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专题16 带电粒子（带电体）在复合场中的运动
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专题16 带电粒子（带电体）在复合场中的运动...................................................................................................1
考向一 带电粒子在叠加场中运动的实例分析........................................................................................................1
考查方式一 质谱仪.............................................................................................................................................1
考查方式二 回旋加速器.....................................................................................................................................3
考查方式三 速度选择器.....................................................................................................................................5
考查方式四 磁流体发电机................................................................................................................................7
考查方式五 电磁流量计.....................................................................................................................................9
考查方式六 霍尔元件.........................................................................................................................................9
考向二 带电粒子在组合场中的运动.......................................................................................................................11
考查方式一 先电场，后磁场...........................................................................................................................11
考查方式二 先磁场，后电场..........................................................................................................................14
考向三 带电粒子在叠加场中的运动......................................................................................................................17
考查方式一 磁场力，重力并存......................................................................................................................17
考查方式二 电场力、磁场力并存..................................................................................................................18
考查方式三 电场力、磁场力、重力并存......................................................................................................18
考向四 带电粒子在交变电、磁场中的运动..........................................................................................................20
【题型演练】...............................................................................................................................................................23
考向一 带电粒子在叠加场中运动的实例分析
考查方式一 质谱仪
(1)构造：如图所示，由粒子源、加速电场、偏转磁场和照相底片等构成．
(2)原理：粒子由静止被加速电场加速，qU＝mv2.
粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qvB＝m.
由以上两式可得r＝ ，m＝，＝.
【例1】如图，从离子源产生的甲、乙两种离子，由静止经加速电压 U加速后在纸面内水平向右运动，自
M点垂直于磁场边界射入匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场左边界竖直．已知甲种离子射入磁场
的速度大小为v，并在磁场边界的N点射出；乙种离子在MN的中点射出；MN长为l.不计重力影响和离子
1
间的相互作用．求：(1)磁场的磁感应强度大小；
(2)甲、乙两种离子的比荷之比．
【答案】 (1) (2)1∶4
【解析】 (1)设甲种离子所带电荷量为q、质量为m，在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，磁场的磁感
1 1 1
应强度大小为B，由动能定理有
qU＝mv①
1 1
由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有
qv B＝m ②
1 1 1
由几何关系知
2R＝l③
1
由①②③式得
B＝④
(2)设乙种离子所带电荷量为q 、质量为m ，射入磁场的速度为v ，在磁场中做匀速圆周运动的半径为 R.
2 2 2 2
同理有
qU＝mv⑤
2 2
qvB＝m ⑥
2 2 2
由题给条件有
2R＝⑦
2
由①②③⑤⑥⑦式得，甲、乙两种离子的比荷之比为
∶＝1∶4⑧
[变式]现代质谱仪可用来分析比质子重很多倍的离子，其示意图如图所示，其中加速电压恒定．质子在入
口处从静止开始被加速电场加速，经匀强磁场偏转后从出口离开磁场．若某种一价正离子在入口处从静止
开始被同一加速电场加速，为使它经匀强磁场偏转后仍从同一出口离开磁场，需将磁感应强度增加到原来
的12倍．此离子和质子的质量比约为( )A．11 B．12
C．121 D．144
【答案】D
【解析】带电粒子在加速电场中运动时，有 qU＝mv2，在磁场中偏转时，其半径r＝，由以上两式整理得r
＝ .由于质子与一价正离子的电荷量相同，B∶B＝1∶12，当半径相等时，解得＝144，选项D正确．
1 2
考查方式二 回旋加速器
(1)构造：如图所示，D、D 是半圆形金属盒，D形盒的缝隙处接交流电源，D形盒处于匀强磁场中．
1 2
(2)原理：交流电的周期和粒子做圆周运动的周期相等，粒子经电场加速，经磁场回旋，由qvB＝，
得E ＝，可见粒子获得的最大动能由磁感应强度B和D形盒半径r决定，与加速电压无关．
km
【例2】1922年英国物理学家阿斯顿因质谱仪的发明、同位素和质谱的研究荣获了诺贝尔化学奖．若一束
粒子由左端射入质谱仪后的运动轨迹如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．该束带电粒子带负电
B．速度选择器的P 极板带负电
1
C．在B 磁场中运动半径越大的粒子，质量越大
2
D．在B 磁场中运动半径越大的粒子，比荷 越小
2
【答案】D
【详解】A．根据带电粒子在右边的磁场中发生偏转的情况，由左手定则判断，该束带电粒子带正电，故
A错误；
B．在速度选择器内，根据左手定则可知，洛仑兹力向上，则电场力的方向应竖直向下，因带电粒子是正
电，故电场强度的方向竖直向下，所以速度选择器P 极板带正电，故B错误；
1C．通过速度选择器的带电粒子都具有相同的速度，它们在B 磁场中运动，由半径公式
2
可知，半径R越大， 值越大，而不是质量越大，故C错误；
D．由上面的分析可知，半径R越大， 值越大，即比荷 越小，故D正确。
故选D。
[变式]质谱仪是分析同位素的重要的仪器，在物理研究中起非常重要的作用。如图是质谱仪的工作原理示
意图。粒子源（在加速电场上方，未画出）产生的带电粒子被加速电场加速后，进入速度选择器。速度选
择器内相互正交的匀强磁场和匀强电场的强度分别为 和 。平板S上有可让粒子通过的狭缝P和记录粒
子位置的胶片 。平板S下方有强度为 的匀强磁场。（不计带电粒子的重力）下列表述正确的是（
）
A．速度选择器中的磁场方向垂直纸面向里
B．能通过狭缝P的带电粒子的速率等于
C．粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P，粒子的比荷（ ）越小
D．粒子所带电荷量相同时，打在胶片上的位置越远离狭缝P，表明其质量越大
【答案】D
【详解】A．根据带电粒子在磁场中的偏转方向，根据左手定则知，该粒子带正电，则在速度选择器中电
场力水平向右，则洛伦兹力水平向左，根据左手定则知，磁场方向垂直纸面向外，故A错误；
B．在速度选择器中，电场力和洛伦兹力平衡，有解得
能通过狭缝P的带电粒子的速率等于 ，故B错误；
CD．粒子进入磁场 后，由洛伦兹力提供向心力，则有
解得
粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P，粒子的轨迹半径越小，粒子的比荷（ ）越大；粒子所带电荷量相
同时，打在胶片上的位置越远离狭缝P，粒子的轨迹半径越大，表明其质量越大，故C错误，D正确。
故选D。
考查方式三 速度选择器
若qvB＝Eq，即v＝，粒子做匀速直线运动
0 0
【例3】在如图所示的电路中，开关S闭合。两平行金属极板a、b间有匀强磁场，一带电粒子以速度v水
平匀速穿过两极板，不计粒子重力。下列说法正确的是（ ）
A．该粒子一定带正电
B．仅增大粒子的速度，粒子一定向a板偏转
C．仅将滑动变阻器的滑片P向下移动，粒子一定向b板偏转
D．仅增大粒子所带电荷量，粒子一定仍沿水平方向穿过两极板
【答案】D【详解】A．两极板间电场方向向下，若正电荷粒子所受电场力向下，洛伦兹力向上；若负电荷粒子所受
电场力向上，洛伦兹力向下，则无论正负电荷都可以匀速穿过两极板，A错误；
B．根据左手定则判断知，带正电的粒子受到的洛伦兹力竖直向上，电场力竖直向下，粒子沿直线飞出叠
加场区域，根据平衡条件有
同理，对带负电的粒子，判断知粒子受到的洛伦兹力竖直向下，电场力竖直向上，粒子沿直线飞出叠加场，
根据平衡条件有
所以，仅增大粒子的速度，洛伦兹力增大，电场力不变，故粒子可能向上也可能向下运动，B错误；
C．仅将滑动变阻器的滑片P向下移动，两极板间的电势差增大，电场力增大，合力可能向上也可能向下，
故粒子不一定向b板偏转，C错误；
D．仅增大粒子所带电荷量，电场力和洛伦兹力合力仍为零，故粒子一定仍沿水平方向穿过两极板，D正
确。
故选D。
[变式]如图所示，大量不同的带电粒子从左边容器中的小孔进入电势差为U的加速电场，其初速度几乎为
0，加速后经过小孔进入速度选择器，选择器中存在正交的匀强电场和匀强磁场，场强大小和磁感应强度
大小分别为E和 ，粒子沿直线通过选择器，再垂直进入右边磁感应强度大小为 的匀强磁场中，做匀速
圆周运动打在底片上，则（ ）
A．打在底片上不同位置的粒子是因为进入右边磁场的速度不同
B．打在底片上不同位置的粒子是因为粒子比荷不同
C．如果速度选择器平行板电量不变，仅使板间距离增大，能沿直线通过选择器的粒子速度变小
D．如果增大速度选择器中磁场的磁感应强度 ，能沿直线通过选择器的粒子速度变大
【答案】B
【详解】AB．在速度选择器中，电场力和洛伦兹力平衡，有解得
粒子以相同的速度经过速度选择器，进入偏转磁场，根据
解得粒子在右边磁场中轨道半径
半径不同打在底片上的位置也不同，打在底片上不同位置的粒子是因为粒子比荷不同，A错误，B正确；
C．设速度选择器的电容为C，两极板间距离为d，极板带电量为Q，由平行板电容器电容的决定式
速度选择器平行板电量不变，所以两极板间的电势差
再由匀强电场的场强与电势差关系公式
可得E与d无关，所以如果速度选择器平行板电量不变，板间距增大，板间场强不变，则由
可得能沿直线通过选择器的粒子速度不变，故C错误；
D．如果增大速度选择器中磁场的磁感应强度 ，根据
能沿直线通过选择器的粒子速度减小，D错误。
故选B。
考查方式四 磁流体发电机等离子体射入，受洛伦兹力偏转，使两极板带正、负电荷，两极电压为U时稳定，q＝qvB，U＝vBd
0 0
【例4】如图所示为磁流体发电机的原理图．金属板M、N之间的距离为d＝20 cm，磁场的磁感应强度大
小为B＝5 T，方向垂直纸面向里．现将一束等离子体(即高温下电离的气体，含有大量带正电和带负电的
微粒，整体呈中性)从左侧喷射入磁场，发现在M、N两板间接入的额定功率为P＝100 W的灯泡正常发光，
且此时灯泡电阻为R＝100 Ω，不计离子重力和发电机内阻，且认为离子均为一价离子，则下列说法中正确
的是( )
A．金属板M上聚集负电荷，金属板N上聚集正电荷 B．该发电机的电动势为100 V
C．离子从左侧喷射入磁场的初速度大小为103 m/s D．每秒钟有6.25×1018个离子打在金属板N上
【答案】BD
【解析】.由左手定则可知，射入的等离子体中正离子将向金属板M偏转，负离子将向金属板N偏转，选
项A错误；由于不考虑发电机的内阻，由闭合电路欧姆定律可知，电源的电动势等于电源的路端电压，所
以E＝U＝＝100 V，选项B正确；由Bqv＝q可得v＝＝100 m/s，选项C错误；每秒钟经过灯泡L的电荷量
Q＝It，而I＝＝1 A，所以Q＝1 C，由于离子为一价离子，所以每秒钟打在金属板N上的离子个数为n＝＝
＝6.25×1018(个)，选项D正确．
【变式】如图所示，一块长度为a、宽度为b、厚度为d的金属导体，当加有与侧面垂直的匀强磁场B，且
通以图示方向的电流I时，用电压表测得导体上、下表面M、N间电压为U，已知自由电子的电荷量为e.
下列说法中正确的是 ( )
A．导体的M面比N面电势高 B．导体单位体积内自由电子数越多，电压表的示数越大
C．导体中自由电子定向移动的速度为v＝ D．导体单位体积内的自由电子数为
【答案】 CD
【解析】 由于自由电子带负电，根据左手定则可知，M板电势比N板电势低，选项A错误；当上、下表
面电压稳定时，有q＝qvB，得U＝Bdv，与单位体积内自由电子数无关，选项B错误，C正确；再根据I＝
neSv，可知选项D正确．考查方式五 电磁流量计
q＝qvB，所以v＝，所以Q＝vS＝
【例5】医生做某些特殊手术时，利用电磁血流计来监测通过动脉的血流速度．电磁血流计由一对电极 a
和
b以及磁极N和S构成，磁极间的磁场是均匀的．使用时，两电极a、b均与血管壁接触，两触点的连线、
磁场方向和血流速度方向两两垂直，如图所示．由于血液中的正、负离子随血液一起在磁场中运动，电极
ab之间会有微小电势差．在达到平衡时，血管内部的电场可看做是匀强电场，血液中的离子所受的电场力
和磁场力的合力为零．在某次监测中，两触点间的距离为3.0 mm，血管壁的厚度可忽略，两触点间的电势
差为160 μV，磁感应强度的大小为0.040 T．则血流速度的近似值和电极a、b的正负为 ( )
A．1.3 m/s，a正、b负 B．2.7 m/s，a正、b负
C．1.3 m/s，a负、b正 D．2.7 m/s，a负、b正
【答案】A
【解析】由于正、负离子在匀强磁场中垂直于磁场方向运动，利用左手定则可以判断电极 a带正电，电极
b带负电．血液流动速度可根据离子所受的电场力和洛伦兹力的合力为 0，即qvB＝qE得v＝＝≈1.3 m/s，
A正确．
考查方式六 霍尔元件
当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电流方向都垂直的方向上出现电势差
【例6】中国科学家发现了量子反常霍尔效应，杨振宁称这一发现是诺贝尔奖级的成果．如图所示，厚度
为h、宽度为d的金属导体，当磁场方向与电流方向垂直时，在导体上下表面会产生电势差，这种现象称为霍尔效应．下列说法正确的是( )
A．上表面的电势高于下表面的电势 B．仅增大h时，上下表面的电势差增大
C．仅增大d时，上下表面的电势差减小 D．仅增大电流I时，上下表面的电势差减小
【答案】C
【解析】因电流方向向右，则金属导体中的自由电子是向左运动的，根据左手定则可知上表面带负电，则
上表面的电势低于下表面的电势，A选项错误．当电子达到平衡时，电场力等于洛伦兹力，即q＝qvB，又
I＝nqvhd(n为导体单位体积内的自由电子数)，得U＝，则仅增大h时，上下表面的电势差不变；仅增大d
时，上下表面的电势差减小；仅增大I时，上下表面的电势差增大，故C正确，B、D错误．
【变式】如图所示，X、X，Y、Y，Z、Z 分别表示导体板左、右，上、下，前、后六个侧面，将其置于
1 2 1 2 1 2
垂直Z 、Z 面向外、磁感应强度为B的匀强磁场中，当电流I通过导体板时，在导体板的两侧面之间产生
1 2
霍尔电压U .已知电流I与导体单位体积内的自由电子数n、电子电荷量e、导体横截面积S和电子定向移
H
动速度v之间的关系为I＝neSv.实验中导体板尺寸、电流I和磁感应强度B保持不变，下列说法正确的是(
)
A．导体内自由电子只受洛伦兹力作用 B．U 存在于导体的Z、Z 两面之间
H 1 2
C．单位体积内的自由电子数n越大，U 越小 D．通过测量U ，可用R＝求得导体X、X 两面间的电阻
H H 1 2
【答案】C.
【解析】由于磁场的作用，电子受洛伦兹力，向Y 面聚集，在Y 、Y 平面之间累积电荷，在Y 、Y 之间产
2 1 2 1 2
生了匀强电场，故电子也受电场力，故A错误；电子受洛伦兹力，向Y 面聚集，在Y、Y 平面之间累积电
2 1 2
荷，在Y 、Y 之间产生了电势差U ，故B错误；电子在电场力和洛伦兹力的作用下处于平衡状态，有：
1 2 H
qvB＝qE，其中：E＝(d为Y 、Y 平面之间的距离)根据题意，有：I＝neSv，联立得到：U ＝Bvd＝Bd∝，
1 2 H
故单位体积内的自由电子数n越大，U 越小，故C正确；由于U ＝Bd，与导体的电阻无关，故D错误．
H H
考向二 带电粒子在组合场中的运动
“3步”突破带电粒子在组合场中的运动问题第1步：分阶段(分过程)按照时间顺序和进入不同的区域分成几个不同的阶段；
第2步：受力和运动分析，主要涉及两种典型运动．
第3步：用规律
磁偏转→→定圆心→画轨迹――→
考查方式一 先电场，后磁场
(1)先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动．(如图甲、乙所示)
在电场中利用动能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度．
(2)先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运动．(如图丙、丁所示)在电场中利用平抛运动知识求
粒子进入磁场时的速度．
【例7】如图，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一
带正电的粒子从静止开始经电压U加速后，沿平行于x轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在OP边
上某点以垂直于x轴的方向射出。已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为30°，粒子进
入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d，不计重力。求(1)带电粒子的比荷；
(2)带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间。
【答案】 (1) (2)
【解析】 (1)设带电粒子的质量为m、电荷量为q，经电压U加速后的速度大小为v。
由动能定理有qU＝mv2①
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有
qvB＝m②
粒子的运动轨迹如图，由几何关系知
d＝r③
联立①②③式得＝④
(2)由几何关系知，带电粒子从射入磁场到运动至x轴所经过的路程为s＝＋rtan30°⑤
带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间为
t＝⑥
联立②④⑤⑥式得t＝。⑦
[变式]平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在垂直于平面向里的匀强磁场，第Ⅲ象限存在沿y轴负方向的
匀强电场，如图所示．一带负电的粒子从电场中的Q点以速度v 沿x轴正方向开始运动，Q点到y轴的距
0
离为到x轴距离的2倍．粒子从坐标原点O离开电场进入磁场，最终从x轴上的P点射出磁场，P点到y轴
距离与Q点到y轴距离相等．不计粒子重力，问：
(1)粒子到达O点时速度的大小和方向；(2)电场强度和磁感应强度的大小之比．
【答案】 (1)v，与x轴正方向成45°角斜向上 (2)
0
【解析】 (1)在电场中，粒子做类平抛运动，设Q点到x轴距离为L，到y轴距离为2L，粒子的加速度为
a，运动时间为t，有
2L＝vt①
0
L＝at2②
设粒子到达O点时沿y轴方向的分速度为v
y
v＝at ③
y
设粒子到达O点时速度方向与x轴正方向夹角为α，有
tan α＝④
联立①②③④式得
α＝45°⑤
即粒子到达O点时速度方向与x轴正方向成45°角斜向上．
设粒子到达O点时速度大小为v，由运动的合成有
v＝⑥
联立①②③⑥式得
v＝v.⑦
0
(2)设电场强度为E，粒子电荷量为q，质量为m，粒子在电场中受到的电场力为F，由牛顿第二定律可得
F＝ma ⑧
又F＝qE ⑨
设磁场的磁感应强度大小为B，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为 R，所受的洛伦兹力提供向心力，
有
qvB＝m ⑩
由几何关系可知
R＝L
联立①⑪②⑦⑧⑨⑩⑪式得
＝.考查方式二 先磁场，后电场
对于粒子从磁场进入电场的运动，常见的有两种情况：
(1)进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反；
(2)进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直．(如图甲、乙所示)
【例8】在如图所示的坐标系中，第一和第二象限(包括y轴的正半轴)内存在磁感应强度大小为B、方向垂
直xOy平面向里的匀强磁场；第三和第四象限内存在平行于y轴正方向、大小未知的匀强电场．p点为y轴
正半轴上的一点，坐标为(0，l)；n点为y轴负半轴上的一点，坐标未知．现有一质量为m、电荷量为q的
带正电的粒子由p点沿y轴正方向以一定的速度射入匀强磁场，该粒子经磁场偏转后以与x轴正半轴成45°
角的方向进入匀强电场，在电场中运动一段时间后，该粒子恰好垂直于y轴经过n点．粒子的重力忽略不
计．求：
(1)粒子在p点的速度大小；
(2)第三和第四象限内的电场强度的大小；
(3)带电粒子从由p点进入磁场到第三次通过x轴的总时间．
【答案】(1) (2)
(3)(＋2＋2)
【解析】粒子在复合场中的运动轨迹如图所示．(1)由几何关系可知
rsin 45°＝l
解得r＝l又因为qvB＝m，可解得
0
v＝.
0
(2)粒子进入电场在第三象限内的运动可视为平抛运动的逆过程，设粒子射入电场坐标为(－x 0)，从粒子射
1,
入电场到粒子经过n点的时间为t，由几何关系知x＝(＋1)l，在n点有v＝v＝v
2 1 2 1 0
由类平抛运动规律有
(＋1)l＝vt
02
v＝at＝t
0 2 2
联立以上方程解得t＝，E＝.
2
(3)粒子在磁场中的运动周期为
T＝
粒子第一次在磁场中运动的时间为
t＝T＝
1
粒子在电场中运动的时间为
2t＝
2
粒子第二次在磁场中运动的时间为
t＝T＝
3
故粒子从开始到第三次通过x轴所用时间为
t＝t＋2t＋t＝(＋2＋2).
1 2 3
[变式]如图，在x轴上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外；在x轴下方存在匀
强电场，电场方向与xOy平面平行，且与x轴成45°夹角．一质量为m、电荷量为q(q＞0)的粒子以初速度
v 从y轴上的P点沿y轴正方向射出，一段时间后进入电场，进入电场时的速度方向与电场方向相反；又
0
经
过一段时间T，磁场的方向变为垂直于纸面向里，大小不变．不计重力．
0
(1)求粒子从P点出发至第一次到达x轴时所需的时间；
(2)若要使粒子能够回到P点，求电场强度的最大值．
【答案】 (1) (2)【解析】 (1)带电粒子在磁场中做圆周运动，设运动半径为R，运动周期为T，根据洛伦兹力公式及圆周
运动规律，有qvB＝m，T＝
0
依题意，粒子第一次到达x轴时，运动转过的角度为π，所需时间t 为t＝T，求得t＝.
1 1 1
(2)粒子进入电场后，先做匀减速运动，直到速度减小为0，然后沿原路返回做匀加速运动，到达x轴时速
度大小仍为v，设粒子在电场中运动的总时间为t，加速度大小为a，电场强度大小为E，
0 2
有qE＝ma，v＝at，得t＝
0 2 2
根据题意，要使粒子能够回到P点，必须满足t≥T
2 0
得电场强度最大值E＝.
考向三 带电粒子在叠加场中的运动
带电粒子在叠加场中的运动的分析方法
考查方式一 磁场力，重力并存
(1)若重力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动．
(2)若重力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒．
【例9】如图所示，ABC为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中AB为倾斜直轨道，BC为与AB相切的圆形
轨道，并且圆形轨道处在匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里．质量相同的甲、乙、丙三个小球中，甲球
带正电、乙球带负电、丙球不带电．现将三个小球在轨道 AB上分别从不同高度处由静止释放，都恰好通
过圆形轨道的最高点，则( )
A．经过最高点时，三个小球的速度相等 B．经过最高点时，甲球的速度最小C．甲球的释放位置比乙球的高 D．运动过程中三个小球的机械能均保持不变
【答案】CD
【解析】设磁感应强度为B，圆形轨道半径为r，三个小球质量均为m，它们恰好通过最高点时的速度分别
为v 、v 和v ，则mg＋Bv q＝，mg－Bv q＝，mg＝，显然，v >v >v ，选项A、B错误；三个小球
甲 乙 丙 甲 乙 甲 丙 乙
在运动过程中，只有重力做功，即它们的机械能守恒，选项D正确；甲球在最高点处的动能最大，因为重
力势能相等，所以甲球的机械能最大，甲球的释放位置最高，选项C正确．
考查方式二 电场力、磁场力并存
(1)若电场力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动．
(2)若电场力和洛伦兹力不平衡，则带电体做复杂的曲线运动，可用动能定理求解．
【例10】(多选)如图所示，匀强磁场方向垂直纸面向里，匀强电场方向竖直向下，有一正离子恰能沿直线
从
左向右水平飞越此区域．不计重力，则 ( )
A．若电子以和正离子相同的速率从右向左飞入，电子也沿直线运动
B．若电子以和正离子相同的速率从右向左飞入，电子将向上偏转
C．若电子以和正离子相同的速率从左向右飞入，电子将向下偏转
D．若电子以和正离子相同的速率从左向右飞入，电子也沿直线运动
【答案】 BD
【解析】 若电子从右向左飞入，电场力向上，洛伦兹力也向上，所以向上偏，B选项正确；若电子从左
向右飞入，电场力向上，洛伦兹力向下．由题意知电子受力平衡将做匀速直线运动，D选项正确．
考查方式三 电场力、磁场力、重力并存
(1)若三力平衡，带电体做匀速直线运动．
(2)若重力与电场力平衡，带电体做匀速圆周运动．
(3)若合力不为零，带电体可能做复杂的曲线运动，可用能量守恒定律或动能定理求解．
【例11】质量为m、电荷量为q的微粒以速度v与水平方向成θ角从O点进入方向如图所示的正交的匀强
电场和匀强磁场组成的混合场区，该微粒在电场力、洛伦兹力和重力的共同作用下，恰好沿直线运动到
A，下列说法中正确的是( )A．该微粒一定带负电荷 B．微粒从O到A的运动可能是匀变速运动
C．该磁场的磁感应强度大小为 D．该电场的场强为Bvcos θ
【答案】AC
【解析】.若微粒带正电荷，它受竖直向下的重力mg、水平向左的电场力qE和垂直OA斜向右下方的洛伦
兹力qvB，知微粒不能做直线运动，据此可知微粒应带负电荷，它受竖直向下的重力mg、水平向右的电场
力qE和垂直OA斜向左上方的洛伦兹力qvB，又知微粒恰好沿着直线运动到A，可知微粒应该做匀速直线
运动，故选项A正确，B错误；由平衡条件得：qvBcos θ＝mg，qvBsin θ＝qE，得磁场的磁感应强度B
＝，电场的场强E＝Bvsin θ，故选项C正确，D错误．
【变式】(如图所示，在水平匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场中，有一竖直足够长固定绝缘杆 MN，小
球P套在杆上，已知P的质量为m、电荷量为＋q，电场强度为E，磁感应强度为B，P与杆间的动摩擦因
数为μ，重力加速度为g.小球由静止开始下滑直到稳定的过程中( )
A．小球的加速度一直减小
B．小球的机械能和电势能的总和保持不变
C．下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能是v＝
D．下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能是v＝
【答案】CD
【解析】.开始时对小球受力分析如图所示，则mg－μ(qE－qvB)＝ma，随着v的增加，小球加速度先增大，
当qE＝qvB时达到最大值，a ＝g，继续运动，mg－μ(qvB－qE)＝ma，随着v的增大，a逐渐减小，所以
max
A错误；因为有摩擦力做功，机械能与电势能总和在减小，B错误；若在前半段达到最大加速度的一半，
则mg－μ(qE－qvB)＝m，得v＝；若在后半段达到最大加速度的一半，则mg－μ(qvB－qE)＝m，得v＝，故
C、D正确．考向四 带电粒子在交变电、磁场中的运动
解决带电粒子在交变电、磁场中的运动问题的基本思路
先读图 看清并明白场的变化情况
受力分析 分析粒子在不同的变化场区的受力情况
过程分析 分析粒子在不同时间内的运动情况
找衔接点 找出衔接相邻两过程的物理量
选规律 联立不同阶段的方程求解
【例12】空间中有一直角坐标系，其第一象限在圆心为O 、半径为R、边界与x轴和y轴相切的圆形区域
1
内，有垂直于纸面向里的匀强磁场(图中未画出)，磁感应强度大小为B；第二象限中存在方向竖直向下的
匀强电场．现有一群质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从圆形区域边界与x轴的切点A处沿纸面上的
不同方向射入磁场中，如图所示．已知粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径均为R，其中沿AO 方向射入
1
的粒子恰好到达x轴上与O点距离为2R的N点，不计粒子的重力和它们之间的相互作用力，求：
(1)粒子射入磁场时的速度大小及电场强度的大小；
(2)速度方向与AO 夹角为60°(斜向右上方)的粒子到达y轴所用的时间．
1
【答案】(1) (2)(＋)
【解析】(1)设粒子射入磁场时的速度大小为 v，因在磁场中做匀速圆周运动的半径为 R，由牛顿第二定律
得qvB＝m，得v＝
如图甲所示，因粒子的轨迹半径是R，故沿AO 方向射入的粒子一定从与圆心等高的D点沿x轴负方向射入电场，则粒
1
子在电场中从D点到N点做类平抛运动，有2R＝vt
又因为R＝··t2解得E＝.
(2)轨迹如图乙所示，
轨迹圆心为C，从M点射出磁场，连接OM，四边形OMCA是菱形，故CM垂直于x轴，速度方向偏转角
1 1
度等于圆心角θ＝150°，粒子在磁场中运动的时间为
t＝T＝
1
粒子离开磁场到y轴的距离MH＝，在无场区运动的时间t＝＝
2
故粒子到达y轴的时间为t＝t＋t＝(＋).
1 2
[变式]如图甲所示，质量为m带电量为－q的带电粒子在t＝0时刻由a点以初速度v 垂直进入磁场，Ⅰ区
0
域磁场磁感应强度大小不变、方向周期性变化如图乙所示(垂直纸面向里为正方向)；Ⅱ区域为匀强电场，
方向向上；Ⅲ区域为匀强磁场，磁感应强度大小与Ⅰ区域相同均为B.粒子在Ⅰ区域内一定
0
能完成半圆运动且每次经过mn的时刻均为整数倍，则：
(1)粒子在Ⅰ区域运动的轨道半径为多少？
(2)若初始位置与第四次经过mn时的位置距离为x，求粒子进入Ⅲ区域时速度的可能值(初始位置记为第一
次经过mn)．
【答案】 (1)或 (2) －2v
0
【解析】 (1)带电粒子在Ⅰ区域做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，即qvB＝m
0 0
解得r＝(或T＝，r＝)．
0(2)第一种情况，若粒子进入第Ⅲ区域，当第三次经过mn进入Ⅰ区域，Ⅰ区域磁场向外时：粒子在Ⅲ区域
运动半径R＝
qvB＝m
2 0
解得粒子在Ⅲ区域速度大小v＝
2
第二种情况，若粒子进入第Ⅲ区域，当第三次经过mn进入Ⅰ区域，Ⅰ区域磁场向里时：
粒子在Ⅲ区域运动半径R＝
粒子在Ⅲ区域速度大小v＝－2v.
2 0【题型演练】
1. 如图是一个回旋加速器示意图，其核心部分是两个D形金属盒，两金属盒置于匀强磁场中，并分别与高
频电源相连．现分别加速氘核(H)和氦核(He)，下列说法中正确的是( )
A．它们的最大速度相同 B．它们的最大动能相同
C．两次所接高频电源的频率相同 D．仅增大高频电源的频率可增大粒子的最大动能
【答案】 AC
【解析】 由R＝得最大速度v＝，两粒子的相同，所以最大速度相同，A正确；最大动能E ＝mv2，因为
k
两粒子的质量不同，最大速度相同，所以最大动能不同，B错误；高频电源的频率f＝，因为相同，所以两
次所接高频电源的频率相同，C正确；粒子的最大动能与高频电源的频率无关，D错误．
2. 劳伦斯和利文斯设计出回旋加速器，工作原理示意图如图所示．置于真空中的D形金属盒半径为R，两
盒间的狭缝很小，带电粒子穿过的时间可忽略．磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直，高频交流电频率
为f，加速电压为U.若A处粒子源产生质子的质量为m、电荷量为＋q，在加速器中被加速，且加速过程中
不考虑相对论效应和重力的影响．则下列说法正确的是( )
A．质子被加速后的最大速度与D形盒半径R有关
B．质子离开回旋加速器时的最大动能与交流电频率f成正比
C．质子第2次和第1次经过两D形盒间狭缝后轨道半径之比为 ∶1
D．不改变磁感应强度B和交流电频率f，经该回旋加速器加速的各种粒子的最大动能不变
【答案】AC.
【解析】质子被加速后的最大速度受到D形盒半径R的制约，因v ＝＝2πRf，故A正确；质子离开回旋加
m
速器的最大动能E ＝mv＝m×4π2R2f2＝2mπ2R2f2，故B错误；根据qvB＝，Uq＝mv，2Uq＝mv，得质子第2
km
次和第1次经过两D形盒间狭缝后轨道半径之比为∶1，故C正确；因经回旋加速器加速的粒子最大动能E ＝2mπ2R2f2与m、R、f均有关，故D错误．
km
3. 美国物理学家劳伦斯发明了回旋加速器，其基本原理如图所示．现有一回旋加速器，当外加磁场一定时，
可把质子的速度从零加速到v，质子获得的动能为E.在不考虑相对论效应的情况下，用该回旋加速器加速
k
原来静止的α粒子(氦核)时，有( )
A. 能把α粒子从零加速到 B．能使α粒子获得的动能为2E
k
C．加速α粒子的交变电场频率与加速质子的交变电场频率之比为1∶2
D．加速α粒子的交变电场频率与加速质子的交变电场频率之比为2∶1
【答案】 AC
【解析】粒子在洛伦兹力作用下，做匀速圆周运动，根据qvB＝m，解得v＝，则粒子的最大动能E ＝mv2
km
＝，因质子与α粒子的质量数之比为1∶4，而电荷量之比为1∶2，所以α粒子加速到的速度为，动能仍为
E ，故A正确，B错误；加速器所接交流电的频率应与粒子做匀速圆周运动的频率相同，粒子做匀速圆周
k
运动的频率为f＝，所以加速α粒子的交变电场频率与加速质子的交变电场频率之比为1∶2，故C正确，D
错误．
4. 质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要工具．图中的铅盒A中的放射源放出大量的带正电
粒子(可认为初速度为零)，从狭缝S 进入电压为U的加速电场区加速后，再通过狭缝S 从小孔G垂直于
1 2
MN射入偏转磁场，该偏转磁场是以直线MN为切线、磁感应强度为B，方向垂直于纸面向外半径为R的圆
形匀强磁场．现在MN上的F点(图中未画出)接收到该粒子，且GF＝R.则该粒子的比荷为(粒子的重力忽略
不计)( )
A. B.
C. D.
【答案】C【解析】设粒子被加速后获得的速度为v，由动能定理有：qU＝mv2，粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道
半径r＝，又Bqv＝m，可求＝，故C正确．
5. 如图所示，空间的某个复合场区域内存在着竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场．质子由静
止开始经一加速电场加速后，垂直于复合场的边界进入并沿直线穿过场区，质子(不计重力)穿过复合场区
所用时间为t，从复合场区穿出时的动能为E，则( )
k
A．若撤去磁场B，质子穿过场区时间大于t B．若撒去电场E，质子穿过场区时间等于t
C．若撒去磁场B，质子穿出场区时动能大于E D．若撤去电场E，质子穿出场区时动能大于E
k k
【答案】C
【解析】质子在电场中是直线加速，进入复合场，电场力与洛伦兹力等大反向，质子做匀速直线运动．若
撤去磁场，只剩下电场，质子做类平抛运动，水平分运动是匀速直线运动，速度不变，故质子穿过场区时
间不变，等于t，A错误；若撒去电场，只剩下磁场，质子做匀速圆周运动，速率不变，水平分运动的速度
减小，故质子穿过场区时间增加，大于t，B错误；若撤去磁场，只剩下电场，质子做类平抛运动，电场力
做正功，故末动能大于E ，C正确，若撤去电场，只剩下磁场，质子做匀速圆周运动，速率不变，末动能
k
不变，仍为E，D错误．
k
6. 如图所示，a、b、c、d四种正离子（不计重力）垂直地射入匀强磁场和匀强电场相互垂直的区域里，
a、b分别向上、下极板偏转，c、d沿直线通过该区域后进入另一匀强磁场，分别沿不同半径做圆周运动，
则（ ）
A．平行板电容器的上极板电势低 B．c、d两离子的比荷不同
C．c、d两离子的电荷量一定不同 D．a、b两离子的电荷量一定不同【答案】B
【详解】A．c、d沿直线通过匀强磁场和匀强电场相互垂直的区域，有
由左手定则，洛伦兹力竖直向上，所以电场力竖直向下。由c、d为正离子，所以场强方向竖直向下，则上
极板比下极板电势高，A错误；
BC．c、d进入匀强磁场后，由洛伦兹力提供向心力
解得
由c、d做圆周运动的半径不同，所以c、d两离子的比荷不同，又不知质量，所以无法判断电荷量大小，B
正确，C错误；
D．a、b分别向上、下极板偏转，说明洛伦兹力和电场力不相等，无法判断电荷量大小，D错误。
故选B。
7. 如图所示为质谱仪的原理图，某同学欲使用该装置测量带电粒子的比荷，粒子从静止开始经过电压为U
的加速电场后，进入速度选择器，选择器中存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度大小为B，
1
磁场方向如图，匀强电场的场强为E，带电粒子能够沿直线穿过速度选择器，从G点既垂直直线MN又垂
直于磁场的方向射入偏转磁场。偏转磁场是一个以直线MN为边界、方向垂直纸面向外的匀强磁场，带电
粒子经偏转磁场后，最终到达照相底片上与G距离为d的H点。已知偏转磁场的磁感应强度为B，带电粒
2
子的重力可忽略不计。以下说法正确的是（ ）
A．该装置可用于测定电子的比荷
B．速度选择器的a板接电源的负极
C．所测粒子的比荷D．所测粒子的比荷
【答案】C
【详解】A．电子带负电，加速电场上板带正电，下板带负电，无法起到加速电子的作用，所以电子无法
进入偏转磁场，则无法测定电子的比荷，故A错误；
B．由题知带正电粒子能在加速电场中加速，则它在速度选择器中做匀速直线运动，电场力与洛伦兹力等
大反向，根据左手定则，可知洛伦兹力水平向左，则电场力水平向右，故a板接电源的正极，故B错误；
CD．带电粒子在速度选择器中受力平衡
匀强磁场中匀速圆周运动的半径为
洛伦兹力提供向心力
联立上式得
故C正确，D错误。
故选C。
8. 如图所示，相互正交的匀强电场方向竖直向下，匀强磁场垂直纸面向里．带有等量同种电荷的三个液滴
在此空间中，a液滴静止不动，b液滴沿水平线向右做直线运动，c液滴沿水平线向左做直线运动．则下列
说法中正确的是 ( )
A．三个液滴都带负电 B．液滴b的速率一定大于液滴c的速率
C．三个液滴中液滴b质量最大 D．液滴b和液滴c一定做的是匀速直线运动【答案】AD
【解析】a液滴受力平衡，有G ＝qE，重力和电场力等值、反向、共线，故电场力向上，由于电场强度向
a
下，故液滴带负电，b液滴受力平衡，有G ＋qvB＝qE，c液滴受力平衡，有G＝qvB＋qE，解得G＞G ＞
b c c a
G ，故A正确，C错误；由以上分析可知，无法确定b与c洛伦兹力大小，因此无法确定液滴速率大小，
b
故B错误；根据f＝qvB，可知，液滴的洛伦兹力受到速率的约束，若不是做匀速直线运动，则洛伦兹力变
化，导致受力不平衡，那么就不可能做直线运动，故D正确．
9. 如图所示，实线表示竖直平面内的电场线，电场线与水平方向成α角，水平方向的匀强磁场与电场正交，
有一带电液滴沿斜向上的虚线L斜向上做直线运动，L与水平方向成β角，且α＞β，则下列说法中正确的
是 ( )
A．液滴一定做匀速直线运动 B．液滴一定带负电
C．电场线方向一定斜向上 D．液滴有可能做匀变速直线运动
【答案】AC
【解析】带电液滴受竖直向下的重力G、沿电场线方向的电场力F、垂直于速度方向的洛伦兹力f，若合力
不为零，则洛伦兹力变化，不能沿直线运动，因此这三个力的合力一定为零，带电液滴做匀速直线运动，
不可能做匀变速直线运动，故A正确，D错误；当带电液滴带正电，且电场线方向斜向上时，带电液滴受
竖直向下的重力G、沿电场线向上的电场力F、垂直于速度方向斜向左上方的洛伦兹力作用，这三个力的
合力可能为零，带电液滴沿虚线L做匀速直线运动，如果带电液滴带负电、电场线方向斜向上或斜向下时，
带电液滴所受合力不为零，不可能沿直线运动，故B错误，C正确．故选AC.
10. 如图所示，粗糙的足够长的竖直木杆上套有一个带电的小球，整个装置处在由水平匀强电场和垂直纸
面向外的匀强磁场组成的足够大的复合场中，小球由静止开始下滑，在整个运动过程中小球的 v－t图象如
下图所示，其中正确的是( )
【答案】C.
【解析】小球下滑过程中，qE与qvB反向，开始下落时qE>qvB，所以a＝，随下落速度v的增大a逐渐增大；当qER的区域存在沿－y方向的匀强电场，电场强度为E＝1.0×105 V/m.在M点有一正粒子以速率v＝1.0×106
m/s沿＋x方向射入磁场，粒子穿出磁场进入电场，速度减小到零后又返回磁场，最终又从磁场离开．已知
粒子的比荷为＝1.0×107 C/kg，粒子重力不计．(1)求圆形磁场区域磁感应强度的大小；
(2)求沿＋x方向射入磁场的粒子，从进入磁场到再次穿出磁场所走过的路程．
【答案】(1)0.2 T (2)(0.5π＋1)m
【解析】(1)沿＋x方向射入磁场的粒子进入电场后，速度减小到零，粒子一定是从如图的 P点射出磁场，
逆着电场线运动，所以粒子在磁场中做圆周运动的半径r＝R＝0.5 m
根据Bqv＝，得B＝，代入数据得B＝0.2 T.
(2)粒子返回磁场后，经磁场偏转后从N点射出磁场，MN为直径，粒子在磁场中的路程为二分之一圆周长
s＝πR
1
设在电场中的路程为s，根据动能定理得
2
＝mv2，s＝
2
总路程s＝πR＋，代入数据得s＝(0.5π＋1)m
