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专题 15 带电粒子在磁场中的运动
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专题11 带电粒子在磁场中的运动............................................................................................................................1
考向一 半径公式和周期公式的应用................................................................................................................2
mv
r=
qB
考查方式一 半径与磁场的关系 ..........................................................................................................2
mv
√2mE
k
r= =
qB qB
考查方式二 半径与动能的关系 .......................................................................................4
mv P
r= =
qB qB
考查方式三 半径与动量的关系 ...............................................................................................5
m v
r= .
q B
考查方式四 半径公式与比荷 ..........................................................................................................5
考向二 带电粒子在有界匀强磁场中的运动............................................................................................................6
考查方式一 直线边界磁场................................................................................................................................7
考查方式二 平行边界磁场................................................................................................................................9
考查方式三 圆形边界磁场.................................................................................................................................11
考查方式四 三角形边界磁场..........................................................................................................................13
考向三 带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题......................................................................................14
一、带电粒子在磁场中的直线运动
（1）带电粒子沿与磁感应线平行的方向进入电场，带电粒子将直线运动；
（2）磁场力与重力、电磁力或其他力的合理为零时，带电粒子将作直线运动；
二、带电粒子在复合场中做匀速圆周运动
1. 圆心的确定
(1)已知入射点、入射方向和出射点、出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方
向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示)．(2)已知入射方向和入射点、出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射
点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图乙所示)．
2．半径的确定和计算
利用平面几何关系，求出该圆的可能半径(或圆心角)，求解时注意以下几何特点：
粒子速度的偏向角(φ)等于圆心角(α)，并等于AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍(如图)，即φ＝α＝2θ＝ωt.
3．运动时间的确定
粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为 α时，其运动时间可由下式
表示：t＝T(或t＝T)，t＝(l为弧长)．
三、带电粒子在磁场中的运动
考向一 半径公式和周期公式的应用
mv
r=
qB
考查方式一 半径与磁场的关系
【典例1】正电子是电子的反粒子，与电子质量相同、带等量正电荷。在云室中有垂直于纸面的匀强磁场，
从P点发出两个电子和一个正电子，三个粒子运动轨迹如图中1、2、3所示。下列说法正确的是（ ）A．磁场方向垂直于纸面向里 B．轨迹1对应的粒子运动速度越来越大
C．轨迹2对应的粒子初速度比轨迹3的大 D．轨迹3对应的粒子是正电子
[变式]一个静止的放射性原子核 发生衰变后放出粒子并生成新核，衰变后放出的粒子和生成的新核速
度方向均垂直于磁场方向，运动轨迹如图所示，则以下结论中正确的是（ ）
A．发生的是α衰变
B．轨迹1是放出粒子的径迹，轨迹2是生成的新核的径迹
C．生成的新核逆时针方向运动，放出粒子顺时针方向运动
D．生成的新核含有143个中子
mv
√2mE
k
r= =
qB qB
考查方式二 半径与动能的关系
【典例2】如图，MN为铝质薄平板，铝板上方和下方分别有垂直于图平面的匀强磁场(未画出)。一带电粒
子从紧贴铝板上表面的P点垂直于铝板向上射出，从Q点穿越铝板后到达PQ的中点O。已知粒子穿越铝
板时，其动能损失一半，速度方向和电荷量不变，不计重力。铝板上方和下方的磁感应强度大小之比
（ ）
√2
√2 2
A．2 B． A．1 A．mv P
r= =
qB qB
考查方式三 半径与动量的关系
【典例3】如图所示，匀强磁场的方向垂直纸面向里，一带电微粒从磁场边界 d点垂直于磁场方向射入，
沿曲线dpa打到屏MN上的a点，通过pa段用时为I 若该微粒经过P点时，与一个静止的不带电微粒碰撞
2
并结合为一个新微粒，最终打到屏MN上。两个微粒所受重力均忽略。新微粒运动的 （ ）
A.轨迹为pb,至屏幕的时间将小于t B.轨迹为pc,至屏幕的时间将大于t
C.轨迹为pb，至屏幕的时间将等于t D.轨迹为pa，至屏幕的时间将大于t
m v
r= .
q B
考查方式四 半径公式与比荷
【典例4】如图所示，直角三角形ABC区域中存在一匀强磁场，比荷相同的两个粒子（不计重力）沿AB
方向射入磁场，分别从AC边上的P、Q两点射出，则（ ）
A．从P点射出的粒子速度大 B．从Q点射出的粒子向心力加速度大
C．从P点射出的粒子角速度大 D．两个粒子在磁场中运动的时间一样长
考向二 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
1.带电粒子在磁场中做匀速圆周运动解题“三步法”
2．在轨迹中寻求边角关系时，一定要关注三个角的联系：圆心角、弦切角、速度偏角；它们的大小关系为：圆心角等于速度偏角，圆心角等于2倍的弦切角．在找三角形时，一般要寻求直角三角形，利用勾股
定理或三角函数求解问题．
3．解决带电粒子在边界磁场中运动的问题时，一般注意以下两种情况：
(1)直线边界中的临界条件为与直线边界相切，并且从直线边界以多大角度射入，还以多大角度射出；
(2)在圆形边界磁场中运动时，如果沿着半径射入，则一定沿着半径射出．
考查方式一 直线边界磁场
直线边界，粒子进出磁场具有对称性(如图3所示)
图a中粒子在磁场中运动的时间t＝＝
图b中粒子在磁场中运动的时间t＝(1－)T＝(1－)＝
图c中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝
1
【典例5】如图，在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为 B和B、方向均垂直于纸面向
2
外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子垂直于x轴射入第二象限，随后垂直于y轴进入第
一象限，最后经过x轴离开第一象限。粒子在磁场中运动的时间为（ ）
5πm 7πm 11πm 13πm
A．6qB B． 6qB C． 6qB D． 6qB
[变式1]如图，直线OP上方分布着垂直纸面向里的匀强磁场，从粒子源O在纸面内沿不同的方向先后发射
速率均为v的质子1和2，两个质子都过P点．已知OP＝a，质子1沿与OP成30°角的方向发射，不计质
子的重力和质子间的相互作用力，则( )
A．质子1在磁场中运动的半径为a B．质子2在磁场中的运动周期为
C．质子1在磁场中的运动时间为 D．质子2在磁场中的运动时间为[变式2]如图所示，直线MN左下侧空间存在范围足够大、方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小
为B，在磁场中P点有一个粒子源，可在纸面内向各个方向射出质量为m、电荷量为q的带正电粒子(重力
不计)，已知∠POM＝60°，PO间距为L，粒子速率均为v＝，则粒子在磁场中运动的最短时间为( )
A. B. C. D.
考查方式二 平行边界磁场
平行边界存在临界条件(如图所示)
图a中粒子在磁场中运动的时间t＝，t＝＝
1 2
图b中粒子在磁场中运动的时间t＝
图c中粒子在磁场中运动的时间t＝(1－)T＝(1－)＝
图d中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝
【典例6】如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面（abcd
所在平面）向外。ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的
比荷为k。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为（ ）
1 5 1 5 1 5 1 5
kBl kBl kBl kBl kBl kBl kBl kBl
A．4 ， 4 B．4 ，4 C．2 ， 4 D．2 ，4
[变式1]如图所示，在0≤x≤3a的区域内存在与xOy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小为 B.在t＝0时刻，
从原点O发射一束等速率的相同的带电粒子，速度方向与y轴正方向的夹角分布在0°～90°范围内．其中，
沿y轴正方向发射的粒子在t＝t 时刻刚好从磁场右边界上P(3a，a)点离开磁场，不计粒子重力，下列说法
0
正确的是( )A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为3a B．粒子的发射速度大小为
C．带电粒子的比荷为 D．带电粒子在磁场中运动的最长时间为2t
0
[变式2]如图所示为一有界匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外，MN、PQ为其两个边界，
两边界间的距离为L.现有两个带负电的粒子同时从A点以相同速度沿与PQ成30°的方向垂直射入磁场，结
果两粒子又同时离开磁场．已知两带负电的粒子质量分别为2m和5m，电荷量大小均为q，不计粒子重力
及粒子间的相互作用，则粒子射入磁场时的速度为( )
A． B． C． D．
考查方式三 圆形边界磁场
沿径向射入圆形磁场的粒子必沿径向射出，运动具有对称性(如图9所示)
粒子做圆周运动的半径r＝
粒子在磁场中运动的时间t＝T＝θ＋α＝90°
【典例7】如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，大量相
同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同的方向射入磁场，若粒子射入速率为v ，这些粒子
1
在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v ，相应的出射点分布在三分之一圆周上，
2
不计重力及带电粒子之间的相互作用，则v∶v 为( )
2 1
A.∶2 B.∶1 C.∶1 D．3∶
[变式] (多选)如图所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的感光板．从圆形磁场最高点P以速度v垂直磁场正对着圆心O射入带正电的粒子，且粒子所带电荷量为
q、质量为m，不考虑粒子重力，关于粒子的运动，以下说法正确的是( )
A．粒子在磁场中通过的弧长越长，运动时间也越长
B．射出磁场的粒子其出射方向的反向延长线也一定过圆心O
C．射出磁场的粒子一定能垂直打在MN上
D．只要速度满足v＝，入射的粒子出射后一定垂直打在MN上
考查方式四 三角形边界磁场
【例题8】(多选)如图所示，有一垂直于纸面向外的有界匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，其边界为一边
长为L的正三角形(边界上有磁场)，A、B、C为三角形的三个顶点．今有一质量为m、电荷量为＋q的粒子
(不计重力)，以速度v＝从AB边上的某点P既垂直于AB边又垂直于磁场的方向射入磁场，然后从BC边上
某点Q射出．若从P点射入的该粒子能从Q点射出，则( )
A．PB0)．粒子沿纸面以大
小
为v的速度从OM的某点向左上方射入磁场，速度与OM成30°角．已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON
只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场．不计重力．粒子离开磁场的出射点到两平面交线O的距离(
)
A. B. C. D.
【升华总结】解决带电粒子的临界问题的技巧方法
(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．
(2)当速率v一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长．
(3)当速率v变化时，圆心角大的，运动时间长，解题时一般要根据受力情况和运动情况画出运动轨迹的草
图，找出圆心，根据几何关系求出半径及圆心角等．
(4)在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于区域圆半径时，则入射点和出射点为磁场直径的两个端点时，
轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)．
[变式]如图所示，在边长为2a的正三角形区域内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场．一个质量为m、
电荷量为－q(q>0)的带电粒子(重力不计)从AB边的中心O以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向
垂直于磁场且与AB边的夹角为60°，若要使粒子能从AC边穿出磁场，则匀强磁场的大小B需满足( )A．B> B．B<
C．B> D．B<
考查方式二 带电粒子在匀强磁场中运动的极值问题
【典例10】如图所示，两个同心圆，半径分别为r和2r，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀
强磁场，磁感应强度为B.圆心O处有一放射源，放出粒子的质量为m、带电量为－q(q>0)，假设粒子速度
方向都和纸面平行．
(1)图中箭头表示某一粒子初速度的方向，OA与初速度方向夹角为60°，要想使该粒子经过磁场后第一次通
过A点，则初速度的大小是多少？
(2)要使粒子不穿出环形区域，则粒子的初速度不能超过多少？
[变式]如图所示，半径为r的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为 B，磁场边界上A
点有一粒子源，源源不断地向磁场发射各种方向(均平行于纸面)且速度大小相等的带正电的粒子(重力不计)，
已知粒子的比荷为k，速度大小为2kBr.则粒子在磁场中运动的最长时间( )A. B. C. D.【题型演练】
1. (多选)有两个匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ中的磁感应强度是Ⅱ中的k倍．两个速率相同的电子分别在两磁
场区域做圆周运动．与Ⅰ中运动的电子相比，Ⅱ中的电子( )
A．运动轨迹的半径是Ⅰ中的k倍 B．加速度的大小是Ⅰ中的k倍
C．做圆周运动的周期是Ⅰ中的k倍 D．做圆周运动的角速度与Ⅰ中的相等
2. 如图是比荷相同的a、b两粒子从O点垂直匀强磁场进入正方形区域的运动轨迹，则( )
A．a的质量比b的质量大 B．a带正电荷，b带负电荷
C．a在磁场中的运动速率比b的大 D．a在磁场中的运动时间比b的短
3. 如图所示，平面直角坐标系的第Ⅰ象限内有一匀强磁场垂直于纸面向里，磁感应强度为 B.一质量为m、
电荷量为q的粒子以速度v从O点沿着与y轴夹角为30°的方向进入磁场，运动到A点时速度方向与x轴的
正方向相同，不计粒子的重力，则( )
A．该粒子带正电 B．A点与x轴的距离为
C．粒子由O到A经历时间t＝ D．运动过程中粒子的速度不变
4. 如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形 abcd区域内，O点是cd边的中点．一个带正电的
粒子仅在磁场力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t 后刚好从c点射
0
出磁场．现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，那
么下列说法中正确的是( )
A．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t，则它一定从cd边射出磁场
0
B．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t，则它一定从ad边射出磁场
0
C．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t，则它一定从bc边射出磁场
0D．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t，则它一定从ab边射出磁场
0
5. 如图所示，在赤道处，将一小球向东水平抛出，落地点为a；给小球带上电荷后，仍以原来的速度抛出，
考虑地磁场的影响，下列说法正确的是( )
A．无论小球带何种电荷，小球仍会落在a点 B．无论小球带何种电荷，小球下落时间都会延长
C．若小球带负电荷，小球会落在更远的b点 D．若小球带正电荷，小球会落在更远的b点
6. “人造小太阳”托卡马克装置使用强磁场约束高温等离子体，使其中的带电粒子被尽可能限制在装置内
部，而不与装置器壁碰撞．已知等离子体中带电粒子的平均动能与等离子体的温度T成正比，为约束更高
温度的等离子体，则需要更强的磁场，以使带电粒子在磁场中的运动半径不变．由此可判断所需的磁感应
强度B正比于( )
A． B．T C． D．T2
7. 如图所示，一个理想边界为PQ、MN的匀强磁场区域，磁场宽度为d，方向垂直纸面
向里．一电子从O点沿纸面垂直PQ以速度v 进入磁场．若电子在磁场中运动的轨道半径为2d.O′在MN上，
0
且OO′与MN垂直．下列判断正确的是 ( )
A．电子将向右偏转 B．电子打在MN上的点与O′点的距离为d
C．电子打在MN上的点与O′点的距离为d D．电子在磁场中运动的时间为
8. 如图所示，一束电子以大小不同的速率沿图示方向垂直飞入横截面是一正方形的匀强磁场区域，下列判
断正确的是 ( )
A．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线越长
B．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线所对应的圆心角越大
C．在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹线不一定重合
D．电子的速率不同，它们在磁场中运动时间一定不相同
9. 如图所示，在MN上方存在匀强磁场，带同种电荷的粒子a、b以相同的动能同时从O点射入匀强磁场中，两粒子的入射方向与磁场边界MN的夹角分别为30°和60°，且同时到达P点，已知OP＝d，则 (
)
A．a、b两粒子运动半径之比为1∶ B．a、b两粒子的初速率之比为5∶2
C．a、b两粒子的质量之比为4∶75 D．a、b两粒子的电荷量之比为2∶15
10. 如图所示，虚线所围区域内有方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B.一束电子沿圆形区域的
直径方向以速度v射入磁场，电子束经过磁场区后，其运动的方向与原入射方向成θ角．设电子质量为
m，电荷量为e，不计电子之间的相互作用力及所受的重力．求：
(1)电子在磁场中运动轨迹的半径R；
(2)电子在磁场中运动的时间t；
(3)圆形磁场区域的半径r.11. 如图所示，在匀强磁场中有一倾斜的平行金属导轨，导轨间的距离为L，长为3d，导轨平面与水平面
的夹角为 ，在导轨的中部刷有一段长为d的薄绝缘涂层，匀强磁场的磁感应强度为B，方向与导轨平面
垂直。质量为m的导体棒从导轨的顶端由静止释放，在滑上绝缘涂层后做匀速运动，滑到导轨底端之前再
一次做匀速运动。导体棒始终与导轨垂直，且仅与涂层间有摩擦，接在两导轨间的定值电阻和导体棒电阻
均为R，导轨电阻不计，重力加速度为g，求：
（1）导体棒与涂层间的动摩擦因数 ；
（2）导体棒滑到导轨底端之前匀速运动的速度大小；
（3）导体棒从导轨的顶端滑到导轨底端的整个过程中，定值电阻上产生的焦耳热Q。12. 如图所示，间距为1m的平行金属导轨固定在绝缘水平桌面上，导轨左端连接有电动势为E=15V，内
阻r=1Ω的电源。质量m=0.5kg的金属棒垂直放在导轨上，导轨处在磁感应强度大小为B=1T的匀强磁场中，
磁场与金属棒垂直，方向与导轨平面成θ=53°斜向右上。绕过桌边光滑定滑轮的一根细线，一端系在金属
棒的中点，另一端吊着一个重物，拉着金属棒的细线水平且与金属棒垂直，金属棒处于静止状态且刚好不
向左滑，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2，金属棒接入电路的电阻R=2Ω，导轨电
阻不计，金属棒与导轨间的动摩擦因数为μ=0.5，sin53°=0.8，cos53°=0.6，求：
（1）悬吊重物的质量；
（2）保持磁感应强度大小不变，将磁场方向迅速改为竖直向上，则磁场方向改为竖直向上的一瞬间，重
物的加速度（不考虑电磁感应现象）。
