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专题 13 电场能的性质
目录
专题13 电场能的性质...............................................................................................................................................1
考向一 电场线的理解和应用..................................................................................................................................1
考查方式一 等量异(同)种电荷电场线的分布..............................................................................................2
考查方式二 电场线中带电粒子的运动分析..................................................................................................2
考查方式三 根据粒子运动情况判断电场线分布..........................................................................................3
考向二 电势差与电场强度的关系..........................................................................................................................4
考查方式一 在匀强电场中由公式U＝Ed得出的“一式二结论”...............................................................4
考查方式二 U＝Ed在非匀强电场中的应用.....................................................................................................5
考向四 电场线、等势线(面)及带电粒子的运动轨迹问题..................................................................................6
考查方式一 带电粒子运动轨迹的分析..........................................................................................................7
考查方式二 等势面的综合应用......................................................................................................................7
考向五 几种常见图象的特点及规律......................................................................................................................8
考查方式一 v－t图象.....................................................................................................................................8
考查方式二 φ－x图象...................................................................................................................................9
考查方式三 E－x图象...................................................................................................................................10
考查方式四 Ep－x图象.................................................................................................................................10
【题型演练】............................................................................................................................................................12
考向一 电场线的理解和应用
1．电场线的用途
(1)判断电场力的方向——正电荷的受力方向和电场线在该点切线方向相同，负电荷的受力方向和电场线
在该点切线方向相反．
(2)判断电场强度的大小(定性)——电场线密处电场强度大，电场线疏处电场强度小，进而可判断电荷受
力大小和加速度的大小．
(3)判断电势的高低与电势降低的快慢——沿电场线的方向电势逐渐降低，电场强度的方向是电势降低最
快的方向．
(4)判断等势面的疏密——电场线越密的地方，等差等势面越密集；电场线越疏的地方，等差等势面越稀
疏．
2．两种等量点电荷的电场
比较 等量异种点电荷 等量同种点电荷电场线分布图
在电荷连线上，中点O的电场强
连线中点O的电场强度 为零
度最小，指向负电荷一方
连线上的电场强度大小 沿连线先变小，再变大 沿连线先变小，再变大
沿中垂线由O点向外电场强度
O点最大，向外逐渐减小 O点最小，向外先变大后变小
大小
关于O点对称的A与A′、B与
等大同向 等大反向
B′的电场强度
考查方式一 等量异(同)种电荷电场线的分布
【典例1】如图所示，在真空中有两个固定的等量异种点电荷＋Q和－Q.直线MN是两点电荷连线的中垂线，
O是两点电荷连线与直线MN的交点．a、b是两点电荷连线上关于O的对称点，c、d是直线MN上的两个点．
下列说法中正确的是( )
A．a点的场强大于b点的场强；将一检验电荷沿MN由c移动到d，所受电场力先增大后减小
B．a点的场强小于b点的场强；将一检验电荷沿MN由c移动到d，所受电场力先减小后增大
C．a点的场强等于b点的场强；将一检验电荷沿MN由c移动到d，所受电场力先增大后减小
D．a点的场强等于b点的场强；将一检验电荷沿MN由c移动到d，所受电场力先减小后增大
考查方式二 电场线中带电粒子的运动分析
(1)“运动与力两线法”——画出“速度线”(运动轨迹在初始位置的切线)与“力线”(在初始位置电场线
的切线方向)，从二者的夹角情况来分析曲线运动的情况．
(2)“三不知时要假设”——电荷的正负、场强的方向(或等势面电势的高低)、电荷运动的方向，是题意
中相互制约的三个方面．若已知其中的任一个，可顺次向下分析判定各待求量；若三个都不知(三不知)，
则要用“假设法”分别讨论各种情况．
【典例2】如图所示，P是固定的点电荷，虚线是以P为圆心的两个圆．带电粒子Q在P的电场中运动，运
动轨迹与两圆在同一平面内，a、b、c为轨迹上的三个点．若Q仅受P的电场力作用，其在a、b、c点的加
速度大小分别为a、a、a，速度大小分别为v、v、v，则( )
a b c a b cA．a>a>a，v>v>v B．a>a>a，v>v> v
a b c a c b a b c b c a
C．a>a>a，v>v> v D．a>a>a，v>v>v
b c a b c a b c a a c b
考查方式三 根据粒子运动情况判断电场线分布
【典例3】一负电荷从电场中A点由静止释放，只受电场力作用，沿电场线运动到B点，它运动的v－t图
象如图所示，则A、B两点所在区域的电场线分布情况可能是下图中的( )
考向二 电势差与电场强度的关系
1．公式E＝的三点注意
(1)只适用于匀强电场．
(2)d为某两点沿电场强度方向上的距离，或两点所在等势面之间的距离．
(3)电场强度的方向是电势降低最快的方向．
2.电场线、电势、电场强度的关系
(1)电场线与电场强度的关系：电场线越密的地方表示电场强度越大，电场线上某点的切线方向表示该点
的电场强度方向．
(2)电场线与等势面的关系：电场线与等势面垂直，并从电势较高的等势面指向电势较低的等势面．
(3)电场强度大小与电势无直接关系：零电势可人为选取，电场强度的大小由电场本身决定，故电场强度
大的地方，电势不一定高．
3．E＝在非匀强电场中的三点妙用
距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大，
判断电势差大小及电势高低
进而判断电势的高低
φ－x图象的斜率k＝＝＝E，斜率的大小表示场
判断场强变化 x
强的大小，正负表示场强的方向
判断场强大小 等差等势面越密，场强越大
4.解题思路
考查方式一 在匀强电场中由公式U＝Ed得出的“一式二结论”(1)“一式”：E＝＝，其中d是沿电场线方向上的距离．
(2)“二结论”
结论1：匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φ＝，如图甲所示．
C
结论2：匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则U＝U(或φ－φ＝φ－φ)，如图乙所示．
AB CD A B C D
【典例4】如图，同一平面内的a、b、c、d四点处于匀强电场中，电场方向与此平面平行，M为a、c连线
的中点，N为b、d连线的中点．一电荷量为q(q＞0)的粒子从a点移动到b点，其电势能减小W；若该粒
1
子从c点移动到d点，其电势能减小W.下列说法正确的是 ( )
2
A．此匀强电场的场强方向一定与a、b两点连线平行
B．若该粒子从M点移动到N点，则电场力做功一定为
C．若c、d之间的距离为L，则该电场的场强大小一定为
D．若W＝W，则a、M两点之间的电势差一定等于b、N两点之间的电势差
1 2考查方式二 U＝Ed在非匀强电场中的应用
【典例5】如图所示，在某电场中画出了三条电场线，C点是A、B连线的中点．已知A点的电势为φ＝30
A
V，B点的电势为φ＝－20 V，则下列说法正确的是( )
B
A．C点的电势φ＝5 V B．C点的电势φ>5 V
C C
C．C点的电势φ<5 V D．负电荷在A点的电势能大于在B点的电势能
C
考向四 电场线、等势线(面)及带电粒子的运动轨迹问题
1．等势线总是和电场线垂直，已知电场线可以画出等势线，已知等势线也可以画出电场线．
2．几种典型电场的等势线(面)
电场 等势线(面) 重要描述
匀强电场 垂直于电场线的一簇平面
点电荷的电场 以点电荷为球心的一簇球面
等量异种点电荷
连线的中垂线上电势处处为零
的电场
等量同种(正)点 连线上，中点的电势最低；中垂线上，中点的电势
电荷的电场 最高
3.带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法
(1)从轨迹的弯曲方向判断受力方向(轨迹向合外力方向弯曲)，从而分析电场方向或电荷的正负．
(2)结合轨迹、速度方向与静电力的方向，确定静电力做功的正负，从而确定电势能、电势和电势差的变化等．
(3)根据动能定理或能量守恒定律判断动能的变化情况．
考查方式一 带电粒子运动轨迹的分析
(1)判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为粒子在该点处的速度方向．
(2)判断电场力(或场强)的方向：仅受电场力作用时，带电粒子所受电场力方向指向轨迹的凹侧，再根据
粒子的正、负判断场强的方向．
(3)判断电场力做功的正、负及电势能的增减：若电场力与速度方向成锐角，则电场力做正功，电势能减
少；若电场力与速度方向成钝角，则电场力做负功，电势能增加．
【典例6】如图，一带负电荷的油滴在匀强电场中运动，其轨迹在竖直面(纸面)内，且相对于过轨迹最低
点P的竖直线对称．忽略空气阻力．由此可知( )
A．Q点的电势比P点高 B．油滴在Q点的动能比它在P点的大
C．油滴在Q点的电势能比它在P点的大 D．油滴在Q点的加速度大小比它在P点的小
考查方式二 等势面的综合应用
【典例7】图中虚线a、b、c、d、f代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知平面b上的电势为2 V．
一电子经过a时的动能为10 eV，从a到d的过程中克服电场力所做的功为6 eV.下列说法正确的是( )
A．平面c上的电势为零 B．该电子可能到达不了平面f
C．该电子经过平面d时，其电势能为4 eV D．该电子经过平面b时的速率是经过d时的2倍考向五 几种常见图象的特点及规律
根据v t图象中速度变化、斜率确定电荷所受合力的方向与合力大小变化，确定电
v t图象
场的方向、电势高低及电势能变化
(1)电场强度的大小等于φ x图线的斜率大小，电场强度为零处，φ x图线存在
极值，其切线的斜率为零；
(2)在φ x图象中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势高低关系确定电场
φ x图象
强度的方向；
(3)在φ x图象中分析电荷移动时电势能的变化，可用W ＝qU ，进而分析W 的
AB AB AB
正负，然后做出判断
(1)反映了电场强度随位移变化的规律；(2)E＞0表示场强沿x轴正方向，E＜0表
示场强沿x轴负方向；
Ex图象
(3)图线与x轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，两点
的电势高低根据电场方向判定
(1)反映了电势能随位移变化的规律；
Ex图象 (2)图线的切线斜率大小等于电场力大小；
p
(3)进一步判断场强、动能、加速度等随位移的变化情况
考查方式一 v－t图象
【典例8】(多选)光滑绝缘水平面上固定两个等量点电荷，它们连线的中垂线上有A、B、C三点，如图甲
所示．一质量m＝1 g的带正电小物块由A点静止释放，并以此时为计时起点，沿光滑水平面经过B、C两
点(图中未画出)，其运动过程的v－t图象如图乙所示，其中图线在B点位置时斜率最大，根据图线可以确
定( )
A．中垂线上B点电场强度最大 B．A、B两点之间的位移大小
C．B点是连线中点，C与A点必在连线两侧 D．U>U
BC AB
考查方式二 φ－x图象
【典例9】在坐标－x到x之间有一静电场，x轴上各点的电势φ随坐标x的变化关系如图所示，一电荷
0 0
量为e的质子从－x处以一定初动能仅在电场力作用下沿x轴正向穿过该电场区域．则该质子( )
0
A．在－x～0区间一直做加速运动 B．在0～x区间受到的电场力一直减小
0 0
C．在－x～0区间电势能一直减小 D．在－x～0区间电势能一直增加
0 0
考查方式三 E－x图象【典例10】(多选)某电场中沿x轴上各点的电场强度大小变化如图所示．场强方向与x轴平行，规定沿x
轴正方向为正，一负点电荷从坐标原点O以一定的初速度沿x轴负方向运动，到达x位置时速度第一次为
1
零，到达x位置时速度第二次为零，不计点电荷的重力．下列说法正确的是( )
2
A．点电荷从x运动到x的过程中，速度先保持不变，然后均匀增大再均匀减小
1 2
B．点电荷从O沿x轴正方向运动到x的过程中，加速度先均匀增大再均匀减小
2
C．电势差U ＜U
Ox1 Ox2
D．在整个运动过程中，点电荷在x、x位置时的电势能最大
1 2
考查方式四 Ep－x图象
【典例11】一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正向运动，其电势能E随位移x变化的关系如图所示，
p
其中0～x段是关于直线x＝x对称的曲线，x～x段是直线，则下列说法正确的是( )
2 1 2 3
A．x处电场强度最小，但不为零
1
B．粒子在0～x段做匀变速运动，x～x段做匀速直线运动
2 2 3
C．在0、x、x、x处电势φ、φ、 φ、φ的关系为φ>φ＝φ>φ
1 2 3 0 1 2 3 3 2 0 1
D．x～x段的电场强度大小、方向均不变
2 3【题型演练】
1．如图所示，实线为等量异种点电荷周围的电场线，虚线为以一点电荷为中心的圆，M点是两点电荷连
线的中点，若将一正试探点电荷从虚线上N点移动到M点，则电荷所受电场力( )
A．大小不变 B．方向不变
C．逐渐减小 D．逐渐增大
2． 如图，三个固定的带电小球a、b和c，相互间的距离分别为ab＝5 cm，bc＝3 cm，ca＝4 cm.小球c所
受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线．设小球a、b所带电荷量的比值的绝对值为k，则( )
A．a、b的电荷同号，k＝ B．a、b的电荷异号，k＝
C．a、b的电荷同号，k＝ D．a、b的电荷异号，k＝
3． (多选)如图所示，在光滑绝缘的水平桌面上有四个小球，带电荷量分别为－q、Q、－q、Q.四个小球构
成一个菱形，－q、－q的连线与－q、Q的连线之间的夹角为α.若此系统处于平衡状态，则正确的关系式
可能是( )
A．cos3α＝ B．cos3α＝ C．sin3α＝ D．sin3α＝
4． 如图所示，边长为a的正方体的顶点A处有一电荷量为－Q的点电荷，其他7个顶点各有一电荷量为
＋Q的点电荷，体心O处有一个电荷量为－q的点电荷，静电力常量为k，则O点处的点电荷受到的电场
力大小为( )A． B． C． D．
5． 一个电子只在电场力作用下从a点运动到b点的轨迹如图中虚线所示，图中平行实线可能是电场线也
可能是等势线，则以下说法正确的是( )
A．无论图中的实线是电场线还是等势线，a点的电场强度都比b点的电场强度小
B．无论图中的实线是电场线还是等势线，a点的电势都比b点的电势高
C．无论图中的实线是电场线还是等势线，电子在a点的电势能都比在b点的电势能小
D．如果图中的实线是等势线，电子在a点的速率一定大于在b点的速率
6． 如图所示，实线表示某电场的电场线(方向未标出)，虚线是一带负电的粒子只在电场力作用下的运动
轨迹，设M点和N点的电势分别为φ 、φ ，粒子在M和N时加速度大小分别为a 、a ，速度大小分别为
M N M N
v 、v ，电势能分别为E 、E .下列判断正确的是( )
M N pM pN
A．v ＜v ，a ＜a B．v ＜v ，φ ＜φ
M N M N M N M N
C．φ ＜φ ，E ＜E D．a ＜a ，E ＜E
M N pM pN M N pM pN
7． 如图所示，水平面内有A、B、C、D、E、F六个点，它们均匀分布在半径为R＝2 cm的同一圆周上，
空间有一方向与圆平面平行的匀强电场．已知A、C、E三点的电势分别为φ ＝(2－) V、φ ＝2 V、φ ＝(2
A C E
＋) V，下列判断正确的是 ( )
A．电场强度的方向由A指向D B．电场强度的大小为1 V/m
C．该圆周上的点电势最高为4 V D．将电子从D点沿DEF移到F点，静电力做正功8． 图中虚线是某电场的一组等势面．两个带电粒子从P点沿等势面的切线方向射入电场，粒子仅受电场
力作用，运动轨迹如实线所示，a、b是实线与虚线的交点．下列说法正确的是 ( )
A．两粒子的电性相同 B．a点的场强小于b点的场强
C．a点的电势高于b点的电势 D．与P点相比两个粒子的电势能均增大
9． 如图所示，a、b、c、d是某匀强电场中的四个点，它们正好是一个矩形的四个顶点，ab＝cd＝L，ad
＝bc＝2L，电场线与矩形所在的平面平行．已知a点电势为20 V，b点电势为24 V，d点电势为12 V．一
个质子从b点以速度v 射入此电场，入射方向与bc成45°角，一段时间后经过c点．不计质子的重力．下
0
列判断正确的是( )
A．c点电势高于a点电势 B．场强的方向由b指向d
C．质子从b运动到c，电场力做功为8 eV D．质子从b运动到c，电场力做功为4 eV
10． 如图所示，真空中有一半径为R、电荷量为＋Q的均匀带电球体，以球心为坐标原点，沿半径方向建
立x轴．理论分析表明，x轴上各点的场强随x变化关系如图乙所示，则 ( )
A．x 处场强大小为 B．球内部的电场为匀强电场
2
C．x、x 两点处的电势相同 D．假设将试探电荷沿x轴移动，则从x 移到R处和从R移到x 处电场力做功
1 2 1 2
相同11． 如图所示，一质量为m、电荷量为q(q>0)的液滴，在场强大小为、方向水平向右的匀强电场中运动，
运动轨迹在竖直平面内．A、B为其运动轨迹上的两点，已知该液滴在A点的速度大小为v，方向与电场方
0
向的夹角为60°；它运动到B点时速度方向与电场方向的夹角为30°.求A、B两点间的电势差．
12． 在光滑绝缘的水平面上，用长为2L的绝缘轻杆连接两个质量均为m的带电小球A和B.A球的带电荷
量为＋2q，B球的带电荷量为－3q，组成一带电系统，如图所示，虚线MP为A、B两球连线的垂直平分线，
虚线NQ与MP平行且相距5L.最初A和B分别静止于虚线MP的两侧，距MP的距离均为L，且A球距虚
线NQ的距离为4L.若视小球为质点，不计轻杆的质量，在虚线MP、NQ间加上水平向右、场强大小为E
的匀强电场后，试求：
(1)B球刚进入电场时，带电系统的速度大小；
(2)带电系统向右运动的最大距离；
(3)带电系统从开始运动到速度第一次为零时，B球电势能的变化量．
