文档文本内容
第十章 磁场
近5年考情分析
考题统计
考点要求 等级要求 2022 2021 2020 2019 2018
上海卷·T17 ** 错误的表
上海卷·T15 达式 **卷
甲卷·T16
磁场的描述及 湖南卷·T3 北京卷·T8 ·T20
Ⅱ 浙江6月 Ⅰ卷·T17
安培力 乙卷·T18 江苏卷·T21
卷·T15
浙江1月卷·T7 浙江4月
甲卷·T25 卷·T7
辽宁卷·T8
Ⅰ卷·T18 Ⅰ卷·T24
磁场对运动电 广东卷·T7 乙卷·T16 海南卷·T13
Ⅱ Ⅱ卷·T24 Ⅱ卷·T17
荷的作用 浙江1月卷·T3 湖南卷·T16 江苏卷·T23
Ⅲ卷·T18
浙江6月卷·T22
** 错误的表
达式 **卷
·T25
** 错误的表
广东卷·T8 达式 **卷
甲卷·T25
带电粒子在组 甲卷·T18 ·T25
河北卷·T5 Ⅱ卷·T17
合场、叠加场 Ⅱ 浙江1月卷·T22 Ⅲ卷·T18 ** 错误的表
河北卷
中的运动 山东卷·T17 达式 **卷
·T14
湖南卷·T13 ·T24
北京卷·T18
天津卷·T27
浙江4月
卷·T22
物理观念：1.认识电路及其特点，理解电源电动势等重要概念；2.掌握焦耳定律、闭合电路
欧姆定律的应用．
科学思维：1.分析电路结构，判断电路有关问题；2.用闭合电路欧姆定律计算电路有关问
题．
核心素养
科学探究：1.善于发现问题，提出合理猜想、设计实验、分析论证、反思评估；2.通过创设
问题情境，激发探究欲望，提高实验探究能力．
科学态度与责任：1.树立安全用电、节约用电的思想意识；2.通过实验培养严谨认真、实事
求是和持之以恒的科学态度．
本章主要考查电流的磁效应、安培力、带电粒子在磁场中运动的问题，主要涉及各种电流产
生的磁场、安培力的大小和方向、带电粒子在洛伦兹力作用下的运动，主要体现在以下几方
面:
命题规律 (1)电流磁效应主要结合安培力的大小和方向、静电力平衡、安培力做功等问题考查。
(2)匀强磁场中带电粒子做圆周运动，主要涉及群发粒子的收集比例问题。
(3)带电粒子在复合场的运动主要涉及叠加和不叠加两种形式，主要考查轨迹多解问题和霍尔
效应、磁流体发电机等。2023年高考本着稳中有变的原则，考查重点不会有太大的变化.主要还是通过多解、分类讨论
等方式结合霍尔效应等难点考查科学推理、模型建构等核心素养。
备考策略 选择题一般考查磁场的基础知识和基本规律，难度不大:计算题主要是考查安培力、带电粒子
在磁场中的运动，以及与力学、电学、能量知识的综合应用，难度较大，较多的是高考的压
轴题。
【网络构建】
专题 10.2 磁场对运动电荷的作用
【网络构建】考点一 洛伦兹力的特点与应用
1．洛伦兹力的特点
(1)利用左手定则判断洛伦兹力的方向，注意区分正、负电荷．
(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化．
(3)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用．
(4)洛伦兹力一定不做功．
2．洛伦兹力与安培力的联系及区别
(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者性质相同，都是磁场力．
(2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功．
3．洛伦兹力与电场力的比较
洛伦兹力 电场力
产生条件 v≠0且v不与B平行 电荷处在电场中
大小 F＝qvB(v⊥B) F＝qE
正电荷受力与电场方向相同，负电荷受力与电场方
方向 F⊥B且F⊥v
向相反
做功情况 任何情况下都不做功 可能做正功，可能做负功，也可能不做功
考点 二 带电粒子在匀强磁场中的运动
1．圆心的确定
(1)已知入射点、入射方向和出射点、出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的
直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示)．
(2)已知入射方向和入射点、出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图乙所示)．
2．半径的确定和计算
利用平面几何关系，求出该圆的可能半径(或圆心角)，求解时注意以下几何特点：
粒子速度的偏向角(φ)等于圆心角(α)，并等于AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍(如图)，即φ＝α＝2θ＝ωt.
3．运动时间的确定
粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间可由下式表示：
t＝T(或t＝T)，t＝(l为弧长)．
考点 三 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
1.带电粒子在磁场中做匀速圆周运动解题“三步法”
2．在轨迹中寻求边角关系时，一定要关注三个角的联系：圆心角、弦切角、速度偏角；它们的大小关系
为：圆心角等于速度偏角，圆心角等于2倍的弦切角．在找三角形时，一般要寻求直角三角形，利用勾股
定理或三角函数求解问题．
3．解决带电粒子在边界磁场中运动的问题时，一般注意以下两种情况：
(1)直线边界中的临界条件为与直线边界相切，并且从直线边界以多大角度射入，还以多大角度射出；
(2)在圆形边界磁场中运动时，如果沿着半径射入，则一定沿着半径射出．
直线边界磁场
直线边界，粒子进出磁场具有对称性(如图3所示)图a中粒子在磁场中运动的时间t＝＝
图b中粒子在磁场中运动的时间t＝(1－)T＝(1－)＝
图c中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝
平行边界磁场
平行边界存在临界条件(如图所示)
图a中粒子在磁场中运动的时间t＝，t＝＝
1 2
图b中粒子在磁场中运动的时间t＝
图c中粒子在磁场中运动的时间t＝(1－)T＝(1－)＝
图d中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝
圆形边界磁场
沿径向射入圆形磁场的粒子必沿径向射出，运动具有对称性(如图9所示)
粒子做圆周运动的半径r＝
粒子在磁场中运动的时间t＝T＝θ＋α＝90°
考点 四 带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题
1、临界极值问题的分析方法
(1)数学方法和物理方法的结合：如利用“矢量图”“边界条件”等求临界值，利用“三角函数”“不等式
的性质”“二次方程的判别式”等求极值．
(2)一个“解题流程”，突破临界问题(3)从关键词找突破口：许多临界问题，题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱离”等词
语对临界状态给以暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件．
2决带电粒子的临界问题的技巧方法
(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．
(2)当速率v一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长．
(3)当速率v变化时，圆心角大的，运动时间长，解题时一般要根据受力情况和运动情况画出运动轨迹的草
图，找出圆心，根据几何关系求出半径及圆心角等．
(4)在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于区域圆半径时，则入射点和出射点为磁场直径的两个端点时，
轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)．
高频考点一 洛伦兹力的特点与应用
洛伦兹力方向的判断
例1、如图，a是竖直平面P上的一点，P前有一条形磁铁垂直于P，且S极朝向a点，P后一电子在偏转
线圈和条形磁铁的磁场的共同作用下，在水平面内向右弯曲经过a点．在电子经过a点的瞬间，条形磁铁
的磁场对该电子的作用力的方向( )
A．向上 B．向下 C．向左 D．向右
【答案】A
【解析】条形磁铁的磁感线在a点垂直P向外，电子在条形磁铁的磁场中向右运动，由左手定则可得电子
所受洛伦兹力的方向向上，A正确．
【变式训练】在北半球，地磁场磁感应强度的竖直分量方向向下(以“×”表示)．如果你家中电视机显像管
的位置恰好处于南北方向，那么由南向北射出的电子束在地磁场的作用下将向哪个方向偏转 ( )A．不偏转 B．向东 C．向西 D．无法判断
【答案】B
【解析】 根据左手定则可判断由南向北运动的电子束所受洛伦兹力方向向东，因此电子束向东偏转，故
选项B正确．
洛伦兹力做功的特点
例2、如图所示，下端封闭、上端开口、高h＝5 m、内壁光滑的细玻璃管竖直放置，管底有质量m＝10
g、电荷量的绝对值|q|＝0.2 C的小球，整个装置以v＝5 m/s的速度沿垂直于磁场方向进入磁感应强度大小
为B＝0.2 T、方向垂直纸面向内的匀强磁场，由于外力的作用，玻璃管在磁场中的速度保持不变，最终小
球从上端管口飞出．g取10 m/s2.下列说法中正确的是( )
A．小球带负电 B．小球在竖直方向做匀加速直线运动
C．小球在玻璃管中的运动时间小于1 s D．小球机械能的增加量为1 J
【答案】 BD
【解析】 由左手定则可知，小球带正电，选项A错误；玻璃管和小球在水平方向做匀速运动，则小球在
竖直方向所受的洛伦兹力恒定，竖直方向加速度不变，即小球在竖直方向做匀加速直线运动，选项B正确；
小球在竖直方向的加速度a＝＝ m/s2＝10 m/s2，在管中运动的时间t＝＝ s＝1 s，选项C错误；小球到管
口时的速度v＝at＝10 m/s，机械能的增加量：ΔE＝mgh＋mv2＝0.01×10×5 J＋×0.01×102 J＝1 J，选项D正
确.
【变式训练】如图所示，ABC为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中AB为倾斜直轨道，BC为与AB相切的
圆形轨道，并且圆形轨道处在匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里．质量相同的甲、乙、丙三个小球中，
甲球带正电、乙球带负电、丙球不带电．现将三个小球在轨道 AB上分别从不同高度处由静止释放，都恰
好通过圆形轨道的最高点，则( )A．经过最高点时，三个小球的速度相等 B．经过最高点时，甲球的速度最小
C．甲球的释放位置比乙球的高 D．运动过程中三个小球的机械能均保持不变
【答案】CD
【解析】设磁感应强度为B，圆形轨道半径为r，三个小球质量均为m，它们恰好通过最高点时的速度分别
为v 、v 和v ，则mg＋q v B＝，mg－q v B＝，mg＝，显然，v >v >v ，选项A、B错误；三个
甲 乙 丙 甲 甲 乙 乙 甲 丙 乙
小球在运动过程中，只有重力做功，即它们的机械能守恒，选项D正确；甲球在最高点处的动能最大，因
为势能相等，所以甲球的机械能最大，甲球的释放位置最高，选项C正确．
洛伦兹力作用下带电体的力学问题分析
例3、如图所示，a为带正电的小物块，b是一不带电的绝缘物块(设a、b间无电荷转移)，a、b叠放于粗糙
的水平地面上，地面上方有垂直纸面向里的匀强磁场，现用水平恒力 F拉b物块，使a、b一起无相对滑动
地向左加速运动，在加速运动阶段( )
A．a对b的压力不变 B．a对b的压力变大
C．a、b物块间的摩擦力变小 D．a、b物块间的摩擦力不变
【答案】BC
【解析】a向左加速时受到的竖直向下的洛伦兹力变大，故a对b的压力变大，选项A错误，B正确；从
a、b整体看，由于a受到的洛伦兹力变大，会引起b对地面的压力变大，滑动摩擦力变大，整体的加速度
变小，再隔离a，b对a的静摩擦力F 提供其加速度，由F ＝ma知，a、b间的摩擦力变小，选项C正确，
ba ba a
D错误．
【变式训练】如图所示，在纸面内存在水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，电场强度大小为
E，磁感应强度大小为B，一水平固定绝缘杆上套有带电小球P，P的质量为m、电荷量为－q，P与杆间的
动摩擦因数为μ.小球由静止开始滑动，设电场、磁场区域足够大，杆足够长，在运动过程中小球的最大加
速度为a，最大速度为v，则下列判断正确的是( )
0 0A．小球先加速后减速，加速度先增大后减小 B．当v＝v 时，小球的加速度最大
0
C．当v＝v 时，小球一定处于加速度减小阶段 D．当a＝a 时，>
0 0
【答案】C
【解析】开始运动阶段qvB<mg，加速度a ＝，小球做加速度越来越大的加速运动；当qvB＝mg之后，小
1
球受到的支持力垂直杆向下，小球的加速度a ＝，小球做加速度减小的加速运动，加速度减小到0后做匀
2
速运动，则可知小球一直加速最后匀速，加速度先增大后减小为0不变，选项A错误；作出小球的加速度
随速度的变化规律图象如图所示，两阶段的图线斜率大小相等，有 v<v ，则v＝v 时一定处于加速度减小
1 0 0
阶段，选项B错误，C正确；a＝a 可能出现在加速度增大阶段或加速度减小阶段，选项D错误．
0
高频考点二 带电粒子在匀强磁场中的运动
半径公式和周期公式的应用
mv 1
r= .
q B
1.半径与磁场的关系
例4、有两个匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ中的磁感应强度是Ⅱ中的k倍．两个速率相同的电子分别在两磁场
区域做圆周运动．与Ⅰ中运动的电子相比，Ⅱ中的电子( )
A．运动轨迹的半径是Ⅰ中的k倍 B．加速度的大小是Ⅰ中的k倍
C．做圆周运动的周期是Ⅰ中的k倍 D．做圆周运动的角速度与Ⅰ中的相等
【答案】AC
【解析】两速率相同的电子在两匀强磁场中做匀速圆周运动，且Ⅰ中磁场磁感应强度B 是Ⅱ中磁场磁感应
1
强度B 的k倍．由qvB＝得r＝∝，即Ⅱ中电子运动轨迹的半径是Ⅰ中的k倍，选项A正确；由F ＝ma得
2 合
a＝＝∝B，所以＝，选项B错误；由T＝得T∝r，所以＝k，选项C正确；由ω＝得＝＝，选项D错误．
mv
√2mE
k
r= =
qB qB
2.半径与动能的关系
【例5】如图，MN为铝质薄平板，铝板上方和下方分别有垂直于图平面的匀强磁场(未画出)。一带电粒子
从紧贴铝板上表面的P点垂直于铝板向上射出，从Q点穿越铝板后到达PQ的中点O。已知粒子穿越铝板
时，其动能损失一半，速度方向和电荷量不变，不计重力。铝板上方和下方的磁感应强度大小之比（ ）√2
√2 2
A．2 B． A．1 A．
【答案】D
E
【解析】由题意知粒子穿越铝板时，其动能损失一半设粒子在铝板上方的动能为 k上下的磁感应强度分
mv
√2mE
k
r= =
B B′ r =2r qB qB
别 为 、 有 几 何 关 系 可 知 上 下 方 的 轨 迹 半 径 满 足 上 下， 又 则 ：
mv
√2mE √mE
B √2
k k
r = = =2r =2 =
上 qB qB 下 qB' B' 2
得
mv P
r= =
qB qB
3.半径与动量的关系
【例6】如图所示，匀强磁场的方向垂直纸面向里，一带电微粒从磁场边界d点垂直于磁场方向射入，沿
曲线dpa打到屏MN上的a点，通过pa段用时为I 若该微粒经过P点时，与一个静止的不带电微粒碰撞并
2
结合为一个新微粒，最终打到屏MN上。两个微粒所受重力均忽略。新微粒运动的 （ ）
A.轨迹为pb,至屏幕的时间将小于t B.轨迹为pc,至屏幕的时间将大于t
C.轨迹为pb，至屏幕的时间将等于t D.轨迹为pa，至屏幕的时间将大于t
【答案】D
【解析】设两微粒的质量分别为m、M碰撞前粒子的轨迹半径
mv
r=
qB
为 ----------------①碰撞过程：
mv=(m+M)v'
-----------②
(m+M)v
r'
=
qB
碰撞后粒子的轨迹半径为 ---------③
①②③可得r=r'
---------④所以粒子仍沿pa运动
θ 2πm
t= T T=
2π qB
由 及 可知碰撞后微粒质量增大周期增大圆心角不变所以时间变长。
m v
r= .
q B
4.半径公式与比荷
【例7】如图所示，直角三角形ABC区域中存在一匀强磁场，比荷相同的两个粒子（不计重力）沿AB方
向射入磁场，分别从AC边上的P、Q两点射出，则（ ）
A．从P点射出的粒子速度大 B．从Q点射出的粒子向心力加速度大
C．从P点射出的粒子角速度大 D．两个粒子在磁场中运动的时间一样长
【答案】BD
【解析】 粒子在磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示，根据几何关系(图示弦切角相等)，粒子在
磁场中偏转的圆心角相等，根据粒子在磁场中运动的时间t＝T，又因为粒子在磁场中做圆周运动的周期T
＝，可知粒子在磁场中运动的时间相等，选项D正确，C错误；由图知，粒子运动的半径R ＜R ，由粒子
P Q
在磁场中做圆周运动的半径R＝知粒子运动速度v ＜v ，选项A错误，B正确
P Q
高频考点三 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
直线边界磁场例8、如图所示，直线MN左下侧空间存在范围足够大、方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小
为B，在磁场中P点有一个粒子源，可在纸面内向各个方向射出质量为m、电荷量为q的带正电粒子(重力
不计)，已知∠POM＝60°，PO间距为L，粒子速率均为v＝，则粒子在磁场中运动的最短时间为( )
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】 粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有：Bvq＝，解得：R＝＝·＝L；粒子做
圆周运动的周期为：T＝＝＝；因为粒子做圆周运动的半径、周期都不变，那么，粒子转过的圆心角越小，
则其弦长越小，运动时间越短；所以，过P点作MN的垂线，可知，粒子运动轨迹的弦长最小为：Lsin
60°＝L＝R，故最短弦长对应的圆心角为60°，所以，粒子在磁场中运动的最短时间为：t ＝T＝，故
min
A、C、D错误，B正确．
【变式训练】如图，直线OP上方分布着垂直纸面向里的匀强磁场，从粒子源 O在纸面内沿不同的方向先
后发射速率均为v的质子1和2，两个质子都过P点．已知OP＝a，质子1沿与OP成30°角的方向发射，
不计质子的重力和质子间的相互作用力，则( )
A．质子1在磁场中运动的半径为a B．质子2在磁场中的运动周期为
C．质子1在磁场中的运动时间为 D．质子2在磁场中的运动时间为
【答案】 B
【解析】 根据题意作出质子运动轨迹如图所示：
由几何知识可知，质子在磁场中做圆周运动的轨道半径：r＝a，故A错误；质子在磁场中做圆周运动的周
期：T＝＝，故B正确；由几何知识可知，质子1在磁场中转过的圆心角：θ ＝60°，质子1在磁场中的运
1
动时间：t ＝T＝T＝，故C错误；由几何知识可知，质子2在磁场中转过的圆心角：θ ＝300°，质子2在磁
1 2场中的运动时间：t＝T＝，故D错误．
2
平行边界磁场
例9、如图所示为一有界匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外，MN、PQ为其两个边界，
两边界间的距离为L.现有两个带负电的粒子同时从A点以相同速度沿与PQ成30°的方向垂直射入磁场，结
果两粒子又同时离开磁场．已知两带负电的粒子质量分别为2m和5m，电荷量大小均为q，不计粒子重力
及粒子间的相互作用，则粒子射入磁场时的速度为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由于两粒子在磁场中运动时间相等，则两粒子一定是分别从MN边和PQ边离开磁场的，如图所
示，由几何知识可得质量为2m的粒子对应的圆心角为300°，由t＝T得质量为5m的粒子对应的圆心角为
120°，由图可知△OCD为等边三角形，可求得R＝L，由Bqv＝得v＝，B正确．
【变式训练】如图所示，在0≤x≤3a的区域内存在与xOy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小为B.在t＝
0时刻，从原点O发射一束等速率的相同的带电粒子，速度方向与y轴正方向的夹角分布在0°～90°范围内．
其中，沿y轴正方向发射的粒子在t＝t 时刻刚好从磁场右边界上P(3a，a)点离开磁场，不计粒子重力，下
0
列说法正确的是( )
A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为3a B．粒子的发射速度大小为
C．带电粒子的比荷为 D．带电粒子在磁场中运动的最长时间为2t
0
【答案】 D
【解析】 根据题意作出沿y轴正方向发射的带电粒子在磁场中做圆周运动的运动轨迹如图所示，圆心为O′，根据几何关系，可知粒子做圆周运动的半径为r＝2a，故A错误；沿y轴正方向发射的粒子在
磁场中运动的圆心角为 ，运动时间t ＝，解得：v ＝，选项B错误；沿y轴正方向发射的粒子在磁场中运
0 0
2π 2
( )
T
动的圆心角为，对应运动时间为t ，所以粒子运动的周期为T＝3t ，由Bqv ＝m r，则＝，故C错误；
0 0 0
在磁场中运动时间最长的粒子的运动轨迹如图所示，
由几何知识得该粒子做圆周运动的圆心角为，在磁场中的运动时间为2t，故D正确．
0
圆形边界磁场
例10、如图所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的感光板．
从圆形磁场最高点P以速度v垂直磁场正对着圆心O射入带正电的粒子，且粒子所带电荷量为q、质量为
m，不考虑粒子重力，关于粒子的运动，以下说法正确的是( )
A．粒子在磁场中通过的弧长越长，运动时间也越长
B．射出磁场的粒子其出射方向的反向延长线也一定过圆心O
C．射出磁场的粒子一定能垂直打在MN上
D．只要速度满足v＝，入射的粒子出射后一定垂直打在MN上
【答案】 BD
【解析】 速度不同的同种带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期相等，对着圆心入射的粒子，速度越
大在磁场中轨道半径越大，弧长越长，轨迹对应的圆心角θ越小，由t＝T知，运动时间t越小，故A错误；
带电粒子的运动轨迹是圆弧，根据几何知识可知，对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线一定过圆心，故B正确；速度不同，半径不同，轨迹对应的圆心角不同，对着圆心入射的粒子，出射后不一定垂
直打在MN上，与粒子的速度有关，故C错误；速度满足v＝时，粒子的轨迹半径为r＝＝R，入射点、出
射点、O点与轨迹的圆心构成菱形，射出磁场时的轨迹半径与最高点的磁场半径垂直，粒子一定垂直打在
MN板上，故D正确．
【变式训练】如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，大量
相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同的方向射入磁场，若粒子射入速率为v ，这些粒
1
子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v ，相应的出射点分布在三分之一圆周
2
上，不计重力及带电粒子之间的相互作用，则v∶v 为( )
2 1
A.∶2 B.∶1 C.∶1 D．3∶
【答案】 C
【解析】 设圆形磁场半径为R，若粒子射入的速率为v ，轨迹如图甲所示，由几何知识可知，粒子运动
1
的轨道半径为r ＝Rcos 60°＝R；若粒子射入的速率为v ，轨迹如图乙所示，由几何知识可知，粒子运动的
1 2
轨道半径为r＝Rcos 30°＝R；根据轨道半径公式r＝可知，v∶v＝r∶r＝∶1，故选项C正确．
2 2 1 2 1
甲 乙
三角形边界磁场
例11、如图所示，有一垂直于纸面向外的有界匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，其边界为一边长为L的
正三角形(边界上有磁场)，A、B、C为三角形的三个顶点．今有一质量为m、电荷量为＋q的粒子(不计重
力)，以速度v＝从AB边上的某点P既垂直于AB边又垂直于磁场的方向射入磁场，然后从BC边上某点Q
射出．若从P点射入的该粒子能从Q点射出，则( )
A．PB<L B．PB<LC．QB≤L D．QB≤L
【答案】 BD
【解析】 粒子在磁场中运动的轨迹如图所示：
粒子在磁场中的运动轨迹半径为r＝，因此可得r＝L，当入射点为P，圆心为O，且此刻轨迹正好与BC
1 1
相切时，PB取得最大值，若粒子从BC边射出，根据几何关系有PB<PB＝L，A错误，B正确；当运动轨
1
迹为弧PQ时，即OQ与AB垂直时，此刻QB取得最大值，根据几何关系有QB＝＝L，所以有QB≤L，C
2 2
错误，D正确．
高频考点四 带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题
带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题
例12、如图所示，在边长为2a的正三角形区域内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场．一个质量为
m、
电荷量为－q(q>0)的带电粒子(重力不计)从AB边的中心O以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向
垂直于磁场且与AB边的夹角为60°，若要使粒子能从AC边穿出磁场，则匀强磁场的大小B需满足( )
A．B> B．B<
C．B> D．B<
【答案】B
【解析】若粒子达到C点时，其运动轨迹刚好与AC相切，如图所示，
则粒子运动的半径为r＝＝a.由r＝得，粒子要能从AC边射出，粒子运行的半径应满足r>r，解得B<，选
0 0
项B正确．
【变式训练】平面OM和平面ON之间的夹角为30°，其横截面(纸面)如图所示，平面OM上方存在匀强磁场，
磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外．一带电粒子的质量为m，电荷量为q(q>0)．粒子沿纸面以大
小
为v的速度从OM的某点向左上方射入磁场，速度与OM成30°角．已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON
只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场．不计重力．粒子离开磁场的出射点到两平面交线O的距离(
)
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】 根据题意画出带电粒子的运动轨迹，
粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，故轨迹与ON相切，粒子出磁场的位置与切点的连线是粒
子做圆周运动的直径，大小为，根据几何知识可知，粒子离开磁场的出射点到两平面交线 O的距离为d＝
＝，选项D正确
带电粒子在匀强磁场中运动的极值问题
例4、如图所示，半径为r的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应
强度大小为B，磁场边界上A点有一粒子源，源源不断地向磁场发射各种方向(均平行于纸面)且速度大小
相
等的带正电的粒子(重力不计)，已知粒子的比荷为k，速度大小为2kBr.则粒子在磁场中运动的最长时间(
)A. B. C. D.
【答案】C
【解析】粒子在磁场中运动的半径为R＝＝＝2r；当粒子在磁场中运动时间最长时，其轨迹对应的圆心角
最大，此时弦长最大，其最大值为磁场圆的直径2r，故t＝＝＝，故C正确．
【变式训练】如图所示，两个同心圆，半径分别为r和2r，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的
匀强
磁场，磁感应强度为B.圆心O处有一放射源，放出粒子的质量为m、带电量为－q(q>0)，假设粒子速度方
向都和纸面平行．
(1)图中箭头表示某一粒子初速度的方向，OA与初速度方向夹角为60°，要想使该粒子经过磁场后第一次通
过A点，则初速度的大小是多少？
(2)要使粒子不穿出环形区域，则粒子的初速度不能超过多少？
【答案】 (1) (2)
【解析】 (1)如图甲所示，设粒子在磁场中的轨道半径为R，则由几何关系得R＝
1 1
又qvB＝m
1
得v＝.
1
(2)如图乙所示，设粒子轨迹与磁场外边界相切时，粒子在磁场中的轨道半径为 R ，则由几何关系有(2r－
2
R)2＝R＋r2
2
可得R＝，又qvB＝m，可得v＝
2 2 2
故要使粒子不穿出环形区域，粒子的初速度不能超过.
