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考点巩固卷 21 双曲线方程及其性质(十一大考点)
考点01双曲线的定义及标准方程
1．设 是双曲线 左支上的动点， 分别为左右焦点，则 （ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【分析】利用双曲线的方程的特点和双曲线的定义即可求解.
【详解】由 ，得 解得 ．
因为 是双曲线 左支上的动点，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 .
由双曲线的定义可知 ．
故选：A.
2．如果双曲线 上一点 到它的右焦点的距离是 ，那么点 到它的左焦点的距离是（ ）
A． B． C． 或 D．不确定
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义即可求得答案.
【详解】设双曲线 的左、右焦点为 ，则 ；
则 ，
由双曲线定义可得 ，即 ，
所以 或 ，由于 ，
故点 到它的左焦点的距离是 或 ，
故选：C
3．已知点 ，动点 满足 ，则动点 的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由双曲线的定义可知，动点 的轨迹是以 为焦点的双曲线的右支，利用待定系数法求轨迹方
程.
【详解】 ， ，又动点 满足 ，
动点 的轨迹是以 为焦点的双曲线的右支，
设双曲线方程为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则有 ，
动点 的轨迹方程为 ．
故选：A．
4．已知 ，动点P满足 ，求动点P的轨迹方程．
【答案】
【分析】根据双曲线的定义求得正确答案.
【详解】因为 ，所以根据双曲线的定义可知，
一定在 1， 2且焦点在x轴上的双曲线的右支上，则 ，
这就是说，点P的坐标 一定满足 ．
另一方面，由 可知 ，因此P的横坐标要大于零，
从而可知P的轨迹方程为 ．
5．已知点 ， ，动点P满足 ，当点P的纵坐标是 时，求点P到坐标原
点的距离．
【答案】
【分析】首先求动点 的轨迹方程，再求点 的坐标，即可求 的值.
【详解】由题意可知，点 的轨迹是以 为焦点的双曲线的左支，其中 ， ，
，
则动点 的轨迹方程是 ，当 ，得 ，
即 ，所以 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以点 到原点的距离为 .
6．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1) ；
(2)焦点为 ，经过点 ．
【答案】(1) 或 ；
(2) ．
【分析】（1）根据给定的量，求出 ，再按焦点位置写出双曲线方程作答.
（2）利用双曲线定义求出实轴长，再求出方程作答.
【详解】（1）由 ，得 ，
所以双曲线的标准方程为 或 .
（2）依题意，双曲线半焦距 ，而双曲线过点 ，
因此双曲线实轴长 ，
即 ，虚半轴长 有 ，
所以所求双曲线的标准方程是 .
考点02根据方程表示圆、椭圆、双曲线求参数
7．已知方程 表示的焦点在y轴的双曲线，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先化为双曲线的标准方程，再建立不等式求解即可.
【详解】方程 可化为： ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由方程表示的焦点在y轴的双曲线，得 ，
解得 .
故选：C.
8．“ ”是“ 表示双曲线”的（ ）．
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据方程表示双曲线以及充分、必要条件等知识确定正确答案.
【详解】当 ，即 或 时， 表示双曲线，
所以“ ”是“ 表示双曲线”的充分不必要条件．
故选：B
9．（多选）已知方程 表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当 时，曲线C是椭圆 B．当 或 时，曲线C是双曲线
C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则
【答案】BCD
【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线方程的特征逐项判断作答.
【详解】对于A，当 时， ，则曲线 是圆，A错误；
对于B，当 或 时， ，曲线 是双曲线，B正确；
对于C，若曲线 是焦点在 轴上的椭圆，则 ，解得 ，C正确；
对于D，若曲线 是焦点在 轴上的双曲线，则 ，解得 ，D正确．
故选：BCD
10．（多选）已知 ， 为两个不相等非零实数，则方程 ，与 所表示的曲线不
可能是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】先变形得到 ，对四个选项一一分析，得到答案.
【详解】 变形得到 ，
A选项，双曲线交点在 轴上，故 ，
此时 应该经过第一，二，四象限，A不可能；
B选项，椭圆焦点在 轴上，故 ，
此时 经过第一，二，三象限，B不可能；
C选项，双曲线交点在 轴上，故 ，
此时 应该经过第一，三，四象限，C可能；
D选项，椭圆焦点在 轴上，故 ，
此时 经过第一，二，三象限，D不可能；
故选：ABD
11．（多选）若方程 所表示的曲线为 ，则下面四个说法中正确的是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．若 ，则 为椭圆
B．若 为椭圆，且焦点在 轴上，则
C．曲线 可能是圆
D．若 为双曲线，则
【答案】BC
【分析】根据椭圆，圆，双曲线方程的特征，列不等式求解，即可判断选项.
【详解】方程 所表示的曲线为 .
A.当 ，取 时，方程为 ，表示圆， 错误；
B.若 为椭圆，且焦点在y轴上，则 ，即 ，所以B正确；
C. 时，方程为 ，表示圆，所以C正确；
.若 为双曲线，可得 ，解得 或 ，所以D错误.
故选：BC
12．若方程 表示双曲线，则实数m的取值范围是 ；若表示椭圆，则m的取值范围是
．
【答案】
【分析】根据已知方程，由双曲线、椭圆方程的性质列不等式求参数范围即可.
【详解】若方程表示双曲线，则 ，即 ，故 ；
若方程表示椭圆，则 ，解得 且 ，故 ．
故答案为： ，
考点03双曲线的焦点三角形问题
13．已知双曲线 的左焦点为 为坐标原点，右焦点为 ，点 为双曲线
右支上的一点，且 的周长为 为线段 的 中点，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】根据右焦点为 ，得到 ，进而得到 ，再根据 的周长为 得到
，然后利用三角形中位线求解.
【详解】解：因为右焦点为 ，
所以 ，
又因为 ，
则 ，
又因为 ，
则 ，
所以 为坐标原点，且 为线段 的中点，
所以 ，
故选：B
14．设 ， 是双曲线 的左､右焦点，过 的直线 交双曲线的左支于 ， 两点，若直
线 为双曲线的一条渐近线， ，则 的值为（ ）
A．11 B．12 C．14 D．16
【答案】C
【分析】根据双曲线的标准方程可得 ,再由双曲线的定义可得 ，
得到 ,再根据 得到答案.
【详解】根据双曲线的标准方程 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】得 ,由直线 为双曲线的一条渐近线，
得 ,解得 ,得 .
由双曲线的定义可得 ①，
②，
① ②可得 ,
因为过双曲线的左焦点 的直线 交双曲线的左支于 , 两点,
所以 ,得 .
故选：C.
15．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过点 的直线与双曲线的右支相
交于A，B两点， ，且 的周长为10，则双曲线C的焦距为 ．
【答案】 /
【分析】根据双曲线的定义，解得 ，然后根据 的周长为10，解得各边长，最后根据余弦
定理求解即可；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】
设 ， ， ，
根据双曲线的定义可知： ，
可得 ，
有 ，解得 ，
在 和 中，由余弦定理有
，
解得 ，
可得双曲线的焦距为 ．
故答案为： .
16．如图，双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，P为C的右支上一点，且 ，求
的面积．
【答案】48
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】过点 作 边上的高 ，根据所给条件结合双曲线的定义可求出三角形的高，即可求出三角
形的面积.
【详解】如图，
由 可得， ，
，
，
，
过点 作 边上的高 ，则 ，
，
所以 的面积为 .
17．若 ， 是双曲线 的左、右焦点，点P在此双曲线上，且 ，求 的大
小．
【答案】
【分析】在焦点三角形中，利用余弦定理求解即可.
【详解】如图，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 可得 ，
设 ，
则 ，又 ，
所以 ，
在 中，
又因为 ，
.
18．双曲线 的左、右两焦点分别为 ，点 在双曲线上，且 ，求
的面积．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义结合余弦定理求出 的余弦，再利用三角形面积公式求解
作答.
【详解】双曲线方程 化为 ，即 ，所以 ，
解得 ，于是 ，设 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由双曲线的定义知 ，又 ，
在 中，由余弦定理得
，
而 ，则 ，
所以 的面积 .
考点04双曲线的简单几何性质
19．已知双曲线 与 ，下列说法正确的是（ ）
A．两个双曲线有公共顶点
B．两个双曲线有公共焦点
C．两个双曲线有公共渐近线
D．两个双曲线的离心率相等
【答案】C
【分析】根据双曲线方程可得答案.
【详解】双曲线 的焦点和顶点都在x轴上，
而双曲线 的焦点和顶点都在y轴上，故A、B错误；
双曲线 的渐近线方程为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】双曲线 的渐近线方程为 ，故C正确；
双曲线 的离心率 ，
而双曲线 的离心率 ，故D错误.
故选：C.
20．已知离心率为 的双曲线C： 的左、右焦点分别为 ，M是双曲线C的一
条渐近线上的点，且 ，O为坐标原点，若 ，则双曲线的实轴长是（ ）
A．32 B．16
C．84 D．4
【答案】B
【分析】根据 ，求出 ， ，再根据 以及 求出 即可得解.
【详解】由题意知 ，不妨令点 在渐近线 上，
由题意可知 ，所以 ，
由 ，可得 ，即 ，
又 ， ，所以 ，
所以双曲线C的实轴长为16.
故选：B．
21．已知双曲线 与双曲线 ，则两双曲线的（ ）
A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
【答案】D
【分析】通过 的范围，结合曲线，求解焦距，实半轴长，虚半轴长，判断选项即可．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】 的实半轴的长为5，虚半轴的长为3，
实数 满足 ，曲线 是双曲线，
实半轴的长为 ，虚半轴的长为 ，
显然两条曲线的实轴的长与虚轴的长不相等，所以A、B均不正确；
焦距为： ，焦距相等，所以D正确；
离心率为： 和 ，不相等，所以C不正确．
故选：D．
22．已知双曲线 的离心率为 ，虚轴长为4，则 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】曲线方程化为标准方程为 ，再根据已知列出方程组求出 即得解.
【详解】曲线方程化为标准方程为 ，
则依题意可得
解得 . 所以 的方程为 .
故选：D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】23．（多选）双曲线C经过 ， 两点，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的标准方程是
B．双曲线C的渐近线程为
C．双曲线C的焦点坐标是 ，
D．双曲线C的离心率为2
【答案】BCD
【分析】根据已知条件待定系数法求出双曲线方程，根据方程写出焦点坐标、离心率、及渐近线判断各个
选项即可.
【详解】依题意，设双曲线 ，
双曲线C经过 ， 两点，则 ，解得 ，
所以双曲线C的标准方程为 ，A错误，
实半轴长 ，虚半轴长 ，半焦距 ，
双曲线 的渐近线方程为： ，B正确；
双曲线C的焦点坐标是 ， ，C正确；
双曲线 的离心率 ， D正确.
故选：BCD
24．已知点 是双曲线 上一点， 分别是双曲线 的左、右焦点， 的周长为
，则 的面积为 ．
【答案】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】利用双曲线的定义以及 的周长可求出 ，再利用余弦定理可求出 ，再
利用同角三角函数基本关系求出 ，进而求出结果.
【详解】根据对称性，不妨设 在双曲线 的右支上，则 ．
因为 的周长为 ，所以 ，
所以 ．
在 中， ，则 ，
所以 的面积为 ．
故答案为： .
考点05求双曲线离心率
25．（ 2023·甘肃酒泉·统考三模）已知双曲线 的右焦点为 ，过点 的直线 与
双曲线 的右支交于 ， 两点，且 ，点 关于原点 的对称点为点 ，若 ，则双
曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由双曲线的性质可得四边形 为矩形，然后结合双曲线的定义及 的勾股定理可得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ，再由 的勾股定理即可求得结果.
【详解】设双曲线的左焦点为 ，连接 ， ， ，如图所示，
又因为 ，所以 ，
所以四边形 为矩形，
设 ，则 ，
由双曲线的定义可得： ， ，
又因为 为直角三角形，
所以 ，即 ，解得 ，
所以 ， ，
又因为 为直角三角形， ，
所以 ，即： ，
所以 ，即 .
故选：D.
26．学业质量联合检测数学试题）已知双曲线 （ ， ），直线 的斜率为 ，且过
点 ，直线 与 轴交于点 ，点 在 的右支上，且满足 ，则 的离心率为（ ）
A． B．2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C． D．
【答案】D
【分析】首先写出直线 点斜式方程并求出点 ，由向量线性运算的坐标表示可以求出
，将其代入双曲线方程即可求解.
【详解】由题意知直线 的方程为 ，令 ，得 ，所以 ．
又因为 ，不妨设 ，所以有 ，
解得 ，所以 ，将其代入双曲线方程 ，
化简得 ，解得 或 （舍去），
所以 的离心率 ．
故选：D.
27．设 ， 是双曲线C： 的左、右焦点，过 的直线与C的左、右两支分别交于
A，B两点，点M在x轴上， ， 平分 ，则C的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意，结合双曲线的定义以及角平分线定理可得， ， ， ， ，
，在 ， 中，由余弦定理结合 ，计算可得答案.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】
可知， ，得
设 ，则 ，由双曲线的定义可知： .
因为 平分 ，所以 ，故 ，
又 ，
即有 ， ， ， ， ，
在 ， 中，由余弦定理可得，
， ，
由 ，
可得 .
故选：C.
28．双曲线C： 的右顶点为 ，点 均在C上，且关于y轴对称.若直线AM，
AN的斜率之积为 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】根据已知条件列方程，化简求得 ，进而求得双曲线的离心率.
【详解】依题意 ，设 ，则 ，
且 ，
而 ，
， ，
所以 .
故选：A
29．（多选）已知双曲线 的上焦点为 ，过焦点 作 的一条渐近线的垂线，垂
足为 ，并与另一条渐近线交于点 ，若 ，则 的离心率可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】当 时，不符合题意舍去；再分 、 求得渐近线的斜率，再根据离心率定义即可求解.
【详解】当 时，两渐近线的斜率为 ，此时直线 与另一渐近线平行，不满足题意.
当 时，如图1所示，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】.
，又 ，解得 ，
， ，
，即渐近线 的斜率为 ，
当 时，如图2所示，设 与 轴交于点P，
， ，
又 ，解得
，即渐近线 的斜率为 ，
综上，双曲线 的离心率为 或 .
故选：AC.
30．已知双曲线 ： 的右焦点为 ，过 分别作 的两条渐近线的平行线与 交于 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】两点，若 ，则 的离心率为
【答案】 /
【分析】设直线方程为 与双曲线方程 联立，根据 求解.
【详解】解：如图所示：
设直线方程为 与双曲线方程 联立，
解得 ，
因为 ，
所以 ，
即 ，即 ，
解得 ，
故答案为：
考点06求双曲线离心率的取值范围
31．已知点F是双曲线 （ ）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴
的直线与双曲线交于A，B两点，若 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】B
【分析】根据双曲线的对称性结合题意可得 为等腰三角形，由此可得 ，进而得到关于
的齐次式，即可求解离心率.
【详解】由题意可知 即 为等腰三角形，
故 是锐角三角形，只需 ，
将 代入 可得 ，
故在 中， ， ，
则 ，化简整理，得 ，
∴ ，∴ ，
又 ，∴ ，
故选：B.
32．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，若在 上存在点 不是顶点 ，
使得 ，则 的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意判断P点在双曲线右支上，推出 ，可得 ，从而利用在
中 求出 ，再结合三角形内角和推出 ，继而推出 ，由此可得答案.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】设 与y轴交于Q点，连接 ，则 ，
因为 ，故P点在双曲线右支上，且 ，
故 ，而 ，
故 ，
在 中， ，即 ，
故 ，
由 ，且三角形内角和为 ，
故 ，则 ，
即 ，即 ，
所以 的离心率的取值范围为 ，
故选：A
33．已知双曲线 为左焦点， 分别为左､左顶点， 为 右支上的点，且
（ 为坐标原点）.若直线 与以线段 为直径的圆相交，则 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】由题意可推出 ，设 ，由勾股定理可得 ，结合直线 与以
线段 为直径的圆相交可得 ，由此结合 的根的分布，列不等式即可求得
答案.
【详解】设双曲线的右焦点为 ，则 ，
则 ，
为 右支上的点，取 的中点为B，连接 ，则 ，
设 ，则 ，则 ，
在 中， ，
即 ，
又直线 与以线段 为直径的圆相交，故 ，
设 ，则 ，
则需使 ，解得 ，
即双曲线离心率的范围为 ，
即 的离心率的取值范围为 ，
故选：D
34．已知双曲线 与直线 相交于两个不同的点，则双曲线C的离心率的取值范
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，联立直线与双曲线方程，即可得到 的范围，再由双曲线的离心率的公式，代入计算，
即可得到结果.
【详解】由 可得， ，则 ，
即 ，解得 ，故 ，
则 ，故 .
故选：D
35．已知斜率为 的直线 经过双曲线 的上焦点 ，且与双曲线的上、下两支都相交，则双曲线
的离心率 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据已知直线的斜率，求出渐近线的斜率范围，推出 ， 的关系，然后求出离心率的范围．
【详解】由题意可得双曲线的渐近线方程为 ，
过双曲线上焦点 且平行于渐近线 的方程为 ，此直线只与双曲线的上支有一个交点，要
使斜率为 的直线 经过双曲线的上焦点 的直线 与与双曲线的上、下两支相交，则 ，所
以 ，因此 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：
36．双曲线 的两个焦点为 ， ，若双曲线上存在点 ，使 ，求双曲
线离心率的取值范围.
【答案】
【分析】首先结合双曲线的性质求得 ，再根据双曲线右支上的点到焦点的距离的范围，即可求解.
【详解】由题意知在双曲线上存在一点 ，
使得 ，如图所示.
又 ，
即在双曲线右支上恒存在点 使得 ，
即 ，
， .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ， ， ，即 ，
所以双曲线离心率的取值范围为 .
考点07双曲线的渐近线
37．过原点的直线l与双曲线E： 交于A，B两点（点A在第一象限）， 交x
轴于C点，直线BC交双曲线于点D，且 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题可设， ， ，分别表示出 ，逐步转化，即可求
得本题答案.
【详解】因为 直线过原点，所以 关于原点对称，设 ，
因为 与 轴垂直，所以 ，
设 ，
则 ，
而
所以， ，
所以，
所以渐近线方程为 .
故选：B
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】38．已知双曲线C： 的一条渐近线方程为 ，且与椭圆 有公共焦
点，则C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得 ，结合渐近线方程列式求 ，进而可得结果.
【详解】设双曲线C的半焦距为 ，由椭圆 可得 ，
由题意可得 ，解得 ，
所以双曲线C： ，即 .
故选：D.
39．双曲线 的两条渐近线的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意求得双曲线的渐近线方程，进而求得其夹角.
【详解】由双曲线 ，可得 ，
所以双曲线的渐近线的方程为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以两渐近线 的夹角为 .
故选：C.
40．（ 2023·贵州遵义·统考三模）过双曲线 的左焦点F作C的其中一条渐近线
的垂线l，垂足为M，l与C的另一条渐近线交于点N，且 ，则C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意及图形可求出渐进线的倾斜角，即可得答案.
【详解】如图，设双曲线右焦点为 ，OM，ON为双曲线的两条渐进线.
由题意可知， ，又 ，则M为FN中点，则 为等腰三角形，
则 ，又 ，则 .
所以双曲线的渐进线方程为： .
故选：B
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】41．已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，过 的直线分别交双曲线左、右
两支于A，B两点，点C在x轴上， ， 平分 ，则双曲线 的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据共线向量的性质、角平分线的性质，结合双曲线的定义、余弦定理、双曲线的渐近线方程进
行求解即可.
【详解】因为 ，所以 ∽ ．
设 ，则 ，设 ，则 ， ．
因为 平分 ，由角平分线定理可知， ，
所以 ，所以 ．
由双曲线定义知 ，即 ，解得 ．
又由 ，得 ，
所以 ，即 是等腰三角形．
由余弦定理知 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 ，化简得 ，所以 ，
则双曲线 的渐近线方程为 ．
故选：D
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用角平分线性质和共线向量的性质.
42．设 ， 分别为双曲线 的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足
，且 到直线 的距离等于双曲线的实轴长，求该双曲线的渐近线方程．
【答案】 ．
【分析】根据题意，由双曲线的定义结合其渐近线方程，代入计算，即可得到结果.
【详解】
设 的中点为M，连接 ．由 ，故 ，即 ．
在 中， ，故 ．
根据双曲线的定义有 ，即 ，即 ，即 ，即 ，故双
曲线的渐近线方程是 ，即 ．
考点08直线与双曲线的位置关系
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】43．双曲线 与直线 的公共点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2
【答案】C
【分析】根据已知直线和双曲线的渐近线的位置关系判断即可.
【详解】因为双曲线 的渐近线方程为 ，
所以，当 时，直线 与渐近线重合，此时直线 与双曲线无交点；
当 时，直线 与渐近线平行，此时直线 与双曲线有一个交点.
故选：C
44．直线 与双曲线 有且只有一个公共点，则实数 ．
【答案】 或
【分析】由 消去y，对二次系数是否为0分类讨论可得.
【详解】由 消去y，整理得 ，
当 时，由 得 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又注意到直线 恒过点 ，且渐近线的斜率为 时，直线与渐近线平行时也成立．
故答案为： 或
45．关于曲线 有如下四个命题：
①曲线C经过第一、二、四象限；
②曲线C与坐标轴围成的面积为 ；
③直线 与曲线C最多有两个公共点；
④直线 与曲线C有且仅有一个公共点.
其中所有真命题的序号是 （填上所有正确命题的序号）.
【答案】①③④
【分析】分 ， ， ， 四种情况讨论，去绝对值符号，作出曲线的
图象，根据图象逐一分析即可.
【详解】当 ，可得曲线方程为 ，为圆的一部分；
当 ，可得曲线方程为 ，为双曲线的一部分；
当 ，可得曲线方程为 ，为双曲线的一部分；
当 ，曲线方程为 ，不存在这样的曲线；
作出曲线得图象，如图所示，
由图可知，曲线C经过第一、二、四象限，故①正确；
②中，围成的面积S＝ ，故②不正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】③中，因为直线 的斜率与双曲线的渐近线的斜率相等，
圆心O到直线的距离 ， ，
则 时，直线与曲线相切，只有一个交点，
当 时，直线与曲线有两个交点，
当 或 时，直线与曲线无交点，
所以直线 与曲线C最多有两个公共点，故③正确；
④由图象知直线 与曲线C有且仅有一个公共点，故④正确.
故答案为：①③④.
【点睛】关键点点睛：去绝对值符号，作出曲线的图象，是解决本题的关键.
46．设直线 与双曲线 的方程分别为 和 ，当实数 取何值时，直线与双曲线分别有两个
公共点？一个公共点？没有公共点．
【答案】答案见解析
【分析】联立直线与双曲线的方程，分二次项系数为0和不为0两种情况讨论，即可得出答案.
【详解】将直线方程 代入双曲线方程 ，得 ．①
当 ，即 时，方程①有两个不同的实根 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】直线 与双曲线 有两个不同的公共点；
当 ，即 时，方程①无解，直线 与双曲线 没有公共点；
直线 与双曲线 只有一个公共点的情况不存在．
综上： 时，直线与双曲线分别有两个公共点；
时，直线 与双曲线 没有公共点；
直线 与双曲线 只有一个公共点的情况不存在．
47．已知双曲线 ，直线 ，试确定实数k的取值范围，使：
(1)直线l与双曲线有两个公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l与双曲线没有公共点．
【答案】(1) 或 或 ；
(2) 或
(3) 或
【分析】（1）联立直线方程和双曲线方程，根据直线与双曲线有两交点，则 ，注意二次项系数不等
于0；
（2）根据直线与双曲线仅有一交点，分二次项系数等于0和不等于0两种情况讨论.当二次项系数不等于0
时，由 即可得出答案；
（3）根据直线与双曲线没有交点，得 ，注意二次项系数不等于0.
【详解】（1）联立 ，
消 整理得 ，（*）
因为直线l与双曲线C有两个公共点，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，整理得
解得： 或 或 .
（2）当 即 时，直线l与双曲线的渐近线平行，
方程（*）化为 ，故方程（*）有唯一实数解，
即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点，满足题意．
当 时， 因为直线l与双曲线C仅有一个公共点，
则 ，解得 ；
综上， 或 .
（3）因为直线l与双曲线C没有公共点，
所以 ，
解得： 或 .
48．已知双曲线E的两个焦点分别为 ，并且E经过点 .
(1)求双曲线E的方程；
(2)过点 的直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，求直线l的方程.
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）根据双曲线的焦距及过点列出方程求解方程即可；
（2）分直线斜率存在，不存在讨论，当斜率存在时，利用直线与双曲线方程组有且只有一解求斜率即可.
【详解】（1）由已知可设双曲线E的方程为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，解得 ，
所以双曲线E的方程为 .
（2）当直线l的斜率不存在时，显然不合题意，
所以可设直线l的方程为 ，如图，
联立 ，得 （*），
①当 ，即 或 时，方程（*）只有一解，
所以直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，
此时，直线l的方程为 ；
②当 ，即 时，要使直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，
则 ，解得 ，
此时，直线l的方程为 .
综上所述，直线l的方程为 或 .
考点09双曲线的弦长问题
49．已知双曲线C： 的渐近线方程为 ，左、右焦点分别为 ， ，过点
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】且斜率为 的直线l交双曲线的右支于M，N两点，若 的周长为36，则双曲线C的方程为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得 ，则直线 为 ，代入双曲线方程中，利用弦长公式求出 ，
再由双曲线的定义和 的周长为36，可求出 ，从而可求出双曲线的方程.
【详解】因为双曲线 的渐近线方程为 ，
所以 ，则双曲线方程为 ， ， ，
所以直线 为 ，设 ，
由 ，得 ，
则 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
因为 的周长为36，所以 ，
所以 ，得 ，所以双曲线方程为 ，
故选：D
50．（ 2023·河北唐山·迁西县第一中学校考二模）（多选）已知直线 经过双曲线 （ ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】）的左焦点，且与C交于A，B两点，若存在两条直线，使得 的最小值为4，则下列四个点中，C
经过的点为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据最短弦长确定双曲线方程，再把点代入验证得出结果.
【详解】若直线 与C的两支交于顶点A、B，则 ，
若直线 与C的一支交于A，B两点，则通径最短， ，
由题意得 ，解得 ，
则C的方程为 ，
把选项ABCD分别代入方程，则B选项表示的点不在双曲线上，ACD选项表示的点在双曲线上．
故选：ACD．
51．过双曲线 的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长 ．
【答案】8
【分析】写出直线方程，联立双曲线方程，利用弦长公式求解即可.（也可以直接使用双曲线焦点弦长公式
代值求解）
【详解】由双曲线 ，得 ， ，
焦点为 ，倾斜角 ，
法一：直线斜率 ，直线方程为 ，
联立 消 得， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由韦达定理知 ，
代入弦长公式 ，
得 .
法二： .
故答案为：8.
52．已知双曲线 ： ，若直线 的倾斜角为60°，且与双曲线C的右支交于M，N两点，与x轴
交于点P，若 ，则点P的坐标为 .
【答案】
【分析】设直线 的方程为 ，与双曲线方程 联立，利用根与系数的关系及弦长公式列
式求解 的值，即可求出直线 的方程，令 即可得出答案.
【详解】双曲线双曲线 ： 的渐近线方程为 ，
而直线 的倾斜角为60°，则直线 的斜率为 ，可设直线 的方程为 ，
与双曲线方程 联立，化简可得 ，
由 ，得 或 ．
设 ， ，则 ， ，
则 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，解得： （舍去）或 ，
所以直线 的方程为 ，令 ，可得 .
故点P的坐标为 .
故答案为： .
53．设动点 与点 之间的距离和点 到直线 的距离的比值为 ，记点 的轨迹
为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)若 为坐标原点，直线 交曲线 于 两点，求 的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，结合距离公式列出方程，整理即可得到曲线的方程；
（2）联立方程组，设 ，利用弦长公式和点到直线的距离公式，结合三角形的面积公式，
即可求解.
【详解】（1）解：由动点 与点 之间的距离和到直线 ： 的距离的比值为 ，
可得 ，整理得 ，
即曲线 的方程为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）解：联立方程组 ，整理得 ，
设 ， ，可得 ， ，
所以 ，
又由点 到直线 的距离 ，
所以 的面积 .
54．已知 为坐标原点， ， ，直线 ， 的斜率之积为4，记动点 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)直线 经过点 ，与 交于 ， 两点，线段 中点 为第一象限，且纵坐䏡为 ，求 的
面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设点 的坐标为 ，根据题意结合斜率公式求解即可；
（2）显然直线 的斜率不存在时，不符合题意，设直线 方程为 ，与双曲线方程联立，利用
韦达定理求出 的值，再求出 和 到直线 的距离 即可求解.
【详解】（1）设点 的坐标为 ，
因为 ， ，所以 ，
化简得：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 的方程为： .
（2）当直线 的斜率不存在时，显然不符合题意；
设 ， ，直线 方程为 ，
与 联立得： ，
由 且 ，解得 且 ，
由韦达定理得 ，
因为线段 中点 在第一象限，且纵坐标为 ，
所以 ，
解得 或 （舍去），
所以直线 为 ，
所以 ，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】点到直线 的距离 ，
所以 .
【点睛】解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为 ， ；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于 或 的一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为 ， 形式；
（5）代入韦达定理求解.
考点10双曲线的中点弦问题
55．已知双曲线C： ，若双曲线C的一条弦的中点为 ，则这条弦所在直线的斜率为
（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】运用点差法，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解判断即可.
【详解】设该弦为 ， 设 ，
则有 ，两式相减，得 ，
因为双曲线C的一条弦的中点为 ，
所以 ，
因此由 ，
即这条弦所在直线的斜率为 ，方程为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】代入双曲线方程中，得 ，
因为 ，
所以该弦存在，
故选：D
56．已知双曲线的中心在原点，且它的一个焦点为 ，直线 与其相交于 、 两点，线段
中点的横坐标为 ，求此双曲线的方程．
【答案】
【分析】设双曲线的方程为 ，利用点差法求出 的关系，再结合 ，求出
，即可得解.
【详解】设双曲线的方程为 ，由题意可得 ，
设 ， ，
由直线 与其相交于 、 两点，线段 中点的横坐标为 ，
得 的中点为 ，则 ，
由 且 ，
两式相减得 ，
则 ，即 ，
所以 ，联立 ，解得 ， ，
故所求双曲线的方程为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】57．过点 作直线与双曲线 相交于B，C两点，且A为线段BC的中点，求这条直线的方
程.
【答案】
【分析】首先讨论斜率不存在的情况是否满足题意，再设直线斜率存在时直线方程 ，并与双
曲线方程联立，利用韦达定理，结合中点坐标公式，即可求解.
【详解】若过点 的直线的斜率不存在时，若点 为 的中点，则点 必在 轴上，这与 矛盾，
当过点 的直线的斜率存在时，设该直线方程为 ， ， ，
联立方程 ，消去 可得，
，
当 时， ，
整理为 恒成立，
有 ， ，
因为点 是 的中点，所以 ，得 ，成立，
所以所求直线方程为 ，即 .
58．如图1、2，已知圆 方程为 ，点 ．M是圆 上动点，线段 的垂直平分线交
直线 于点 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求点 的轨迹方程；
(2)记点 的轨迹为曲线 ，过点 是否存在一条直线 ，使得直线 与曲线 交于两点 ，且
是线段 中点．
【答案】(1)
(2)不存在这样的直线
【分析】（1）根据双曲线的定义求得点 的轨迹方程.
（2）利用点差法求得直线 的方程，联立直线 的方程和点 的轨迹方程联立，根据方程组无解求得
正确答案.
【详解】（1）由中垂线性质知，
所以
所以点 的轨迹是以 为焦点，实轴长为 的双曲线
设此双曲线方程为 ，则
所以点 的轨迹方程为 ．
（2）设 可得
两式相减得
由题意 ，所以
直线 方程为 ，
由 ，得
∵ ．∴不存在这样的直线 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】59．已知焦点在 轴上的双曲线实轴长为 ，其一条渐近线斜率为 ．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点 能否作直线 ，使直线 与所给双曲线交于 、 两点，且点 是弦 的中点？如果直线 存
在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）设曲线的标准方程为 ，根据已知条件求出 、 的值，即可得出该双
曲线的标准方程；
（2）设以 为中点的弦的两端点为 、 ，利用点差法求出直线 的斜率，进而可得
出直线 的方程，判断直线 与双曲线 的位置关系，可得出结论.
【详解】（1）解：因为双曲线的焦点在 轴上，设该双曲线的标准方程为 ，
因为该双曲线的实轴长为 ，一条渐近线斜率为 ，则 ，解得 ，
因此，该双曲线的标准方程为 .
（2）解：假定直线 存在，设以 为中点的弦的两端点为 、 ，
则有 ， ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】根据双曲线的对称性知 ．由点 、 在双曲线上，
得 ， ，
两式相减得 ，
所以 ，所以 ，
即以 为中点的弦所在直线的斜率 ，
故直线 的方程为 ，即 ．
联立 ，消去 得 ，
，
因此直线 与双曲线无交点，故满足条件的直线 不存在．
60．过 双曲线 的弦 ，且 为弦 的中点，求直线 的方程.
【答案】
【分析】设 ， ，代入曲线方程，两式相减，根据中点坐标可知 和 的值，进而
求得直线 的斜率，再根据点斜式求方程.
【详解】设 ， ，因为 为弦 的中点，所以 ， ，
因为直线 与双曲线 的相交于 ， 两点，
所以 ，两式相减得 ，
即
所以 ，
故直线的 方程为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 .
经验证该直线与双曲线相交.
考点11直线与双曲线的综合问题
61．已知双曲线 的渐近线倾斜角分别为 和 ， 为其左焦点， 为双曲线右支上一个动点．
(1)求双曲线方程．
(2)过点 分别作两渐近线的垂线，垂足分别为 ，求证： 为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由渐近线方程求解 ，即可得双曲线方程；
（2）设点 ，由点线距离公式用 点坐标表达 ，再利用 可证.
【详解】（1）双曲线渐近线方程为 ，又 ，所以 ，
双曲线的标准方程为 .
（2）设 ，两渐近线方程为 ，
则
又 ，即 ，所以 为定值．
62．已知点 ， ，动点 满足直线 与 的斜率之积为 ，记动点 的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)过点 的直线与曲线 交于 两点，直线 与 相交于 ．求证：点 在定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用 可整理得到轨迹方程；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）设 ， ，表示出直线 的方程，联立后可整理得到
，联立 与双曲线方程可得韦达定理的结论，利用 可整理
得到所求定直线.
【详解】（1） ， ， ，整理可得： ，
又 ， 曲线 的方程为： .
（2）
由题意知：直线 斜率不为 ，则可设 ，
设 ，
则直线 ，直线 ，
由 得： ，
由 得： ，则 ，即 ，
， ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，解得： ，
即 点在定直线 上.
【点睛】思路点睛：本题考查直线与双曲线综合应用中的定直线问题的求解，求解此类问题的基本思路如
下：
①假设直线方程，与双曲线方程联立，整理为关于 或 的一元二次方程的形式；
②利用 求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，消掉变量后可得定直
线方程.
63．在平面直角坐标系 中，已知双曲线Ｃ的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x轴的交点为
，其中一条渐近线的倾斜角为 .
(1)求C的标准方程；
(2)过点 作直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，在线段 上取一点E满足
，证明：点E在一条定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意可得双曲线焦点在 轴上，且 ， ，即可求得双曲线方程；
（2）根据双曲线对称性以及交点特征，设出直线方程并与双曲线联立，利用韦达定理根据题目中的表达
式代入整理可知点E在定直线 上.
【详解】（1）根据题意，设双曲线的方程为 ，
由题知 ， ，可得 ；
所以双曲线方程为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）易知 为双曲线的右焦点，如下图所示：
由题知直线l斜率存在，
根据对称性，不妨设斜率为 ，故直线的方程为 ，
代入双曲线方程得 ，
设 ， ，
由韦达定理有 ， ，
且 ， ，
设 ，点E在线段 上，所以
由 可得
化简得 ，
代入 和 并化简可得 ，
即存在点E满足条件，并且在定直线 上.
64．如图，已知点 和点 在双曲线 上，双曲线 的左顶点为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，过点 且不与 轴重合的直线 与双曲线 交于 ， 两点，直线 ， 与圆
分别交于 ， 两点.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设直线 ， 的斜率分别为 ， ，求 的值；
(3)证明：直线 过定点.
【答案】(1)
(2)
(3)直线 过定点 ,证明见解析.
【分析】（1）根据双曲线上的点求标准方程；
（2）利用韦达定理运算求解即可；
（3）利用联立方程组，结合韦达定理求得 的坐标，猜想 过定点 ，并用三点共线与斜率的关
系证明求解.
【详解】（1）因为点 和点 在双曲线上，
所以 ，解得 ，所以双曲线 的标准方程为 .
（2）由题可知，直线 的斜率不等于零，故可设直线 的方程为 ，
设 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】联立 ，整理得 ，
若 ，即 ，直线 的斜率为 ，与渐近线 平行，
此时直线 与双曲线有且仅有一个交点，不满足题意，所以 ，
所以
，
，
因为 ,所以
，所以 .
（3）（i）当 轴时， 且 ，
所以 ，则 ，
联立 ，整理得 ，
即 ，解得 或 ，
当 时， ，所以 ，
由于对称性， ，此时直线 过定点 ；
（ii）当 不垂直于 轴时，以下证明直线 仍过定点设为 ，
因为 ，所以联立 ，
即 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解得 或 ，
当 时， ，
所以 ,
同理，将上述过程中 替换为 可得 ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 三点共线，即此时直线 恒过定点 ，
综上直线 过定点 .
65．已知双曲线 ： 的离心率为2，其左、右焦点分别为 ， ，点 为 的渐近
线上一点， 的最小值为 .
(1)求 的方程；
(2)过 的左顶点 且斜率为 的直线 交 的右支于点 ，与直线 交于点 ，过 且平行于
的直线交直线 于点 ，证明：点 在定圆上.
【答案】(1)
(2)证明见解析
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】（1）利用双曲线的渐近线方程和点到直线距离公式求解；
（2）根据题意做出几何图形，求出点 的坐标，利用斜率公式求出 ，进而可得
，从而有 ，即可证明求解.
【详解】（1）设双曲线的右焦点 ，一条渐近线的方程为 ，
因为 的最小值为 ，
所以右焦点 到渐近线 的距离为 ，
所以 ，
又因为离心率 ，所以 ，
所以 的方程为： .
（2）由题得， 的左顶点 ，右焦点 ，
所以直线 为线段 的垂直平分线，
所以 的斜率分别为 ，
所以直线 的直线方程为 与 联立有，
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设 ，则有 ，即
所以 ，
当 轴时， ，则有
为等腰直角三角形，
所以 ,
当 不垂直于 轴时， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以
所以 为定值，
所以点 在定圆 上.
66．已知双曲线 的左、右顶点分别为 、 ， 为双曲线上异于 、 的任意一点，
直线 、 的斜率乘积为 ．双曲线 的焦点到渐近线的距离为1．
(1)求双曲线 的方程；
(2)设不同于顶点的两点 、 在双曲线 的右支上，直线 、 在 轴上的截距之比为 ．试问直
线 是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)
(2)过定点，定点坐标为
【分析】（1）根据所给条件，列出方程组，求出 即可得解；
（2）设出直线方程及M，N点的坐标，求出截距建立方程，再由 解方程得 或 ，
即可得解.
【详解】（1）设 ，
由 可得 ，又 ，
，
又焦点到其一条渐近线 的距离为 ，解得： ．
所以双曲线 的方程： .
（2）设直线 的方程为 ，如图，
由 得 ，
，
，直线 ，则直线 在 轴上的截距为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】直线 ，则直线 在 轴上的截距为 ，
由题得： ，又 ，
所以 ．
所以 ，则 ，
，
，
，化简得： 或 ．
若 ，直线 过顶点，舍去． ．
则直线 的方程为 ，
所以直线 过定点 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
