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考点巩固卷 22 古典概型、相互独立、条件概率及
全概率公式(六大考点)
考点01：互斥事件和对立事件
互斥事件与对立事件
1.互斥事件：在一次试验中，事件 和事件 不能同时发生，即 ，则称事件 与
事件 互斥，可用下图表示：
如果 ， ，…， 中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件 ，． ．，…，
彼此互斥．
2.对立事件：若事件 和事件 在任何一次实验中有且只有一个发生，即 不发
生， 则称事件 和事件 互为对立事件，事件 的对立事件记为 ．3.互斥事件与对立事件的关系
①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，
还要求二者之一必须有一个发生．
②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”
的必要不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件．
1．已知 、 分别为随机事件A、 的对立事件， ， ，则下列等式错误
的是（ ）
A． B．
C．若A、 独立，则 D．若A、 互斥，则
【答案】A
【分析】结合互斥事件、对立事件的定义，根据条件概率性质，逐个判断.
【详解】由 ，故选项A错误，选项B正确；
若A、 独立，则 ， ，故选项C正确；
若A、 互斥，则 ， ，故选项D正确.
故选：A.
2．一袋子中装有5个除颜色外完全相同的小球，其中3个红球，2个黑球，从中不放回的
每次取出1个小球，连续取两次，则取出的这两个小球颜色不同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分第一次取出为红球和黑球两种情况求解即可.
【详解】由题意，第一次取出可能为红球或黑球，故连续取两次，则取出的这两个小球颜
试卷第2页，共3页色不同的概率为 .
故选：D
3．现有甲、乙、丙、丁四名同学同时到 三个不同的社区参加公益活动，每个社区
至少分配一名同学.设事件 “恰有两人在同一个社区”，事件 “甲同学和乙同学在
同一个社区”，事件 “丙同学和丁同学在同一个社区”，则下面说法正确的是（ ）
A．事件 与 相互独立 B．事件 与 是互斥事件
C．事件 与 相互独立 D．事件 与 是对立事件
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用相互独立事件、互斥事件、对立事件的意义逐项判断即得.
【详解】对于A，依题意，甲、乙、丙、丁中必有两人在同一社区，即事件 是必然事件，
，
显然 ， ，因此事件 与 相互独立，A正确；
对于B，由 ，得事件 与 不是互斥事件，B错误；
对于C，显然事件事件 与 不可能同时发生，即 ，而 ，事件
与 相互不独立，C错误；
对于D，显然事件 与 可以同时不发生，如甲丙在同一社区，因此事件 与 不是对立
事件，D错误.
故选：A
4．甲袋中有3个红球，3个白球和2个黑球；乙袋中有2个红球，2个白球和4个黑球.先
从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以 ， ， 表示事件“取出的是红球”、“取出
的是白球”、“取出的是黑球”；再从乙袋中随机取出一球，以 表示事件“取出的是白
球”，则下列结论中不正确的是（ ）
A．事件 ， ， 是两两互斥的事件 B．事件 与事件 为相互独立事件
C． D．
【答案】B
【分析】由互斥事件，互相独立事件的概念以及条件概率的计算公式逐项判断即可.【详解】由题意可得 ， ， ，
显然事件 ， ， 是两两互斥的事件，故A正确；
，故D正确；
， ，
所以 ，故事件 与事件 不是相互独立事件，故B错误；
，故C正确；
故选：B.
5．质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有 ， ， ， 四个数字，将这个模型抛掷
一次，并记录与地面接触面上的数字，记事件“数字为 的倍数”为事件 ，“数字是
的倍数”为事件 ，“数字是 的倍数”为事件 ，则下列选项正确的是（ ）
A．事件 两两互斥 B．事件 与事件 对立
C． D．事件 两两相互独立
【答案】D
【分析】根据互斥事件的定义判断A，根据对立事件的定义及事件的运算判断B，根据古
典概型求 ，判断C，根据独立事件定义判断D.
【详解】事件 包含基本事件“数字为 ”， “数字为 ”，
事件 包含基本事件“数字为 ”， “数字为 ”，
事件 包含基本事件“数字为 ”， “数字为 ”，
事件 可能同时发生，所以事件 不是互斥事件，A错误；
事件 包含基本事件“数字为 ”， “数字为 ”，“数字为 ”，
事件 包含基本事件“数字为 ”，
试卷第4页，共3页所以事件 与事件 不是互斥事件，故也不是对立事件；B错误；
， ， ，
事件 包含基本事件“数字为 ”， ，
所以 ，C错误；
事件 包含基本事件“数字为 ”， 事件 包含基本事件“数字为 ”，
事件 包含基本事件“数字为 ”，
所以 ，
又 ，
由独立事件定义可得事件 两两相互独立，D正确；
故选：D.
6．某疾病全球发病率为 ，该疾病检测的漏诊率（患病者判定为阴性的概率）为 ，
检测的误诊率（未患病者判定为阳性的概率）为 ，则某人检测成阳性的概率约为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别求得非患者检测为阳性的概率与患者检测为阳性的概率，可求得结论.
【详解】由题意，未患病者判定为阳性的概率为 ，患病者判定为阳性的概率为 ，
某人检测成阳性包含两种情况：
①非患者检测为阳性的概率为 ；
②患者检测为阳性的概率为 ，
所以某人检测成阳性的概率为 ．
故选：D.
7．在一个有限样本空间中，假设 ，且A与B相互独立，A与C互
斥，以下说法中，正确的个数是（ ）
① ② ③若 ，则B与C互斥
A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C
【分析】由 与 相互独立，则 ，计算即可判断①；由条
件概率公式计算即可判断②；由 ，可得 ，若
互斥，则 ， 满足，可判断③.
【详解】对于①， ， 且 与 相互独立， 则
，故①错误；
对于②， ，
，
故 ， 故②正确；
对于③， ，
则 ， ，
故 ，
即 ，
若 互斥，则 ， 满足上式，
故 ， 即 与 互斥， 故③正确．
故选：C．
8．某校举办运动会，其中有一项为环形投球比寒，如图，学生在环形投掷区 内进行投球.
试卷第6页，共3页规定球重心投掷到区域 内得3分，区域 内得2分，区域 内得1分，投掷到其他区域
不得分.已知甲选手投掷一次得3分的概率为0.1，得2分的概率为 ，不得分的概率为
0.05，若甲选手连续投掷3次，得分大于7分的概率为0.002，且每次投掷相互独立，则甲
选手投掷一次得1分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由已知条件确定 ，再计算 即可得到结果.
【详解】由于甲选手投掷3次后，如果得分大于7分，则3次的得分必定是3，3，3或3，
3，2（不考虑顺序），所以其概率 .
而已知 ，故 ，所以 .
从而甲选手投掷一次得1分的概率为 .
故选：B.
9．某型号新能源汽车参加碰撞测试和续航测试，该型号新能源汽车参加这两项测试的结果
相互不受影响．若该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为 ，在续航测试中
结果为优秀的概率为 ，则该型号新能源汽车在这两项测试中仅有一项测试结果为优秀的
概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】根据独立事件的概率公式与互斥事件的概率加法公式可求概率.
【详解】根据题意可得该型号新能源汽车在这两项测试中仅有一项测试结果为优秀的概率
为 ．
故选：C.
10．某学生的QQ密码是由前两位是大写字母，第三位是小写字母，后六位是数字共九个
符号组成．该生在登录QQ时，忘记了密码的最后一位数字，如果该生记住密码的最后一
位是奇数，则不超过两次就输对密码的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设出事件，由已知根据互斥事件的运算性质，以及条件概率的性质，即可得出答
案.
【详解】设 为“第 次按对密码”（ ），
则事件 “不超过2次就按对”可表示为 ，
记“密码的最后一位数字是奇数”为事件 ，
由条件概率的性质可得 .
.故选：C.
考点02：古典概型
1.定义：一般地，若试验 具有以下特征：
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
2.古典概型的概率公式
一般地，设试验 是古典概型，样本空间 包含 个样本点，事件 包含其中的 个样本
点，则定义事件 的概率 .
注：（1）解决古典概型的问题要注意清楚以下三个方面
①本试验是否具有等可能性；
试卷第8页，共3页②本试验的基本事件有多少个；
③事件 是什么．
（2）一般解题步骤：
①仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
②判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件 ；
③分别求出基本事件的个数 与所求事件 中所包含的基本事件个数 ；
④利用公式 求出事件 的概率．
11．将除颜色外完全相同的2个红球和1个白球随机放入2个不同的盒子中，每个盒子中
至少放入1个球，则2个红球分别放入不同盒子中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分析求出所有的基本事件，然后由古典概型的计算公式求解即可.
【详解】将除颜色外完全相同的2个红球和1个白球随机放入2个不同的盒子中，
每个盒子中至少放入1个球，则基本事件有：（红1，白红2），（白，红1红2），（红
2，白红1），
则2个红球分别放入不同盒子中包含了（红1，白红2），（红2，白红1），
所以由古典概型的公式得概率为： .
故选：A
12．甲，乙两名同学要从A、B、C、D四个科目中每人选取三科进行学习，则两人选取的
科目不完全相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】运用分步乘法原理，结合古典概型和对立事件概率公式求解.
【详解】两人选取科目的方法共有 种，科目完全相同的方法共有 种，
科目不完全相同方法共有12种，故所求概率为 .
故选：D.
13．将1个0，2个1，2个2随机排成一行，则2个1不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】利用排列组合公式结合古典概型的概率公式即可求解．
【详解】将1个0，2个1，2个2随机排成一行，共有 种，
其中，2个1不相邻的情况有 种，
故所求概率为 ．
故选：A.
14．九九重阳节期间，甲､乙两名同学计划去敬老院做志愿者，若甲同学在初八、初九、初
十这三天中随机选一天，乙同学在初八、初九这两天中随机选一天，且两名同学的选择互
不影响，则他们在同一天去的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】按照分步乘法计数原理求出基本事件总数，再求出符合题意的基本事件数，最后
由古典概型的概率公式计算可得.
【详解】甲同学在三天中随机选一天，共有3种情况，乙同学在两天中随机选一天，共有
2种情况，所以一共有 种情况，
他们在同一天去共有2种情况，所以他们在同一天去的概率为 .
故选：B.
15．在区间 上任取一个整数 ，则使函数 存在两个不同零点的
概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用 ，可求有两个零点的 的范围，进而可求概率.
试卷第10页，共3页【详解】因为函数 存在两个不同零点，
所以 有两个不同的根，
所以 ，解得 或 ，
在区间 上任取一个整数 ，共有16种取法，
能使使函数 存在两个不同零点的取法有13种，
所以使函数 存在两个不同零点的概率为 .
故选：C.
16．某考点在高考期间安排了高一、高二年级各两名同学参与执勤，电视台从4名执勤同
学中随机抽取2名同学采访，则这两名同学来自同一个年级的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别求出从4名执勤同学中随机抽取2名同学的方法数和两名同学来自同一个年
级的方法数即可根据古典概型的概率公式求解.
【详解】电视台从4名执勤同学中随机抽取2名同学采访共有 种方法，
由题这两名同学可能同来自高一也可能同来自高二，
所以这两名同学来自同一个年级共有 种方法，
所以这两名同学来自同一个年级的概率是 .
故选：C.
17．从 三个数字组成的没有重复数字的三位数中任取一个数，则该数为偶数的概率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】先求出组成无重复的三位数的个数，再求出是偶数的三位数的个数，根据古典概
型求出概率即可.
【详解】因为由1，2，3组成没有重复数字的三位数的个数为； ，
由1，2，3组成没有重复数字的三位数的偶数的个数为： ，
所以由1，2，3组成没有重复数字的三位数，从中任取一个为偶数的概率为 .
故选：D
18．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数都
是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用列举法结合古典概型分析求解.
【详解】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取2张，
总共包含 ， 这10个基本事件，
抽到的2张卡片上的数都是奇数包含其中 这3个基本事件，
所以抽到的2张卡片上的数都是奇数的概率为 .
故选：D.
19．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如 ，在不
超过18的素数2，3，5，7，11，13，17中，随机选取两个不同的数，其和等于18的概率
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】随机选取两个不同的数，基本事件总数 ,利用列举法能求出其和等于18
包含的基本事件有2个，由此求出概率.
【详解】在不超过18的素数2，3，5，7，11，13，17中，随机选取两个不同的数, 基本事
试卷第12页，共3页件总数 ,
其和等于18包含的基本事件有： ， ，共2个，所以和等于18的概率是 ；
故选：B
20．将2个a和3个b随机排成一行，则2个a不相邻的概率为（ ）
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
【答案】C
【分析】求出所有的样本点，然后由古典概型的概率公式求解即可.
【详解】2个a和3个b随机排成一行的样本空间为:
，共 个样本点，
其中2个a不相邻的样本点有 ，共 个，
所以所求概率为： .
故选：C
考点03：独立事件的概率
相互独立事件的概念及性质
（1）相互独立事件的概念
对于两个事件 ， ，如果 ，则意味着事件 的发生不影响事件 发
生的概率．设 ，根据条件概率的计算公式， ，从而
．
由此我们可得：设 ， 为两个事件，若 ，则称事件 与事件 相
互独立．
（2）概率的乘法公式
由条件概率的定义，对于任意两个事件 与 ，若 ，则 ．我们称上式为概率的乘法公式．
（3）相互独立事件的性质
如果事件 ， 互相独立，那么 与 ， 与 ， 与 也都相互独立．
（4）两个事件的相互独立性的推广
两个事件的相互独立性可以推广到 个事件的相互独立性，即若事件 ，
，…， 相互独立，则这 个事件同时发生的概率 ．
（二）事件的独立性
（1）事件 与 相互独立的充要条件是 ．
（2）当 时， 与 独立的充要条件是 ．
（3）如果 ， 与 独立，则 成立．
21．假设 是两个事件， 且 ， 则下列结论一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用条件概率的概率公式以及相互独立事件的概率公式，对选项逐一分析判断即
可.
【详解】对于A选项，由 ， ，
可知 ，故A正确；
对于B选项， 成立的条件为 是两个独立事件，故B错误；
试卷第14页，共3页对于C选项，由 ， ，
故当 时才有 ，故C错误；
对于D选项，若要 成立，需要 ，
即 成立的条件为 是两个独立事件，故D错误.
故选：A．
22．若 ， ， ，则事件A与事件B的关系是（ ）
A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B互为对立
C．事件A与事件B相互独立 D．事件A与事件B互斥又独立
【答案】C
【分析】根据积事件概率不为零可确定A与B能同时发生，不互斥，
得不对立，可得ABD错误；根据独立事件概率公式可知C正确.
【详解】对于A,D,∵ ，∴A与B能同时发生，不互斥，故A,D错误；
对于B，∵ ，∴ ，又∵ ， ，∴事件A与事
件B不是对立事件，故B错误；
对于C,∵ ，∴ ，∴事件A与事件B相互独立，故C正
确，
故选：C．
23．一个正八面体的八个面上分别标以数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面
上的数字依次为x，x，事件A =“x = 3”，事件B =“x = 6”，事件C =“x + x = 9”，则
1 2 1 2 1 2
（ ）
A．AB = C B．A + B = C C．A，B互斥 D．B，C相互独立
【答案】D
【分析】利用互斥事件和对立事件的定义判断可得出结果.【详解】对于A:事件 发生时，事件AB不一定发生，所以A错；
对于B: 发生时， 不一定发生，所以B错；
对于C: 时， 同时发生，所以C错；
对于D: ，所以D正
确.
故选：D
24．设A，B是两个随机事件，且 ， ，则下列正确的是（ ）
A．若 ，则A与B相互独立 B．
C． D．A与B有可能是对立事件
【答案】A
【分析】对A：借助相互独立事件定义计算即可得；对B：借助概率公式计算即可得；对
C：借助条件概率公式计算即可得；对D：借助对立事件定义即可得.
【详解】对A：由 ，故 ，则有 ，
故 与 相互独立，故 与 相互独立，故A正确；
对B： ，故B错误；
对C： ，由 未定，故C错误；
对D： ，故 与 不是对立事件，故D错误.
故选：A.
25．已知随机事件A，B相互独立，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
试卷第16页，共3页【分析】根据A，B相互独立可得 ，再根据 计
算即可.
【详解】因为事件A，B相互独立，且 ，可得 ，
所以 = .
故选：B.
26．某班元旦晚会中设置了抽球游戏，盒子中装有完全相同的3个白球和3个红球.游戏规
则如下：①每次不放回的抽取一个，直至其中一种颜色的球恰好全部取出时游戏结束；②
抽取3次完成游戏为一等奖，抽取4次完成游戏为二等奖.则甲同学获得二等奖的概率为（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】记第i次取到的是红球为事件 ，分类求解即可.
【详解】记第i次取到的是红球为事件 ，
则二等奖的概率为
.
故选：C
27．甲､乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为 和 ，在目标被击中的情况
下，甲､乙同时击中目标的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，记甲击中目标为事件 ，乙击中目标为事件 ，目标被击中为事件 ，
由相互独立事件的概率公式，计算可得目标被击中的概率，再由条件概率公式计算可得.
【详解】据题意，记甲击中目标为事件 ，乙击中目标为事件 ，目标被击中为事件 ，甲､乙同时击中目标为事件 ，则 ， ，
所以 ，
，
则在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为 .
故选：C.
28．设A，B为随机事件，则 的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据互斥事件和独立事件的概念可判断AB；取特例可判断C；由
P(A)=P(AB)+P(AB)， 可判断D.
【详解】对于A，由 可知A，B为互斥事件，概率不一定相等，A
错误；
对于B，由 可知A，B相互独立，与概率大小无关，B错误；
对于C，抛掷一颗骰子，记掷出点数 为事件A，掷出点数 为事件B，
则事件 表示掷出点数为 ， 为不可能事件，
所以 ， ， ，
显然，由 推不出 ，C错误；
试卷第18页，共3页对于D， ，
，
若 ，则 ，
即 ，反之亦然，
故 的充要条件是 ，D正确.
故选：D
29．拋掷一枚质地均匀的正四面骰子（骰子为正四面体，四个面上的数字分别为1，2，
3，4），若骰子与桌面接触面上的数字为1或2，则再抛郑一次，否则停止抛掷（最多抛
掷2次）．则抛掷骰子所得的点数之和至少为4的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分抛掷次数为 及抛掷次数为 ，利用列举法及概率乘法公式计算即可得.
【详解】抛掷次数为 的概率为 ，点数可能为 或 ，
抛掷次数为 的概率为 ，
此时基本事件有 、 、 、 、 、 、 、 共八种，
其中点数之和至少为4的情况有 、 、 、 、 共五种，
故抛掷骰子所得的点数之和至少为4的概率为 .
故选：A.
30．已知随机事件 ， 发生的概率分别为 ， ，则下列说法正确的是
（ ）
A．若 ，则 ， 相互独立B．若 ， 相互独立，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】D
【分析】根据相互独立事件的定义判断A，根据条件概率公式判断B、C、D.
【详解】对于A：因为 ，所以 与 不独立，故A错误；
对于B：若 ， 相互独立，则 ，故B错误；
对于C：因为 ，所以 ，故C错误；
对于D：若 ，则 ，所以 ，故D正确.
故选：D
考点04：条件概率适用条件及应用
条件概率
（一）定义
一般地，设 ， 为两个事件，且 ，称 为在事件 发生的
条件下，事件 发生的条件概率．
注意：（1）条件概率 中“ ”后面就是条件；（2）若 ，表示条件
不可能发生，此时用条件概率公式计算 就没有意义了，所以条件概率计算必须在
的情况下进行．
试卷第20页，共3页（二）性质
（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在 和 1 之间，即
．
（2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为 ．
（3）如果 与 互斥，则 ．
注意：（1）如果知道事件 发生会影响事件 发生的概率，那么 ；
（2）已知 发生，在此条件下 发生，相当于 发生，要求 ，相当于把
看作新的基本事件空间计算 发生的概率，即 ．
31．某大学一宿舍4名同学参加2024年研究生招生考试，其中两人顺利上初试线，还有两
人差几分上线，这两名学生准备从A，B，C，D，E，F这6所大学中任选三所大学申请调
剂，则这两名学生在选择了相同大学的条件下，恰好选择了两所相同大学的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出这两名学生恰好选择了两所相同大学的方法总数，再求出这两名学生选择了
相同大学的方法总数，可得概率.
【详解】依题意，这两名学生恰好选择了两所相同大学的方法总数为： ，
这两名学生选择了相同大学的方法总数为： ，
所以所求概率 .
故选：C
32．在某电路上有C，D两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换C元件的概率为
0.3，需要更换D元件的概率为0.2，则在某次通电后C，D有且只有一个需要更换的条件
下，C需要更换的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】记事件E：在某次通电后C，D有且只有一个需要更换，事件F：C需要更换，由
条件概率的计算公式求解即可.
【详解】记事件E：在某次通电后C，D有且只有一个需要更换，
事件F：C需要更换，
则 ，
由条件概率公式可得 ．
故选：C．
33．某校高二年级学生中有60%的学生喜欢打篮球，40%的学生喜欢打排球，80%的学生
喜欢打篮球或排球．在该校高二年级的学生中随机调查一名学生，若该学生喜欢打篮球，
则他也喜欢打排球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】应用条件概率公式计算即可.
【详解】设在该校高二年级的学生中随机调查一名学生，若该学生喜欢打篮球为事件A,
在该校高二年级的学生中随机调查一名学生，则他也喜欢打排球为事件B,
,
.
故选：A.
34．现有1000个苹果，其中900个是大果，100个是小果，现想用一台水果分选机筛选出
来．已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为 ，把小果筛选为大果的概率为 经过
一轮筛选后，现在从这台分选机筛选出来的“大果”里面随机抽出一个，则这个“大果”
是真的大果的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
试卷第22页，共3页【分析】法一：设抽取的果是大果为事件 ，经过分选机筛选后是“大果”为事件 ，利
用全概率公式求得 ，再由条件概率公式得到所求概率；
法二：具体到有1000个苹果，计算出真正的“大果”的个数和筛选出的“大果”的个数，
由古典概型得到所求概率.
【详解】法一：设抽取的果是大果为事件 ，经过分选机筛选后是“大果”为事件 ，
则由题意可知 ，
所以 ，
所以这颗“大果”是真的大果的概率为 ，A正确；
法二：根据题意，从1000个苹果中机器筛选出的大果有 个，
而这些机选“大果"中真正的大果有下 个，
所以这颗“大果”是真的大果的概率为： ，A正确；
故选：A．
35．已知A细胞有0.4的概率会变异成 细胞，0.6的概率死亡； 细胞有0.5的概率变异
成A细胞，0.5的概率死亡，细胞死亡前有可能变异数次．下列结论成立的是（ ）
A．一个细胞为A细胞，其死亡前是A细胞的概率为0.75
B．一个细胞为A细胞，其死亡前是 细胞的概率为0.2
C．一个细胞为 细胞，其死亡前是A细胞的概率为0.35
D．一个细胞为 细胞，其死亡前是 细胞的概率为0.7
【答案】A
【分析】设n次为 （A或B）细胞的概率为 ，可知 次为 细胞概率
，设n次为A细胞的概率为 ，为B细胞的概率为 ，则n次细胞死亡
的概率 ，对于AB：可知 ，结合等比数列求相应概率，代入
条件概率公式分析求解；对于CD：可知 ，结合等比数列求相应概率，代入条件概率公式分析求解.
【详解】设n次为 （A或B）细胞的概率为 ，则一次变异不为 细胞，两次变异为
细胞，
可知 次为 细胞概率 ，
设n次为A细胞的概率为 ，为B细胞的概率为 ，则n次细胞死亡的概率 ，
对选项AB：若一个细胞为A细胞，可知奇数次为A细胞，偶数次为B细胞，
则 ，
可得 ， ，
则A细胞死亡的概率为 ，B细胞死亡的概率为 ，
可得细胞死亡的概率为 ，
所以其死亡前是A细胞的概率为 ，其死亡前是 细胞的概率为 ，
故A正确，B错误；
对选项CD：若一个细胞为B细胞，可知奇数次为B细胞，偶数次为A细胞，
则 ，
可得 ， ，
则A细胞死亡的概率为 ，B细胞死亡的概率为 ，
试卷第24页，共3页可得细胞死亡的概率为 ，
所以其死亡前是A细胞的概率为 ，其死亡前是 细胞的概率为 ，
故CD错误；
故选：A.
36．某地的中学生中有 的同学爱好滑冰， 的同学爱好滑雪， 的同学爱好滑冰
或爱好滑雪，在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好
滑冰的概率为（ ）
A．0.8 B．0.4 C．0.2 D．0.1
【答案】A
【分析】根据题意，设某人爱好滑冰为事件 ，某人爱好滑雪为事件 ，由古典概型公式
求出 和 ，进而由条件概率公式计算可得答案．
【详解】根据题意，在该地的中学生中随机调查一位同学，设选出的同学爱好滑冰为事件
，选出的同学爱好滑雪为事件 ，
由于中学生中有 的同学爱好滑冰， 的同学爱好滑雪， 的同学爱好滑冰或爱好
滑雪，则 ,
而同时爱好两个项目的占 ，即 ，
则该同学爱好滑该同学也爱好滑冰的概率为 ．
故选：A．
37．如果 分别是 的对立事件，下列选项中不能判断件 与事件 相互独立的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据相互独立事件的乘法公式和条件概率公式结合相互独立事件的定义逐一判断
即可.【详解】对于A，因为 ，所以 相互独立，故A正确；
对于B，因为 ，
所以 ，
所以 相互独立，所以 相互独立，故B正确；
对于C， ，
所以 ，所以无法判断 相互独立，故C错误；
对于D， ，
因为 ，所以 相互独立，故D正确.
故选：C.
38．已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分别为
，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则在三人中恰有两人命中的前提下，
甲命中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设甲、乙、丙三人射击一次命中分别为事件 ，三人中恰有两人命中为事件
，结合相互独立事件的概率乘法公式和条件概率的计算公式，即可求解.
【详解】设甲、乙、丙三人射击一次命中分别为事件 ，
每人各射击一次，在三人中恰有两人命中为事件 ，
则 ，
试卷第26页，共3页，则 .
故选：D．
39．袋子中有9个除颜色外完全相同的小球，其中5个红球，4个黄球．若从袋子中任取3
个球，则在摸到的球颜色不同的条件下，最终摸球的结果为2红1黄的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】记摸到的球颜色不同为事件 ，摸到2红1黄为事件 ，由条件概率公式计算可
得.
【详解】记摸到的球颜色不同为事件 ，摸到2红1黄为事件 ，
则 ， ，
所以 .
故选：B
40．不透明的布袋里装有不同编号且大小完全相同的红色，白色，黑色，蓝色的球各两个，
从中随机选4个球，则在已有两个球是同一颜色的条件下，另外两球不同色的概率为（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，利用古典概型的概率公式求出至少有两个球颜色相的概率，再求出两
球颜色相同，另外两球颜色不同的概率，然后利用条件概率公式可求得结果.
【详解】记至少有两个球颜色相同为事件 ，两球颜色不同为事件 ，则
，，
所以在已有两个球是同一颜色的条件下，另外两球不同色的概率为
,
故选：B
考点05：全概率公式
（一）全概率公式
（1） ；
（2）定理 若样本空间 中的事件 ， ，…， 满足：
①任意两个事件均互斥，即 ， ， ；
② ；
③ ， ．
则对 中的任意事件 ，都有 ，且
．
注意：（1）全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若
干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题．
（2）什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可
能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公
式．
41．把一副洗好的牌（共52张）背面朝上地摞成一摞，然后依次翻开每一张牌，直到翻出
第一张A．记事件A为“翻开第3张牌时出现了第一张A”，事件B为“翻开第4张牌时出
现了第一张A”，事件C为“翻开的下一张牌是黑桃A”，事件D为“下一张翻开的牌是红
桃3”，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
试卷第28页，共3页C． D．
【答案】B
【分析】A、C选项利用概率的乘法公式即可求解；B、D选项根据题意简化模型，结合全
概率公式分析判断.
【详解】由题意得 ，
故AC均错误；
因为与其他牌无关，模型可以简化为4张A和一张红桃3，
可知翻出第一张A有如下4种可能：第一张为黑桃A、第一张为非黑桃A也非红桃3、
第一张为红桃3且第二张为黑桃A、第一张为红桃3且第二张为非黑桃A，
其相应的概率分别为 ，
则 ，
即 ，故B正确，D错误；
故选：B.
42．某汽修厂仓库里有两批同种规格的轮胎，第一批占 ，次品率为 ；第二批占
，次品率为 .现从仓库中任抽取1个轮胎，则这个轮胎是合格品的概率是（ ）
A．0.046 B．0.90 C．0.952 D．0.954
【答案】D
【分析】借助全概率公式计算即可得.
【详解】设事件 为抽中第一批，事件 为抽中合格品，
则
.
故选：D.
43．设某工厂购进10盒同样规格的零部件，已知甲厂、乙厂、丙厂分别生产了其中的4盒、
3盒、3盒．若甲、乙、丙三个厂家生产该种零部件的次品率依次为 ， ， ，现从
这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一个零部件，则取得的零部件是次品的概率为（ ）A．0.08 B．0.075 C．0.07 D．0.06
【答案】C
【分析】由全概率公式计算即可求解．
【详解】根据题意，设任取一个零件，分别来自甲，乙，丙三厂的事件分别为 ，设
任取一个零件为次品为事件 ，
则 ， ，
所以
，
故选：C．
44．甲、乙两个工厂代加工同一种零件，甲加工的次品率为 ，乙加工的次品率为 ，
加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙工厂加工的零件数分别占总数的 ， ，任
取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是乙工厂加工的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由全概率公式算出“任取一个零件，取到的零件是次品”的概率，再由贝叶斯
公式即可求解.
【详解】设事件 “任取一个零件，取到的零件是次品”， “任取一个零件，来自
甲工厂”， “任取一个零件，来自乙工厂”，
由题意得 ， ， ， ．
因为 ，
所以 ．
故选：D．
45．随着我国铁路的发展，列车的正点率有了显著的提高．据统计，途经某车站的只有和
试卷第30页，共3页谐号和复兴号列车，且和谐号列车的列次为复兴号列车的列次的2倍，和谐号的正点率为
0.98，复兴号的正点率为0.99，今有一列车未正点到达该站，则该列车为和谐号的概率为
（ ）
A．0.2 B．0.5 C．0.6 D．0.8
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用全概率公式及条件概率公式计算即得.
【详解】令事件A：经过的列车为和谐号；事件B，经过的列车为复兴号；事件C，列车
未正点到达，
则 ，
于是 ，
所以该列车为和谐号的概率为 .
故选：D
46．已知事件 满足： ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求 ，再根据全概率公式及 进行求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，设 ，
则 ，
，
所以 .
故选：B.47．羽毛球比赛水平相当的甲、乙、丙三人举行羽毛球比赛.规则为：每局两人比赛，另一
人担任裁判.每局比赛结束时，负方在下一局比赛中担任裁判.如果第1局甲担任裁判，则第
3局甲还担任裁判的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由全概率公式即可求解.
【详解】由于甲、乙、丙三人的比赛水平相当，所以第二局乙或丙担任裁判的概率都是 ，
第二局若是乙当裁判，则第三局甲或丙担任裁判的概率都是 ，
第二局若是丙当裁判，则第三局甲或乙担任裁判的概率都是 ，
由全概率公式可知，如果第1局甲担任裁判，则第3局甲还担任裁判的概率为
.
故选：C.
48．若 ，则（ ）
A．事件 与 互斥 B．事件 与 相互独立
C． D．
【答案】B
【分析】对于A，由 即可判断，对于B，由对立事件概率公式以及独立乘法公式
验证；对于C，由 即可判断；对于D，由
即可判断.
【详解】对于AB， ，从而 ，故A错误
B正确；
试卷第32页，共3页对于C， ，故C错误；
对于D， ，故D错误.
故选：B.
49．甲､乙两人进行一场友谊比赛，赛前每人记入3分．一局比赛后，若决出胜负，则胜的
一方得1分，负的一方得 分；若平局，则双方各得0分．若干局比赛后，当一方累计得
分为6时比赛结束且该方最终获胜．令 表示在甲的累计得分为i时，最终甲获胜的概率，
若在一局中甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意结合全概率公式分析可得 ，进而可知
是公比为 的等比数列，利用累加法结合等比数列求和公式分析求解.
【详解】由题意可知：i的取值集合为 ，且 ，
在甲累计得分为1时，下局甲胜且最终甲获胜的概率为 ，
在甲累计得分为1时，下局平局且最终甲获胜的概率为 ，
在甲累计得分为1时，下局甲败且最终甲获胜的概率为 ，
根据全概率公式可得 ，
整理得 ，变形得 ，
因为 ，则 ，
同理可得 ，所以 是公比为 的等比数列，
所以 ，
各项求和得 ，
则 ，即 ，解得 ．
故选：C.
50．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有 的学生每天玩手机超
过 ，这些人近视率约为 ，其余学生的近视率约为 ，现从该校任意调查一名学生，他
近视的概率大约是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据全概率公式计算可得.
【详解】设事件 为“任意调查一名学生，每天玩手机超过 ”，事件 为“任意调查一
名学生，该学生近视”，
则 ， ，
所以 ，
则 ．
故选：C
考点06： 贝叶斯公式
贝叶斯公式
试卷第34页，共3页（1）一般地，当 且 时，有
（2）定理 若样本空间 中的事件 满足：
①任意两个事件均互斥，即 ， ， ；
② ；
③ ， ．
则对 中的任意概率非零的事件 ，都有 ，
且
51．小明开始了自己的存钱计划：起初存钱罐中没有钱，小明在第 天早上八点以 的
概率向存钱罐中存入100元， ．若小明在第4天早上七点发现自己前3天晚上
八点时存钱罐中的余额恰好成等差数列，则小明在第2天存入了100元概率是（ ）
1
A． B． C． D．
5
【答案】A
【分析】根据贝叶斯公式求得正确答案.
【详解】余额恰好成等差数列，即 ，
其中第 天存入 元的是 ，
故所求概率为 .
故选：A
52．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B
存在如下关系： .若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试
剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况
下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验
结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设出事件，利用条件概率和全概率公式得到 ，使用贝叶斯公式得到
答案.
【详解】设检验结果呈现阳性为事件 ，此人患病为事件 ，
，
，
则 .
故选：C
53．越来越多的人喜欢参加户外极限运动，据调查数据显示， 两个地区分别有
的人参加户外极限运动，两个地区的总人口数的比为 ．若从这两个地区中任意选取一
人，则此人参加户外极限运动的概率为 ；若此人参加户外极限运动，则此人来自 地区
的概率为 ，那么（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
试卷第36页，共3页【分析】设事件 ,分别求出相关事件的概率，利用全概率公式求 ，利用贝叶斯公
式求 即可.
【详解】设 “此人参加户外极限运动”， “此人来自 地区”， “此人来自
地区”.
依题意， ,
依题意，
；
.
故选：D.
54．假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2
个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋
中取出的也是2个白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，先分析求解设从甲中取出 个球，其中白球的个数为 个的事件为 ，
事件 的概率为 ，从乙中取出 个球，其中白球的个数为2个的事件为 ，事件 的
概率为 ，再分别分析 三种情况求解即可
【详解】设从甲中取出 个球，其中白球的个数为 个的事件为 ，事件 的概率为 ，
从乙中取出 个球，其中白球的个数为2个的事件为 ，事件 的概率为 ，由题意：① ， ；
② ， ；
③ ， ；
根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概
率为
故选：C
55．某单位选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队.选哪
支队是随机的，其中选“初心”队获胜的概率为0.8，选“使命”队获胜的概率为0.7，单
位在比赛中获胜的条件下，选“使命”队参加比赛的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用条件概率公式、全概率公式列式计算得解.
【详解】依题意，记选“初心”队为事件 ，选“使命”队为事件 ，该单位获胜为事件
，
则 ,
因此 ，
试卷第38页，共3页所以选“使命”队参加比赛的概率 .
故选：D
56．人工智能领域让贝叶斯公式： 站在了世界中心位置，AI换脸是
一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为
0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的
准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有 的可能鉴定为“AI”；它的误报率是
0.04，即在该视频是真实的情况下，它有 的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为
“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果.
【详解】记“视频是AI合成”为事件 ，记“鉴定结果为AI”为事件B，
则 ，
由贝叶斯公式得：
，
故选：C．
57．有3台车床加工同一型号的零件，第 台加工的次品率分别为 ，加工出
来的零件混放在一起．己知第 台车床加工的零件数的比为 ，现任取一个零件，
记事件 “零件为第i台车床加工” ，事件 “零件为次品”，则
（ ）
A．0.2 B．0.05 C． D．
【答案】D【分析】根据题意，由全概率公式、条件概率公式和贝叶斯公式，结合已知条件，求解即
可.
【详解】根据题意可得：
；
；
由全概率公式可得：
；
故 .
故选：D.
58．“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，
但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；
第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了．从数学的角度解释这一变化，
假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为 ；小孩是不诚实的，则他说
谎的概率是 ．最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的
概率是 ．已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设出事件，利用全概率公式和贝叶斯公式进行求解.
【详解】设事件 表示“小孩诚实”，事件 表示“小孩说谎”，
则 ， ， ， ，
则 ，
，
试卷第40页，共3页故 ，
故 .
故选：D
59．根据某机构对失踪飞机的调查得知：失踪的飞机中有70%的后来被找到，在被找到的
飞机中，有60%安装有紧急定位传送器，而未被找到的失踪飞机中，有90%未安装紧急定
位传送器，紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位的装置.现
有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别表示出三个事件：失踪的飞机后来被找到、失踪的飞机后来未被找到、装有
紧急定位传送器的概率，再用条件贝叶斯公式计算即可得出结论.
【详解】设 “失踪的飞机后来被找到”， “失踪的飞机后来未被找到”，
“安装有紧急定位传送器”，
则 ， ，
安装有紧急定位传送器的飞机失踪，它被找到的概率为
.
故选：C.
60．设某公路上经过的货车与客车的数量之比为 ，货车中途停车修理的概率为0.02，
客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.3
【答案】A
【分析】设 表示该汽车是货车， 表示该汽车是客车，即得 ， ，设 表示
货车中途停车修理， 表示客车中途停车修理，则 ， ，利用条件概率计算公式能求出今有一辆汽车中途停车修理，该汽车是货车的概率．
【详解】设 表示该汽车是货车， 表示该汽车是客车，则 ， ，
设 表示货车中途停车修理， 表示客车中途停车修理，则 ， ，
表示一辆汽车中途停车修理，则 ，
今有一辆汽车中途停车修理，该汽车是货车的概率为：
．
故选：A
试卷第42页，共3页
