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考点巩固卷 21 双曲线方程及其性质(十一大考点)
考点01双曲线的定义及标准方程
1．设 是双曲线 左支上的动点， 分别为左右焦点，则 （ ）
A． B． C．4 D．
2．如果双曲线 上一点 到它的右焦点的距离是 ，那么点 到它的左焦点的距离是（ ）
A． B． C． 或 D．不确定
3．已知点 ，动点 满足 ，则动点 的轨迹方程为（ ）A． B．
C． D．
4．已知 ，动点P满足 ，求动点P的轨迹方程．
5．已知点 ， ，动点P满足 ，当点P的纵坐标是 时，求点P到坐标原
点的距离．
6．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1) ；
(2)焦点为 ，经过点 ．
考点02根据方程表示圆、椭圆、双曲线求参数
7．已知方程 表示的焦点在y轴的双曲线，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．“ ”是“ 表示双曲线”的（ ）．A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
9．（多选）已知方程 表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当 时，曲线C是椭圆 B．当 或 时，曲线C是双曲线
C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则
10．（多选）已知 ， 为两个不相等非零实数，则方程 ，与 所表示的曲线不
可能是（ ）
A． B． C． D．
11．（多选）若方程 所表示的曲线为 ，则下面四个说法中正确的是（ ）
A．若 ，则 为椭圆
B．若 为椭圆，且焦点在 轴上，则
C．曲线 可能是圆
D．若 为双曲线，则
12．若方程 表示双曲线，则实数m的取值范围是_____；若表示椭圆，则m的取值范围是
_____．
考点03双曲线的焦点三角形问题13．已知双曲线 的左焦点为 为坐标原点，右焦点为 ，点 为双曲线
右支上的一点，且 的周长为 为线段 的 中点，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．设 ， 是双曲线 的左､右焦点，过 的直线 交双曲线的左支于 ， 两点，若直
线 为双曲线的一条渐近线， ，则 的值为（ ）
A．11 B．12 C．14 D．16
15．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过点 的直线与双曲线的右支相
交于A，B两点， ，且 的周长为10，则双曲线C的焦距为_____．
16．如图，双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，P为C的右支上一点，且 ，求
的面积．
17．若 ， 是双曲线 的左、右焦点，点P在此双曲线上，且 ，求 的大小．
18．双曲线 的左、右两焦点分别为 ，点 在双曲线上，且 ，求
的面积．
考点04双曲线的简单几何性质
19．已知双曲线 与 ，下列说法正确的是（ ）
A．两个双曲线有公共顶点
B．两个双曲线有公共焦点
C．两个双曲线有公共渐近线
D．两个双曲线的离心率相等
20．已知离心率为 的双曲线C： 的左、右焦点分别为 ，M是双曲线C的一
条渐近线上的点，且 ，O为坐标原点，若 ，则双曲线的实轴长是（ ）
A．32 B．16
C．84 D．4
21．已知双曲线 与双曲线 ，则两双曲线的（ ）
A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
22．已知双曲线 的离心率为 ，虚轴长为4，则 的方程为（ ）
A． B．C． D．
23．（多选）双曲线C经过 ， 两点，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的标准方程是
B．双曲线C的渐近线程为
C．双曲线C的焦点坐标是 ，
D．双曲线C的离心率为2
24．已知点 是双曲线 上一点， 分别是双曲线 的左、右焦点， 的周长为
，则 的面积为_____．
考点05求双曲线离心率
25．（ 2023·甘肃酒泉·统考三模）已知双曲线 的右焦点为 ，过点 的直线 与
双曲线 的右支交于 ， 两点，且 ，点 关于原点 的对称点为点 ，若 ，则双
曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
26．学业质量联合检测数学试题）已知双曲线 （ ， ），直线 的斜率为 ，且过
点 ，直线 与 轴交于点 ，点 在 的右支上，且满足 ，则 的离心率为（ ）
A． B．2
C． D．
27．设 ， 是双曲线C： 的左、右焦点，过 的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点，点M在x轴上， ， 平分 ，则C的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
28．双曲线C： 的右顶点为 ，点 均在C上，且关于y轴对称.若直线AM，
AN的斜率之积为 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
29．（多选）已知双曲线 的上焦点为 ，过焦点 作 的一条渐近线的垂线，垂
足为 ，并与另一条渐近线交于点 ，若 ，则 的离心率可能为（ ）
A． B． C． D．
30．已知双曲线 ： 的右焦点为 ，过 分别作 的两条渐近线的平行线与 交于 ，
两点，若 ，则 的离心率为_____
考点06求双曲线离心率的取值范围
31．已知点F是双曲线 （ ）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴
的直线与双曲线交于A，B两点，若 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
32．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，若在 上存在点 不是顶点 ，使得 ，则 的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
33．已知双曲线 为左焦点， 分别为左､左顶点， 为 右支上的点，且
（ 为坐标原点）.若直线 与以线段 为直径的圆相交，则 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
34．已知双曲线 与直线 相交于两个不同的点，则双曲线C的离心率的取值范
围为（ ）
A． B．
C． D．
35．已知斜率为 的直线 经过双曲线 的上焦点 ，且与双曲线的上、下两支都相交，则双曲线
的离心率 的取值范围是_____．
36．双曲线 的两个焦点为 ， ，若双曲线上存在点 ，使 ，求双曲
线离心率的取值范围.
考点07双曲线的渐近线
37．过原点的直线l与双曲线E： 交于A，B两点（点A在第一象限）， 交x轴于C点，直线BC交双曲线于点D，且 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
38．已知双曲线C： 的一条渐近线方程为 ，且与椭圆 有公共焦
点，则C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
39．双曲线 的两条渐近线的夹角为（ ）
A． B． C． D．
40．（ 2023·贵州遵义·统考三模）过双曲线 的左焦点F作C的其中一条渐近线
的垂线l，垂足为M，l与C的另一条渐近线交于点N，且 ，则C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
41．已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，过 的直线分别交双曲线左、右
两支于A，B两点，点C在x轴上， ， 平分 ，则双曲线 的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
42．设 ， 分别为双曲线 的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足
，且 到直线 的距离等于双曲线的实轴长，求该双曲线的渐近线方程．考点08直线与双曲线的位置关系
43．双曲线 与直线 的公共点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2
44．直线 与双曲线 有且只有一个公共点，则实数 _____．
45．关于曲线 有如下四个命题：
①曲线C经过第一、二、四象限；
②曲线C与坐标轴围成的面积为 ；
③直线 与曲线C最多有两个公共点；
④直线 与曲线C有且仅有一个公共点.
其中所有真命题的序号是 _____（填上所有正确命题的序号）.
46．设直线 与双曲线 的方程分别为 和 ，当实数 取何值时，直线与双曲线分别有两个
公共点？一个公共点？没有公共点．
47．已知双曲线 ，直线 ，试确定实数k的取值范围，使：(1)直线l与双曲线有两个公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l与双曲线没有公共点．
48．已知双曲线E的两个焦点分别为 ，并且E经过点 .
(1)求双曲线E的方程；
(2)过点 的直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，求直线l的方程.
考点09双曲线的弦长问题
49．已知双曲线C： 的渐近线方程为 ，左、右焦点分别为 ， ，过点
且斜率为 的直线l交双曲线的右支于M，N两点，若 的周长为36，则双曲线C的方程为
（ ）
A． B． C． D．
50．（ 2023·河北唐山·迁西县第一中学校考二模）（多选）已知直线 经过双曲线 （ ，
）的左焦点，且与C交于A，B两点，若存在两条直线，使得 的最小值为4，则下列四个点中，C
经过的点为（ ）
A． B．
C． D．51．过双曲线 的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长 _____．
52．已知双曲线 ： ，若直线 的倾斜角为60°，且与双曲线C的右支交于M，N两点，与x轴
交于点P，若 ，则点P的坐标为_____.
53．设动点 与点 之间的距离和点 到直线 的距离的比值为 ，记点 的轨迹
为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)若 为坐标原点，直线 交曲线 于 两点，求 的面积.
54．已知 为坐标原点， ， ，直线 ， 的斜率之积为4，记动点 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)直线 经过点 ，与 交于 ， 两点，线段 中点 为第一象限，且纵坐䏡为 ，求 的
面积.
考点10双曲线的中点弦问题
55．已知双曲线C： ，若双曲线C的一条弦的中点为 ，则这条弦所在直线的斜率为
（ ）
A． B． C．1 D．56．已知双曲线的中心在原点，且它的一个焦点为 ，直线 与其相交于 、 两点，线段
中点的横坐标为 ，求此双曲线的方程．
57．过点 作直线与双曲线 相交于B，C两点，且A为线段BC的中点，求这条直线的方
程.
58．如图1、2，已知圆 方程为 ，点 ．M是圆 上动点，线段 的垂直平分线交
直线 于点 ．
(1)求点 的轨迹方程；
(2)记点 的轨迹为曲线 ，过点 是否存在一条直线 ，使得直线 与曲线 交于两点 ，且
是线段 中点．59．已知焦点在 轴上的双曲线实轴长为 ，其一条渐近线斜率为 ．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点 能否作直线 ，使直线 与所给双曲线交于 、 两点，且点 是弦 的中点？如果直线 存
在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．
60．过 双曲线 的弦 ，且 为弦 的中点，求直线 的方程.
考点11直线与双曲线的综合问题
61．已知双曲线 的渐近线倾斜角分别为 和 ， 为其左焦点， 为双曲线右支上一个动点．
(1)求双曲线方程．
(2)过点 分别作两渐近线的垂线，垂足分别为 ，求证： 为定值．
62．已知点 ， ，动点 满足直线 与 的斜率之积为 ，记动点 的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)过点 的直线与曲线 交于 两点，直线 与 相交于 ．求证：点 在定直线上．63．在平面直角坐标系 中，已知双曲线Ｃ的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x轴的交点为
，其中一条渐近线的倾斜角为 .
(1)求C的标准方程；
(2)过点 作直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，在线段 上取一点E满足
，证明：点E在一条定直线上.
64．如图，已知点 和点 在双曲线 上，双曲线 的左顶点为
，过点 且不与 轴重合的直线 与双曲线 交于 ， 两点，直线 ， 与圆
分别交于 ， 两点.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设直线 ， 的斜率分别为 ， ，求 的值；
(3)证明：直线 过定点.65．已知双曲线 ： 的离心率为2，其左、右焦点分别为 ， ，点 为 的渐近
线上一点， 的最小值为 .
(1)求 的方程；
(2)过 的左顶点 且斜率为 的直线 交 的右支于点 ，与直线 交于点 ，过 且平行于
的直线交直线 于点 ，证明：点 在定圆上.
66．已知双曲线 的左、右顶点分别为 、 ， 为双曲线上异于 、 的任意一点，
直线 、 的斜率乘积为 ．双曲线 的焦点到渐近线的距离为1．
(1)求双曲线 的方程；
(2)设不同于顶点的两点 、 在双曲线 的右支上，直线 、 在 轴上的截距之比为 ．试问直
线 是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
