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考点巩固卷 22 抛物线方程及其性质(十大考点)
考点01抛物线的定义与方程
1．若动点 到点 的距离和它到直线 的距离相等，则动点 的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．抛物线 C．直线 D．双曲线
2．（多选）若抛物线 上一点 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点 的坐标可以为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知 是抛物线 ： 的焦点，点 在 上且 ，则 的坐标为（ ）A． B． C． D．
4．若抛物线 上一点 到拋物线焦点的距离为 ，则点 到原点的距离为（ ）
A． B．1 C． D．
5．若点 与点 的距离比它到直线 的距离小2，求点 的轨迹方程．
6．填空：
（1）设抛物线 上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离为_____；
（2）设抛物线 上一点M到焦点的距离为1，则点M的坐标为_____.
考点02抛物线方程与位置特征
7．（多选）关于抛物线 ，下列说法正确的是（ ）
A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为 轴
8．（多选）对于抛物线上 ，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为
9．抛物线 的准线方程是 ，则实数 _____.
10．根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画图：
(1)准线方程为 ；
(2)焦点在x轴上且其到准线的距离为6；
(3)对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于2；(4)对称轴是y轴，经过点 ．
考点03距离的最值问题
11．抛物线 的顶点为原点，焦点为 ，则点 到抛物线 上动点 的距离最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．若点 在焦点为 的抛物线 上，且 ，点 为直线 上的动点，则 的最小
值为（ ）
A． B． C． D．4
13．（ 2023·贵州遵义·统考三模）已知抛物线 的焦点为F，点 ，若点A为抛物线任意一点，
当 取最小值时，点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
14．设 是抛物线 上的一个动点， 为抛物线的焦点，点 ，则 的最小值为_____.
15．已知点P在抛物线 上，且 ，求 的最小值．
16．如图，已知点P是抛物线 上的动点，点A的坐标为 ，求点P到点A的距离与到x轴的距
离之和的最小值.考点04实际问题中的抛物线
17．为落实“二十大”不断实现人民对美好生活的向往，某小区在园区中心建立一座景观喷泉．如图所示，
喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状．现要求水流最高点B离地面4m，点
B到管柱OA所在直线的距离为2m，且水流落在地面上以O为圆心，6m为半径的圆内，则管柱OA的高度
为（ ）
A．2m B．3m C．2.5m D．1.5m
18．如图是一座拋物线形拱桥，当桥洞内水面宽 时，拱顶距离水面 ，当水面上升 后，桥洞内水
面宽为（ ）
A． B． C． D．
19．上世纪90年代，南京江宁区和陕西洛南县就建立了深厚的友谊，1993年江宁区出资帮助洛南修建了
宁洛桥，增强了两地之间的友谊.如今人行道两侧各加宽6米，建成了“彩虹桥”（图1），非常美丽.桥上
一抛物线形的拱桥（图2）跨度 ，拱高 ，在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑，则支
柱 的长度为_____ .（精确到0.01 ）20．有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示.为了保证安全，要求行驶车
辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.7m，若行车道总宽度为7.2m，则车辆
通过隧道时的限制高度为_____m.
21．某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，
如图所示.现要求水流最高点B离地面5m，点B到管柱OA所在直线的距离为4m，且水流落在地面上以O
为圆心，以9m为半径的圆上，求管柱OA的高度.
22．如图，某大桥中央桥孔的跨度为20m，拱顶呈抛物线形，拱顶距水面10m，桥墩高出水面4m.现有一
货轮欲通过此孔，该货轮水下宽度不超过18m.目前吃水线上部分中央船体高16m，宽16m.若不考虑水下深
度，该货轮在此状况下能否通过桥孔？试说明理由.考点05抛物线中的三角形和四边形问题
23．已知点 为抛物线 的焦点，过点 的直线交抛物线 于 两点， 为坐标原点，若
，则 的面积为（ ）
A．3 B． C． D．
24．设F为抛物线 的焦点，点M在C上，点N在准线l上，且 平行于x轴，准线l与x轴的
交点为E，若 ，则梯形 的面积为（ ）
A．12 B．6 C． D．
25．过 的直线l与抛物线E： 交于 ， 两点，且与E的准线交于点C，点F是
E的焦点，若 的面积是 的面积的3倍，则 _____
26．倾斜角为 的直线 过抛物线 的焦点，且与 交于A， 两点
(1)求抛物线的准线方程；
(2)求 的面积（ 为坐标原点）.27．直线 交抛物线 于 、 两点，线段 中点的横坐标为 ，抛物线的焦点到
轴的距离为 .
(1)求抛物线方程；
(2)设抛物线与 轴交于点 ，求 的面积.
28．已知抛物线 .其焦点为F.
(1)求以 为中点的抛物线的弦所在的直线方程；
(2)若互相垂直的直线m，n都经过抛物线 的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，D两点，求
四边形 面积的最小值．
考点06抛物线的简单几何性质
29．定义：既是中心对称，也是轴对称的曲线称为“尚美曲线”，下是方程所表示的曲线中不是“尚美曲
线”的是（ ）
A． B． C． D．
30． 为抛物线 的焦点，直线 与抛物线交于 两点，则 为（ ）
A． B． C． D．
31．对抛物线 ，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为
32．在同一坐标系中，方程 与 的曲线大致是（ ）
A． B．
C． D．
考点07直线与抛物线的位置关系
33．已知抛物线 的焦点为 ，点 是抛物线准线上一动点，作线段 的垂直平分线 ，则
直线 与抛物线公共点个数的可能值构成的集合为（ ）
A． B． C． D．
34．已知直线 ，抛物线 ，l与 有一个公共点的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条
D．1条、2条或3条
35．（多选）已知直线l过定点 ，则与抛物线 有且只有一个公共点的直线l的方程为（ ）
A． B．C． D．
36．当k为何值时，直线 与抛物线 有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？
37．在平面直角坐标系 中，点 到点 的距离比它到 轴的距离多1，记点 的轨迹为 .
(1)求轨迹为 的方程
(2)设斜率为 的直线 过定点 ，求直线 与轨迹 恰好有一个公共点时 的相应取值范围.
38．已知抛物线的方程为 ，直线l过定点 ，斜率为k.当k为何值时，直线l与抛物线有一个
公共点，有两个公共点，没有公共点？
考点08抛物线的焦点弦问题
39．直线 经过抛物线 的焦点 ，且与抛物线交于 ， 两点．若 ，则 （ ）
A．4 B． C．8 D．
40．已知抛物线 的焦点为 ，过点 且斜率为 的直线 交抛物线于 两点，若
，则 （ ）
A． B． C． D．41．设抛物线 的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点E到y轴的距
离为3，则弦AB的长为_____．
42．已知以坐标原点 为圆心的圆与抛物线 ： 相交于不同的两点 ，与抛物线 的准
线相交于不同的两点 ，且 .求抛物线 的方程；
43．设F为抛物线 的焦点，过F且倾斜角为 的直线交C于A，B两点，求 及 的面
积.
44．过抛物线 的焦点，斜率为2的直线 与抛物线相交于 、 两点，求线段 的长．
考点09抛物线的中点弦问题
45．已知直线 与抛物线 相交于 两点，若线段 的中点坐标为 ，则直线 的方程为
（ ）
A． B．
C． D．
46．抛物线 ： 与直线 交于 ， 两点，且 的中点为 ，则 的斜率为_____.47．已知抛物线 与过焦点的一条直线相交于A，B两点，若弦 的中点M的横坐标为 ，则弦
的长 _____
48．已知抛物线 的顶点为坐标原点，准线为 ，直线 与抛物线 交于 两点，若线段 的中
点为 ，则直线 的方程为_____．
49．直线 ： 与抛物线 ： 交于 ， 两点，且
(1)求抛物线 的方程；
(2)若直线 与 交于 ， 两点，且弦 的中点的纵坐标为 ，求 的斜率．
50．已知直线 与抛物线 相交于 、 两点.
(1)若直线 过点 ，且倾斜角为 ，求 的值；
(2)若直线 过点 ，且弦 恰被 平分，求 所在直线的方程.
考点10直线与抛物线的综合问题
51．（多选）已知斜率为 的直线交抛物线 于 、 两点，下列说法正确的
是（ ）
A． 为定值
B．线段 的中点在一条定直线上
C． 为定值（ 、 分别为直线 、 的斜率）D． 为定值（ 为抛物线的焦点）
52．设O为坐标原点，点M，N在抛物线 上，且 .
(1)证明：直线 过定点；
(2)设C在点M，N处的切线相交于点P，求 的取值范围.
53．已知F是抛物线C： 的焦点， 是抛物线上一点，且 .
(1)求抛物线C的方程；
(2)直线l与抛物线C交于A，B两点，若 （O为坐标原点），则直线l否会过某个定点？若是，
求出该定点坐标.
54．如图，抛物线 在点 （ ）处的切线 交 轴于点 ，过点 作直线 （ 的倾斜角与
的倾斜角互补）交抛物线于 ， 两点，求证：
(1) 的斜率为 ；(2) .
55．设抛物线 ： ，直线 与 交于 ， 两点，且 .
(1)求 ；
(2)若在 轴上存在定点 ，使得 ，求定点 的坐标.
56．（ 2023·山西吕梁·统考二模）已知抛物线 ： 过点 ．
(1)求抛物线 的方程；
(2) ， 是抛物线 上的两个动点，直线 的斜率与直线 的斜率之和为4，证明：直线 恒过定点．
