 之间存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向
垂直于桌面向上，如图所示（俯视图）， 和 之间的夹角为 ，一带电小球的质量为m，电荷量为
q，沿纸面以大小为 的速度从 的某点Q向左上方射入磁场，速度方向与 成 角。已知带电小球
在磁场中的运动轨迹与 恰好相切，且带电小球能从 上另一点P射出磁场。（P点未画出）
（1）带电小球离开磁场的出射点P到O点的距离s多大？
（2）若在 与 之间加上水平方向的匀强电场，带电小球离开磁场后在该电场中继续运动，恰能从Q
点以与第一次相同的速度射入磁场，求匀强电场的场强？
【答案】（1） ；（2） ，方向垂直于 向上
【详解】（1）设小球做圆周运动的半径为R，由洛伦兹力提供向心力得
由题知小球必沿顺时针方向作圆周运动，由几何关系可得，小球到达 时速度必沿水平方向向左，
间距
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故
（2）小球从P到Q运动的过程中，加速度不变．小球在 方向做匀速直线运动，所以电场E必垂直于
方向向上。由几何关系知： 距离为R，则
①
在垂直 方向上
②
其中
③
①②③联立得
方向垂直于 向上。
10．（2023·江苏扬州·扬州市新华中学校考一模）如图所示，第一象限内存在垂直于纸面向里的匀强磁场；
第四象限内存在沿 轴的匀强电场，场强大小为 。 时刻，粒子从P点以速度v 平行 轴射
0
入电场，第1次通过x轴从Q点进入磁场。已知P点坐标为（0， ），粒子质量为m、电荷量为+q，重
力不计。
（1）求粒子经过Q点的速度v；
（2）欲使粒子不从y轴射出磁场，求磁感应强度的最小值B ；
m
（3）若磁感应强度 ，求粒子第5次通过x轴的位置x和时间t。
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】（1） ，与 轴正方向的夹角为 ；（2） ；（3） ，
【详解】（1）解析：粒子从P到Q做类平抛运动，轨迹如图所示，根据动能定理
解得
根据几何关系
解得
（2）Q点到O点的距离
粒子进入磁场做匀速圆周运动，轨道半径为R，根据牛顿第二定律
欲使粒子不从y轴射出磁场，临近状态如图所示
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】根据几何关系
解得
解得
（3）粒子进入磁场做匀速圆周运动，轨迹为 圆周，轨道半径
返回电场后做类斜抛运动，运动轨迹如图所示
第5次通过x轴时
粒子在电场中的运动时间
粒子在磁场中的运动时间
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解得
考点02：带电粒子在复合场（电磁+重力）中的运动（2单选+3多选+3解答）
一、单选题
1．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）如图所示，某竖直平面内存在着相互正交的匀强电场和匀强
磁场，电场方向水平向左，磁场方向水平向外．一质量为 、电荷量为 的微粒以速度 与水平方向成
角从 点射入该区域，微粒恰好沿速度方向做直线运动，下列说法中正确的是（ ）
A．微粒从 到 的运动可能是匀减速直线运动
B．该微粒一定带正电荷
C．该磁场的磁感应强度大小为
D．该电场的场强为
【答案】C
【详解】AB．若微粒带正电 ，它受竖直向下的重力 、向左的电场力 和右斜向下的洛伦兹力 ，
知微粒不能做直线运动．据此可知微粒一定带负电 ，它受竖直向下的重力 、向右的电场力 和左斜
向上的洛伦兹力 ，又知微粒恰好沿着直线运动，可知微粒一定做匀速直线运动，故AB错误；
CD．由平衡条件有关系
得磁场的磁感应强度
电场的场强
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故C正确，D错误。
故选C。
2．（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）如图所示，一轨道由半径为 的四分之一竖直圆弧轨道AB
和长度可以调节的水平直轨道BC在B点平滑连接而成。现有一质量为0.5kg的带正电小球从A点无初速释
放，经过圆弧上的B点时，传感器测得轨道所受压力大小为7.5N，小球经过BC段所受阻力为其重力的0.2
倍，然后从C点水平飞离轨道，落到水平面上的P点，P、C两点间的高度差为3.2m。g取 ，不计
空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．小球沿圆弧面下滑过程中，机械能守恒
B．若施加一垂直轨道面向里的磁场，洛伦兹力不做功，小球经过B点的速度不变
C．若将小球放在B点，对其施加一方向始终与速度方向相同的拉力F，把小球沿圆弧轨道拉到A点，
则F至少做功为15.75J
D．仅调节BC的长度，可以使小球落地点P到B点的水平距离为2.5m
【答案】D
【详解】A．小球在B点受到的重力与支持力的合力提供向心力，则有
解得
A至B过程中，由动能定理
解得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】J
故机械能不守恒，故A错误；
B．当施加磁场后，洛伦兹力不做功，但是小球与轨道的挤压力会减小，克服摩擦力做功会减少，故B点
速度增大，故B错误；
C．小球沿圆弧轨道缓慢拉到A点的过程，相对于从A下滑到B过程，速度小，向心力小，正压力小，克
服摩擦力做功小于6.75J，而克服重力做功9J，则F做功小于15.75J，故C错误；
D．B至C过程中，由动能定理
B至P的水平距离为
联立两式，由数学知识可得当 时，P至B的水平距离最大，最大距离为
m
故D正确。
故选D。
二、多选题
3．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）如图所示，以竖直向上为 轴建立 坐标系，空间中存
在匀强电场和匀强磁场。匀强电场的电场强度方向沿着 轴正向，大小为 ，匀强磁场的磁感应强度为 ，
方向未知。现有一个质量为 、电荷量为 的带正电的小球恰好从 点沿 轴正方向以速度 做匀速
直线运动， 为重力加速度，下列说法正确的是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．匀强磁场的方向一定沿 轴正方向
B．若 的方向改为沿 轴正方向，则改变磁场方向，可使小球仍做匀速直线运动，磁感应强度大小可
能为
C．若撤去电场，小球运动的最低点 坐标为
D．若撤去电场，小球第一次返回到 平面的可能坐标为（ ， ）
【答案】BCD
【详解】A．根据题意知
正电的小球恰好从 点沿 轴正方向以速度 做匀速直线运动，由平衡条件可知带电小球不受洛仑兹力，
所以速度方向与磁场方向相互平行，匀强磁场的方向可能沿 轴正方向，也可能沿 轴负方向，故A错误；
B．若 的方向改为沿 轴正方向，则小球受到的重力和电场力的合力为
方向方向沿 轴正方向和y轴负方向的角平分线，改变磁场方向，可使小球仍做匀速直线运动，根据平衡
条件可知小球所受的洛仑兹力大小为
则磁感应强度大小可能为
故B正确；
C．撤去电场后，粒子的运动如图：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在最低点有
且
根据题意可知
根据几何关系可知最低点坐标为
故C正确；
D．撤去电场后，小球沿 轴做匀速直线运动，则
粒子做圆周运动的周期为
且
x方向的坐标为
解得
，
所以小球第一次返回到 平面的可能坐标为（ ， ），故D正确；
故选BCD。
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）如图所示，一根固定的绝缘竖直长杆位于范围足够大且
相互正交的匀强电场和匀强磁场中，匀强电场的电场强度大小 、方向竖直向上，匀强磁场的磁感
应强度大小为 、方向垂直纸面向里。一质量为 、电荷量为 的带正电小圆环套在杆上，圆环与杆间的
动摩擦因数为 。现使圆环以初速度 沿杆向下运动，经过时间 ，圆环回到出发点。若圆环回到出发点
之前已经开始做匀速直线运动，不计空气阻力，重力加速度为 ，则下列说法中正确的是（ ）
A．圆环下降过程中的加速度逐渐减小
B．圆环的最大加速度
C．圆环在 时间内损失的机械能为
D．圆环下降过程和上升过程中，系统因摩擦产生的内能相等
【答案】AC
【详解】A.圆环向下运动时竖直方向受到重力、向上的电场力和向上的摩擦力。设圆环向下运动的加速度
大小为 ，则
因此圆环速度的减小，会导致其所受洛伦兹力减小，则摩擦力会减小，因此圆环做加速度减小的减速运动，
故A正确；
B.当圆环向上运动时，圆环的加速度大小
随着圆环速度的增大，圆环开始做加速度减小的加速运动，之后做匀速直线运动，圆环向下运动时的加速
度大于向上运动时的加速度，而向下运动时圆环受到的摩擦力越大，则加速度越大，因此圆环刚开始运动
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】时，加速度最大，有
可得
故B错误；
C.圆环先后两次经过出发点过程中，重力势能变化量为零，可知圆环机械能的损失，即为动能的损失，根
据动能定理，有
而圆环最后做匀速运动的速度
因此圆环在 时间内损失的机械能为
故C正确；
D.圆环上升和下降的过程中，摩擦力大小的平均值不同，而圆环运动的路程相同，所以两过程中，系统因
摩擦产生的内能不相等，故D项错误。
故选AC。
5．（2023·湖南·校联考模拟预测）如图，光滑绝缘水平面的右侧存在着匀强电场和匀强磁场组成的复合场，
电场方向竖直向下，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B；一电荷量为q、质量为m的金属小球a
在水平面上从静止开始经电压U加速后，与静止着的另一完全相同的不带电金属小球b发生弹性碰撞，此
后小球b水平向右进入复合场中，在竖直面内做匀速圆周运动。电荷量的损失不计，碰撞后不考虑a、b之
间的相互作用，重力加速度大小为g。下列判断正确的是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．小球a可能带正电
B．小球a、b碰撞后的b速度
C．小球b做匀速圆周运动的半径为
D．小球b从圆的最低点到最高点，机械能增加量为
【答案】CD
【详解】A．球a、b碰撞后，b球在竖直面内做匀速圆周运动，则重力和电场力平衡，所以电场力竖直向
上，b球带负电，则小球a带负电，故A错误；
B．小球a加速过程，由动能定理得
碰撞过程由动量守恒定律及机械能守恒可知a、b小球速度互换，解得
故B错误；
C．小球a、b碰撞后b在竖直面内做匀速圆周运动，b的带电量为 ，由牛顿第二定律得
解得
故C正确；
D．洛伦兹力不做功，电场力做功为
所以机械能增加量
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故D正确。
故选CD。
三、解答题
6．（2023·吉林·统考模拟预测）如图所示，在竖直平面的直角坐标系xOy中，第一象限有沿y轴正方向的
匀强电场和垂直于纸面向外的匀强磁场，第二象限有沿x轴正方向的匀强电场，两匀强电场的电场强度大
小均相等。一质量为m，电荷量为+q的带电小球，从x轴上的P 点以某一初速度v 沿y轴正方向射
0
入第二象限，依次经过Q 点和M 点，图中M点末标出。经过Q点的速度与y轴正方向成45°，
重力加速度为g，不计空气阻力，求：
（1）小球从P点射出的初速度v；
0
（2）匀强磁场的磁感应强度的大小。
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）根据题意可知，粒子从P到Q的过程中，水平方向上有
竖直方向上有
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由几何关系有
联立可得
（2）根据题意，由（1）分析可知，粒子到达Q点的速度为
由于
则粒子在第一象限做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据粒子在磁场中的运动轨迹，由几何关系可
知QM为直径，则有
由牛顿第二定律有
联立可得
7．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）如图，在光滑绝缘水平面上有一平面直角坐标系
xOy，x < 0区域有方向垂直平面向外的匀强磁场I：x > 0区域有方向垂直平面向外的匀强磁场II和沿y轴
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】负方向的匀强电场E。管壁光滑、厚度不计的绝缘直细管两端分别固定在A（ ，0）、B（0，L）两点。
一质量为m、带电荷量为q的带正电小球（直径略小于管的内径）从管口A处以某一初速度沿AB方向射
入管中，从B点射出管口时的速率为v，然后沿水平面运动，通过y轴上的C点时撤去电场，小球在第一
象限运动后恰好从A处进入第四象限。已知磁场I的磁感应强度大小 ，电场的场强大小
。
（1）求小球从管口A射入时的初速率v 以及B、C两点间的距离y；
0 0
（2）求磁场II的磁感应强度大小B 以及小球第一、二次通过B处的时间差t；
2
（3）若小球过B点后第一次运动到第一象限且与x轴距离最大时撤去AB，且恢复匀强电场、但场强大小
变为 ，求小球速度的最大值v 以及小球速度最大时与x轴间的距离y。
max 1
【答案】（1） ，2L；（2） ， ；（3） ，
【详解】（1）设∠OAB = θ，则
解得
θ = 30°
小球运动轨迹如图所示
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】从A运动到B的过程中，根据动能定理有
其中 ，解得
设小球在磁场I中运动的轨迹半径为 ，圆心为 ，则
由几何关系得∠OCB = ∠OBC = θ，则有
1 1
y= 2rcosθ
0 1
解得
y= 2L
0
（2）由
得
∠OCA = 30°
由于∠OCA = θ，则AC是小球第一次在第一象限中运动的轨迹直径，则圆心O 为AC中点，小球在磁场
2
II中运动的轨迹半径
磁场II的磁感应强度大小为B，则
2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解得
由于∠AOC = 90°，小球从A处进入第四象限后恰好从O点离开第四象限进入第二象限，则小球第一次通
过B点后，第一次在x < 0区域运动的时间
第一次在x > 0区域运动的时间
结合几何知识可知小球第一、二次通过B点的时间差
解得
（3）小球运动到第一象限且与x轴距离最大时，小球的速度方向沿x轴正方向，令
得
小球的运动可分解为以速率 沿x轴负方向的匀速直线运动和以速率
沿顺时针方向的匀速圆周运动，由 得
当两个分速度同向时小球速度最大，此时速度方向沿x轴负方向，小球的速度最大值
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】小球速度最大时与x轴间的距离
8．（2023·安徽·校联考模拟预测）如图甲所示，竖直面内直角坐标系xOy，y轴左侧的区域Ⅰ内存在水平
向左的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场B（大小未知），一质量为m、带电荷量绝对值为q的小球从
1
P点以速度v 沿直线PO运动，PO与x轴负方向成45°角，在y轴与MN之间的区域Ⅱ内加一电场强度最小
0
的匀强电场E（未知）后，可使小球继续做直线运动到MN上的Q点，M、N两点对应的横坐标均为 ，
2
在MN右侧的区域Ⅲ内，存在竖直向下匀强电场E 和某一圆形区域的匀强磁场B（磁场位置图中末画出），
3 2
其中 ，磁场B 随时间变化的规律如图乙所示，磁场变化周期为T，取垂直纸面向外为磁场正方向，
2 0
小球在 时刻进入磁场B 后始终在该磁场内沿闭合轨迹做周期性运动，g为重力加速度，试求：
2
（1）该带电小球的电性和区域Ⅰ内匀强磁场B 的大小；
1
（2）区域Ⅱ内匀强电场E 的场强和小球到达Q点的速度；
2
（3）小球在磁场B 内沿闭合轨迹做周期性运动的周期和该磁场的最小面积。
2
【答案】（1）负电， ；（2） ，与 轴正方向45°右下方向；（3）4T，
0
【详解】（1）带电小球在区域Ⅰ内受重力、电场力和洛伦兹力做直线运动，只能做匀速直线运动，故三
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】力满足如图所示关系，小球必须带负电
由受力平衡得
解得
（2）在区域Ⅱ中 小球做直线运动，要使电场强度最小，受力如图所示
电场力方向与速度方向垂直
，方向垂直 向上
故
方向垂直 向下，即与 轴正方向 右下方向；在区域Ⅱ中 小球做匀减速直线运动，加速度大小
为
设到达 点的速度为 ，由运动学公式
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又
解得
（3）小球进入区域Ⅲ而没进入磁场 之前，由于
故做匀速直线运动， 时刻进入磁场 后，开始做匀速圆周运动，其匀速圆周运动周期
小球 在磁场中的运动轨迹如图
每一边由3个 个圆周，共12个 个圆周组成，故小球在磁场 内沿闭合轨迹做周期性运动的周期
设做圆周运动的半径为 ，由
得
正方形边长
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】闭合轨迹外接圆最小半径为
故磁场的最小面积为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
