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考向18 带电粒子在复合场运动-备战2022年高考一轮复习考点微专题
解决目标及考点:
1. 带电粒子在电场和磁场的复合场中运动
2. 带电粒子在组合场中运动
3. 拓展题：临界问题、特殊轨迹运动
【例题1】一台质谱仪的工作原理图如图所示，电荷量均为＋q、质量不同的离子飘入电压为U的加速电场，
0
其初速度几乎为零.这些离子经加速后通过狭缝O沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场，
最后打在底片上.已知放置底片的区域MN＝L，且OM＝L.某次测量发现MN中左侧2/3区域MQ损坏，检测不
到离子，但右侧1/3区域QN仍能正常检测到离子.在适当调节加速电压后，原本打在MQ区域的离子即可在
QN区域检测到.
(1)求原本打在MN中点P点的离子质量m；
(2)为使原本打在P点的离子能打在QN区域，求加速电压U的调节范围.
【例题2】如图所示，与水平面成37°的倾斜轨道AC，其延长线在D点与半圆轨道DF相切，全部轨道为绝
缘材料制成且位于竖直面内，整个空间存在水平向左的匀强电场，MN的右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场
(C点处于MN边界上)。一质量为0.4 kg的带电小球沿轨道AC下滑，至C点时速度为vC＝ m/s，接着沿直
线CD运动到D处进入半圆轨道，进入时无动能损失，且恰好能通过F点，在F点速度为vF＝4 m/s(不计空气阻力，g＝10 m/s2，cos 37°＝0.8)。求：
(1)小球带何种电荷？
(2)小球在半圆轨道部分克服摩擦力所做的功；
(3)小球从F点飞出时磁场同时消失，小球离开F点后的运动轨迹与直线AC(或延长线)的交点为G点(未标
出)，求G点到D点的距离。
查漏补缺
一、复合场与组合场
(1)复合场：电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。
(2)组合场：电场与磁场在一区域中不重叠，或在同一区域，电场、磁场分时间段或分区域交替出现。
二、带电粒子在复合场、组合场中的常见运动
静止或匀速 当带电粒子在复合场中所受合力为零时，将处于静止状态或匀速直线运动状
直线运动 态
匀速圆周运 当带电粒子所受的重力与电场力大小相等，方向相反时，带电粒子在洛伦兹
动 力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动
当带电粒子所受合力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线
较复杂的曲
上，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物
线运动
线
带电粒子可能依次通过几个情况不同的组合场区域，其运动情况随区域发生
分阶段运动
变化，其运动过程由几种不同的运动阶段组成
三、带电粒子在复合场中运动的应用实例
装置 原理图 规律
粒子由静止被加速电场加速mv2＝qU，粒子在磁场中
质谱仪
做匀速圆周运动qvB＝，则比荷＝交流电的周期和粒子做圆周运动的周期相等，粒子
回旋加速
在圆周运动过程中每次经过 D 形盒缝隙都会被加
器
速。由qvB＝得E＝
km
速度选择
若qvB＝Eq，即v＝，粒子做匀速直线运动
器 0 0
磁流体发 等离子体射入，受洛伦兹力偏转，使两极板带正、
电机 负电，两极电压为U时稳定，q＝qvB，U＝Bdv
0 0
电磁流量
q＝qvB，所以v＝，所以Q＝vS＝π2
计
当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电
霍尔效应
流方向都垂直的方向上出现电势差
四、临界问题的模型
1． 缩放圆模型特征：速度方向不变而大小在改变（或磁感应强度变化）射入匀强磁场
2． 缩放圆的几个常见问题
粒子从同一个直线边界进出：速 相切，是从下边射出还是从右边 可能从OC、BC、AB边射出；
度越大，半径越大，但在磁场中 射出的临界条件；注意有盲区 比较时间：①从OC边射出时间相
运动时间相等；出磁场速度方向 等；②BC、AB边射出：速度越
相同 大，弦切角越小，时间越少
3． 环形磁场临界问题
临界
圆
临界 勾股定理(R-R)2=R2+r2
2 1 1
半径 解得：
4． 旋转圆模型特征：速度大小不变而方向不限定（如0—180°范围内）射入匀强磁场中
5． 旋转圆的几个常见问题距离最远：粒子1，直径Oa 时间最短：粒子1，Oa,劣 左边最远：直径Oa；
粒子2、3等于Ob； 弧，弦长最短，则弧长最短； 右边最远：相切，c点
时间最长：粒子3 时间最长：粒子2 时间最短：Ob⊥板，劣弧弦长最短
6． 圆形有界磁场中的旋转圆问题
r<R r>R r=R
在磁场中运动的最远距离为 离开磁场速度方向垂直于入射点
OA=2r 在磁场中运动的最长时间为t max = = 与磁场圆心的连线
( )
7． 找临界点的方法
以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，借助半径R和速度v(或磁场B)之间的约
束关系进行动态运动轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系，找出临界点，然后利用数学方法求解极值，常
用结论如下：
(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与磁场边界相切。
(2)当速率v一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
(3)当速率v变化时，圆周角大的，对应的运动时间也越长。
考点: 带电粒子在叠加场中的运动
【例题3】如图所示，空间中存在着水平向右的匀强电场，电场强度大小E＝5 N/C，同时存在着垂直纸面
向里的匀强磁场，其方向与电场方向垂直，磁感应强度大小B＝0.5 T.有一带正电的小球，质量m＝1×10
－6 kg，电荷量q＝2×10－6 C，正以速度v在图示的竖直面内做匀速直线运动，当经过P点时撤掉磁场(不
考虑磁场消失引起的电磁感应现象)，取g＝10 m/s2，求：
(1)小球做匀速直线运动的速度v的大小和方向；
(2)从撤掉磁场到小球再次穿过P点所在的这条电场线经历的时间t.叠加场中运动的分析方法
1．弄清叠加场的组成．
2．进行受力分析．
3．确定带电粒子的运动状态，注意运动情况和受力情况的结合．
4．画出粒子运动轨迹，灵活选择不同的运动规律．
(1)当带电粒子在叠加场中做匀速直线运动时，根据受力平衡列方程求解．
(2)当带电粒子在叠加场中做匀速圆周运动时，应用牛顿定律结合圆周运动规律求解．
(3)当带电粒子做复杂曲线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解．
(4)对于临界问题，注意挖掘隐含条件．
5．记住三点：(1)受力分析是基础；
(2)运动过程分析是关键；(3)根据不同的运动过程及物理模型，选择合适的定理列方程求解．
考点: 带电粒子在组合场中运动
【例题4】如图，空间存在方向垂直于纸面(xOy平面)向里的磁场.在x≥0 区域，磁感应强度的大小为
B；x＜0区域，磁感应强度的大小为λB(常数λ＞1).一质量为m、电荷量为q(q＞0)的带电粒子以速度
0 0
v从坐标原点O沿x轴正向射入磁场，此时开始计时，当粒子的速度方向再次沿x轴正向时，求：(不计重
0
力)
(1)粒子运动的时间；
(2)粒子与O点间的距离.分析思路
(1)划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理.
(2)找关键：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键.
(3)画运动轨迹：根据受力分析和运动分析，大致画出粒子的运动轨迹图，有利于直观地解决问题.
【例题5】如图12所示，将某正粒子放射源置于原点O，其向各方向射出的粒子速度大小均为v、质量均
0
为m、电荷量均为q。在0≤y≤d的一、二象限范围内分布着一个匀强电场，方向与y轴正向相同，在
d<y≤2d的一、二象限范围内分布着一个匀强磁场，方向垂直于xOy平面向里。粒子离开电场上边缘y＝d
时，能够到达的最右侧的位置为(1.5d，d)。最终恰没有粒子从y＝2d的边界离开磁场。已知sin 37°＝
0.6，cos 37°＝0.8，不计粒子重力以及粒子间的相互作用，求：
(1)电场强度E；
(2)磁感应强度B；
(3)粒子在磁场中运动的最长时间。
【例题6】如图所示，足够大的平行挡板A、A竖直放置，间距6l.两板间存在两个方向相反的匀强磁场区
1 2
域Ⅰ和Ⅱ，以水平面MN为理想分界面，Ⅰ区的磁感应强度为B，方向垂直纸面向外.A、A上各有位置正
0 1 2
对的小孔S、S，两孔与分界面MN的距离均为l.质量为m、电荷量为＋q的粒子经宽度为d的匀强电场由
1 2
静止加速后，沿水平方向从S进入Ⅰ区，并直接偏转到MN上的P点，再进入Ⅱ区，P点与A板的距离是l
1 1
的k倍，不计重力，碰到挡板的粒子不予考虑.
(1)若k＝1，求匀强电场的电场强度E.
(2)若2<k<3，且粒子沿水平方向从S射出，求出粒子在磁场中的速度大小v与k的关系式和Ⅱ区的磁感应
2
强度B与k的关系式.
【例题7】平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在垂直于平面向里的匀强磁场，第Ⅲ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，如图所示.一带负电的粒子从电场中的Q点以速度v沿x轴正方向
0
开始运动.Q点到y轴的距离为到x轴距离的2倍.粒子从坐标原点O离开电场进入磁场，最终从x轴上的P
点射出磁场，P点到y轴距离与Q点到y轴距离相等.不计粒子重力，问：
(1)粒子到达O点时速度的大小和方向；
(2)电场强度和磁感应强度的大小之比.
【例题8】如图所示，一带电粒子垂直射入匀强电场，经电场偏转后从磁场的左边界上 M点进入垂直纸面
向外的匀强磁场中，最后从磁场的左边界上的N点离开磁场.已知带电粒子的比荷＝3.2×109 C/kg，电场
强度E＝200 V/m，M、N间距MN＝1 cm，金属板长L＝25 cm，粒子的初速度v＝4×105 m/s，带电粒子的
0
重力忽略不计，求：
(1)粒子射出电场时的运动方向与初速度v的夹角θ；
0
(2)磁感应强度B的大小.
考点: 拓展——临界问题、特殊轨迹
【例题9】如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是磁场左右两条边界线.现
有一质量为m、电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直射入磁场中，θ＝45°，要使粒子不能从右边界
NN′射出，求粒子入射速率的最大值为多少？【例题10】如图，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B＝0.60 T.磁场
内有一块平面感光板ab，板面与磁场方向平行.在距ab为l＝16 cm处，有一个点状的α粒子放射源S，
它向各个方向发射α粒子，α粒子的速率都是v＝3.0×106 m/s.已知α粒子的电荷量与质量之比＝
5.0×107 C/kg.现只考虑在纸面内运动的α粒子，求ab板上被α粒子打中区域的长度.
临界问题解决方法
(1)动态放缩法
①适用条件
a.速度方向一定，大小不同
粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆
周运动的轨迹半径随速度的变化而变化.
b.轨迹圆圆心共线
如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越
大.可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速
度方向的直线CO上.
②界定方法
以入射点O为定点，圆心位于CO直线上，将半径放缩作轨迹，从而探
索出临界条件，这种方法称为“放缩圆法”.
(2)定圆旋转法
当粒子的入射速度大小确定而方向不确定时，所有不同方向入射的粒子
的轨迹圆是一样大的，只是位置绕入射点发生了旋转，从定圆的动态旋转(作图)中，也容易发现“临界点”.
另外，要重视分析时的尺规作图，规范而准确的作图可突出几何关系，使抽象的物理问题更形象、
直观，如图
①适用条件
a.速度大小一定，方向不同
粒子源发射速度大小一定，方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的
半径相同，若入射初速度为v，由qvB＝得圆周运动半径为R＝.
0 0
b.轨迹圆圆心共圆
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点O为圆心、半径R＝的圆(这个圆在下面的叙述
中称为“轨迹圆心圆”)上.
②界定方法
将一半径为R＝的圆的圆心沿着“轨迹圆心圆”平移，从而探索出临界条件，这种方法称为“平移圆
法”.
【例题11】如图所示，在一个圆形区域内，两个方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在以直径AA为
2 4
边界的两个半圆形区域Ⅰ和Ⅱ中，直径AA与直径AA之间的夹角为α＝60°.一质量为m、电荷量为q的
2 4 1 3
带正电粒子以某一速度从Ⅰ区的边缘点A处沿与AA成β＝30°角的方向射入磁场，随后该粒子以垂直于
1 1 3
AA的方向经过圆心进入Ⅱ区，最后再从A处射出磁场.已知该粒子从射入到射出磁场所用的时间为t，求：
2 4 4
(1)粒子在磁场区域Ⅰ和Ⅱ中运动的轨道半径R与R的比值；
1 2
(2)Ⅰ区和Ⅱ区中磁场的磁感应强度B和B的大小.
1 2
带电粒子在多磁场中的运动，一般是指带电粒子在两个相邻匀强磁场中的运动.解决此类问题的一般思路：
(1)根据题中所给的条件，画出粒子在两磁场中做匀速圆周运动的轨迹；
(2)根据画出的轨迹，找出粒子在两磁场中做匀速圆周运动的圆心和半径；
(3)适当添加辅助线，运用数学方法计算出粒子在两磁场中的轨迹半径(有时候还要找出圆心角)；
(4)结合粒子运动的半径公式r＝(或周期公式T＝)即可得出所求的物理量.
1.(多选)如图1所示，一带电小球在一正交电场、磁场区域里做匀速圆周运动，电场方向竖直向下，磁场
方向垂直纸面向里，则下列说法正确的是( )
A.小球一定带正电
B.小球一定带负电
C.小球的绕行方向为顺时针
D.改变小球的速度大小，小球将不做圆周运动
2.如图所示的虚线区域内，充满垂直于纸面向里的匀强磁场和竖直向下的匀强电场.一带电粒子a(不计重
力)以一定的初速度由左边界的O点射入磁场、电场区域，恰好沿直线由区域右边界的O′点(图中未标出)
穿出.若撤去该区域内的磁场而保留电场不变，另一个同样的粒子b(不计重力)仍以相同初速度由O点射入，
从区域右边界穿出，则粒子b( )
A.穿出位置一定在O′点下方
B.穿出位置一定在O′点上方
C.运动时，在电场中的电势能一定减小
D.在电场中运动时，动能一定减小
3.在xOy平面内，以抛物线OM为界，MOy区域内存在竖直向上的匀强电场，电场强度为E，y轴为电场的右
边界；MOx区域内有垂直于平面向外的匀强磁场，x轴为磁场的下边界，如图所示.质量为m、电荷量为q
的粒子从y轴上P(0，h)点以垂直于y轴的初速度进入电场中，经电场后以与x轴成45°角的速度从抛物
线上的Q点(图中未画出)进入磁场，已知Q点的纵坐标为，粒子重力不计.
(1)试求带电粒子从P射入电场时的速度大小；
(2)若O为抛物线OM的顶点，写出边界OM的抛物线方程；
(3)要使带电粒子不穿过x轴，试确定匀强磁场的磁感应强度B应满足的条件.4.如图甲所示，在xOy平面内存在磁场和电场，磁感应强度和电场强度大小随时间周期性变化，B的变化
周期为4t，E的变化周期为2t，变化规律分别如图乙和图丙所示.在t＝0时刻从O点发射一带负电的粒
0 0
子(不计重力)，初速度大小为v，方向沿y轴正方向.在x轴上有一点A(图中未标出)，坐标为(，0).若规
0
定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向，y轴正方向为电场强度的正方向，v、t、B为已知量，磁感应强
0 0 0
度与电场强度的大小满足：＝；粒子的比荷满足：＝.求：
(1)在t＝时，粒子的位置坐标；
(2)粒子偏离x轴的最大距离；
(3)粒子运动至A点的时间.
5.如图所示，竖直平面坐标系xOy的第一象限，有垂直xOy平面向外的水平匀强磁场和竖直向上的匀强电
场，大小分别为B和E；第四象限有垂直xOy平面向里的水平匀强电场，大小也为E；第三象限内有一绝缘
光滑竖直放置的半径为R的半圆轨道，轨道最高点与坐标原点O相切，最低点与绝缘光滑水平面相切于N.
一质量为m的带电小球从y轴上(y>0)的P点沿x轴正方向进入第一象限后做圆周运动，恰好通过坐标原点
O，且水平切入半圆轨道并沿轨道内侧运动，过N点水平进入第四象限，并在电场中运动(已知重力加速度
为g).
(1)判断小球的带电性质并求出其所带电荷量；
(2)P点距坐标原点O至少多高；
(3)若该小球以满足(2)中OP最小值的位置和对应速度进入第四象限，通过N点开
始计时，经时间t＝2小球距坐标原点O的距离s有多远？
6.如图所示，两平行金属板A、B间的电势差为U＝5×104 V.在B板的右侧有两个方向不同但宽度相同的有
界磁场Ⅰ、Ⅱ，它们的宽度为d＝d＝6.25 m，磁感应强度分别为B＝2.0 T、B＝4.0 T，方向如图中所
1 2 1 2
示.现有一质量m＝1.0×10－8 kg、电荷量q＝1.6×10－6 C、重力忽略不计的粒子从A板的O点由静止释放，经过加速后恰好从B板的小孔Q处飞出.试求：
(1)带电粒子从加速电场中出来的速度v的大小；
(2)带电粒子穿过磁场区域Ⅰ所用的时间t；
(3)带电粒子从磁场区域Ⅱ射出时的速度方向与边界面的夹角；
(4)若d的宽度不变，改变d的宽度，要使粒子不能从Ⅱ区飞出磁场，则d
1 2 2
的宽度至少为多大？
【例题1】【解析】(1)离子在电场中加速qU＝mv2，在磁场中做匀速圆周运动qvB＝m，解得r＝ ，代入
0 0
r＝L，解得m＝.
0
(2) 由(1)知，U＝，离子打在Q点r＝L，U＝，离子打在N点r＝L，U＝，则电压的范围为≤U≤.
【例题3】【解析】(1)小球做匀速直线运动时受力如图甲，其所受的三个力在同一平面内，合力为零，有
qvB＝ ①
代入数据解得v＝20 m/s ②
速度v的方向与电场E的方向之间的夹角满足tan θ＝ ③
代入数据解得tan θ＝； θ＝60° ④
(2)解法一 撤去磁场，小球在重力与电场力的合力作用下做类平抛运动，如图
乙所示，设其加速度为a，有a＝ ⑤
设撤去磁场后小球在初速度方向上的分位移为x，有x＝vt ⑥
设小球在重力与电场力的合力方向上的分位移为y，有y＝at2 ⑦
tan θ＝ ⑧
联立④⑤⑥⑦⑧式，代入数据解得t＝2 s ⑨
解法二 撤去磁场后，由于电场力垂直于竖直方向，它对竖直方向的分运动没有影响，以P点为坐标原点，
竖直向上为正方向，小球在竖直方向上做匀减速运动，其初速度为v＝vsin θ ⑤
y
若使小球再次穿过P点所在的电场线，仅需小球的竖直方向上分位移为零，则有vt－gt2＝0 ⑥
y
联立⑤⑥式，代入数据解得t＝2 s.
【例题4】【解析】 (1)在匀强磁场中，带电粒子做匀速圆周运动.设在x≥0区域，圆周半径为R；在x
1
＜0区域，圆周半径为R.由洛伦兹力公式及牛顿运动定律得
2
qBv＝m ① qλBv＝m ②
0 0 0 0
粒子速度方向转过180°时，所需时间t为t＝ ③
1 1
粒子再转过180°时，所需时间t为t＝ ④
2 2联立①②③④式得，所求时间为t＝t＋t＝(1＋) ⑤
1 2
(2)由几何关系及①②式得，所求距离为d＝2(R－R)＝(1－)
1 2
【例题5】【解析】 (1)对沿x轴正方向发射的粒子，有x＝1.5d，y＝d
由类平抛运动规律得 x＝vt，y＝at2，a＝
0
联立可得E＝。
(2)沿x轴正方向发射的粒子射入磁场时，有1.5d＝vt，d＝t 联立可得v＝v
0 y 0
v＝＝v，方向与水平方向成53°角，斜向右上方
0
据题意知该粒子轨迹恰与上边缘相切，则其余粒子均达不到y＝2d边界
由几何关系可知d＝R＋R
根据牛顿第二定律有Bqv＝m， 解得R＝ 联立可得B＝。
(3)粒子运动的最长时间对应最大的圆心角，经过点(1.5d，d)恰与上边界相切的粒子运动的轨迹对应的圆
心角最大
由几何关系可知圆心角θ＝254°
粒子运动周期T＝＝
粒子在磁场中运动的最长时间t ＝T＝。
max
【答案】 (1) (2) (3)
【例题6】【答案】 (1) (2)v＝ B＝
【解析】 (1)若k＝1，则有MP＝l，
粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系，该情况粒子的轨迹半径R＝l
1
粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律知qvB＝m①
0
粒子在匀强电场中加速，根据动能定理有qEd＝mv2②
联立解得E＝.
(2)因为2<k<3，且粒子沿水平方向从S射出，则从S到S的轨迹如图所示.
2 1 2
由几何关系得R－(kl)2＝(R－l)2 ③
2
又有qvB＝m ④
0
联立解得v＝
又因为6l－2kl＝2x ⑤
根据几何关系有＝ ⑥
由R＝知，＝ ⑦联立解得B＝.
【例题7】【答案】 (1)v 方向与x轴正方向成45°角斜向上 (2)
0
【解析】 (1)在电场中，粒子做类平抛运动，设Q点到x轴距离为L，到y轴距离为2L，粒子的加速度为
a，运动时间为t，有2L＝vt ①
0
L＝at2 ②
设粒子到达O点时沿y轴方向的分速度为v
y
v＝at ③
y设粒子到达O点时速度方向与x轴正方向夹角为α，有tan α＝ ④
联立①②③④式得α＝45° ⑤
即粒子到达O点时速度方向与x轴正方向成45°角斜向上.
设粒子到达O点时速度大小为v，由运动的合成有
v＝ ⑥
联立①②③⑥式得v＝v ⑦
0
(2)设电场强度为E，粒子电荷量为q，质量为m，粒子在电场中受到的电场力为F，由牛顿第二定律可得
F＝ma ⑧
又F＝qE ⑨
设磁场的磁感应强度大小为B，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，所受的洛伦兹力提供向心力，有
qvB＝m ⑩
由几何关系可知R＝L ⑪
联立①②⑦⑧⑨⑩⑪式得＝
【例题8】【答案】 (1)45° (2)2.5×10－2 T
【解析】 (1)由牛顿第二定律有qE＝ma
粒子在电场中水平方向做匀速直线运动，L＝vt
0
粒子在竖直方向做初速度为零的匀加速运动，射出电场时的竖直分速度v＝at
y
速度偏转角的正切值tan θ＝
由以上各式代入数据解得θ＝45°
(2)粒子射出电场时的速度大小为：
v＝
在磁场中洛伦兹力提供向心力：Bqv＝m
由几何关系得MN＝r
代入数据解得B＝2.5×10－2 T
【例题9】【解析】用“放缩圆法”作出带电粒子运动的轨迹如图所示，当其运动轨迹与NN′边界线相切
于P点时，这就是具有最大入射速率v 的粒子的轨迹.由图可知：R (1－cos 45°)＝d，又Bqv ＝，联
max max max
立可得v ＝.
max
【答案】
【例题10】【解析】α粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动.用R表示轨迹半径，有
qvB＝m，由此得R＝，代入数据解得R＝10 cm，可见2R>l>R.
因朝不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S，由此可知，某一圆轨迹在如图所示中N左侧与ab相切，则此
切点P就是α粒子能打中的左侧最远点.为确定P点的位置，可作平行于ab的直线cd，cd到ab的距离为
1 1R，以S为圆心，R为半径，作圆弧交cd于Q点，过Q作ab的垂线，它与ab的交点即为P.即：NP＝.
1 1
再考虑N的右侧.任何α粒子在运动中离S的距离不可能超过2R，以2R为半径、S为圆心作圆弧，交ab于
N右侧的P点，此即右侧能打到的最远点.
2
从图中几何关系得
NP＝，
2
所求长度为PP＝NP＋NP，
1 2 1 2
代入数据解得PP＝20 cm.
1 2
【答案】 20 cm
【例题11】【解析】(1)粒子在两匀强磁场中的运动轨迹如图所示
设粒子射入磁场时的速度大小为v，圆形区域的半径为r.连接AA，由几何知识可
1 2
知，△AAO为等边三角形，A为粒子在区域Ⅰ磁场中运动时轨迹圆的圆心，所以
1 2 2
R＝r.由于粒子垂直直径AA进入Ⅱ区，从A点离开磁场，所以粒子在区域Ⅱ磁场
1 2 4 4
中运动的轨迹为半圆，圆形磁场区域的半径OA即粒子在Ⅱ区磁场中做圆周运动时
4
轨迹圆的直径，所以R＝，由此可得：＝2.
2
(2)带电粒子在Ⅰ区磁场中做圆周运动的周期为T＝，因为∠AAO＝60°，所以粒子在Ⅰ区磁场中运动的
1 1 2
时间为t＝＝.带电粒子在Ⅱ区磁场中做圆周运动的周期为T＝，因粒子在Ⅱ区磁场中运动轨迹为半圆，
1 2
所以其运动时间为t＝＝，带电粒子在磁场中运动的总时间为t＝t＋t，又因为＝2，所以B＝2B，由以
2 1 2 2 1
上各式可得：
B＝； B＝.
1 2
【答案】 (1)2 (2)
1.【答案】 BC
2.【答案】 C
3.【答案】 (1) (2) y＝ (3)B≥(2＋2)
【解析】 (1)带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，由牛顿第二定律得粒子加速度a＝ ①
过边界OM时y方向上的速度大小为v，则v2＝2a(h－) ②
y y
由此时速度方向与x轴成45°角可知v＝v ③
y 0
联立①②③解得v＝. ④
0
(2)O为抛物线顶点，Q点纵坐标为y＝ ⑤
由类平抛运动可得x＝vt，＝at2 ⑥
0
联立①④⑥解得x＝h ⑦
将Q(h，)、O(0,0)代入x2＝2py即可得MO的抛物线方程为y＝.
(3)带电粒子的运动轨迹如图所示，设粒子在磁场中的轨道半径为R，要使粒子不穿过x轴，则由几何关系
得R＋Rsin 45°≤ ⑧
粒子在磁场中运动的速度大小
v＝v ⑨
0
由牛顿第二定律得qvB＝m ⑩
联立④⑧⑨⑩解得B≥(2＋2).
4.【答案】 (1)(，) (2)(＋)vt (3)32t
0 0 0【解析】 (1)在0～t时间内，粒子做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得qBv＝mr＝
0 0 0 1
解得T＝2t，r＝＝
0 1
则粒子在时间内转过的圆心角α＝
所以在t＝时，粒子的位置坐标为(，).
(2)在t～2t时间内，设粒子经电场加速后的速度为v，粒子的运动轨迹如图所示
0 0
则v＝v＋t＝2v
0 0 0
运动的位移x＝t＝1.5vt
0 0 0
在2t～3t时间内粒子做匀速圆周运动，半径r＝2r＝
0 0 2 1
故粒子偏离x轴的最大距离h＝x＋r＝1.5vt＋＝(＋)vt.
2 0 0 0 0
(3)粒子在xOy平面内做周期性运动的运动周期为4t
0
故粒子在一个周期内向右运动的距离d＝2r＋2r＝
1 2
AO间的距离为＝8d
所以，粒子运动至A点的时间t＝32t.
0
5.【答案】 (1)带正电 (2) (3)2R
【解析】 (1)小球进入第一象限后做圆周运动，说明重力与电场力平衡，设小球所带电荷量为q，则有qE
＝mg 解得q＝ 又电场方向竖直向上，故小球带正电.
(2)设匀速圆周运动的速度为v、轨道半径为r，由洛伦兹力提供向心力得qBv＝
小球恰能通过半圆轨道的最高点并沿轨道运动，则应满足mg＝
解得r＝
即P、O的最小距离为y＝2r＝.
(3)设小球到达N点的速度为 v，小球由O运动到N的过程中，由机械能守恒得2mgR＝mv2－mv2
N N
解得v＝
N
小球从N点进入电场区域后做类平抛运动，设加速度为a，则
沿x轴方向有x＝vt
N
沿电场方向有z＝at2
由牛顿第二定律得a＝
经t时间小球距坐标原点O的距离为s＝＝2R.
6.【答案】 (1)4.0×103 m/s (2) s (3)60° (4)9.375 m
【解析】 (1)粒子在电场中做匀加速直线运动，由动能定理有：qU＝mv2－0，解得v＝4.0×103 m/s.
(2)粒子运动轨迹如图甲，
设粒子在磁场区域Ⅰ中做匀速圆周运动的半径为r，由洛伦兹力提供向心力
得：qvB＝
1
代入数据解得r＝12.5 m
设粒子在Ⅰ区内做圆周运动的圆心角为θ，则：sin θ＝＝＝
所以θ＝30°
粒子在Ⅰ区运动周期T＝则粒子在Ⅰ区运动时间t＝T ，解得t＝ s
(3)设粒子在Ⅱ区做圆周运动的轨道半径为R，则qvB＝
2
解得R＝6.25 m
如图甲所示，由几何关系可知△MOP为等边三角形，
2
所以粒子离开Ⅱ区域时速度方向与边界面的夹角为α＝60°
(4)要使粒子不能从Ⅱ区飞出磁场，粒子运动的轨迹与磁场边界相切时，由图乙可知Ⅱ区磁场的宽度至少
为：d＝R＋Rcos 60°＝1.5R＝9.375 m
2
